Bài giảng xác suất thống kê full

Nội dung tóm tắt môn học.• Môn học cung cấp cho sinh viên các kiến thức cơ bản của lý thuyết xác suất &thống kê, các phương pháp phân tích phương sai,ước lượng các đặc trưng của tổng thể

Nội dung tóm tắt môn học.

• Môn học cung cấp cho sinh viên các kiến thức

cơ bản của lý thuyết xác suất &thống kê, các phương pháp phân tích phương sai,ước lượng các đặc trưng của tổng thể, các phép kiểm định giả thuyết thống kê, phân tích tương quan tuyến tính và lý thuyết hồi quy Áp dụng MS-EXCEL

để xử lý dữ liệu bằng phương pháp thống kê dựa trên các kiến thức đã học của môn học Xác suất

& Thống kê.

Tài liệu tham khảo.

• [1] Nguyễn Đình Huy, Đậu Thế Cấp Xác suất và

Thống kê NXB ĐHQG TP HCM ( 2009)

• [2] Đặng Hùng Thắng Thống kê và ứng dụng.

NXB GD (1999)

• [3] Hồ Thanh Phong Xác suất và Thống kê trong

Kỹ thuật hệ thống công nghiệp NXB ĐHQG TP HCM

(2003)

• [4] Walter A Rosenkrantz. Introduction to Probability and Statistics for Scientists and Engineers McGraw-Hill Companies, Inc( 1997).

• [5] Allen L Webster Applied Statistics for

Business and Economics McGraw-Hill Companies, Inc.( 1995).

• [6] Đặng Văn Giáp Phân tích dữ liệu khoa học

bằng chương trình MS-EXCEL NXB GD (1997)

• [7] Trần Tuấn Điêp & Lý Hoàng Tú Lý thuyết

Xác suất và Thống kê Toán học.NXB GD – 1999

Hướng dẫn cách học

• Tham dự giờ giảng trên lớp hoặc xem đĩa video.

• Sử dụng sách giáo khoa:đọc kỹ,so sánh với bài giảng của thầy,xem kỹ các ví dụ.

• Tự làm bài tập.Chú ý tuyệt đối không được xem lời giải hay đáp số trước khi cố gắng tự tìm lời giải.

• Thực tập thật nhuần nhuyễn các kỹ năng sử

dụng máy tính (bỏ túi và lớn) để tính toán.

• Bài tập lớn: Sử dụng MS-EXCEL với phần

Chi tiết cách đánh giá môn học:

• Tổ chức kiểm tra giữa kỳ (20%): Từ đầu đến hết chương 4 Hình thức: Viết hoặc trắc nghiệm Thời gian thi: 45‘

• Từ giữa kỳ bắt đầu giao bài tập lớn cho các nhóm : nhằm sử dụng thành thạo các phần mềm thống kê và vận dụng vào thực tế : 20%

• Tổ chức thi cuối kỳ : (60%) - Nội dung thi: Toàn bộ học kỳ Hình thức thi: Viết Thời gian thi: 90'.

CHƯƠNG 0: BỔ TÚC

$1.Giải tích tổ hợp.

1.Quy tắc cộng và quy tắc nhân:

• Ví dụ1 : Có 6 quyển sách toán, 5 quyển lý, 4 quyển hóa có bao nhiêu cách để chọn:

a 1quyển.

b Một bộ gồm 3 quyển toán ,lý, hóa.

Giải:b Giai đoạn 1: Chọn toán có 6 cách.

Giai đoạn 2:Chọn lý có 5 cách.

Giai đoạn 3: Chọn hóa có 4 cách.

Vậy: Nếu 1 công việc gồm nhiều giai đoạn thì số cách thực hiện toàn

bộ công việc bằng tích số cách của từng giai đoạn nhân với nhau

a.Chỉ có 1 giai đoạn,3 trường hợp:Trường hợp chọn toán có 6

cách,trường hợp chọn lý có 5 cách,trường hợp chọn hóa có 4

cách Suy ra: có 6+5+4 cách

Vậy: Nếu xét trong 1 giai đoạn có nhiều trường hợp thì số cách

thực hiện giai đoạn đó bằng tổng số cách của các trường hợp cộng

Ghi nhớ: các trường hợp thì cộng ; các giai đoạn thì nhân

2 Hoán vị: Một hoán vị của n phần tử là một cách sắp có thứ

tự n phần tử khác nhau cho trước

phần tử khác nhau cho trước

• Ví dụ 2: có bao nhiêu cách để trao 1 giải nhất, 1 giải nhì, 1

giải ba trong một cuộc thi có 10 học sinh giỏi tham gia

•Giải: việc trao giải chia thành 3 giai đoạn:

Giải nhất: 10 cáchGiải nhì: 9 cáchGiải 3 : 8 cáchSuy ra: có A 1 03  10.9.8 cách

• Ví dụ 3: Có bao nhiêu cách để chọn một đội tuyển gồm 3 học sinh từ 10 học sinh giỏi của một trường để đi thi cấp quận.

• Ví dụ 5: Có bao nhiêu cách để sắp 10 người trong đó có A, B,

C, D ngồi vào một bàn ngang sao cho:

k k

1

(1 )

k k

.

(1 )

k k

x a a

2 2

$4.Tích phân Laplace:

-hàm mật độ Gauss(hàm chẵn-HÌNH 3.1)

- tích phân Laplace (hàm lẻ-HÌNH 3.2)

2 2

1 ( )

1 2

$4.Tích phân Laplace (tt) :

.Tra xuôi bằng máy tính:

ES : MODE STAT AC SH STAT DISTR Q

• Hình 3.1 Hình 3.2

CHƯƠNG I ĐẠI CƯƠNG VỀ XÁC SUẤT

§1:Biến cố và quan hệ giữa các biến cố

1 Phép thử và biến cố.

2 Phân loại biến cố : gồm 3 loại

- Biến cố chắc chắn:

- Biến cố không thể có hay không thể xảy ra:

- Biến cố ngẫu nhiên: A, B, C…





- Biến cố ngẫu nhiên: A, B, C…

3 So sánh các biến cố.

Định nghĩa 1.1: (A nằm trong B hay A kéo theo B) nếu

A xảy ra thì B xảy ra.Vậy

4 Các phép toán trên biến cố (hình 1.1 và 1.2 ):

xảy ra khi và chỉ khi A xảy ra và B xảy ra

xảy ra khi và chỉ khi A xảy ra hoặc B xảy ra

A B  A B

A B  A B

xảy ra khi và chỉ khi A xảy ra và B không xảy ra

xảy ra khi và chỉ khi A không xảy ra

A B

A    A

• Hình 1.1 Hình 1.2

• Các phép toán của biến cố có tính chất giống các phép toán của tập hợp, trong đó có các tính chất đối ngẫu:

Ngôn ngữ biểu diễn: tổng = có ít nhất một ;tích = tất cả đều

§2: Các định nghĩa xác suất.

• 1 Định nghĩa cổ điển về xác suất

• Định nghĩa 2.1: giả sử trong mỗi phép thử các kết cục là đồng khả năng và có tất cả n kết cục như vậy Kí hiệu m là số các kết cục thuận lợi cho biến cố A Khi ấy xác suất của biến cố A là:

( A ) m

• Ví dụ 2.1: Trong 1 hộp có 6 bi trắng, 4 bi đen.Lấy ngẫu nhiên

ra 5 bi Tính xác suất để lấy được đúng 3 bi trắng

• Giải ( phân phối siêu bội)

• Ví dụ 2.2: Cĩ 10 người lên ngẫu nhiên 5 toa tàu Tính xác suất

để toa thứ nhất khơng cĩ người lên:

2 Định nghĩa hình học về xác suất:

