❇❐ ●■⑩❖ ❉Ư❈ ❱⑨ ✣⑨❖ ❚❸❖ ❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❙× P❍❸▼ ❍⑨ ◆❐■ ✷ ❑❍❖❆ ❚❖⑩◆ ◆❣✉②➵♥ ❚❤à ⑩♥❤ ❈❤✐♥❤ ❈⑩❈ ▼➄❚ ❑❍➷◆● ✣➚◆❍ ❍×❰◆● ✣×Đ❈ ❑❍➶❆ ▲❯❾◆ ❚➮❚ ◆●❍■➏P ✣❸■ ❍➴❈ ❍➔ ◆ë✐ ✕ ◆➠♠ ✷✵✶✽ ❇❐ ●■⑩❖ ❉Ö❈ ❱⑨ ✣⑨❖ ❚❸❖ ❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❙× P❍❸▼ ❍⑨ ◆❐■ ✷ ❑❍❖❆ ❚❖⑩◆ ◆❣✉②➵♥ ❚❤à ⑩♥❤ ❈❤✐♥❤ ❈⑩❈ ▼➄❚ ❑❍➷◆● ✣➚◆❍ ❍×❰◆● ✣×Đ❈ ❈❤✉②➯♥ ♥❣➔♥❤✿ ❍➻♥❤ ❤å❝ ▼➣ sè✿ ❄❄❄❄❄❄❄ ❑❍➶❆ ▲❯❾◆ ❚➮❚ ◆●❍■➏P ✣❸■ ❍➴❈ ◆●×❮■ ❍×❰◆● ❉❼◆ ❑❍❖❆ ❍➴❈✿ P●❙✳❚❙✳ ◆❣✉②➵♥ ❚❤↕❝ ❉ô♥❣ ❍➔ ◆ë✐ ✕ ◆➠♠ ✷✵✶✽ ▲❮■ ❈❷▼ ❒◆ ❚r♦♥❣ t❤í✐ ❣✐❛♥ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➔ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❦❤â❛ ❧✉➟♥✱ tỉ✐ ✤➣ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ sü q✉❛♥ t➙♠✱ ✤ë♥❣ ✈✐➯♥✱ ❦❤➼❝❤ ❧➺ ❝õ❛ ❝→❝ t❤➛② ❝æ tr♦♥❣ tê ❍➻♥❤ ❤å❝ ♥â✐ r✐➯♥❣ ✈➔ ❦❤♦❛ ❚♦→♥ tr÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ữ õ ũ ợ sỹ ❤é trđ✱ ❣✐ó♣ ✤ï ❝õ❛ ❝→❝ ❜↕♥ s✐♥❤ ✈✐➯♥✳ ❚ỉ✐ ①✐♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ❝↔♠ ì♥ ❝→❝ t❤➛② ❝ỉ ❣✐→♦ tr♦♥❣ ❦❤♦❛ ❚♦→♥ tr÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❙÷ ♣❤↕♠ ❍➔ ◆ë✐ ✷✱ ❝→❝ t❤➛② ❝ỉ ✤➣ t➟♥ t➻♥❤ ❣✐ó♣ ✤ï tỉ✐ tr♦♥❣ ❜è♥ ♥➠♠ ❤å❝ ✈ø❛ q✉❛ ✈➔ ✤➣ t↕♦ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤➸ tæ✐ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ♥➔②✳ ✣➦❝ ❜✐➺t tæ✐ ①✐♥ ✤÷đ❝ ❜➔② tä ❧á♥❣ ❜✐➳t ì♥ s➙✉ s➢❝ ✤➳♥ t❤➛② ❣✐→♦ P●❙✳❚❙✳ ◆❣✉②➵♥ ❚❤↕❝ ❉ô♥❣ ✤➣ t➟♥ t➻♥❤ ❝❤➾ ữợ ú ù tổ tr sốt q tr t❤ü❝ ❤✐➺♥ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ♥➔②✳ ❉♦ ❝á♥ ❤↕♥ ❝❤➳ ✈➲ tr➻♥❤ ✤ë ✈➔ t❤í✐ ❣✐❛♥ ♥➯♥ ♥❤ú♥❣ ✈➜♥ ✤➲ tr➻♥❤ ❜➔② tr♦♥❣ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ❦❤æ♥❣ tr→♥❤ ❦❤ä✐ ♥❤ú♥❣ t❤✐➳✉ sât✳ ❱➻ ✈➟② tỉ✐ r➜t ♠♦♥❣ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ sü ❣✐ó♣ ✤ï õ ỵ t ổ s ✈✐➯♥ ✤➸ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ❝õ❛ tæ✐ ❝â t❤➸ ❤♦➔♥ t❤✐➺♥ ❤ì♥ ♥ú❛✳ ❚ỉ✐ ①✐♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ❝↔♠ ì♥✦ ❍➔ ◆ë✐✱ ♥❣➔② ✶✵ t❤→♥❣ ✺ ♥➠♠ ✷✵✶✽ ❙✐♥❤ ✈✐➯♥ ◆❣✉②➵♥ ❚❤à ⑩♥❤ ❈❤✐♥❤ ▲❮■ ❈❆▼ ✣❖❆◆ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ♥➔② tổ ữủ t ữợ sỹ ữợ t❤➛② ❣✐→♦ P●❙✳❚❙✳ ◆❣✉②➵♥ ❚❤↕❝ ❉ơ♥❣ ❝ò♥❣ ✈ỵ✐ ✤â ❧➔ sü ❝è ❣➢♥❣ ❝õ❛ ❜↔♥ t❤➙♥✳ ❚r♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ tæ✐ ✤➣ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ✈➔ t❤ø❛ ❦➳ ♥❤ú♥❣ t❤➔♥❤ q✉↔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝õ❛ ❝→❝ t→❝ ❣✐↔ ❦❤→❝✱ ✤➦❝ ❜✐➺t ❧➔ ❝õ❛ ❆✳●r❛② tr♦♥❣ t➔✐ ❧✐➺✉ ❬✶❪✱ ✈ỵ✐ sü tr➙♥ trå♥❣ ✈➔ ❧á♥❣ ❜✐➳t ì♥✳ ❚ỉ✐ ①✐♥ ❝❛♠ ✤♦❛♥ ♥❤ú♥❣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ tr♦♥❣ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ♥➔② ❧➔ ❦➳t q✉↔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝õ❛ r✐➯♥❣ ❜↔♥ t❤➙♥ ❞ü❛ tr➯♥ t➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ❬✶❪✱ ❦❤ỉ♥❣ ❝â sü trò♥❣ ❧➦♣ ✈ỵ✐ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ❝→❝ t→❝ ❣✐↔ ❦❤→❝✳ ❍➔ ◆ë✐✱ ✶✵ t❤→♥❣ ✺ ♥➠♠ ✷✵✶✽ ❙✐♥❤ ✈✐➯♥ ◆❣✉②➵♥ ❚❤à ⑩♥❤ ❈❤✐♥❤ ▼ö❝ ❧ö❝ ▲í✐ ♠ð ✤➛✉ ✶ ✶ ❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à ✸ ✶✳✶ ▼↔♥❤ t❤❛♠ sè ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✳✷ ▼↔♥❤ ❤➻♥❤ ❤å❝ ✈➔ ✤❛ t↕♣ ❤❛✐ ❝❤✐➲✉ tr♦♥❣ E3 ✳ ✳ ữợ t t q ữợ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✶ ✷✳✷ ❚r÷í♥❣ ✈❡❝tì ♣❤→♣ t✉②➳♥ ✤ì♥ ✈à ①→❝ ✤à♥❤ t♦➔♥ ❝ư❝ ✳ ✳ ✶✺ õ ũ ữợ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ t ổ ữợ ữủ t ữủ ỗ t ▼♦❜✐✉s ✷✶ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✶ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✹ ✸✳✸ ❈❤❛✐ ❑❧❡✐♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✼ ✸✳✹ ❙ü ❤✐➺♥ t❤ü❝ ❤â❛ ❝õ❛ ♠➦t ♣❤➥♥❣ ①↕ ↔♥❤ t❤ü❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✵ ✸✳✺ ▼➦t ①♦➢♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✼ ❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ✹✵ ✐✐ ◆❣✉②➵♥ ❚❤à ⑩♥❤ ❈❤✐♥❤ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ▲í✐ ♠ð ✤➛✉ ✶✳ ỵ t ổ t ỗ tứ tỹ t õ ự rë♥❣ r➣✐✳ ❈ò♥❣ ✈ỵ✐ t❤í✐ ❣✐❛♥ ❝→❝ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❚♦→♥ ổ ứ ữủ ợ trà ❝õ❛ ♠➻♥❤✳ ▼ët tr♦♥❣ ♥❤ú♥❣ ♠æ♥ ❤å❝ ❝â ✈❛✐ trá q✉❛♥ trå♥❣ ❝❤♦ sü ♣❤→t tr✐➸♥ ❝õ❛ ❚♦→♥ ❤å❝ ✤â ❧➔ ❍➻♥❤ ❤å❝ ✈✐ ♣❤➙♥✳ ❙❛✉ ❦❤✐ ❤å❝ ①♦♥❣ ♠ỉ♥ ❍➻♥❤ ❤å❝ ✈✐ ♣❤➙♥✱ ❡♠ ✤➣ ✤÷đ❝ tr❛♥❣ ❜à ỳ tự ỡ ỵ tt ữớ ỵ tt t tr En (n = 2, 3) tr E3 ✱ ❊♠ ♠♦♥❣ ♠✉è♥ ✤÷đ❝ t➻♠ ❤✐➸✉ s➙✉ t❤➯♠ ✈➲ ❝→❝ ♠➦t ✈➻ ✈➟② ❡♠ ✤➣ ❝❤å♥ ✤➲ t➔✐✿ t ổ ữợ ữủ õ tốt ự ữợ q ✈ỵ✐ ✈✐➺❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❦❤♦❛ ❤å❝ ✈➔ t➻♠ ❤✐➸✉ s➙✉ ❤ì♥ ✈➲ ❍➻♥❤ ❤å❝ ✈✐ ♣❤➙♥✱ ✤➦❝ ❜✐➺t ❧➔ ❝→❝ t ổ ữợ ữủ ự ự t ữợ t t ổ ữợ ữủ Pữỡ ự ✣å❝ t➔✐ ❧✐➺✉✱ ♣❤➙♥ t➼❝❤✱ tê♥❣ ❤ñ♣ ✈➔ ✤→♥❤ ❣✐→✳ trú õ õ ỗ ❜❛ ❝❤÷ì♥❣✿ ❈❤÷ì♥❣ ✶ ✧❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à✧ ✶ ◆❣✉②➵♥ ❚❤à ⑩♥❤ ❈❤✐♥❤ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ✧❚➼♥❤ ữợ t ữỡ t ổ ữợ ữủ ữỡ ữỡ tự ❜à ❳✉②➯♥ s✉èt tr♦♥❣ t♦➔♥ ❜ë ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ♥➔②✱ ❝❤ó♥❣ t sỷ ỵ ổ ❜❛ ❝❤✐➲✉✱ tù❝ ❧➔ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ✈❡❝tì