SỞ GD&ĐT VĨNHPHÚC KÌ THI CHỌN HSG LỚP 10,11 THPT NĂMHỌC 2017-2018 ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀTHI MƠN: TỐN 10 – THPT Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề Câu (2,0 điểm) Tìm tập xác định hàm số f x 2017 3x x 2018 x 2x2 x Câu (2,0 điểm) Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y ( x m)( x 5) xác định đoạn [ 2;5] Câu (2,0 điểm) Giả sử phương trình x mx có hai nghiệm x1 , x2 Tìm giá trị lớn biểu thức A x1 x2 x12 x22 Câu (2,0 điểm) Tìm tất giá trị tham số m để phương trình m x m x m có nghiệm Câu (2,0 điểm) Giải bất phương trình: x x x x x 2 10 xy 3 x y x y Câu (2,0 điểm) Giải hệ phương trình: 2 x x y x, y ACB 120 Gọi M điểm thay đổi Câu (2,0 điểm) Cho tam giác ABC cân C có AB 4a, cho MA 3MB Tìm giá trị nhỏ độ dài đoạn thẳng MC Câu (2,0 điểm) Cho đường tròn O dây cung AA1 , BB1 , CC1 song song với Gọi H1 , H , H trực tâm tam giác ABC1 , BCA1 , CAB1 Chứng minh ba điểm H1 , H , H thẳng hàng Câu (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thang ABCD vng A D , AB AD CD Giao điểm AC BD E 3; 3 , điểm F 5; 9 thuộc cạnh AB cho AF FB Tìm tọa độ đỉnh D , biết đỉnh A có tung độ âm Câu 10 (2,0 điểm) Cho số thực dương x, y thỏa mãn x y 3xy Tìm giá trị lớn biểu thức: P 3x 3y 1 y ( x 1) x( y 1) x y -Hết Thísinh khơng sử dụng tài liệu máy tính cầm tay Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh:…………………….…… …….…….….….; Số báo danh…………………… SỞ GD&ĐT VĨNHPHÚC KÌ THI CHỌN HSG LỚP 10,11 THPT NĂMHỌC 2017-2018 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN: TỐN 10 - THPT (Hướng dẫn chấm có 05 trang) I LƯU Ý CHUNG: - Hướng dẫn chấm trình bày cách giải với ý phải có Khi chấm họcsinh làm theo cách khác đủ ý cho điểm tối đa - Điểm tồn tính đến 0,5 khơng làm tròn - Với hình họcthísinh khơng vẽ hình phần khơng cho điểm tương ứng với phần II ĐÁP ÁN: Câu Nội dung trình bày Điểm 2018 x Tìm tập xác định hàm số f x 2017 x x 2,0 x2 x 4 3x x Đk: 0,5 2 x x 1 x x 0,5 x 1 x 3 x Vậy tập xác định hàm số là: D 1;0 3;4 Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y ( x m)( x 5) xác định đoạn [ 2;5] Hàm số xác định ( x m)( x 5) - Nếu m 5 hàm số xác định (; m] [ 5; ) nên xác định đoạn 2;5 0,5 0,5 2,0 0,5 0,5 - Nếu m 5 hàm số xác định (; 5] [m; ) nên xác định đoạn 2;5 m 2 5 m 2 0,5 Vậy với m 2 hàm số xác định đoạn 2;5 0,5 Giả sử phương trình x mx có hai nghiệm x1 , x2 Tìm giá trị lớn biểu thức A x1 x2 x12 x22 Ta có m 16 m suy phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 x x m Theo Vi – ét ta có: x1 x2 4 x1 x2 x1 x2 2m Ta có A 2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 m Am 2m A (*) TH1: A m 2,0 0,5 0,5 0,5 TH2: A Để phương trình (*) có nghiệm 8 A2 A A Vậy AMax m Tìm tất giá trị tham số m để phương trình m x m x m có nghiệm - Nếu m phương trình cho vơ nghiệm m3 - Nếu m phương trình cho tương đương với | x | | x 1| m Xét hàm số f ( x) | x | | x 1| , có đồ thị hình vẽ sau: 0,5 2,0 0,5 0,5 Nghiệm phương trình cho hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số vẽ m3 y f x đường thẳng y m m3 2m 3 3 0 m Để phương trình cho có nghiệm: m m 3 m Vậy Giải bất phương trình: x x x x x ĐK: x (; 3] { 1} [3; ) Dễ thấy x 1 nghiệm