Định nghĩa 2.2: Giả sử trong mỗi phép thử các kết cục là đồng

khả năng và được biểu diễn bằng các điểm hình học trên miền

1 0

1 0

4 5

 



khả năng và được biểu diễn bằng các điểm hình học trên miền

Kí hiệu D là miền biểu diễn các kết cục thuận lợi cho biến cố A Khi ấy xác suất của biến cố A là:

đo

độ

P A

độ

• Ví dụ 2.3: Chia đoạn AB cố định ngẫu nhiên thành 3 đoạn Tính xác suất để 3 đoạn đó lập thành 3 cạnh của 1 tam giác.

• Giải: Gọi độ dài đoạn thứ 1,2 là x,y.Khi ấy đoạn thứ 3 là l-x-y

HÌNH 2.1

• Ví dụ 2.4: Ném lên mặt phẳng có kẻ những đường thẳng songsong cách nhau 1 khoảng là 2a một cây kim có độ dài 2t<2a.Tính xác suất để cây kim cắt 1 trong các đường thẳng song song

Giải: Gọi I là điểm giữa cây kim ,IH là khoảng cách từ I tới

đường thẳng gần nhất; là góc nghiêng.Khi ấy ta có:

HÌNH 2.2

HÌNH 2.3

Các tính chất của xác suất : xem sách giáo khoa

3 Định nghĩa xác suất theo tiên đề

• Định nghĩa 2.3: Ký hiệu là tập hợp các biến cố trong 1 phép thử Ta gọi xác suất là 1 quy tắc đặt mỗi biến cố A với 1

số P(A) thỏa mãn các tiên đề:

§3: Các định lý xác suất

1: Định lý cộng xác suất

Định lý 3.1(hình 3.1): P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB)

• Ví dụ 3.1: Có 10 người lên ngẫu nhiên 5 toa tàu Tính xác

suất để toa thứ nhất hoặc toa thứ hai không có người lên

A là biến cố toa thứ 1 không có người lên,

B là biến cố toa thứ 2 không có người lên Ta có :

Ví dụ 3.2: Có k người lên ngẫu nhiên n toa tàu (k>n) Tính xác suất để tất cả các toa đều có người lên

Bài giải • A - tất cả các toa đều có người lên

Chú ý: Ở vế phải trong tổng thứ 1 có số hạng, trong tổng thứ 2 có số hạng,…, trong tổng thứ k có số hạng,…, trong tổng thứ n có số hạng.

1

n

C

n n

C

k n

C

2

n

C

Bài giải • A - tất cả các toa đều có người lên

• - có ít nhất 1 toa không có người lên.

• - toa thứ i không có người lên, i =1, 2,…n

a)Tính xác suất để có ít nhất 1 bức thư đúng địa chỉ.

b) Tính xác suất để chỉ có đúng 1 bức thư đúng địa chỉ c) Tính xác suất để chỉ có đúng m bức thư đúng địa chỉ

-Không có bức nào đúng địa chỉ trong n bức thư -Chỉ có đúng 1 bức đúng địa chỉ trong n bức thư

-Chỉ có đúng m bức đúng địa chỉ trong n bức thư,

2 Định lý nhân xác suất

• Định nghĩa 3.2: Xác suất của biến cố B khi biết rằng biến cố A

đã xảy ra được gọi là xác suất của B với điều kiện A và kí hiệu

là P(B/A)

• Chú ý: biến cố A có thể xảy ra trước, đồng thời hoặc sau B

• Ngôn ngữ biểu diễn: P(B/A) = xác suất B biết (nếu)A hoặc Cho A… tính xác suất B

• Định nghĩa 3.3:Hai biến cố A,B được gọi là độc lập với nhau nếu xác suất của biến cố này không phụ thuộc vào việc biến

cố kia đã xảy ra hay chưa trong 1 phép thử

• Định nghĩa 3.4: Một hệ các biến cố được gọi là độc lập toàn

phần nếu mỗi biến cố của hệ độc lập với 1 tổ hợp bất kỳ của các biến cố còn lại

• Định lý 3.3: A, B độc lập khi và chỉ khi P(AB)=P(A).P(B)

Chú ý: Trong trường hợp độc lập không nên dùng công thức

cộng xác suất mà nên dùng công thức nhân xác suất.

• Ví dụ 3.3: 1 mạng gồm n chi tiết mắc nối tiếp.Xác

suất hỏng của chi tiết thứ i là Tính xác suất để

Ví dụ 3.4: Tung 3 con xúc xắc cân đối,đồng chất Tính xác suấtđể:

6

1 5 6

3 5 4 6

P C

Ví dụ 3.5: Từ 1 hộp có 10 bi trắng , 6 bi đen ,người ta lấy lầnlượt không hoàn lại từng bi cho đến khi được 5 bi đen thì dừnglại.Tính xác suất để lần thứ 3 lấy được bi trắng nếu biết rằng đã dừng lại ở lần thứ 9

3 Công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes:

• Định nghĩa 3.5: Hệ được gọi là hệ đầy đủ, nếu

trong mỗi phép thử nhất định 1 và chỉ 1 trong các biến cố Hi

Ví dụ 3.5: Có 2 hộp bi cùng cỡ, hộp 1 chứa 4 bi trắng và 6 bi xanh, hộp 2 chứa 5 bi trắng và 7 bi xanh.Lấy ngẫu nhiên 1 hộp, từ hộp đó lấy ngẫu nhiên1 bi thì được bi trắng Tìm xác suất để viên bi tiếp theo, cũng lấy từ hộp trên ra là bi trắng

Giải: Lấy ngẫu nhiên 1 hộp: H1 lấy được hộp 1

• P(B)=P(A), trong cả 2 bài toán

• Nếu câu hỏi là :Giả sử lần 1 đã lấy được bi trắng tính xác suất

Ví dụ 3.6 : Có 1 tin tức điện báo tạo thành từ các tín hiệu(.)và (-) Qua thống kê cho biết là do tạp âm, bình quân 2/5 tín hiệu(.) và 1/3 tín

hiệu(-) bị méo Biết rằng tỉ số các tín hiệu

chấm và vạch trong tin truyền đi là 5:3 Tính xác suất sao cho nhận đúng tín hiệu truyền đi nếu đã nhận được chấm.

• Giải :

H1 là biến cố truyền đi chấm,

H2 là biến cố truyền đi vạch

• Gọi A là biến cố nhận được chấm

4 Công thức Bernoulli:

• Định lý 3.5: Giả sử trong mỗi phép thử 1 biến cố A có thể xuất hiện với xác suất p (khi A xuất hiện ta quy ước là thành công) Thực hiện n phép thử giống nhau như vậy Khi ấy xác suất để

Định nghĩa 3.6: Kí hiệu k0 là số sao cho:

Khi ấy k0 được gọi là số lần thành công có nhiều khả năng xuất

 n k p , ,  C p Cn k. k. n k n k qn k , k 0,1, , n

Chú ý:

Ví dụ 3.7 : Tung cùng lúc 20 con xúc xắc.

1 Tính xác suất để có đúng 4 mặt lục xuất hiện.

2 Tính số mặt lục có nhiều khả năng xuất hiện nhất.

Ví dụ 3.8:Trong 1 hộp có N bi trong đó có M bi trắng còn lại là đen Lấy ngẫu nhiên lần lượt từng bi có hoàn lại ra n bi Khi ấy xác suất để lấy được đúng k bi trắng được tính bằng công thức Bernoulli nói trên với p = M/N (phân phối nhị thức) :

Ví dụ 3.9:Trong 1 hộp có N bi trong đó có M bi trắng còn lại là đen Lấy ngẫu nhiên lần lượt từng bi không hoàn lại ra n bi

Chương 2: Đại lượng ngẫu nhiên, vectơ ngẫu nhiên

§1: Đại lượng ngẫu nhiên

• Khái niệm: Đại lượng ngẫu nhiên là đại lượng

có thể ngẫu nhiên nhận một số giá trị với các xác suất tương ứng xác định.

