CÁC mô HÌNH ARCH GARCH và dự báo rủi RO

Và điều này nảy sinh ý tưởng cần phải xem xét các dạng dữ liệu trong đó cho phép phương sai của nó phụ thuộc vào các giá trị phương sai trong quá khứ chứ không chỉ riêng giá trị trung bì

MỤC TIÊU HỌC TẬP

Chương này sau khi nghiên cứu chúng ta sẽ có thể dự báo rủi ro các biến số kinh tế và tài chính có độ dao động cao Các mô hình dự báo không còn đơn thuần là dự báo giá trị trung bình nữa mà còn tiến tới dự báo rủi ro cho các biến số này Các mô hình dự báo rủi ro với sự hỗ trợ của phần mềm Eviews trong chương này bao gồm:

GIỚI THIỆU Ý TƯỞNG CỦA CÁC MÔ HÌNH ARCH

Chúng ta đã biết rằng, phân tích kinh tế lượng cổ điển đều giả định phương sai của sai số là không đổi theo thời gian Tuy nhiên, các chuỗi dữ liệu về tài chính và kinh tế thường có xu hướng dao động cao vào một số giai đoạn theo sau một số giai đoạn tương đối ít biến động Trong tài chính, người ta cho rằng có sự dao động như vậy là do bất kỳ một chuỗi thời gian nào đều chịu ảnh hưởng ít nhiều của các tin tức tốt và xấu có liên quan và các nhà đầu tư trên thị trường đều ứng xử theo kiểu hành vi đám đông Cho nên, giả định phương sai không đổi theo thời gian thường không còn phù hợp đối với các dữ liệu chuỗi thời gian

Hình 9.1 minh họa xu hướng vận động của một chuỗi dữ liệu tài chính (suất sinh lợi hàng ngày của cổ phiếu ABC giai đoạn từ ngày 1 tháng 1

năm 1990 đến ngày 31 tháng 12 năm 1999, DATA9-1) Ở đồ thị này,

chúng ta nhận thấy rằng trong một số giai đoạn suất sinh lợi của cổ phiếu ABC biến động cao hơn (và vì thế rủi ro sẽ cao hơn) so với các giai đoạn khác Điều này có nghĩa rằng giá trị kỳ vọng của độ lớn các hạng nhiễu ở các giai đoạn này lớn hơn các giai đoạn khác Hơn nữa, các giai đoạn có rủi

ro cao và thấp dường như có tính tập trung, chứ không kéo dài mãi mãi Nói cách khác, các thay đổi lớn trong suất sinh lợi của cổ phiếu ABC dường như được theo sau bởi những thay đổi lớn khác trước khi có xu hướng giảm xuống Và một khi đã giảm xuống thì xu hướng này có vẽ được tiếp tục ổn định trong một thời gian nhất định

Như vậy, trong các trường hợp như Hình 9.1 thì rõ ràng rằng giả định phương sai không đổi có vẽ không còn phù hợp Và điều này nảy sinh ý tưởng cần phải xem xét các dạng dữ liệu trong đó cho phép phương sai của

nó phụ thuộc vào các giá trị phương sai trong quá khứ (chứ không chỉ riêng giá trị trung bình như đã đề cập trong các mô hình ARIMA) Nói cách khác, tốt hơn là chúng ta nên xem xét không chỉ trường hợp phương sai không có điều kiện, mà còn trường hợp phương sai có điều kiện Điều này

có nghĩa rằng, phương sai của thời điểm t có thể phụ thuộc vào phương sai

tại các thời điểm trước đó, hay còn gọi là các phương sai trễ, và hiện tượng này trong kinh tế lượng gọi là tự tương quan (Autocorrelation)

Để hiểu rõ hơn về vấn đề này, chúng ta hãy xem một nhà đầu tư dự định

mua cổ phiếu ABC tại thời điểm t và bán tại thời điểm t+1 Đối với nhà

đầu tư này, chỉ dự báo suất sinh lợi kỳ vọng của cổ phiếu ABC sẽ là chưa

đủ Thực tế, nhà đầu tư này có thể sẽ quan tâm và thực sự có quan tâm đến phương sai của suất sinh lợi sẽ như thế nào trong giai đoạn nắm dữ cổ phiếu ABC Điều này có nghĩa, nhà đầu tư không chỉ quan tâm đến suất sinh lợi kỳ vọng, mà còn quan tâm đến mức độ rủi ro của cổ phiếu ABC Như vậy, nhà đầu tư có thể muốn xem xét hành vi của phương sai có điều kiện của chuỗi dữ liệu cổ phiếu ABC để ước lượng mức độ rủi ro của cổ phiếu ABC trong một giai đoạn nhất định nào đó

tại thời điểm t phụ thuộc vào các số

hạng nhiễu bình phương ở các giai đoạn trước Engle cho rằng tốt nhất chúng ta nên mô hình hóa đồng thời giá trị trung bình và phương sai của chuỗi dữ liệu khi nghi ngờ rằng giá trị phương sai thay đổi theo thời gian Hãy xem mô hình đơn giản sau:

Yt = [ ] + 1  [X2 t] + ut (9.1)

Trong đó, [Xt] là một véctơ k x 1 các biến giải thích và [  ] là một véctơ k 2

x 1 các hệ số Thông thường, ut được giả định tuân theo phân phối chuẩn với trung bình bằng 0 và phương sai không đổi là 2 Giả định này được viết như sau:

ut ~ N(0, 2) (9.2)

1 Khi ước lượng với mẫu thì chúng ta thay khái niệm hạng nhiễu bằng khái niệm phần dư

Ý tưởng của Engle bắt đầu từ sự thật rằng ông cho phép phương sai của các hạng nhiễu phụ thuộc vào các giá trị quá khứ, hay phương sai thay đổi qua thời gian Một cách để mô hình hóa ý tưởng này là cho phương sai phụ thuộc vào các biến trễ của các hạng nhiễu bình phương Điều này có thể được minh họa như sau:

2 1 t 1 0

Ở đây, phương trình (9.4) được gọi là phương trình ước lượng giá trị trung bình (ví dụ suất sinh lợi kỳ vọng của cổ phiếu ABC) và phương trình (9.5) được gọi là phương trình ước lượng giá trị phương sai (ví dụ rủi ro của cổ phiếu ABC) Lưu ý, để đơn giản trong việc thể hiện công thức của phương

trình phương sai, từ đây về sau chúng ta sử dụng ký hiệu h t thay cho 2t

Mô hình ARCH(1) cho rằng khi có một cú sốc lớn xảy ra ở giai đoạn t-1,

thì giá trị ut (giá trị tuyệt đối hoặc bình phương) sẽ cũng lớn hơn Nghĩa là, khi u2t1 lớn/nhỏ, thì phương sai của u t cũng sẽ lớn/nhỏ Hệ số ước lượng

1 phải có dấu dương vì phương sai luôn dương

MÔ HÌNH ARCH(q)

Thực tế, phương sai có điều kiện có thể phụ thuộc không chỉ một độ trễ mà còn nhiều độ trễ trước đó nữa, vì mỗi trường hợp có thể tạo ra một quy trình ARCH khác nhau

Mô hình ARCH(2) sẽ được thể hiện như sau:

2 2 t 2

2 1 t 1 0

Và mô hình ARCH(3) sẽ là

2 3 t 3

2 2 t 2

2 1 t 1 0

Và trường hợp tổng quát sẽ là ARCH(q) được thể hiện như sau:

2 q t q

2 2 t 2

2 1 t 1 0

2 j t q 1

Các hệ số ước lượng j phải có dấu dương vì phương sai luôn dương

KIỂM ĐỊNH ẢNH HƯỞNG ARCH

Trước khi ước lượng các mô hình ARCH(q), điều quan trọng là chúng ta cần kiểm tra xem có tồn tại các ảnh hưởng ARCH hay không để biết các

mô hình nào cần ước lượng theo phương pháp ước lượng ARCH thay vì theo phương pháp ước lượng OLS Kiểm định ảnh hưởng ARCH sẽ được thực hiện theo quy trình như sau:

Bước 1: Ước lượng phương trình trung bình (9.11) theo phương pháp OLS

Yt =  + 1  X2 t + ut (9.11)

Lưu ý, các biến giải thích có thể bao gồm các biến trễ của biến phụ thuộc

và các biến giải thích khác có ảnh hưởng đến Yt Ngoài ra, khi thực hiện với dữ liệu mẫu, thì hạng nhiễu ut trong mô hình (9.11), được đổi thành phần dư et (ở đây et được dùng để thay cho ký hiệu uˆ ) t

