Các mặt không định hướng được

Ng÷íi ta chùng minh ÷ñc tªp hñp {αp} lªp th nh mët khæng gianvectì tr¶n R.. Khæng gian ti¸p xóc tr¶n m£nh h¼nh håc... Khi â Up trüc giao vîi c£ vp v Jpvp.. V¼ vp v Jpvp t¤o th nh mët cì

Trang 2

BË GIO DÖC V O TO TR×ÍNG I HÅC S× PHM H NËI 2

KHOA TON

Nguy¹n Thà nh Chinh

CC MT KHÆNG ÀNH H×ÎNG ×ÑC

Chuy¶n ng nh: H¼nh håcM¢ sè: ???????

KHÂA LUN TÈT NGHIP I HÅC

NG×ÍI H×ÎNG DN KHOA HÅC: PGS.TS Nguy¹n Th¤c Dông

H Nëi N«m 2018

Trang 3

Trong thíi gian nghi¶n cùu v ho n th nh khâa luªn, tæi ¢ nhªn ÷ñc sü quan t¥m, ëng vi¶n, kh½ch l» cõa c¡c th¦y cæ trong tê H¼nh håc nâi ri¶ng v khoa To¡n tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m H Nëi 2 nâi chung còng vîi sü hé trñ, gióp ï cõa c¡c b¤n sinh vi¶n.

Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn c¡c th¦y cæ gi¡o trong khoa To¡n tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m H Nëi 2, c¡c th¦y cæ ¢ tªn t¼nh gióp ï tæi trong bèn n«m håc vøa qua v

¢ t¤o i·u ki»n º tæi ho n th nh khâa luªn n y.

°c bi»t tæi xin ÷ñc b y tä láng bi¸t ìn s¥u sc ¸n th¦y gi¡o PGS.TS Nguy¹n Th¤c Dông ¢ tªn t¼nh ch¿ b£o, h÷îng d¨n, gióp ï tæi trong suèt qu¡ tr¼nh thüc hi»n khâa luªn n y.

Do cán h¤n ch¸ v· tr¼nh ë v thíi gian n¶n nhúng v§n · tr¼nh b y trong khâa luªn khæng tr¡nh khäi nhúng thi¸u sât V¼ vªy tæi r§t mong nhªn ÷ñc sü gióp ï

v gâp þ cõa th¦y cæ v c¡c b¤n sinh vi¶n º khâa luªn cõa tæi câ thº ho n thi»n hìn núa.

Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn!

H Nëi, ng y 10 th¡ng 5 n«m 2018

Sinh vi¶n

Trang 4

LÍI CAM OAN

Khâa luªn tèt nghi»p n y cõa tæi, ÷ñc h¼nh th nh d÷îi sü h÷îng d¨n cõa th¦y gi¡o PGS.TS Nguy¹n Th¤c Dông còng vîi â l sü cè gng cõa b£n th¥n.

Trong qu¡ tr¼nh nghi¶n cùu tæi ¢ tham kh£o v thøa k¸ nhúng th nh qu£ nghi¶n cùu cõa c¡c t¡c gi£ kh¡c, °c bi»t l cõa A.Gray trong t i li»u [1], vîi sü tr¥n trång

v láng bi¸t ìn.

Tæi xin cam oan nhúng nghi¶n cùu trong khâa luªn n y l k¸t qu£ nghi¶n cùu cõa ri¶ng b£n th¥n düa tr¶n t i li»u tham kh£o [1], khæng câ sü tròng l°p vîi k¸t qu£ cõa c¡c t¡c gi£ kh¡c.