R3 E3 ✈ỵ✐ t ổ ữợ t r ữỡ t s ❤➺ t❤è♥❣ ❧↕✐ ♠ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❝ì ❜↔♥ ✈➲ ỵ tt t tr ổ E3 t ❝❤ó♥❣ t❛ ❣✐ỵ✐ t❤✐➺✉ ✈➲ ♠↔♥❤ t❤❛♠ sè✱ s❛✉ ✤â tr➻♥❤ ❜➔② ✈➲ ♠↔♥❤ ❤➻♥❤ ❤å❝✱ ❝→❝ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✤❛ t↕♣ ❤❛✐ ❝❤✐➲✉ tr♦♥❣ E3 ✱ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ →♥❤ ①↕ t✐➳♣ ①ó❝ ✈➔ ✤➦❝ ❜✐➺t ❧➔ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ♠➦t ❝❤➼♥❤ q✉②✳ ✶✳✶ ▼↔♥❤ t❤❛♠ sè ❚r♦♥❣ ♠ư❝ ♥➔② ❝❤ó♥❣ t❛ s➩ ♥❤➢❝ ❧↕✐ ❝→❝ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❝ì ❜↔♥ ❧✐➯♥ q✉❛♥ t số ỗ t❤❛♠ sè✱ ✤÷í♥❣ tå❛ ✤ë✱ ✤✐➸♠ ❝❤➼♥❤ q✉②✱ ✤✐➸♠ ❦➻ ❞à✱ ♠↔♥❤ ❝❤➼♥❤ q✉②✱ ♣❤→♣ t✉②➳♥ ✈➔ t✐➳♣ ❞✐➺♥ tr♦♥❣ E3 rữợ t t õ t sè✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳ ⑩♥❤ ①↕ ❧✐➯♥ tö❝ r tø ♠ët t➟♣ ♠ð ❯ tr♦♥❣ R2 ✈➔♦ ✸ ◆❣✉②➵♥ ❚❤à ⑩♥❤ ❈❤✐♥❤ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ E3 r : U −→ E3 (u, v) → r(u, v) ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ♠ët ♠↔♥❤ t❤❛♠ sè tr♦♥❣ E3✳ ❚ò② t❤❡♦ ✤è✐ t÷đ♥❣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✱ ♠➔ s❛✉ ♥➔② t❛ ❝â t❤➸ ❣✐↔ t❤✐➳t ✈➲ ❝➜♣ ❦❤↔ ✈✐ ❝õ❛ r✳ ❈❤♦ ♠ët ♠↔♥❤ t❤❛♠ sè r : U → E3 ✱ t❛ ❝â ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✤÷í♥❣ tå❛ ✤ë ♥❤÷ s❛✉✳ ❱ỵ✐ ✤✐➸♠ (u0 , v0 ) ∈ U ✿ ❈✉♥❣ t❤❛♠ sè ð ✤➙② u v tr♦♥❣ t❤❛② ✤ê✐ tr♦♥❣ ♠ët ❦❤♦↔♥❣ ❈✉♥❣ t❤❛♠ sè ð ✤➙② u → r(u, v0 ) u → r(u0 , v) ❣å✐ ❧➔ ✤÷í♥❣ tå❛ ✤ë I⊂R tr♦♥❣ t❤❛② ✤ê✐ tr♦♥❣ ♠ët ❦❤♦↔♥❣ E3 E3 ♥➔♦ ✤â✱ u0 ∈ I ✳ ❣å✐ ❧➔ ✤÷í♥❣ tå❛ ✤ë J ⊂R ♥➔♦ ✤â✱ v = v0 ✱ u = u0 ✱ u0 ∈ J ✳ ❚✐➳♣ t❤❡♦✱ t❛ ♥❤➢❝ ❧↕✐ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✤✐➸♠ ❝❤➼♥❤ q✉② ✈➔ ✤✐➸♠ ❦➻ ❞à✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳ ✣✐➸♠ (u0 , v0 ) ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ✤✐➸♠ ❝❤➼♥❤ q✉② ❝õ❛ ♠↔♥❤ t❤❛♠ sè r ♥➳✉ ❤➺ ❤❛✐ ✈❡❝tì {ru(u0, v0), rv (u0, v0)} ❧➔ ✤ë❝ ❧➟♣ t✉②➳♥ t➼♥❤✳ ◆❤ú♥❣ ✤✐➸♠ ❦❤æ♥❣ ❝❤➼♥❤ q✉② t❤➻ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❦➻ ❞à✳ ▼↔♥❤ t❤❛♠ sè r ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❝❤➼♥❤ q✉② ♥➳✉ →♥❤ ①↕ r ❧➔ →♥❤ ①↕ ❦❤↔ ✈✐ ❧✐➯♥ tö❝ ✈➔ ♠å✐ ✤✐➸♠ ❝õ❛ ♥â ❧➔ ✤✐➸♠ ❝❤➼♥❤ q✉②✳ − − → − → ❈❤♦ ❝ì sð trü❝ ❝❤✉➞♥ {→ i ; j ; k } ❝õ❛ E3 ✈➔ ✤✐➸♠ O ∈ E3 ✳ ❈❤♦ ♠↔♥❤ t❤❛♠ sè r : R2 −→ E3 ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ ❱➼ ❞ö ✶✳✶✳✶✳ −−→ → − r(u, v) = O + R cos v e(u) + R sin v k −−→ − → − tr♦♥❣ ✤â R ❧➔ ♠ët ❤➡♥❣ sè ❞÷ì♥❣✱ e(u) = cos u→ i + sin u j ✱ ❝â ↔♥❤ ❧➔ ✹ ◆❣✉②➵♥ ❚❤à ⑩♥❤ ❈❤✐♥❤ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ♠➦t ❝➛✉ t➙♠ O✱ ❜→♥ ❦➼♥❤ R✱ ♠↔♥❤ t❤❛♠ sè r ❝â ❝→❝ ✤✐➸♠ u, π + lπ ; l ∈ Z ❧➔ ✤✐➸♠ ❦➻ ❞à ❜ð✐ ✈➻ t↕✐ ❝→❝ ✤✐➸♠ ♥➔② t❛ ❝â ru = 0✳ ❱ỵ✐ u0 ∈ R ❝è ✤à♥❤✱ ✤÷í♥❣ tå❛ ✤ë u = u0 ❧➔ ✤÷í♥❣ t ợ v0 R ố ữớ tồ ✤ë v = v0 ❧➔ ✤÷í♥❣ ✈➽ t✉②➳♥ ❝õ❛ ♠➦t ởt tr ỳ tr t ỵ t❤✉②➳t ♠➦t t❤❛♠ sè ❧➔ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ t✐➳♣ ❞✐➺♥ ✈➔ ♣❤→♣ t✉②➳♥✳ ❚❛ ❝â ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ t✐➳♣ ❞✐➺♥ ✈➔ ♣❤→♣ t✉②➳♥ ♥❤÷ s❛✉✳ ❈❤♦ r ❧➔ ♠ët ♠↔♥❤ t❤❛♠ sè ❦❤↔ ✈✐ ❧✐➯♥ tö❝✳ ●✐↔ sû (u0, v0) ❧➔ ✤✐➸♠ ❝❤➼♥❤ q✉② ❝õ❛ ♠↔♥❤ t❤❛♠ sè r✳ ❑❤✐ ✤â ♠➦t ♣❤➥♥❣ tr♦♥❣ E3 ✤✐ q✉❛ r(u0, v0) ✈ỵ✐ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ✈❡❝tì ❝❤➾ ♣❤÷ì♥❣ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✸✳ → − − ru (u0 , v0 ), → rv (u0 , v0 ) ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ♠➦t ♣❤➥♥❣ t✐➳♣ ①ó❝ ❤❛② t✐➳♣ ❞✐➺♥ ❝õ❛ r t↕✐ r(u0, v0)✳ ✣÷í♥❣ t❤➥♥❣ ✤✐ q✉❛ ✤✐➸♠ r(u0, v0) ✈✉ỉ♥❣ ❣â❝ ✈ỵ✐ t✐➳♣ ❞✐➺♥ t↕✐ r(u0, v0) ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ♣❤→♣ t✉②➳♥ ❝õ❛ r t↕✐ r(u0, v0)✳ ❈✉è✐ ❝ò♥❣✱ t❛ ♥❤➢❝ ❧↕✐ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✷ ♠↔♥❤ t❤❛♠ sè t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣✿ ❚r♦♥❣ E3 ❝❤♦ ❤❛✐ ♠↔♥❤ t❤❛♠ sè ❦❤↔ ✈✐ ❧✐➯♥ tö❝ r1 : U1 −→ E3 ❚❛ ♥â✐ ❤❛✐ ♠↔♥❤ r1 ✈➔ r2 ✈➔ r2 : U2 −→ E3 ❧➔ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ ♥➳✉ ❝â ♠ët ✈✐ ♣❤ỉ✐ λ : U1 −→ U2 ✺ ◆❣✉②➵♥ ❚❤à ⑩♥❤ ❈❤✐♥❤ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ♠é✐ ✤✐➸♠ ❝õ❛ ❞↔✐ ✭❍➻♥❤ ✸✳✼✮✳ ❍➻♥❤ ✸✳✽✿ ▼➦t s♦♥❣ s♦♥❣ ✈ỵ✐ ❞↔✐ ▼♦❜✐✉s ❍➻♥❤ ✸✳✽ ❜✐➸✉ t❤à ♠ët ❞↔✐ ▼♦❜✐✉s ❝ò♥❣ ✈ỵ✐ ♠➦t ✤÷đ❝ ❤➻♥❤ t❤➔♥❤ ❜ð✐ sü ❞à❝❤ ❝❤✉②➸♥ ♠ët ❦❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ ❝è ✤à♥❤ ❞å❝ t❤❡♦ ❝↔ ❤❛✐ ♣❤→♣ t✉②➳♥ ✤ì♥ ✈à t ỗ tứ ộ t s s ợ s ữợ ữủ ụ ởt t ổ ữợ ữ tr ữủ ợ s õ t õ ♥❣❤➽❛ ❧➔ ❝❤❛✐ ❑❧❡✐♥ ❧➔ t➟♣ ✤â♥❣ ♠➔ ❦❤æ♥❣ ❝â ❜✐➯♥ ❣✐è♥❣ ♥❤÷ ♠➦t ①✉②➳♥✳ ▼ët ❝→❝❤ ✤➸ ①➙② ❞ü♥❣ ❝❤❛✐ ❑❧❡✐♥ ♥❤÷ s❛✉✿ ◆â ❧➔ ♠➦t t❤✉ ✤÷đ❝ tø ✈✐➺❝ q✉❛② ♠ët ❤➻♥❤ sè ✽ tr➯♥ ♠ët trö❝ ✈➔ õ P q ố ữ ợ ❞↔✐ ▼♦❜✐✉s ♥❤÷♥❣ t❤❛② ✈➻ ♠ët ✤♦↕♥ t❤➥♥❣✱ t❛ sû ởt số ữợ t số ❤â❛ ❝õ❛ ❝❤❛✐ ❑❧❡✐♥ ❦❤✐ sû ❞ö♥❣ ①➙② ❞ü♥❣ ♥➔②✿ ✷✼ ◆❣✉②➵♥ ❚❤à ⑩♥❤ ❈❤✐♥❤ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ kleinbottle[a](u, v) = (a + cos (a + cos u u sin v − sin sin 2v) cos u, 2 u u u u sin v − sin sin 2v) sin u, sin sin v + cos sin 2v 2 2 ✭✸✳✸✮ ✣÷í♥❣ trá♥ tr✉♥❣ t➙♠ ❝õ❛ ❝❤❛✐ ❑❧❡✐♥ ✤÷đ❝ ✈➢t q✉❛ ❤❛✐ ❧➛♥ ❜ð✐ ✤÷í♥❣ ❝♦♥❣ u → kleinbottle[a](u, 0), ▼é✐ ✤÷í♥❣ ❝♦♥❣ t❤❛② ✤ê✐ tø 0 ≤ u ≤ 4π v → kleinbottle[a](u0 , v) ✤➳♥ 2π ❧➔ ♠ët ❤➻♥❤ sè t→♠✳ ❱➻ ♥➯♥ ❤➻♥❤ sè t→♠ ①♦➢♥ tø ✤➳♥ u π✳ ❍➻♥❤ ✸✳✾✿ ❈→❝ ❤➻♥❤ sè ✽ ①♦➢♥ ✤➸ t↕♦ t❤➔♥❤ ♠ët ❝❤❛✐ ❑❧❡✐♥ ❈❤❛✐ ❑❧❡✐♥ ❦❤æ♥❣ ❧➔ ♠➦t ❝❤➼♥❤ q✉② tr♦♥❣ ❝➢t✳ ❈â ❤❛✐ ❧♦↕✐ ❝❤❛✐ ❑❧❡✐♥ tr♦♥❣ V1 ✈➻ ♥â ❝â ❝→❝ ✤÷í♥❣ tü R3 ✳ ▲♦↕✐ t❤ù ♥❤➜t✱ K1 ð ❍➻♥❤ ✸✳✾✱ ❝â ✤➦❝ ✤✐➸♠ ❧➔ ❧➙♥ ữợ ỹ t R3 V1 ữủ ❝õ❛ ✤÷í♥❣ ❝♦♥❣ tü ❝➢t ❧➔ ❦❤ỉ♥❣ ✤÷đ❝ ❤➻♥❤ t❤➔♥❤ tø ❝❤ú ✏❳✑ ❦❤✐ ♥â q✉❛② ✈➔ ①♦➢♥ tr➯♥ ♠ët trư❝ t❤❡♦ ❝→❝❤ ❣✐è♥❣ ♥❤÷ ❝→❝ ❤➻♥❤ sè ✽ ❝❤✉②➸♥ ✤ë♥❣ ❦❤✐ ❤➻♥❤ t❤➔♥❤ ♠➦t tr➯♥✳ ✷✽ ◆❣✉②➵♥ ❚❤à ⑩♥❤ ❈❤✐♥❤ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ❍➻♥❤ ✸✳✶✵✿ ❈❤❛✐ ợ ởt ữợ ữủ ữớ ❝♦♥❣ tü ❝➢t ❇❛♥ ✤➛✉✱ ❝❤❛✐ ❑❧❡✐♥ ✤÷đ❝ ❝❤➼♥❤ ❑❧❡✐♥ ♠ỉ t↔ ♥❤÷ s❛✉✿ ❳➨t ♠ët è♥❣ T ❝â ❜→♥ ❦➼♥❤ t❤❛② ✤ê✐ tr➯♥ ♠ët ✤÷í♥❣✳ ▼ët ❤➻♥❤ ①✉②➳♥ ✤÷đ❝ ❤➻♥❤ t❤➔♥❤ tø è♥❣ T ❜➡♥❣ ❝→❝❤ ✉è♥ ❝♦♥❣ è♥❣ ✤â ❝❤♦ ✤➳♥ ❦❤✐ ❤❛✐ ✤➛✉ è♥❣ ❣➦♣ ♥❤❛✉ t❤➻ ữớ trỏ ợ ởt ❦❤→❝ ✤➸ ❞→♥ ❤❛✐ ✤➛✉ è♥❣ ♥❤÷ s❛✉✿ ✣➸ ❝❤♦ ♠ët ✤➛✉ è♥❣ ❝õ❛ T ♥❤ä ❤ì♥ ✤➛✉ ❦✐❛ ♠ët ❝❤ót✳ ❈❤ó♥❣ t❛ ✉è♥ ❝♦♥❣ ✤➛✉ è♥❣ ♥❤ä ❤ì♥ ✤â✱ s❛✉ ✤â ✤➞② ♥â q✉❛ ❜➲ ♠➦t ❝õ❛ è♥❣ ✈➔ õ õ ởt ữớ trỏ ỗ t➙♠ ✈ỵ✐ ✤➛✉ è♥❣ ❧ỵ♥ ❤ì♥ ❦✐❛✱ ❝ò♥❣ ♥➡♠ tr♦♥❣ ♠ët ♠➦t ♣❤➥♥❣✳ ❈❤ó♥❣ t❛ ❤♦➔♥ t❤✐➺♥ ❜➲ ♠➦t ❜➡♥❣ ❝→❝❤ ♥è✐ ❧✐➲♥ ❤➻♥❤ ①✉②➳♥ ð ♣❤➼❛ ❜➯♥ ❦✐❛ ❝õ❛ ♠➦t ♣❤➥♥❣✳ ❑➳t q✉↔ t❤✉ ✤÷đ❝ ♥❤÷ ð ❍➻♥❤ ✸✳✶✵ ✈➔ ✸✳✶✶✳ ✷✾ ◆❣✉②➵♥ ❚❤à ⑩♥❤ ❈❤✐♥❤ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ❍➻♥❤ ✸✳✶✶✿ ❈→❝ ❣â❝ ♥❤➻♥ ♠ð ❤✐➸♥ t❤à ✤÷í♥❣ tü ❝➢t ✣➸ t❤➜② r➠♥❣ ❝❤❛✐ ❑❧❡✐♥ ❜✐➺t s♦ ✈ỵ✐ ❝❤❛✐ ❑❧❡✐♥ K1 K2 ♠ỵ✐ ♥➔② ✭♠ët ♠➦t tr♦♥❣ R3 ✮ ❧➔ ❦❤→❝ ✤÷đ❝ ❤➻♥❤ t❤➔♥❤ ❜➡♥❣ ❝→❝❤ ①♦➢♥ ❝→❝ ✤÷í♥❣ ❤➻♥❤ sè ✽✱ t❛ ①➨t ❧➙♥ ❝➟♥ V2 ❝õ❛ ✤÷í♥❣ ❝♦♥❣ tü ❝➢t ❝õ❛ K2 ✳ ▲➙♥ ❝➟♥ ♥➔② ❧↕✐ ✤÷đ❝ ❤➻♥❤ t❤➔♥❤ ❜➡♥❣ ❝→❝❤ q✉❛② ❝❤ú ữ õ ữợ sỹ ỳ V2 K1 õ ữợ K2 K1 V1 ổ ữợ tr K2 ❧➔ ❝→❝ ♠➦t t♦♣♦ ♥❤÷ ♥❤❛✉✱ ✈➻ ❝❤ó♥❣ ✤➲✉ ❝â t❤➸ ❤➻♥❤ t❤➔♥❤ ❜➡♥❣ ❝→❝❤ ①→❝ ✤à♥❤ ❝→❝ ❝↕♥❤ ❜➯♥ ❝õ❛ ❤➻♥❤ ✈✉ỉ♥❣ ♥❤÷ ✤➣ ♠ỉ t↔ tr♦♥❣ ✸✳✶✳ ✸✳✹ ❙ü ❤✐➺♥ t❤ü❝ ❤â❛ ❝õ❛ ♠➦t ♣❤➥♥❣ ①↕ ↔♥❤ t❤ü❝ ❈❤♦ S = S (1) = {p | p = 1} ❧➔ ♠ët ♠➦t ❝➛✉ ✤ì♥ ✈à tr♦♥❣ R3 ✳ ⑩♥❤ ①↕ ✤è✐ ❝ü❝ ❝õ❛ ♠➦t ❝➛✉ ❧➔ ✈✐ ♣❤æ✐ S2 → S2 ✸✵ ◆❣✉②➵♥ ❚❤à ⑩♥❤ ❈❤✐♥❤ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ p → −p ▼➦t ♣❤➥♥❣ ①↕ ↔♥❤ t❤ü❝ S2 RP2 ✤÷đ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ố ỹ ữủ ỗ t ✈➟② RP2 = {{p, −p} | p = 1} ✣➸ t❤➸ ❤✐➺♥ ♠➦t ♣❤➥♥❣ ①↕ ↔♥❤ t❤ü❝ ♥❤÷ ♠ët ♠➦t ♣❤➥♥❣ tr♦♥❣ R3 ❝❤ó♥❣ t❛ ♣❤↔✐ t➻♠ ♠ët →♥❤ ①↕ tø R3 ✱ ✈➔♦ ❝❤➼♥❤ ♥â ✈ỵ✐ ♠ët t➼♥❤ ❝❤➜t ✤➦❝ ❜✐➺t✱ ✤÷đ❝ ❝❤➾ r❛ ð ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ s❛✉✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✸✳✶✳ ▼ët →♥❤ ①↕ F : R3 → R3 s❛♦ ❝❤♦ F (−p) = F (p) ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❝â t➼♥❤ ❝❤➜t ✤è✐ ❝ü❝✳ ❈❤ó♥❣ t❛ ❝â t❤➸ sû ❞ư♥❣ ♠ët →♥❤ ①↕ ✈ỵ✐ t➼♥❤ ❝❤➜t ✤è✐ ❝ü❝ ✤➸ t❤➸ ❤✐➺♥ ♠➦t ♣❤➥♥❣ ①↕ ↔♥❤ t❤ü❝✱ ✤â ❧➔ ♠ët ❤➺ q✉↔ ❝õ❛ ❜ê ✤➲ s❛✉✳ ▼ët →♥❤ ①↕ F : R3 → R3 ✈ỵ✐ t➼♥❤ ❝❤➜t ✤è✐ ❝ü❝ ♣❤→t s✐♥❤ r❛ ♠ët →♥❤ ①↕ F : RP2 → F (S 2) ⊂ R3✱ ✤÷đ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ ❇ê ✤➲ ✸✳✶✳ F ({p, −p}) = F (p) ❉♦ ✤â ❝❤ó♥❣ t❛ ❝â t❤➸ t❤➸ ❤✐➺♥ →♥❤ ①↕ F RP2 ♥❤÷ ❤➻♥❤ ↔♥❤ ❝õ❛ S2 ♠➔ ❝â t➼♥❤ ❝❤➜t ✤è✐ ❝ü❝✳ ❍ì♥ ♥ú❛✱ ❜➜t ❦➻ ♠↔♥❤ s➩ ♣❤→t s✐♥❤ r❛ ♠ët ♠↔♥❤ x : U → F (S ) ✸✶ x : U → S2 ✤÷đ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ x(u, v) = F (x(u, v)) tr➯♥ ♠ët ◆❣✉②➵♥ ❚❤à ⑩♥❤ ❈❤✐♥❤ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ❚❛ ♥➯♥ ❝❤å♥ F s❛♦ ❝❤♦ ♠❛ tr➟♥ ❏❛❝♦❜✐❛♥ ❝õ❛ ♥â ❦❤→❝ ✵✳ ❚❛ ①➨t ❜❛ ✈➼ ❞ư ❝õ❛ →♥❤ ①↕ ✈ỵ✐ t➼♥❤ ❝❤➜t ✤è✐ ❝ü❝ ✈➔ ❧✐➯♥ ❤➺ t❤➸ ❤✐➺♥ RP2 ✳ ✣➛✉ t✐➯♥ ❧➔ ♠➦t ❙t❡✐♥❡r✬s ❘♦♠❛♥ ✤÷đ❝ ♠✐♥❤ ❤å❛ ð ❤➻♥❤ ✸✳✶✷✳ ❍➻♥❤ ✸✳✶✷✿ ▼➦t ❙t❡✐♥❡r✬s ❘♦♠❛♥ ▼➦t ❙t❡✐♥❡r✬s ❘♦♠❛♥ ✣➙② ❧➔ ♠ët ♠➦t ❤✐➺♥ t❤ü❝ ❤â❛ ♠➦t ♣❤➥♥❣ ①↕ ↔♥❤ t❤ü❝✳ ✣➸ ♠ỉ t↔ ♥â✱ ✤➛✉ t✐➯♥ ❝❤ó♥❣ t❛ ①➨t →♥❤ ①↕ romanmap(x, y, z) = (yz, zx, xy) tø R3 ✭✸✳✹✮ ✈➔♦ ❝❤➼♥❤ ♥â✳ ❘ã r➔♥❣ →♥❤ ①↕ r❛ →♥❤ ①↕ romanmap ❝â t➼♥❤ ❝❤➜t ✤è✐ ❝ü❝✳ ❱➻ t❤➳ ♥â ❝↔♠ s✐♥❤ RP2 → romanmap(S )✳ ❚❛ ❣å✐ ✤➙② ❧➔ ♠➦t ❙t❡✐♥❡r✬s ❘♦♠❛♥ ✸✷ ◆❣✉②➵♥ ❚❤à ⑩♥❤ ❈❤✐♥❤ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ✈ỵ✐ ❜→♥ ❦➼♥❤ ✶✳ ❍ì♥ ♥ú❛✱ t❛ ❝â t❤➸ ✈➩ ♠ët ♣❤➛♥ ❝õ❛ ❜➡♥❣ ❝→❝❤ ❤đ♣ romanmap ✈ỵ✐ ♠↔♥❤ ❜➜t ❦➻ tr➯♥ romanmap(S ) S 2✱ ✈➼ ❞ö ♠↔♥❤ ❝â t❤❛♠ sè ❤â❛ sphere[1] : (u, v) → (cos v cos u, cos v sin u, sin v) ❑❤✐ ✤â ♣❤➨♣ ❤ñ♣ romanmap ◦ sphere[1] t❤❛♠ sè ❤â❛ t♦➔♥ ❜ë ♠➦t ❙t❡✐♥❡r✬s ❘♦♠❛♥✳ ❍➻♥❤ ✸✳✶✸✿ ❍❛✐ ♠➦t ❝➢t ❝õ❛ ♠➦t ❘♦♠❛♥ ❑❤✐ ✤â✱ t❛ ①→❝ ✤à♥❤ ✤÷đ❝ t❤❛♠ sè ❤â❛ ❝õ❛ ♠➦t ❘♦♠❛♥ roman(u, v) = (sin u sin 2v, cos u sin 2v, sin 2u cos2 v) ❍➻♥❤ ↔♥❤ ✸✳✶✸ ❤✐➸♥ t❤à ♠➦t tr♦♥❣ ✈➔ ♠➦t ♥❣♦➔✐ ✈ỵ✐ ❝→❝ ♠➔✉ s➢❝ ❦❤→❝ ♥❤❛✉ ❣✐ó♣ ❝❤ó♥❣ t❛ ❤➻♥❤ ❞ò♥❣ ✤÷đ❝ t ú ỵ r ố tồ (0, 0, 0) ❝õ❛ R3 ❝â t❤➸ ✤÷đ❝ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ❜ð✐ ♠ët tr♦♥❣ ❝→❝ ❝→❝❤ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ s❛✉ romanmap(±1, 0, 0) = romanmap(0, ±1, 0) = romanmap(0, 0, ±1) ✸✸ ◆❣✉②➵♥ ❚❤à ⑩♥❤ ❈❤✐♥❤ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ❱➟② ❣è❝ tå❛ ✤ë ❧➔ ♠ët ✤✐➸♠ ♥❣➣ ❜❛ ❝õ❛ ♠➦t ❙t❡✐♥❡r✬s ❘♦♠❛♥✱ ♥❣❤➽❛ ❧➔ ❜❛ ♥❤→♥❤ r✐➯♥❣ ❜✐➺t ❣✐❛♦ ♥❤❛✉ t↕✐ ✤â✳ ❈r♦ss ❝❛♣ ▼ët →♥❤ ①↕ ✈ỵ✐ t➼♥❤ ❝❤➜t ✤è✐ ❝ü❝ ✤÷đ❝ ❤➻♥❤ t❤➔♥❤ tø ✤❛ t❤ù❝ ❜➟❝ ❤❛✐ t❤✉➛♥ ♥❤➜t ✈➔ t÷ì♥❣ tü ❝ỉ♥❣ t❤ù❝ ✭✸✳✹✮ t❛ ❝â crosscapmap(x, y, z) = (yz, 2xy, x2 − y ) ữỡ tỹ ữ ợ t trs ❘♦♠❛♥✱ t❛ ❝â t❤➸ t❤❛♠ sè ❤â❛ ❝r♦ss ❝❛♣ ♥❤÷ s❛✉ crosscap(u, v) = sin u cos 2v, sin 2u cos2 v, cos 2u cos2 v ✭✸✳✺✮ ❈r♦ss ❝❛♣ ❝â t❤➸ ❧➔ sü t❤➸ ❤✐➺♥ ✤ì♥ ❣✐↔♥ t t ợ ố ỹ ữủ ①→❝ ✤à♥❤✳ ❈❤♦ ♠ët ❝➦♣ ✤✐➸♠ ❤❛✐ ✤✐➸♠ ❝ò♥❣ t❤✉ë❝ ①➼❝❤ ✤↕♦ ✭♥❣❤➽❛ ❧➔ z = 0✮ ±p z > 0✮✳ RP2 tø S 2✱ S 2✱ ❤♦➦❝ ❝↔ ❤♦➦❝ ú tữỡ ự ợ ởt t tr ợ t ữủ tr z < trữợ t t t ọ ợ õ t ữợ ❧➯♥ ♥ì✐ ❝ü❝ ❜➢❝ ✈➔ t❤➢t ❝❤➦t ♣❤➛♥ ①➼❝❤ ✤↕♦ ❜➯♥ ♥➔② ✈ỵ✐ ♣❤➛♥ ①➼❝❤ ✤↕♦ ❜➯♥ ❦✐❛ s❛♦ ❝❤♦ ❝→❝ ✤✐➸♠ ✤è✐ ❝ü❝ tr➯♥ ①➼❝❤ ✤↕♦ ❣➦♣ ♥❤❛✉✳ ✸✹ ◆❣✉②➵♥ ❚❤à ⑩♥❤ ❈❤✐♥❤ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ❍➻♥❤ ✸✳✶✹✿ ❈r♦ss ❝❛♣ ✈➔ ♠➦t ❝➢t ❝õ❛ ♥â ▼➦t ❇♦② ▼ët →♥❤ ①↕ ♣❤ù❝ t↕♣ ❤ì♥ F = (F1 (x, y, z), F2 (x, y, z), F3 (x, y, z)), ợ t t ố ỹ ữủ t tứ ✤❛ t❤ù❝ ❜➟❝ ❜è♥ t❤✉➛♥ ♥❤➜t✳ ◆â ①→❝ ✤à♥❤ ♠ët ♠➦t ✤➦❝ ❜✐➺t✲♠➦t ❇♦②✳ ❈→❝ ❜✐➸✉ t❤ù❝ F1 , F2 , F3 ✤÷đ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ♥❤÷ s❛✉✿ 4F1 (x, y, z) = (x + y + z)((x + y + z)3 + 4(y − x)(z − y)(x − z)); F2 (x, y, z) = (2x2 − y − z )(x2 + y + z ) + 2yz(y − z ) + zx(x2 − z ) + xy(y − x2 ), √ F3 (x, y, z) = (y − z )(x2 + y + z ) + zx(z − x2 ) + xy(y − x2 ) ✸✺ ◆❣✉②➵♥ ❚❤à ⑩♥❤ ❈❤✐♥❤ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ❍➻♥❤ ✸✳✶✺✿ ❍➻♥❤ ↔♥❤ ♠➦t ❇♦② ❍➻♥❤ ↔♥❤ ✸✳✶✺ ❤✐➸♥ t❤à ♠ët ♠➦t ❤✐➺♥ t❤ü❝ ❤â❛ ❦❤→❝ ❝õ❛ ♠➦t ♣❤➥♥❣ ①↕ ↔♥❤ t❤ü❝✳ ▼➦t ❇♦② ❝â t❤➸ ✤÷đ❝ ❜❛♦ ♣❤õ ❜ð✐ ❝→❝ ♠↔♥❤ ❦❤æ♥❣ ❝â ✤✐➸♠ ❦➻ ❞à✱ tr ữủ ợ trữợ ữợ ✤➙② ❣✐ó♣ t❛ t❤➜② ✤÷đ❝ ❝→❝ ✤÷í♥❣ ❝♦♥❣ tü ❝➢t ❣➦♣ ♥❤❛✉ ð ✤✐➸♠ ♥❣➣ ❜❛✱ ð ✤â ❝→❝ ♠➦t ❝â ♠ët sü ✤è✐ ①ù♥❣ ✸✲♠↔♥❤ ♥❤÷♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❝â ✤✐➸♠ t❤➢t✳ ❍➻♥❤ ✸✳✶✻✿ ▲→t ❝➢t ❝õ❛ ♠➦t ❇♦② ✸✻ ◆❣✉②➵♥ ❚❤à ⑩♥❤ ❈❤✐♥❤ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ✸✳✺ ▼➦t ①♦➢♥ ❚r♦♥❣ ♣❤➛♥ ♥➔②✱ t❛ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ♠ët ❧ỵ♣ ❝→❝ ♠➦t ①♦➢♥ ♠➔ ❦❤→✐ q✉→t ❤â❛ ❝❤❛✐ ❑❧❡✐♥ ✈➔ ❝↔ ❞↔✐ ▼♦❜✐✉s✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✸✳✷✳ ❈❤♦ α ❧➔ ♠ët ữớ ợ t t (t) = (t) t (t) = ((t), (t)) t ợ ữớ ❝♦♥❣ ❝ì sð α ✈➔ ❝→❝ ❤➺ sè a✱ b ✤÷đ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ♥❤÷ s❛✉ twist[α, a, b](u, v) =(a + cos(bu)ϕ(v) − sin(bu)ψ(v))(cos u, sin u, 0) + (sin(bu)ϕ(v) + cos(bu)(v))(0, 0, 1) ỵ ♥❣❤➽❛ ♥➔②✱ t❛ ✤➦t a=0 ✈➔ ❝♦♥❣ tå❛ ✤ë ❝õ❛ ♠➦t ①→❝ ✤à♥❤ ✈ỵ✐ ♠é✐ ❣✐→ trà ❦❤ỉ♥❣ ✤ê✐ ❜↔♥ s❛♦ ❝õ❛ α →♥❤ ①↕ tỵ✐ ♠➦t ♣❤➥♥❣ (cos u, sin u, 0) ✈➔ ♣❤➨♣ q✉❛② ❣â❝ u u✳ (0, 0, 1)✳ ✤÷đ❝ s✐♥❤ r❛ ❜ð✐ ❝→❝ ✈❡❝tì ✣➙② ❧➔ ữớ ú ỵ r ữớ Πu α α tr♦♥❣ ❜➢t ✤➛✉ tø ✳ ✣÷í♥❣ u ỗ õ b= u xz q✉❛ ♠ët ✤÷đ❝ q✉❛② ❜ð✐ ❝ò♥❣ ❣â❝ xz− ♣❤➥♥❣ ✭t÷ì♥❣ ù♥❣ ✈ỵ✐ u = 0✮ ✈➔ ✈➔♦ ❧ó❝ ♥â q✉❛② trð ❧↕✐ ❝ò♥❣ ♠ët ♠➦t ♣❤➥♥❣ (u = 2π) ♥â ✤➣ q✉❛② ✤÷đ❝ ♠ët ❣â❝ ❜➡♥❣ 180◦ ♠➦❝ ❞ò ❤❛✐ ✈➳t trò♥❣ ♥❤❛✉ ✭✸✳✻✮✳ ❑➳t ❧✉➟♥ ♠➦t ❝â t❤➸ ✤à♥❤ ữợ ổ t ữợ tở ❝❤å♥ α✳ ❚✐➳♣ t❤❡♦✱ ❝❤ó♥❣ t❛ s➩ ❝❤➾ r❛ r➡♥❣ ❤❛✐ ❞↔✐ ▼♦❜✐✉s ✈➔ ❝❤❛✐ ❑❧❡✐♥ ❝â t❤➸ ✤÷đ❝ ①➙② ❞ü♥❣ t❤❡♦ ❝→❝❤ ♥➔②✳ ✸✼ ◆❣✉②➵♥ ❚❤à ⑩♥❤ ❈❤✐♥❤ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ❉↔✐ ▼♦❜✐✉s ❳→❝ ✤à♥❤ α twist α, a, ❜ð✐ α(t) = (at, 0)✳ ❑❤✐ ✤â u u u (u, v) =a cos u + v cos cos u, sin u + v cos sin u, v sin 2 2 =mobiusstrip[a](u, v) ❈❤❛✐ ❑❧❡✐♥ ❳→❝ ✤à♥❤ γ ❜ð✐ γ(t) = (sin t, sin 2t)✳ ❑❤✐ ✤â u u twist[γ, a, ](u, v) = (a + cos sin v − sin sin 2v) cos u, 2 u u u u (a + cos sin v − sin sin 2v) sin u, sin sin v + cos sin 2v 2 2 = kleinbottle[a](u, v) ▼➦t ①♦➢♥ ❝õ❛ ✤÷í♥❣ ❝♦♥❣ ▲✐ss❛❥♦✉s ❚❤❛② ✈➻ ①♦➢♥ ♠ët ❤➻♥❤ sè t→♠ q✉❛♥❤ ♠ët ✤÷í♥❣ trá♥✱ t❛ ❝â t❤➸ ①♦➢♥ ♠ët ✤÷í♥❣ ▲✐ss❛❥♦✉s✳ ✣÷í♥❣ ❝♦♥❣ ▲✐ss❛❥♦✉s ❝â t❤❛♠ sè ❤â❛ ♥❤÷ s❛✉ lissajous[n, d, a, b](t) = (a sin(nt + d), b sin t) ❱➼ ❞ư✱ lissajous[2, 0, 1, 1] t÷ì♥❣ tü ♥❤÷ ♠ët ❤➻♥❤ số t ữủ t ợ t ❝❤❛✐ ❑❧❡✐♥✳ ❍➻♥❤ ✸✳✶✼ ✭tr→✐✮ ❤✐➸♥ t❤à ✈➳t ❝õ❛ ✤÷í♥❣ ❝♦♥❣ β = lissajous[4, 0, 1, 1] tr♦♥❣ ❦❤✐ ❤➻♥❤ ỗ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ✤✐➸♠ twist[β, 2, ](u, v), ≤ u, v < 2π, ♠æ t↔ ♠ët ♠➦t tü ❝➢t ❦❤→❝✳ ❍➻♥❤ ✸✳✶✼✿ ▼ët ✤÷í♥❣ ①♦➢♥ ▲✐ss❛❥♦✉s ✈➔ ♠➦t ①♦➢♥ t÷ì♥❣ ù♥❣ ✸✾ ◆❣✉②➵♥ ❚❤à ⑩♥❤ ❈❤✐♥❤ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ❑➌❚ ▲❯❾◆ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ ✤➣ tr➻♥❤ ❜➔② ❧÷đ❝ ❝→❝ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ♠➦t tr♦♥❣ E3 ❝ơ♥❣ ♥❤÷ tự t ữợ t t q✉↔ q✉❛♥ trå♥❣ ♥❤➜t ❧➔ tr➻♥❤ ❜➔② sü ①➙② ✈➔ t số õ t ổ ữợ ữủ q✉→ tr➻♥❤ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✱ tỉ✐ ✤➣ t➻♠ ❤✐➸✉ ✤÷đ❝ t❤➯♠ tự ợ ố t t ữủ ♠ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝ì ❜↔♥ ✈➲ ✈➝♥ ✤➲ ♥❣❤✐➯♥ ự ũ ố s ữợ q ợ ữỡ ự õ ❦❤æ♥❣ tr→♥❤ ❦❤ä✐ ♥❤ú♥❣ t❤✐➳✉ sât ✈➔ ❤↕♥ ❝❤➳✳ ❚æ✐ rt ữủ sỹ õ õ qỵ t ❝ỉ ✈➔ ❜↕♥ ✤å❝ ✤➸ ✤➲ t➔✐ ✤÷đ❝ ❤♦➔♥ t❤✐➺♥ ❤ì♥✳ ❚ỉ✐ ①✐♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ❝↔♠ ì♥ ✦ ❍➔ ◆ë✐✱ ◆❣➔② ✶✵ t❤→♥❣ ✺ ♥➠♠ ✷✵✶✽ ❙✐♥❤ ✈✐➯♥ ◆❣✉②➵♥ ❚❤à ⑩♥❤ ❈❤✐♥❤ ✹✵ ❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ❬✶❪ ❆❧❢r❡❞ ●r❛② ▼♦❞❡r♥ ❉✐❢❢❡r❡♥t✐❛❧ ●❡♦♠❡tr② ♦❢ ❈✉r✈❡s ❛♥❞ ✱ ❙✉r❢❛❝❡s✱ t❤❡ t❤✐r❞ ❡❞✐t✐♦♥✱ ❊❧s❛ ❆❜❜❡♥❛ ❛♥❞ ❙✐♠♦♥ ❙❛❧❛♠♦♥✱ ✷✵✵✺✳ ❬✷❪ ✣♦➔♥ ◗✉ý♥❤ ❍➻♥❤ ❤å❝ ✈✐ ♣❤➙♥ ✱ ◆ë✐✱ ✷✵✵✾✳ ✹✶ ✱ ◆❳❇ ✣↕✐ ❤å❝ ❙÷ ♣❤↕♠✱ ❍➔