Bước 2: Ước lượng phương trình hồi quy phụ sau đây:

t

2 q t q

2 2 t 2

2 1 t 1 0

2

Xác định hệ số xác định của mô hình hồi quy phụ, đặt tên là Raux2

Bước 3: Xác định giả thiết H0 như sau:

có thể kết luận rằng chuỗi dữ liệu đang xét có ảnh hưởng ARCH

ƯỚC LƯỢNG CÁC MÔ HÌNH ARCH TRÊN EVIEWS

Sử dụng tập tin DATA9-2 chứa dữ liệu theo ngày giá cổ phiếu SAM và

suất sinh lợi được tính theo công thức R=log(SAM/SAM(-1)) trong giai đoạn từ ngày 28/7/2000 đến ngày 26/3/2009 Trước hết ta xem xét dạng dữ liệu của suất sinh lợi R của cổ phiếu SAM để chọn dạng mô hình phù hợp cho phương trình suất sinh lợi trung bình

Bước 1: Vẽ đồ thị của R theo thời gian

 HÌNH 9.2: Biến động của suất sinh lợi cổ phiếu SAM

Như vậy, suất sinh lợi R của cổ phiếu SAM có thể là một chuỗi dừng và có

thể có ảnh hưởng ARCH vì các dao động của R quanh giá trị 0 không đều

nhau

Bước 2: Kiểm định tính dừng

 HÌNH 9.3: Giản đồ tự tương quan của R

Như vậy, R là một chuỗi dừng tại các độ trễ 1 cho AR và MA Ta có thể ước lượng thử ba mô hình sau đây để xem mô hình nào phù hợp nhất cho việc ước lượng suất sinh lợi trung bình: ARMA(1,0), ARMA(0,1) và ARMA(1,1)

Bước 3: Lựa chọn mô hình phù hợp cho suất sinh lợi trung bình

Kết quả ước lượng cho thấy mô hình ARMA(0,1) không có hệ số truc tung

có thể là mô hình phù hợp nhất cho suất sinh lợi trung bình vì sai số Kết quả như sau:

 HÌNH 15.4: Kết quả mô hình ARMA(0,1)

Bước 4: Kiểm tra có tồn tại các ảnh hưởng ARCH hay không

Hình 9.2 cho thấy có vẻ như phương sai của hạng nhiễu tại thời điểm t phụ

thuộc vào phương sai của hạng nhiễu ở các giai đoạn trước đó vì các dao động cao được tiếp theo bởi các dao động cao khác và ngược lại Để kiểm tra các ảnh hưởng ARCH trên Eviews, ta thực hiện như sau:

• Ước lượng mô hình ARMA(0,1) như ở Hình 9.4

• Vào View/Residuals Tests/Heteroskedasticity Tests …

 HÌNH 9.5: Kiểm định ảnh hưởng ARCH trên Eviews

Xác định độ trễ bằng 1, rồi chọn OK, ta sẽ có kết quả hồi quy phụ như sau:

 HÌNH 9.6: Kiểm định ảnh hưởng ARCH(1)

Giá trị Chi bình phương tính toán bằng 486,25 là quá cao so với giá trị Chi bình phương tra bảng ở mức ý nghĩa 1% với 1 bậc tự do (là 6,6349), nên ta bác bỏ giả thiết H0 Nghĩa là, có ảnh hưởng ARCH Tiếp tục tăng số độ trễ lên 2, 3, 4, 5, 6, và 7, ta nhận thấy rằng có thể độ trễ bậc 5 là độ trễ tối ưu,

vì các hệ số ước lượng trong mô hình hồi quy phụ đều có ý nghĩa ở mức 1%, và các thống kê khác như R2 điều chỉnh, AIC, SBC, v.v., không có khác biệt lớn so với độ trễ bằng 6 Ngoài ra, với độ trễ là 6 thì hệ số của độ trễ bậc 5 có dấu hiệu không có ý nghĩa, và khi độ trễ là 7 thì hệ số của độ trễ bậc 5 trở nên không có ý nghĩa Lưu ý rằng, nếu ta chọn độ trễ không thích hợp thì trong kết quả ước lượng của mô hình ARCH sẽ có nhiều hệ số không có ý nghĩa thống kê Chính vì thế, chúng ta sẽ so sánh kết quả mô hình ARCH(1) và ARCH(5) để xem nên chọn mô hình nào cho mục đích

dự báo trung bình và phương sai của suất sinh lợi R Tuy nhiên, như chúng

ta sẽ biết ở phần sau, việc sử dụng quá nhiều độ trễ không phải luôn là giải pháp tối ưu, nên trong những trường hợp như vậy người ta thích sử dụng

mô hình GARCH(p,q) hơn

Bước 5: Ước lượng mô hình ARCH(1)

Sau khi đã biết có ảnh hưởng ARCH, nên tốt nhất chúng ta sử dụng phương pháp ước lượng ARCH thay vì phương pháp OLS như ở Hình 9.4

Tương tự như phương pháp OLS, chúng ta vào Quick/Estimate Equation,

và thấy xuất hiện hộp thoại như sau:

 HÌNH 9.7: Ước lượng mô hình ARCH trên Eviews

Sau khi chọn OK, ta có kết quả ước lượng mô hình ARCH(1) như sau:

Nếu ước lượng mô hình ARCH(1), thì ta nhập vào ô “ARCH” số 1, và để

trống ô “GARCH” Nếu chọn OK, chúng ta sẽ có kết quả ước lượng như

sau:

Rt = 0.271et-1 + et (9.14)

ut ~ N(0,ht)

ht = 0.000134 + 0.9096e2t1 (9.15)

 HÌNH 9.8: Kết quả ước lượng ARCH(1)

Giá trị ước lượng của hệ số 1 có dấu dương và rất có ý nghĩa thống kê,

điều này cho thấy kết quả ước lượng phù hợp với kết luận ở phần kiểm

định ảnh hưởng ARCH Giá trị ước lượng của hệ số ˆ từ mô hình OLS 2

cũng có thay đổi một chút và trở nên có ý nghĩa cáo hơn (z-statistic thay

đổi từ 9,24 lên 25,08)

Để ước lượng một mô hình ARCH bậc cao hơn, ví dụ ARCH(5), chúng ta

cũng thực hiện tương tự như ở mô hình ARCH(1), nhưng thay vì nhập số 1

vào ô ‘ARCH’, bây giờ ta nhập số 5 Kết quả ước lượng mô hình ARCH(5)

được trình bày ở Hình 9.9

Bây giờ, tất cả các hệ số s đều có dấu dương và có ý nghĩa thống kê, điều

này cũng phù hợp với kết quả kiểm định ảnh hưởng ARCH được thảo luận

ở phần trên Sau khi ước lượng mô hình ARCH(5), chúng ta có thể tạo và

vẽ đồ thị của chuỗi số liệu về độ lệch chuẩn có điều kiện của suất sinh lợi R

bằng cách chọn View/Garch Graph/Conditional Standard Deviation

(xem Hình 9.10)

 HÌNH 9.9: Kết quả ước lượng ARCH(6)

Eviews cũng cho phép chúng ta tạo ra chuỗi dữ liệu về phương sai của suất

sinh lợi R bằng cách chọn Proc/Make GARCH Variance Series Eviews

sẽ tự động đặt tên các chuỗi này là GARCH01, GARCH02, v.v Chúng ta

cần phải đặt tên lại các phương sai này với các tên phù hợp với mô hình

vừa được ước lượng, ví dụ ARCH1, ARCH5 để thuận lợi trong việc quản

lý dữ liệu trong tập tin Eviews Sau khi đã tạo các chuỗi này, chúng ta có

thể vẽ trên cùng đồ thị để dễ dàng phân tích, so sánh giữa các mô hình

(xem Hình 9.11) Ở Hình 9.11, có vẽ như mô hình ARCH(5) cho ta ước

lượng phương sai nhẵn hơn và rõ ràng hơn so với mô hình ARCH(1) Điều

này phần nào chứng tỏ mô hình ARCH(5) phù hợp với dữ liệu suất sinh lợi

của cổ phiếu SAM hơn so với mô hình ARCH(1) Để tạo chuỗi độ lệch

chuẩn có điều kiện, chúng ta cũng có thể thực hiện như sau:

Genr sd_arch5=arch5^1/2

Như vậy, để dự báo suất sinh lợi trung bình và rủi ro của cổ phiếu SAM,

chúng ta sẽ sử dụng mô hình ARCH(5) Các thông tin cần cho việc dự báo

giai đoạn t+1 sẽ là et, e2t , e2t1, e2t  2, e2t  3, và e2t  4 Các giá trị phần dư có

thể được tạo ra bằng hai cách: (1) genr e5=resid, hoặc (2) Proc/Make

Residual Series, rồi đặt lại với tên e5 Sau khi đã có e5, chúng ta dễ dàng

tạo các giá trị bình phương bằng cách genr e5 =e5^2

MÔ HÌNH GARCH

Theo Engle (1995), một trong những hạn chế của mô hình ARCH là nó có

vẽ giống dạng mô hình trung bình di động hơn là dạng mô hình tự hồi quy (AR) Vì vậy, một ý tưởng mới được đề xuất là chúng ta nên đưa thêm các biến trễ của phương sai có điều kiện vào phương trình phương sai theo dạng tự hồi quy Ý tưởng này do Tim Bollerslev đề xuất lần đầu tiên vào

