Vành số nguyên gauss (2018)

Các số nguyên Gauss cùng với phép toán cộng và phép toán nhân các số phức cảm sinh thành một vành, gọi là vành các số nguyên Gauss, kí hiệu là Z[i].. Trong vành sốnguyên Gauss, ta có thể

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Nguyễn Thị Kim Lanh

VÀNH SỐ NGUYÊN GAUSS

Chuyên ngành: Đại số

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

Phan Văn Lộc

Hà Nội – Năm 2018

Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin bày tỏ lòng cảm ơn tới các Thầy Cô khoa Toán, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, các Thầy Cô trong

tổ bộ môn Đại số cũng như các Thầy Cô tham gia giảng dạy đã tận tình truyền đạt những tri thức quý báu và tạo điều kiện thuận lợi để em hoàn thành tốt nhiệm vụ khóa học và khóa luận.

Đặc biệt, em xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy Phan Văn Lộc, người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo tận tình giúp đỡ để em có thể hoàn thành khóa luận này.

Do thời gian, năng lực và điều kiện bản thân còn hạn chế nên bản khóa luận không thể tránh khỏi những thiếu sót Vì vậy, em rất mong nhận được những ý kiến góp ý quý báu của các Thầy Cô và các bạn.

Hà Nội, tháng 5 năm 2018

Sinh viên

Nguyễn Thị Kim Lanh

Em xin cam đoan khóa luận "Vành số nguyên Gauss" là công trình nghiên cứu của riêng em dưới sự hướng dẫn của Thầy Phan Văn Lộc Các nội dung nghiên cứu trong khóa luận là hoàn toàn trung thực Ngoài ra, trong đề tài còn sử dụng một số tài liệu có ghi rõ trong danh mục tài liệu tham khảo.

Nếu phát hiện có bất kỳ sự gian lận nào, em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm về khóa luận nghiên cứu của riêng mình!

Hà Nội, tháng 5 năm 2018

Sinh viên

Nguyễn Thị Kim Lanh

Lời mở đầu 1

1.1 Một số kiến thức cơ bản về nhóm, vành 3

1.1.1 Nhóm 3

1.1.2 Vành 6

1.2 Một số lớp vành đặc biệt 8

1.2.1 Vành chính 8

1.2.2 Vành Euclid 18

1.2.3 Vành Gauss (vành nhân tử hóa) 20

2 Vành số nguyên Gauss và một số ứng dụng 25 2.1 Vành số nguyên Gauss 25

2.2 Tính chất của vành số nguyên Gauss 27

2.2.1 Vành số nguyên Gauss là một miền Euclid 27

2.2.2 Tính chất chia hết trong tập số nguyên Gauss 28 2.2.3 Số nguyên tố Gauss 35

2.2.4 Đồng dư trong tập số nguyên Gauss 41

2.3 Một số ứng dụng 43

Kết luận 50

Lời mở đầu

Số nguyên Gauss là một số phức mà phần thực và phần ảo của

nó là các số nguyên Nó là một dạng tổng quát của số nguyên thông

thường, do đó rất có ích trong việc tìm hiểu xem các tính chất nào của

các số nguyên là mở rộng được cho lớp rộng hơn Và từ việc tìm hiểu

tính chất của các số nguyên Gauss ta có thể trực tiếp suy ra một số

tính chất của số nguyên thông thường Các số nguyên Gauss cùng với

phép toán cộng và phép toán nhân các số phức cảm sinh thành một

vành, gọi là vành các số nguyên Gauss, kí hiệu là Z[i] Trong vành sốnguyên Gauss, ta có thể xây dựng các khái niệm tương tự như trong

vành số nguyên Z như: chia hết, phần tử nguyên tố, đồng dư thức.Vành số nguyên Gauss là một nội dung rất quan trọng của lý thuyết

số Nó là một công cụ để giải quyết nhiều bài toán số học Chính vì

thế, dưới sự hướng dẫn tận tình của Thầy giáo Phan Văn Lộc, em

chọn đề tài "Vành số nguyên Gauss" làm đề tài nghiên cứu khóa luận

của mình

Khóa luận gồm hai chương Chương 1 nhắc lại một số kiến thức

cơ bản về nhóm, vành Chương 2 trình bày khái niệm vành số nguyên

Gauss, các tính chất và một số ứng dụng của nó trong Số học

Do thời gian có hạn và năng lực bản thân còn nhiều hạn chế nên

khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót Em rất mong nhận được

sự góp ý của các Thầy Cô và các bạn sinh viên

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2018

Tác giả khóa luận

Nguyễn Thị Kim Lanh

Giá trị f (x, y) là cái hợp thành của x và y.