• Đại lượng ngẫu nhiên là rời rạc nếu số các giá trị của nó là hữu hạn hoặc vô hạn đếm được

• Đại lượng ngẫu nhiên là liên tục nếu tập hợp tất cả các giá trị có thể có của nó lấp đầy ít

nhất 1 khoảng trên trục số.

§2: Các phương pháp mô tả đại lượng ngẫu nhiên

1 Bảng phân phối xác suất (chỉ dùng cho rời rạc)

Định nghĩa 2.1: (…) vô hạn   x i   p i i, 1, 2, 3, k

1

i i

k k

Chú ý:

Ví dụ 2.1: 1 người bắn lần lượt từng viên đạn vào bia với xác suất

Ví dụ 2.1: 1 người bắn lần lượt từng viên đạn vào bia với xác suất trúng đích của mỗi viên là p, cho đến khi trúng thì dừng

a) Hãy lập bảng phân phối xác suất của X là số đạn đã bắn ra cho đến khi dừng lại

b)Tính xác suất để X > n-1

c)Tính xác suất để X= m nếu X> n-1, m > n

Ví dụ 2.1: 1 người bắn lần lượt từng viên đạn vào bia với xác

suất trúng đích của mỗi viên là p, cho đến khi trúng thì dừng hoặc bắn hết 20 viên thì ngừng Hãy lập bảng phân phối xác suất của X là số đạn đã bắn ra cho đến khi dừng lại.Tính xác

1 1

2 Hàm phân phối xác suất(rời rạc và liên tục):

• Định nghĩa 2.2 : hàm phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên X là:

Hệ quả 1 : Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục thì

liên tục trên toàn trục số

• Hệ quả 2 : Nếu X liên tục thì

• Hệ quả 3: Giả sử X rời rạc và có bảng phân phối xác suất như trên.Khi ấy

Chú ý: Hàm phân phối bên trái miền giá

  x  0

FX

  x  1

FX

3.Hàm mật độ xác suất ( chỉ dùng cho đại lượng ngẫu nhiên liên tục)

• Định nghĩa 2.3: Hàm mật độ xác suất của đại lượng ngẫu nhiên X liên tục là:

Chú ý: Hàm mật độ bên ngoài miền giá trị

0 /2

2 Hãy tìm hàm phân phối

3 Hãy tính xác suất để X nhận giá trị trong khoảng:

Giải: q   1 p q ,   1 p

1, 2.

p p

Ví dụ 2.5: Hai cầu thủ bóng rổ lần lượt ném bóng vào

rổ cho đến chừng nào 1 người ném lọt rổ thì thôi a)Lập dãy phân phối của số lần ném của mỗi người

và tổng số bóng của cả 2 người nếu xác suất lọt rổ của người thứ nhất, thứ hai là

b)Tính xác suất để người thứ 2 ném lọt rổ trước.

§3: Véc tơ ngẫu nhiên

I Vectơ ngẫu nhiên

Giả sử là các đại lượng ngẫu nhiên được xácđịnh bởi kết quả của cùng 1 phép thử Khi ấy

được gọi là một vectơ ngẫu nhiên n chiều

II Véctơ ngẫu nhiên rời rạc 2 chiều(X,Y).

II Véctơ ngẫu nhiên rời rạc 2 chiều(X,Y).

1 Bảng phân phối xác suất đồng thời:

 x Yi , y j  p iij , 1, ; k j 1, h

2 Bảng phân phối xác suất lề của X và Y

i j 1

i j 1

, 1, , 1,

h

j k

Y X

5.Hàm phân phối xác suất đồng thời(rời rạc và liên tục)

(2)Giả sử X,Y rời rạc và có bảng phân phối xác suất như trên, khi ấy ta có:

y

Ví dụ 3.1: Giả sử X,Y có bảng phân phối xác suất sau:

(1)Tìm bảng phân phối xác suất lề của X:

(2) Hãy kiểm tra tính độc lập của X và Y

là phụ thuộc (3)Tìm bảng phân phối của X khi Y=5:

0.1 0.3, 1,

III Véc tơ ngẫu nhiên liên tục 2 chiều (X,Y)

1.Hàm phân phối xác suất đồng thời F(x,y)

HÌNH 3.1

.Chú ý : Các hàm phân phối xác suất lề:

4.Điều kiện độc lập của X và Y

X,Y độc lập  f x y  ,   fX   x f Y   y

,,

X Y

0

, ( )

HÌNH 3.2

x

HÌNH 3.3

0

y 

3.Hãy kiểm tra tính độc lập của X và Y

Vậy ta có: X,Y phụ thuộc f x y  ,   fX   x f Y   y 

4.Hãy tìm hàm mật độ xác suất của X khi Y=2 (HÌNH 3.4)

HÌNH 3.4

Tương tự tìm hàm mật độ xác suất của Y khi X=3 (HÌNH 3.5)

 3,    0 ,khi y < 3

f  y 

 

3 / 3

6

0 ,khi y < 3 3,

HÌNH 3.5

5.Hãy tìm hàm phân phối xác suất đồng thời F(x,y)(HÌNH 3.6-3.8)

x y

u v D

0 0

u v u

HÌNH 3.6

HÌNH 3.7

HÌNH 3.8

D D

$4.Hàm của một đại lượng ngẩu nhiên

2 Trường hợp liên tục: Gỉa sử cho X liên tục

Bước 1 Tìm miền giá trị của

Định nghĩa 4.1: đại lượng ngẫu nhiên X gọi là có phân phối đều trên đoạn ,kí hiệu X~U ,nếu a b,  a b, 

Ví dụ 4.3 : Cho X có phân phối đều trên đoạn [0,1] .

• B3: f   y    0, y  0

0, 0 ( )

• (2) Miền giá trị của Z là đoạn [-1,2] Theo chú ý ở trên thì

Z có phân phối đều trên đoạn [-1,2] nên

$4 Hàm của hai đại lượng ngẫu nhiên



Giải:

0 , 4 0 , 6

Y P

Giải: Phép tính này không thể thực hiện được ! Tuy nhiênnếu thêm điều kiện X,Y độc lập thì ta sẽ có :

2.Trường hợp liên tục:

Bước 1: Tìm miền giá trị của

nếu thêm điều kiện X,Y độc lập thì ta sẽ có :

3 5 7 0,12 0, 46 0, 42

X Y P



Tìm hàm phân phối của Z=X+Y

1 ( , )

• HÌNH 4.1

• HÌNH 4.2

1) Tìm hàm phân phối của Z= max (X,Y)

Ví dụ 4.3: Cho X,Y độc lập và có cùng hàm phân phối

Ví dụ 4.3: Cho X,Y độc lập và có cùng hàm phân phối

Chương 3.Các đặc trưng của đại lượng ngẫu

nhiên và véctơ ngẫu nhiên.

Ý nghĩa: Kỳ vọng E(X) là giá trị trung bình của X

2 Tính chất: (1) E(C) = C,(2) E(CX) = C.E(X) ,C là hằng số

(3) E(X+Y) = E(X) + E(Y)(4) X, Y độc lập suy ra E(XY) = E(X).E(Y)

  x f X  x d x

 

§3.Các đặc trưng khác của đại lượng ngẫu nhiên1.Mod X (giá trị của X ứng với xác suất lớn nhất)

Định nghĩa 3.1: Giả sử X rời rạc và

Định nghĩa 3.2: Giả sử X liên tục và có hàm , ta có