H Nëi, 10 th¡ng 5 n«m 2018

Sinh vi¶n

Trang 5

Líi mð ¦u 1

1.1 M£nh tham sè 3

1.2 M£nh h¼nh håc v a t¤p hai chi·u trong E3 6

2 T½nh ành h÷îng cõa m°t 11 2.1 M°t ch½nh quy ành h÷îng 11

2.2 Tr÷íng vectì ph¡p tuy¸n ìn và x¡c ành to n cöc 15

2.3 C¡c m£nh câ còng ành h÷îng 16

3 C¡c m°t khæng ành h÷îng ÷ñc 21 3.1 C¡c m°t nhªn ÷ñc b¬ng ph²p çng nh§t 21

3.2 D£i Mobius 24

3.3 Chai Klein 27

3.4 Sü hi»n thüc hâa cõa m°t ph¯ng x¤ £nh thüc 30

3.5 M°t xon 37

Trang 6

Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc Nguy¹n Thà nh Chinh

Sau khi håc xong mæn H¼nh håc vi ph¥n, em ¢ ÷ñc trang bànhúng ki¸n thùc cì b£n v· lþ thuy¸t ÷íng v lþ thuy¸t m°t trong

En (n = 2, 3) Em mong muèn ÷ñc t¼m hiºu s¥u th¶m v· c¡c m°ttrong E3, v¼ vªy em ¢ chån · t i: "C¡c m°t khæng ành h÷îng

÷ñc" l m khâa luªn tèt nghi»p

2 Möc ½ch nghi¶n cùu

B÷îc ¦u l m quen vîi vi»c nghi¶n cùu khoa håc v t¼m hiºu s¥uhìn v· H¼nh håc vi ph¥n, °c bi»t l c¡c m°t khæng ành h÷îng ÷ñc

3 Nhi»m vö nghi¶n cùu

Nghi¶n cùu v· t½nh ành h÷îng cõa m°t v c¡c m°t khæng ànhh÷îng ÷ñc

4 Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu

åc t i li»u, ph¥n t½ch, têng hñp v ¡nh gi¡

5 C§u tróc khâa luªn

Nëi dung khâa luªn gçm ba ch÷ìng:

Ch÷ìng 1 "Ki¸n thùc chu©n bà"

Trang 7

Ch÷ìng 2 "T½nh ành h÷îng cõa m°t"

Ch÷ìng 3 "C¡c m°t khæng ành h÷îng ÷ñc"

Trang 8

Ch÷ìng 1

Ki¸n thùc chu©n bà

Xuy¶n suèt trong to n bë khâa luªn n y, chóng ta sû döng kþ hi»u E3

º ch¿ khæng gian Euclid ba chi·u, tùc l khæng gian vectì R3 vîi t½ch

væ h÷îng chu©n tc Trong ch÷ìng n y, ta s³ h» thèng l¤i mët sè kh¡ini»m cì b£n v· lþ thuy¸t m°t trong khæng gian E3 ¦u ti¶n, chóng

ta giîi thi»u v· m£nh tham sè, sau â tr¼nh b y v· m£nh h¼nh håc,c¡c kh¡i ni»m a t¤p hai chi·u trong E3, kh¡i ni»m ¡nh x¤ ti¸p xóc

v °c bi»t l kh¡i ni»m m°t ch½nh quy

1.1 M£nh tham sè

Trong möc n y chóng ta s³ nhc l¤i c¡c kh¡i ni»m cì b£n li¶n quan

¸n m£nh tham sè bao gçm c¡c kh¡i ni»m m£nh tham sè, ÷íng tåa

ë, iºm ch½nh quy, iºm k¼ dà, m£nh ch½nh quy, ph¡p tuy¸n v ti¸pdi»n trong E3

Tr÷îc ti¶n, ta câ kh¡i ni»m m£nh tham sè

ành ngh¾a 1.1 nh x¤ li¶n töc r tø mët tªp mð U trong R2 v o

Trang 9

khæng gian E3

r : U −→ E3(u, v) 7→ r(u, v)

÷ñc gåi l mët m£nh tham sè trong E3 Tòy theo èi t÷ñng nghi¶ncùu, m sau n y ta câ thº gi£ thi¸t v· c§p kh£ vi cõa r

Cho mët m£nh tham sè r : U → E3, ta câ kh¡i ni»m ÷íng tåa ënh÷ sau

Vîi iºm (u0, v0) ∈ U:

Cung tham sè u 7→ r(u, v0) trong E3 gåi l ÷íng tåa ë v = v0,

ð ¥y u thay êi trong mët kho£ng I ⊂ R n o â, u0 ∈ I

Cung tham sè u 7→ r(u0, v) trong E3 gåi l ÷íng tåa ë u = u0,

ð ¥y v thay êi trong mët kho£ng J ⊂ R n o â, u0 ∈ J

Ti¸p theo, ta nhc l¤i kh¡i ni»m iºm ch½nh quy v iºm k¼ dà

ành ngh¾a 1.2 iºm (u0, v0) ÷ñc gåi l iºm ch½nh quy cõa m£nhtham sè r n¸u h» hai vectì {r0

u(u0, v0), r0v(u0, v0)} l ëc lªp tuy¸n t½nh.Nhúng iºm khæng ch½nh quy th¼ ÷ñc gåi l k¼ dà

M£nh tham sè r ÷ñc gåi l ch½nh quy n¸u ¡nh x¤ r l ¡nh x¤ kh£

vi li¶n töc v måi iºm cõa nâ l iºm ch½nh quy

Trang 10

m°t c¦u t¥m O, b¡n k½nh R, m£nh tham sè r câ c¡c iºm

v0 ∈ R cè ành, ÷íng tåa ë v = v0 l ÷íng v¾ tuy¸n cõa m°t c¦u.Mët trong nhúng kh¡i ni»m trung t¥m cõa lþ thuy¸t m°t tham sè

l kh¡i ni»m ti¸p di»n v ph¡p tuy¸n Ta câ ành ngh¾a ti¸p di»n v ph¡p tuy¸n nh÷ sau

ành ngh¾a 1.3 Cho r l mët m£nh tham sè kh£ vi li¶n töc Gi£

sû (u0, v0) l iºm ch½nh quy cõa m£nh tham sè r Khi â m°t ph¯ngtrong E3 i qua r(u0, v0) vîi khæng gian vectì ch¿ ph÷ìng

h−→ru0(u0, v0), −→r

v 0(u0, v0)i

÷ñc gåi l m°t ph¯ng ti¸p xóc hay ti¸p di»n cõa r t¤i r(u0, v0)

÷íng th¯ng i qua iºm r(u0, v0) vuæng gâc vîi ti¸p di»n t¤i r(u0, v0)

÷ñc gåi l ph¡p tuy¸n cõa r t¤i r(u0, v0)

Cuèi còng, ta nhc l¤i kh¡i ni»m 2 m£nh tham sè t÷ìng ÷ìng:Trong E3 cho hai m£nh tham sè kh£ vi li¶n töc

r1 : U1 −→ E3 v r2 : U2 −→ E3

Ta nâi hai m£nh r1 v r2 l t÷ìng ÷ìng n¸u câ mët vi phæi

λ : U1 −→ U2

Trang 11

sao cho r1 = r2 ◦ λ K½ hi»u r1 ∼ r2.

â l mët quan h» t÷ìng ÷ìng, méi lîp t÷ìng ÷ìng â gåi l mët m£nh trong E3 v r gåi l mët tham sè hâa cõa m£nh

N¸u trong ành ngh¾a quan h» t÷ìng ÷ìng nâi tr¶n, ái häi λ l mët vi phæi b£o to n h÷îng th¼ câ thº nâi ¸n m£nh ành h÷îng Khi

â, trong E3 v m£nh ch½nh quy th¼ vectì ìn và

r0u∧ r0v

kr0

u∧ r0

vkt¤i iºm ùng vîi (u, v) trong mët tham sè hâa r cõa nâ l ho n to nx¡c ành v ph÷ìng cõa nâ ch½nh l ph÷ìng cõa ph¡p tuy¸n cõa m£nht¤i iºm â Ð ¥y, k½ hi»u r0

u∧ rv0 ch¿ t½ch câ h÷îng giúa hai vectì r0

u

v r0

v

Trong ph¦n n y, chóng ta s³ nhc l¤i c¡c kh¡i ni»m cì b£n v· m£nhh¼nh håc v a t¤p hai chi·u trong E3 Kh¡i ni»m trång t¥m trongph¦n n y l ¡nh x¤ kh£ vi giúa hai a t¤p hai chi·u v ¡nh x¤ ti¸pxóc Ta bt ¦u vîi kh¡i ni»m m£nh h¼nh håc