Thông thường ta biểu diễn phép toán hai ngôi như phép nhân và

thay cho f (x, y) ta viết x ◦ y, x ∗ y hay đơn giản là xy, và gọi là tích

của x và y Đôi khi ta cũng kí hiệu phép toán hai ngôi bởi dấu + và

gọi x + y là tổng của x và y

Ví dụ 1.1.1 1 Trong tập hợp N các số tự nhiên, phép cộng,phépnhân là những phép toán hai ngôi; các hợp thành của x ∈ N và

y ∈ N bởi các phép toán đó kí hiệu theo thứ tự bằng x + y, xy

2 Phép trừ không phải là một phép toán hai ngôi trong N, nhưng

là một phép toán hai ngôi trong tập hợp Z các số nguyên

Định nghĩa 1.2 (i ) Một tập hợp X cùng với phép toán hai ngôi ◦

trên X được gọi là một nửa nhóm nếu phép toán hai ngôi ◦ thỏa mãn

luật kết hợp, nghĩa là

x ◦ (y ◦ z) = (x ◦ y) ◦ z với mọi x, y, z ∈ X

(ii ) Nửa nhóm X được gọi là vị nhóm nếu trong X có phần tử e, gọi

là phần tử đơn vị sao cho

e ◦ x = x ◦ e = x với mọi x ∈ X

(iii ) Nửa nhóm X được gọi là giao hoán nếu phép toán ◦ của nó là

giao hoán, nghĩa là

x ◦ y = y ◦ x với mọi x, y ∈ X

Định nghĩa 1.3 Một nửa nhóm X được gọi là nhóm nếu nó có các

tính chất sau:

(i) Có phần tử đơn vị e,

(ii) Với mọi x ∈ X, có một x0 sao cho x0x = xx0 = e (phần tử x0 gọi

là một phần tử đối xứng hay nghịch đảo của x)

Nếu tập hợp X là hữu hạn thì ta có một nhóm hữu hạn và số phần

tử của X gọi là cấp của nhóm Nếu phép toán hai ngôi trong X giao

hoán thì ta có một nhóm giao hoán hay nhóm aben

Ví dụ 1.1.2 Tập hợp các số nguyên Z cùng với phép toán cộng thôngthường là một nhóm giao hoán mà ta gọi là nhóm cộng các số nguyên

Cũng vậy, ta có nhóm cộng các số hữu tỉ, nhóm cộng các số thực,

nhóm cộng các số phức

Định lí 1.1 Mỗi phần tử của một nhóm chỉ có một phần tử đối xứng

Chứng minh Giả sử x0, x” là hai phần tử đối xứng của x

Ta có xx0 = e Nhân hai vế về bên trái với x , ta được x0(x.x”) = x0.e.Vậy (x0x).x” = e hay e.x” = x0.e, tức là x = x0

Định lí 1.2 Trong một nhóm, đẳng thức xy = xz(yx = zx) kéo theo

c = x theo luật giản ước

Chứng minh tương tự cho phương trình xa = b

Định lí 1.4 Trong một nhóm ta có:

(xy)−1 = y−1.x−1,với x,y là hai phần tử bất kì của nhóm

Chứng minh Ta có: (xy)(y−1.x−1) = x(yy−1)x−1 = xx−1 = e,

(y−1x−1)xy = y−1(x−1x)y = yy−1 = e, tức là (xy)−1 = y−1x−1

1.1.2 Vành

Định nghĩa 1.4 Tập hợp X cùng với hai phép toán hai ngôi, được

viết như phép cộng (+) và phép nhân (·) thông thường, được gọi là

vành nếu các điều kiện sau thỏa mãn:

(i) X cùng với phép cộng là một nhóm aben,

(ii) X cùng với phép nhân là một nửa nhóm,

(iii) Phép nhân phân phối đối với phép cộng: Với các phần tử tùy ý

x, y, z ∈ X, ta có:

x(y + z) = xy + xz, (y + z)x = yx + yz

Phần tử trung lập của phép cộng thì kí hiệu là 0 và gọi là phần tử

không Phần tử đối xứng đối với phép cộng của một phần tử x thì kí

hiệu là −x và gọi là đối của x

Nếu phép nhân là giao hoán thì vành X là giao hoán Nếu phép nhân

có phần tử trung lập thì phần tử đó là phần tử đơn vị của X và thường

kí hiệu là e hoặc 1

Ví dụ 1.1.3 Tập hợp Z các số nguyên cùng với phép cộng và phépnhân thông thường là vành giao hoán có đơn vị gọi là vành các số

nguyên Ta có vành các số hữu tỉ, các số thực, các số phức (các phép

toán vẫn là phép cộng và phép nhân thông thường)