bất phương trình - Nếu x BPT ( x 1)( x 3) ( x 1)( x 1) ( x 1)( x 3) x x x 2x x2 x x x2 x x x 3 x x 1 3 x x x 3 3x x 37 1 x 0,5 0,5 2,0 0,5 0,5 - Nếu x 3 BPT ( x 1)( x 3) ( x 1)(1 x) ( x 1)( x 3) x x x x x x x 3 , x 3 nghiệm 1 ; KL: Tập nghiệm BPT D ( ; 3] { 1} 0,5 0,5 2 10 xy 3 x y x y Giải hệ phương trình: 2 x x y Đk: x y x, y I 2 20 2 x y x y x y Hệ phương trình I tương đương x y x y x y a b x y a 2 2a b 22 a Đặt suy hệ I trở thành a b x y x y b 14 b x y a x y x Với b x y y 1 x y x y 10 x y x 3 10 3 10 x y x y y a 3 Với 10 b 14 x y 14 x y x x y 3 10 y 3 10 x y Vậy hệ phương trình I có nghiệm x; y 10 3 10 10 3 10 ; ; ; 3 Cho tam giác ABC cân C có AB 4a, ACB 120 Gọi M điểm thay đổi cho MA 3MB Tìm giá trị nhỏ độ dài đoạn thẳng MC 2,0 0,5 0,5 0,5 0,5 2;1 ; A B H M C I 2,0 Ta có MA 3MB MA2 9MB MI IA 8MI IA2 IB 2MI IA IB * MI IB 0,5 a 9a Lấy điểm I cho IA IB IB , IA 2 9a Khi * IM IA2 IB 0,5 Suy tập hợp điểm M đường tròn tâm I , bán kính R 3a a 273 Gọi H trung điểm AB IC CH IH Do IC R độ dài đoạn thẳng CM nhỏ M giao điểm đoạn thẳng IC đường tròn I ; R , hay CM IC R OI OC R 273 a Cho đường tròn O dây cung AA1 , BB1 , CC1 song song với Gọi H1 , H , H trực tâm tam giác ABC1 , BCA1 , CAB1 Chứng minh ba điểm H1 , H , H thẳng hàng OH1 OA OB OC1 OH OB OC OA1 OH OC OA OB1 Suy H1H OH OH1 OA1 OA OC OC1 AA1 C1C H1H OH OH1 OC OC1 OB1 OB C1C BB1 Vì AA1 , BB1 , CC1 song song nên AA1 , BB1 , CC1 phương nên H1H H1H phương Suy H1 , H , H thẳng hàng Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thang ABCD vuông A D , AB AD CD Giao điểm AC BD E 3; 3 , điểm F 5; 9 thuộc cạnh AB cho AF FB Tìm tọa độ đỉnh D , biết đỉnh A có tung độ âm A F 0,5 0,5 2,0 0,5 0,5 0,5 0,5 2,0 B E D I C Gọi I EF CD Ta chứng minh tam giác EAI vuông cân E Đặt AB a, AD b Khi a b a.b Ta có AC AD DC b 3a FE AE AF AC AB b 3a a 3b a 6 12 0,5 2 2 b a Do AC EF Suy AC.FE (1) 12 Từ (1) suy tứ giác ADIE nội tiếp Suy AIE ADE 45 (2) Từ (1) (2) suy tam giác EAI vuông cân E Ta có nAC EF 2; 6 nên AC : x y 12 A 3a 12; a , (a 0) Ta có EIC EFA ECD EAB EI EC CD EI 3FE I 3;15 Theo định lý Talet ta có EF EA AB a (l ) 2 Khi EA EI 3a a 3 360 Suy A 15; 9 a 9 Ta có AF 20;0 nên AD : x 15 CD : y 15 Do D 15;15 10 Cho số thực dương x, y thỏa mãn: x y 3xy Tìm giá trị lớn 3x 3y 1 biểu thức: P y ( x 1) x( y 1) x y 2 3x ( y 1) y ( x 1) x y 3xy ( x y ) 3x y x y 2 2 Ta có: P xy ( x 1)( y 1) x y xy ( xy x y 1) x y 2 xy ( x y ) ( x y ) x2 y 0,5 0,5 0,5 2,0 0,5 Đặt t xy, t Từ x y 3xy 3t t t 1 0,5 t 1 t 5t 1 Khi P 4t 4t 2t Do t P Vậy giá trị lớn P xy t 1 x y 1 x y -Hết 0,5 0,5 ... GD&ĐT VĨNH PHÚC KÌ THI CHỌN HSG LỚP 10, 11 THPT NĂM HỌC 2017- 2018 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN: TỐN 10 - THPT (Hướng dẫn chấm có 05 trang) I LƯU Ý CHUNG: - Hướng dẫn chấm trình bày cách giải với ý phải có. .. Khi chấm học sinh làm theo cách khác đủ ý cho điểm tối đa - Điểm tồn tính đến 0,5 khơng làm tròn - Với hình học thí sinh khơng vẽ hình phần khơng cho điểm tương ứng với phần II ĐÁP ÁN: Câu Nội... có hai nghiệm x1 , x2 Tìm giá trị lớn biểu thức A x1 x2 x12 x22 Ta có m 16 m suy phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 x x m Theo Vi – ét ta có: