ĐỀ THI kết THÚC học phần hình học vi phân

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAMĐộc lập – Tự do – Hạnh phúc ĐỀ THI KẾT THÚC Học phần Hình học vi phân Thời gian thi: 90 phút Hệ: Đại học Sư phạm Toán liên thông Câu 1 2 điểm Nêu định

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

ĐỀ THI KẾT THÚC Học phần Hình học vi phân

Thời gian thi: 90 phút Hệ: Đại học Sư phạm Toán liên thông

Câu 1 (2 điểm)

Nêu định nghĩa và các tính chất của đạo hàm của hàm số theo một véc tơ tiếp xúc

Câu 2 (2 điểm)

Cho U là tập mở trong En, với toạ độ afin ( x1, , xn) của En thì mọi θ ∈Ω1( ) U

viết được duy nhất dưới dạng

1 ,

i

i dx

=

∑

∑ = ∑ ∧ Chứng minh rằng ánh xạ d : Ω1( ) U → Ω2( ) U thoả mãn các tính chất sau:

a) d là R- tuyến tính

Câu 3 (2 điểm)

Xét trường mục tiêu song song { E E E1, ,2 3} ứng với mục tiêu afin { O e e e , , , ur ur ur1 2 3}

của E3 với toạ độ (x,y,z) cho các trường vectơ

Z = xyE1+ e Ez 2 − y E2 3; T = yE1+ xE2 Hãy tính D D T D Z xTZ( Z ), Z( + )

Câu 4 (2 điểm)

Tính độ cong và độ xoắn của cung sau trong E3

Câu 5 (2 điểm)

Trong ¡ 3cho cung (γ) có tham số hóa:

ρ(t) = (t2, 1 − t, t3− 5) Tìm các điểm trên (γ) sao cho mặt phẳng mật tiếp của (γ) tại các điểm đó song song với mặt phẳng có phương trình 3x − 3y + z − 2 = 0

Hết

Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Sinh viên không được sử dụng tài liệu.

ĐÁP ÁN ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN

Học phần: Hình học vi phân Thời gian thi: 90 phút

Hệ, ngành: Đại học Sư phạm Toán liên thông

Câu 1

(2 điểm) Cho U mở trong

n

hàm tại t = 0 của hàm số t a ϕ(p t+ αur) thì ký hiệu đạo hàm đó là α ϕp[ ]

và gọi là đạo hàm của hàm số ϕ theo vectơ tiếp xúc αp hay đạo hàm

của hàm số ϕ theo vectơ αur đặt tại p Ta có [ ]( )X ψ p

Các tính chất: Với ϕ,ψ là các hàm số khả vi trên U, α βp, p ∈T U p ,

k R∈ thì ta có a) α ϕ ψp[ + ]=α ϕ α ψp[ ]+ p[ ]; b) (αp +β ϕ α ϕ β ϕp)[ ]= p[ ]+ p[ ] c) (kα ϕp)[ ]=kα ϕp[ ]; d)α ϕψp[ ]=α ϕ ψp[ ] ( )p +ϕ( ) [ ]p α ψp

0.5 0.5

0.5 0.5

Câu 2

(2 điểm)

Ý

a

Ta có:

Do đó d là R- tuyến tính

0.5

0.5

Ý

b

Ta có θ∈Ω1( )U ,

1

i

i dx

=

∑

1

i

=

∑

0.5 0.5

Câu 3

(2 điểm) Áp dụng công thức tính đạo hàm thuận biến của trường vectơ T dọctrường vectơ Z đối với trường mục tiêu song song {E E E ứng với1, 2, 3}

hệ toạ độ afin (x,y,z) trong E , 3 Z 31Z[ ]i i

i

=

∑

= (trong đó T = 3

1 i i

i ϕE

=

3

1 i i

i

=

∑

= ) D T Z =Z[y]E1+Z[x]E2 =

 ∂ + ∂ − ∂ 

2

2

 ∂ + ∂ − ∂ 

z

Z Z

 ∂ + ∂ − ∂  + ∂ + ∂ − ∂ 

0.5

0.5

Ta có Z + x T = 2xy E1 + 2 2

(e z +x E) −y E

Z

Z[2xy]E +Z[ez +x E] +Z[-y ]E

1

2

2

z

2

3

z

(2xy +2xe E z) +(2x y y e E− z) −2e yE z

0.5

0.5

Câu 4

(2 điểm)

Áp dụng công thức tính độ cong và độ xoắn ta tính

'( )t 3 os sin ,3sin cos , 2sin 2 c 2t t 2t t t

''( )t 3sin sin 2t t 3 os ,3sin 2 cosc 3t t t 3sin , 4 os2 3t c t

( ) os sin 2 6cos sin 2 , sin sin 2 6cos os2 ,8sin 2

sin 4 sin 3sin 2 sin , sin 4 os 3sin 2 os , sin 2

4

( ) sin 2 2

8

2

16

'( ) ( ) ( ) sin 2

2

25sin cos

k t

25sin cos

t

0.5

0.5

0.5

0.5

Câu 5

(2 điểm) Trong ¡ điểm song chính quy t, ta có 3 ρ = ( ) t ( x t y t z t ( ), ( ), ( ) )

'' '' ''

( ) y-y(t) z-z(t)

( ) y ( ) z ( )

x x t

−

=

trình mặt phẳng mật tiếp là

2

2 0 6t

=

0.5

0.5

0.5

có phương trình.

3x − 3y + z − 2 = 0

Nên xác định được các giá trị của t ứng với các điểm thỏa mãn đầu bài 0.5 Tổng 10