ành ngh¾a 1.4 Tªp con S cõa E3 ÷ñc gåi l m£nh h¼nh håc trong

E3 n¸u S l £nh cõa m£nh tham sè kh£ vi li¶n töc r : U −→ E3, saocho vîi måi (u0, v0) ∈ U, ta câ

{r0u(u0, v0), rv0(u0, v0)}

ëc lªp tuy¸n t½nh v ¡nh x¤ r l mët çng phæi tø U l¶n £nh S = r(U)

Trang 12

N¸u S l mët m£nh h¼nh håc th¼ ¡nh x¤ r nh÷ tr¶n ÷ñc gåi l mëttham sè hâa cõa m£nh h¼nh håc S

V½ dö 1.2.1 L§y tåa ë afin (x1, x2, x3) cõa E3 v x²t ¡nh x¤

r : U −→ E3x¡c ành bði

(u, v) 7→ r(u, v) = (u, v, x3(u, v))trong â U l mët tªp mð trong R2 v (u, v) 7→ x3(u, v) l mët h m

u(u0, v0), rv0(u0, v0)} l ëc lªp tuy¸n t½nh vîi måi (u0, v0) ∈

U Theo ành ngh¾a cõa r, ta th§y r l mët ìn ¡nh Hìn núa, ¡nh x¤ng÷ñc r−1 : r(U ) −→ U l ¡nh x¤ li¶n töc v¼ n¸u hai iºm (u1, v1, x3(u1, v1))

v (u2, v2, x3(u2, v2)) g¦n nhau trong E3 th¼ u1; u2 công nh÷ v1; v2 ph£ig¦n nhau trong U

Do â r(u, v) l mët m£nh h¼nh håc trong E3

L÷u þ r¬ng r(u, v) ch½nh l ç thà cõa h m sè kh£ vi li¶n töc(u, v) 7→ x3(u, v) Do vªy, chóng ta câ nhªn x²t ç thà cõa mët h m

sè kh£ vi li¶n töc l mët m£nh h¼nh håc

Cho S l mët m£nh h¼nh håc vîi tham sè hâa r v p = r(u0, v0) ∈ S.Gåi Πp l m°t ph¯ng ti¸p xóc vîi S t¤i p Gi£ sû αp = (p, −→α ) ∈ Π

p l

Trang 13

mët vectì câ gèc t¤i p v α ∈ Πp Khi â tçn t¤i a, b ∈ R sao cho

α = aru0(u0, v0) + br0v(u0, v0)

X²t ÷íng cong γ : I = (−, ) → S x¡c ành bði

γ(t) = r(u0 + at, v0 + bt)trong â t ∈ I thäa m¢n (u0 + at, v0 + bt) ⊂ U Khi â, d¹ th§y

γ(0) = p, γ0(0) = −→α

Ng÷íi ta chùng minh ÷ñc tªp hñp {αp} lªp th nh mët khæng gianvectì tr¶n R Khæng gian n y k½ hi»u l TpS

ành ngh¾a 1.5 (Khæng gian ti¸p xóc tr¶n m£nh h¼nh håc)

Khæng gian TpS ÷ñc gåi l khæng gian ti¸p xóc h¼nh håc cõa S t¤i p.Méi vectì αp ÷ñc gåi l mët vectì ti¸p xóc h¼nh håc cõa S t¤i p.Ti¸p theo, ta nhc l¤i ành ngh¾a a t¤p - kh¡i ni»m trång t¥m cõa

lþ thuy¸t m°t trong E3

ành ngh¾a 1.6 (a t¤p hai chi·u trong E3)

Tªp con khæng réng S cõa E3 gåi l mët a t¤p hai chi·u trong E3

n¸u méi p ∈ S câ l¥n cªn mð (cõa p trong S) l mët m£nh h¼nh håc.Méi tham sè hâa cõa m£nh h¼nh håc n y gåi l mët tham sè hâa àaph÷ìng cõa S

Ta ÷a ra mët v½ dö v· a t¤p hai chi·u

Trang 14

V½ dö 1.2.2 Cho S l m°t c¦u trong E3 vîi t¥m O, b¡n k½nh R > 0,

S = {p ∈ E3 sao cho k−Opk = R}.→

Khi â, S l mët a t¤p hai chi·u v¼ nâ l hñp cõa 6 m£nh h¼nh håc

l ç thà cõa c¡c h m sè

(x, y) 7→ ±pR2 − x2 − y2,(y, z) 7→ ±pR2 − y2 − z2,(z, x) 7→ ±pR2 − z2 − x2.Trong ph¦n ti¸p theo, ta nhc l¤i kh¡i ni»m ¡nh x¤ kh£ vi v ¡nhx¤ ti¸p xóc tr¶n c¡c a t¤p

ành ngh¾a 1.7 (nh x¤ kh£ vi giúa c¡c m°t)

Cho S1, S2 l hai a t¤p hai chi·u trong E3 nh x¤ f : S1 −→ S2

÷ñc gåi l kh£ vi n¸u f li¶n töc vîi måi tham sè hâa àa ph÷ìng

r1 : U1 −→ S1; r2 : U2 −→ S2

m f(r1(U1)) ⊂ r2(U2) th¼ ¡nh x¤ r−1

2 ◦ f ◦ r1 : U1 −→ U2 l kh£ vi

º minh håa kh¡i ni»m n y, ta x²t v½ dö sau

V½ dö 1.2.3 Cho S l a t¤p hai chi·u trong E3 Khi â, ¡nh x¤ çngnh§t idS : S → S l ¡nh x¤ kh£ vi

Ta nhc l¤i kh¡i ni»m ¡nh x¤ ti¸p xóc

ành ngh¾a 1.8 Cho S1, S2 l a t¤p hai chi·u trong E3 v cho

f : S1 −→ S2 l ¡nh x¤ kh£ vi Khi â, f c£m sinh mët ¡nh x¤

Trang 15

Tpf : TpS1 −→ TpS2 ÷ñc x¡c ành nh÷ sau: Vîi méi αp ∈ TpS1,

αp = (p, −→α ), gi£ sû γ : J −→ S1 m γ(t0) = p; −→γ 0(t0) = −→α th¼

Tpf (αp) = (f ◦ p)0(t0)

Cuèi còng, ta giîi thi»u kh¡i ni»m m°t ch½nh quy

ành ngh¾a 1.9 Mët tªp con M ⊂ Rn ÷ñc gåi l m°t ch½nh quyn¸u vîi méi iºm p ∈ M tçn t¤i mët l¥n cªn V cõa p v ¡nh x¤

x : U → Rn tø mët tªp mð U ⊂ R2 ¸n V ∩ M sao cho:

(i) x : U → M l mët m£nh ch½nh quy;

(ii) x : U → V ∩ M l mët çng phæi, v¼ vªy x câ ¡nh x¤ ng÷ñc li¶ntöc x−1 : V ∩ M → U sao cho x−1 l h¤n ch¸ cõa mët ¡nh x¤li¶n töc F : W → Rn, ð ¥y W l mët tªp mð trong Rn, W chùa

V ∩ M Méi ¡nh x¤ x : U → M gåi l mët biºu ç àa ph÷ìnghay h» tåa ë àa ph÷ìng trong mët l¥n cªn p ∈ M

Trang 16

Ch÷ìng 2

T½nh ành h÷îng cõa m°t

2.1 M°t ch½nh quy ành h÷îng

N¸u V l mët khæng gian vectì hai chi·u, ta gåi ¡nh x¤ tuy¸n t½nh

J : V → V sao cho J2 = −1 l mët c§u tróc phùc tr¶n V V¼ t§tc£ c¡c khæng gian vectì hai chi·u ·u ¯ng c§u n¶n méi khæng gianti¸p xóc Mp vîi mët m°t ch½nh quy M nhªn mët c§u tróc phùc

ành lþ 2.1 Mët m°t ch½nh quy M ⊂ R3 l ành h÷îng ÷ñc khi

Trang 17

v ch¿ khi câ mët ¡nh x¤ li¶n töc p 7→ U(p) sao cho vîi méi p ∈ Mt÷ìng ùng vîi mët vectì ph¡p tuy¸n ìn và U(p) ∈ M⊥

p.Chùng minh Gi£ sû ta câ p 7→ U(p) Khi â vîi méi p ∈ M ta x¡c

U(p) = vp × Jpvp

vîi måi vectì vp kh¡c khæng, thuëc Mp Khi â U(p) trüc giao vîi c£

vp v Jpvp V¼ vp v Jpvp t¤o th nh mët cì sð trong Mp n¶n suy raU(p) trüc giao vîi Mp

º ch¿ ra r¬ng U(p) x¡c ành bði cæng thùc (2.2) l khæng phöthuëc v o c¡ch chån vp, ta l§y wp l vectì ti¸p xóc kh¡c vectì-khængtrong Mp Khi â wp = avp+ bJpvp l mët tê hñp tuy¸n t½nh cõa vp,

v

wp × Jpwp = (avp + bJpvp) × (−bvp + aJpvp) = (a2 + b2)(vp× Jpvp)

Trang 18

ành ngh¾a 2.2 Cho M l mët m°t ch½nh quy ành h÷îng trong R3

v cho U l mët tr÷íng vectì ph¡p tuy¸n ìn và tr¶n M x¡c ànhh÷îng cõa M K½ hi»u S2(1) l h¼nh c¦u ìn và trong R3 Khi â U

÷ñc xem nh÷ l mët ¡nh x¤

U : M → S2(1),

v ÷ñc gåi l ¡nh x¤ Gauss cõa M

º hiºu rã hìn v· ành ngh¾a m°t ch½nh quy ành h÷îng, ta x²t c¡c

bê · sau

Bê · 2.1 Cho U ⊆ R2 l mët tªp mð ç thà Mh cõa h m sè kh£

vi li¶n töc h: U → R l mët m°t ch½nh quy ành h÷îng ÷ñc

Chùng minh X²t m£nh Monge x: U → Mh x¡c ành bði

x(u, v) = (u, v, h(u, v))

Khi â x bao phõ to n bë Mh, ngh¾a l x(U) = Mh Hìn núa, x l

Trang 19

ch½nh quy v ìn ¡nh Vectì ph¡p tuy¸n cõa m°t U ð Mh x¡c ànhbði

U ◦ x = xu× xv

kxu× xvk =

(−hu, −hv, 1)p1 + h2

u + h2 v

Bê · 2.3 Cho g : R3

→ R l mët h m sè kh£ vi v c l mët sè sao chograd g kh¡c khæng vîi måi iºm thuëc M(c) = {p ∈ R3 | g(p) = c}.Khi â M(c) công nh÷ c¡c th nh ph¦n li¶n thæng cõa M(c) l ànhh÷îng ÷ñc

Chùng minh Ta chùng minh ÷ñc M(c) l mët m°t ch½nh quy v grad g luæn trüc giao vîi M(c) Ta gi£ sû r¬ng grad g kh¡c khæng t¤i

Trang 20

måi iºm trong M(c) Tø â th§y r¬ng

grad gkgrad gk

l mët tr÷íng vectì ìn và m ÷ñc x¡c ành ð t§t c£ c¡c iºm thuëcM(c) v luæn trüc giao vîi M(c) Khi â, theo ành l½ 2.1 th¼ M(c)

v méi th nh ph¦n li¶n thæng cõa nâ l ành h÷îng ÷ñc

2.2 Tr÷íng vectì ph¡p tuy¸n ìn và x¡c ành to n

cöc

Ta nhc l¤i r¬ng mët tªp con X cõa Rn ÷ñc gåi l âng n¸u nâ chùat§t c£ c¡c iºm tîi h¤n cõa nâ Mët c¡ch t÷ìng ÷ìng, X l tªp ângkhi v ch¿ khi ph¦n bò cõa nâ Rn\X l mð