năm 1986 trên tạp chí Journal of Econometrics với tên gọi “Generalised

Autogressive Conditional Heteroskedasticity”, và viết tắt là mô hình GARCH Ngoài ra, nếu các ảnh hưởng ARCH có quá nhiều độ trễ sẽ có thể ảnh hưởng đến kết quả ước lượng do giảm đáng kể số bậc tự do trong mô hình, và điều này càng nghiêm trọng đối với các chuỗi thời gian ngắn, ví dụ giá của các cổ phiếu mới lưu hành trên thị trường Chính vì vậy, mô hình GARCH có có xu hướng được các nhà dự báo sử dụng phổ biến hơn

p 1

bình phương, và các giá trị quá khứ của bản thân h t, đại diện bởi các biến

ht-i Nếu p = 0, có nghĩa là bậc của AR bằng 0 thì thì mô hình GARCH (0,q) đơn giản là mô hình ARCH(q) Dạng đơn giản nhất của mô hình

GARCH(p,q) là mô hình GARCH(1,1) Phương trình phương sai của mô

hình GARCH(1,1) được thể hiện như sau:

2 1 t 1 1 t 1 0

MÔ HÌNH GARCH(1,1) VÀ ARCH(q) VÔ TẬN

Để nhận thấy mô hình GARCH(1,1) là một cách biểu diển thu gọn của mô

hình ARCH(q), với q kéo dài vô tận, chúng ta cần một vài biến đổi

Phương trình (9.18) có thể được viết lại như sau:

2 1 t 1 1 t 0

2 1 t 1

2 2 t 1 2 t 0

2 2 t 1 2 t

2 0

2 1 t 1

2 2 t 1

2 3 t 1 3 t 0

2 0

2 1 t 1

2 2 t 1

2 3 t 1

2 3 t

3 0

2 0

2 1 t 1

u

2

A          (9.21) Lấy (9.20) trừ (9.21), rồi sắp xếp lại, ta sẽ có công thức A thu gọn như sau:







1

2 j t 1 j 1

0

1h

Như vậy, phương trình (9.23) cho thấy mô hình GARCH(1,1) tương đương

với mô hình ARCH bậc vô cùng với các hệ số có xu hướng giảm dần Vì lý

do này, chúng ta nên sử dụng mô hình GARCH(1,1) thay cho các mô hình

ARCH bậc cao bởi vì với mô hình GARCH(1,1), chúng ta có ít số hệ số

cần ước lượng hơn và vì thế sẽ giúp hạn chế khả năng mất đi một số bậc tự

do trong mô hình

ƯỚC LƯỢNG MÔ HÌNH GARCH TRÊN EVIEWS

Tiếp tục sử dụng tập tin DATA9-2, và ước lượng mô hình GARCH(1,1)

như sau Giả sử phương trình trung bình vẫn có dạng MA(1), ta vào

Quick/Estimate Equation, nhập vào hộp thoại “Equation Specification” r

ma(1), rồi chọn phương pháp ước lượng ARCH – Autogressive

Conditional Heteroskedasticity Ở đây, hộp thoại ở trên dành cho việc xác

định dạng phương trình trung bình, và hộp thoại ở dưới dành cho việc xác

định dạng phương trình phương sai Ở hộp thoại này, chúng ta nhập bậc

của q và p vào các ô ‘ARCH’ và ‘GARCH’

Nếu mô hình GARCH(1,1) thì ta nhập số 1 ở ô ‘ARCH’ và số 1 ở ô

‘GARCH’ Nếu mô hình GARCH(2,4) thì ta nhập số 4 vào ô ‘ARCH’ và

số 2 vào ô ‘GARCH’ Sau khi đã xác định số độ trễ q và p, ví dụ 1 và 1 cho

mô hình GARCH(1,1), ta chọn ‘OK’, và có kết quả như ở Hình 9.12 Kết

quả này có thể được viết như sau:

thống kê rất cao Để tạo ra chuỗi dữ liệu về phương sai của mô hình

GARCH(1,1), ta vào Proc/Make GARCH Variance Series, và vẽ đồ thị

chuỗi này như ở Hình 9.13

Quan sát đồ thị trên Hình 9.13 ta nhận thấy có vẽ như hai mô hình

ARCH(5) và GARCH(1,1) rất giống nhau Hơn nữa, nếu quan sát kỹ, thì có