Ngoài các tính chất là một nhóm cộng giao hoán và nửa nhóm

nhân, một vành còn có các tính chất sau:

Định lí 1.5 Cho X là một vành, với mọi x, y, z ∈ X ta có:

(i) x(y − z) = xy − xz, (y − z)x = yx − zx,

(ii) 0x = x0 = 0,

(iii) x(−y) = (−x)y = −xy , (−x)(−y) = xy

Chứng minh

(i) Theo luật phân phối, ta có: xy = x((y − z) + z) = x(y − z) + xz

Suy ra x(y − z) = xy − xz Đẳng thức thứ hai chứng minh tương tự

(ii) Theo (i ) ta có

0x = (y − y)x = yx − yx = 0 = xy − xy = x(y − y) = x0

(iii) Từ (i ) và (ii ) ta được:

x(−y) = x(0 − y) = x0 − xy = −xy = 0y − xy = (0 − x)y = (−x)y

Suy ra (−x)(−y) = xy

Định nghĩa 1.5 Giả sử X là một vành giao hoán Ta bảo một phần

tử a ∈ X là bội của một phần tử b ∈ X hay a chia hết cho b, kí hiệua b, nếu có c ∈ X sao cho a = bc; ta còn nói rằng b là ước của a hay bchia hết a, kí hiệu b|a

Định nghĩa 1.6 Ta gọi ước của 0 mọi phần tử a 6= 0 sao cho có b 6= 0

thỏa mãn quan hệ ab = 0

Định nghĩa 1.7 Một vành giao hoán có nhiều hơn một phần tử, có

đơn vị, không có ước của 0 được gọi là một miền nguyên

Ví dụ 1.1.4 Vành các số nguyên Z là một miền nguyên

Định nghĩa 1.8 Cho A là một tập con ổn định đối với phép cộng

và phép nhân của vành X Nếu A cùng với các phép toán cảm sinh là

một vành thì A được gọi là một vành con của vành X

Định nghĩa 1.9 Giả sử X là một vành Vành con A của X gọi là

iđêan trái của X nếu xa ∈ A, ∀x ∈ X và a ∈ A Vành con A của X

gọi là iđêan phải của X nếu ax ∈ A, ∀x ∈ X và a ∈ A Vành con A

của X gọi là iđêan của X nếu A vừa là iđêan trái vừa là iđêan phải

của X

Ví dụ 1.1.5 1, Bộ phận {0} và bộ phần X là hai iđêan của vành X

2, Bộ phần mZ gồm các số nguyên là bội của số nguyên m cho trước

là một iđêan của vành số nguyên Z

Định nghĩa 1.10 Cho M là một tập con của vành X Giao của họ

tất cả các iđêan của X chứa M là một iđêan bé nhất của X, chứa M

Iđêan này được gọi là iđêan sinh bởi M , kí hiệu (M )

Nếu M là một tập hữu hạn thì iđêan sinh bởi M được gọi là iđêan

hữu hạn sinh Nếu M = {a} thì iđêan sinh bởi M được gọi là iđêan

chính sinh bởi phần tử a và kí hiệu là (a)

1.2.1 Vành chính

Giả sử A là một miền nguyên mà phần tử đơn vị kí hiệu là 1 Các ước

của đơn vị còn gọi là các phần tử khả nghịch, chúng lập thành một

nhóm nhân U mà 1 là phần tử đơn vị Sau đây là một số tính chất về

chia hết trong một miền nguyên

Mệnh đề 1.1 Với mọi a, b, c, x, x0 ∈ A, u ∈ U , ta có:

(i) a|a,

(ii) c|b và b|a kéo theo c|a,

(iii) u khả nghịch, u|a với mọi a,

(iv) Nếu b|u với u khả nghịch, thì b khả nghịch,

(v) Quan hệ S xác định như sau: xSx0 khi x0 = ux với u khả nghịch,

là một quan hệ tương đương; x và x0 gọi là liên kết

Mệnh đề 1.2 x và x0 là liên kết khi và chỉ khi x|x0 và x0|x

Bổ đề 1.1 a|b khi và chỉ khi Aa ⊃ Ab

Hệ quả 1.1 x và x0 liên kết khi và chỉ khi Ax = Ax0 Đặc biệt u làkhả nghịch khi và chỉ khi Au = A