Méi tªp con X ÷ñc gåi l li¶n thæng n¸u b§t k¼ sü ph¥n t½ch

X = X1 ∪ X2 cõa X th nh c¡c tªp con âng X1, X2 vîi X1 ∩ X2 l tªp réng ph£i l t¦m th÷íng, ngh¾a l X = X1 ho°c X = X2

Bê · 2.4 Cho M l mët m°t cong ch½nh quy li¶n thæng ành h÷îng

÷ñc trong R3 Khi â M câ ch½nh x¡c hai tr÷íng vectì ph¡p tuy¸n

ìn và x¡c ành to n cöc

Chùng minh V¼ M l ành h÷îng ÷ñc n¶n câ ½t nh§t mët tr÷íngvectì ph¡p tuy¸n ìn và x¡c ành to n cöc p 7→ U(p) tr¶n M Gi£

sû p 7→ v(p) l mët tr÷íng vectì ph¡p tuy¸n ìn và x¡c ành to ncöc kh¡c tr¶n M

C¡c tªp

W± = {p ∈ M | U(p) = ±v(p)}

Trang 21

l c¡c tªp âng bði v¼ U v v l li¶n töc.

Hìn núa M = W+ ∪ W− Tø t½nh li¶n thæng cõa M ta suy ra Mtròng vîi W+ ho°c W− Do â, tr÷íng vectì ph¡p tuy¸n ÷ñc x¡c

Bê · 2.5 Cho M ⊂ R3 l mët m°t ch½nh quy, U, V l c¡c tªp mðtrong R2 N¸u x: U → M v y: V → M l c¡c m£nh v¡ sao chox(U ) ∩ y(V) kh¡c réng, th¼

yu× yv = det(J (x−1◦ y))xu× xv,trong â J (x−1◦ y) l ma trªn Jacobian cõa x−1◦ y Ð ¥y, (u, v) l c¡c tåa ë tr¶n V, cán (u, v) l c¡c tåa ë tr¶n U

Trang 22

ành lþ 2.2 Mët m°t ch½nh quy M ⊂ R3 l ành h÷îng ÷ñc n¸u v ch¿ n¸u câ thº bao phõ M bði mët hå B c¡c m£nh ìn ¡nh ch½nh quysao cho b§t k¼ hai m£nh (x, U), (y, V) vîi x(U) ∩ y(V) 6= ∅ câ còng

ành h÷îng

Chùng minh Gi£ sû M l mët m°t ch½nh quy ành h÷îng ÷ñc Tø

ành l½ 2.1, M câ mët vectì ph¡p tuy¸n x¡c ành to n cöc p 7→ U(p).L§y U l mët hå c¡c m£nh ìn ¡nh ch½nh quy m hñp cõa chóng chùa

M

Khæng m§t t½nh têng qu¡t, ta gi£ sû mi·n x¡c ành cõa méi m£nhtrong U l li¶n thæng Ta ph£i x¥y düng tø U mët hå B c¡c m£nh câcòng ành h÷îng m hñp cõa chóng chùa M

º l m i·u n y, ¦u ti¶n chóng ta l÷u þ r¬ng n¸u x l m£nh ìn

Trang 23

¡nh ch½nh quy b§t k¼ trong M th¼ ex ÷ñc x¡c ành bði

ex(u, v) = x(v, u)

công l mët m£nh ìn ¡nh ch½nh quy trong M, ex v x ng÷ñc h÷îngnhau v¼ xeu×exv = −xu× xv

Ti¸p theo, ta s³ chån c¡c m£nh thuëc hå B N¸u x l mët m£nhtrong U v

Ng÷ñc l¤i, gi£ sû M chùa trong hå B c¡c m£nh còng ÷ñc ànhh÷îng N¸u x l mët m£nh thuëc hå B ÷ñc x¡c ành tr¶n U ⊂ R2,chóng ta x¡c ành Ux tr¶n x(U) bði

Ux(x(u, v)) = xu× xv

kxu× xvk(u, v).

L§y y : V → M l mët m£nh kh¡c trong B vîi x(U) ∩ y(V) 6= ∅

Định dạng
Số trang	46
Dung lượng	5,3 MB