Định nghĩa 1.11 Các phần tử liên kết với x và các phần tử khả

nghịch là các ước không thực sự của x, còn các ước khác của x là ước

thực sự của x

Ví dụ 1.2.1 ±2 và ±3 là các ước thực sự của 6, còn ±1 và ±6 là các

ước không thực sự

Định nghĩa 1.12 Giả sử x là một phần tử khác 0 và không khả

nghịch của A; x gọi là phần tử bất khả quy của A nếu x không có ước

thực sự

Ví dụ 1.2.2 Các số nguyên tố và số đối của chúng là các phần tử

bất khả quy của vành Z

Định nghĩa 1.13 Nếu c|a và c|b thì c gọi là ước chung của a và b

Phần tử c gọi là ước chung lớn nhất của a và b nếu mọi ước chung của

a và b là ước chung của c

Định nghĩa 1.14 (Vành chính) Miền nguyên X gọi là vành chính

nếu mọi iđêan của nó là iđêan chính

Ví dụ 1.2.3 Vành Z các số nguyên là vành chính Thật vậy, giả sử

I là một iđêan của Z Nếu I = {0} thì I là iđêan sinh bởi 0 Nếu

I 6= {0}, giả sử a là số nguyên dương bé nhất của I và b là một phần

tử tùy ý của I Ta có thể giả sử b ≥ 0, vì nếu b < 0 thì −b > 0 và −b

cũng thuộc I, do đó ta lấy −b Lấy b chia cho a, ta được

b = aq + r

với r là dư, nên 0 ≤ r < a Mặt khác r = b − aq ∈ I Nếu r 6= 0 thì a

không phải số nguyên dương bé nhất của I, mâu thuẫn Do đó r = 0

và b = aq, tức là I = aZ là iđêan sinh ra bởi a

Định nghĩa 1.15 Một dãy tăng những iđêan của miền nguyên A

J1 ⊂ J2 ⊂ ⊂ Jn (1.1)được gọi là dãy dừng nếu tồn tại số nguyên dương no sao cho

Jn = Jno với mọi n > no.Định nghĩa 1.16

(i ) Một dãy dừng các phần tử khác 0 của một miền nguyên A

a1, a2, , an, (1.2)được gọi là một dãy giảm những ước nếu an+1|an với n = 1, 2,

(ii ) Dãy (1.2) được gọi là dừng nếu tồn tại số nguyên dương no sao cho

an liên kết với ano với mọi n > no

Sau đây, ta sẽ tìm hiểu một số tính chất cơ bản của vành chính

Giả sử miền nguyên A là một vành chính, các phần tử mà ta xét là

thuộc A

Mệnh đề 1.3 Trong vành chính A, mọi dãy tăng iđêan đều dừng

Chứng minh Giả sử

là một dãy tăng những iđêan của vành chính A Khi đó

J = ∪+∞i=1Ji là một iđêan của A Thật vậy, hiển nhiên 0 ∈ J Bây giờnếu a, b ∈ J thì tồn tại Jk, Jl sao cho a ∈ Jk, b ∈ Jl Giả sử l ≥ k, thếthì a, b đều thuộc Jl, và bởi vậy a − b ∈ Jl

Giả sử x ∈ A và a ∈ J , thế thì a ∈ Jk với k nào đó và vì vậy ax ∈ Jksuy ra ax ∈ J

Vì A là một vành chính nên tồn tại d ∈ J sao cho J = dA Theo định

nghĩa của hợp, tồn tại số tự nhiên m sao cho f ∈ Jm Vậy dãy (1.1)dừng

Mệnh đề 1.4 Vành chính A thỏa mãn điều kiện dừng những ước

Chứng minh Giả sử đã cho một dãy giảm những ước của vành chính

A

Khi đó, ta có dãy tăng những iđêan của R

(a1) ⊂ (a2) ⊂ ⊂ (an) ⊂ (1.3)

Dây chuyền này dừng theo Mệnh đề 1.3, từ đó suy ra dãy (1.2) dừng.

Bổ đề 1.2 Ước chung lớn nhất của hai phần tử a và b bất kì tồn tại

Chứng minh Gọi I là iđêan sinh ra bởi a và b Các phần tử của I có

dạng ax + b với x, y ∈ A Mặt khác vì A là vành chính nên I sinh ra

bởi một phần tử d nào đó, phần tử d cũng thuộc I nên d có dạng:

Ta hãy chứng minh d là ước chung của a và b Vì a, b ∈ I = dA, nên

a = da0, b = db0; a0, b0 ∈ A

Do đó d là ước chung của a và b Thêm nữa nếu c là một ước chung

của a và b, tức là có a00, b00 ∈ A sao cho a = ca00, b = cb00 thì (1.4) trởthành

d = c(a00x + b00y)

Vậy d là ước chung lớn nhất của a và b

Hệ quả 1.2 Nếu e là một ước chung lớn nhất của a và b thì có

e = du = axu + byu = ar + bs, r = xu, s = yu.

Định nghĩa 1.17 a và b nguyên tố cùng nhau nếu ước chung lớn

nhất của chúng là 1

Mệnh đề 1.5 Nếu a, b nguyên tố cùng nhau thì có r, s ∈ A sao cho

1 = ar + bs

Hệ quả 1.3 Nếu c|ab và c, a nguyên tố cùng nhau thì c|b

Chứng minh Vì c, a nguyên tố cùng nhau nên theo Mệnh đề 1.5 có

bất kì Thế thì hoặc x|a hoặc x và a là nguyên tố cùng nhau

Chứng minh Vì x là bất khả quy nên các ước của x là các phần tử

liên kết với x và các phần tử khả nghịch, do đó một ước chung lớn

nhất của x và a chỉ có thể là một phần tử liên kết với x hoặc một phần

tử khả nghịch Trong trường hợp thứ nhất ta có x|a, trong trường hợp

thứ nhất ta có x|a, trong trường hợp thứ hai x và a là nguyên tố cùng

nhau

Bổ đề 1.4 Giả sử x là một phần tử khác 0 và không khả nghịch Các

mệnh đề sau đây là tương đương:

(i) x là bất khả quy

(ii) x|ab thì x|a hoặc x|b

Chứng minh (i) ⇒ (ii) Theo Bổ đề 1.3 ta có hoặc x|a hoặc x và a

nguyên tố cùng nhau Nếu x và a nguyên tố cùng nhau theo Hệ quả

Nhưng x 6= 0, nên b 6= 0, do đó ta suy ra a = u vì A là miền nguyên

Do đó một ước a của x chỉ có thể hoặc là là liên kết với x hoặc là khả

nghịch, vậy x là bất khả quy

Bổ đề 1.5 Trong một họ không rỗng bất kỳ F những iđêan của A

sắp thứ tự theo quan hệ bao hàm, có một iđêan M của họ F là tối đại

trong F

Định lí 1.6 Giả sử x là một phần tử khác 0 và không khả nghịch.

Thế thì x có thể viết dưới dạng

với các pi, i = 1, , n là những phần tử bất khả quy

Chứng minh Gọi F là tập hợp các phần tử không khả nghịch x 6= 0

sao cho x không được viết dưới dạng phương trình (1.5) Ta hãy chứng

minh F 6= ∅ Giả sử F 6= ∅ Ta kí hiệu bằng F họ các iđêan Ax với

x ∈ F Theo Bổ đề 1.5, F có một phần tử m sao cho Am là tối đại

trong F Trước hết m không bất khả quy, vì nếu m bất khả quy thì

m có dạng (1.5) m không bất khả quy thì m không có ước thực sự,

chẳng hạn a là một ước thực sự của m, điều đó có nghĩa là có b ∈ A

sao cho

m = ab

Như vậy b cũng là một ước của m, b không thể là khả nghịch vì sẽ

kéo theo a liên kết với m, b không thể liên kết với m vì sẽ kéo theo a

khả nghịch, do đó b phải là ước thực sự của m Vì a và b là những ước

thực sự của m, nên theo Bổ đề 1.1 và Hệ quả của nó ta có

Am ⊂ Aa, Am 6= Aa

và

Am ⊂ Ab, Am 6= Ab

Do Am tối đại trong F nên Aa và Ab không thuộc F , do đó a và b

không thuộc F ; a và b đều khác 0, khả nghịch và không thuộc F , nên

a và b phải viết được dưới dạng (1.5)

a = p1 pi,

b = pi+1 pn.Điều này kéo theo

m = ab = p1 pipi+1 pn,mâu thuẫn với m ∈ F

Định lí 1.7 Giả sử

x = p1p2 pm = q1q2 qn

với p1, p2, , pm, q1, q2, , qn là những phần tử bất khả quy Thế thì

m = n và với một sự đánh số thích hợp ta có qi = uipi, i = 1, , m.Chứng minh Theo Bổ đề 1.4 nhân tử bất khả quy p1 của x phải làước của qi nào đó Vì A giao hoán nên ta có thể giả thiết rằng p1 làước của q1 Nhưng q1 là bất khả quy, nó không có ước thực sự, do đó

p1 là ước không thực sự của q1 Thêm nữa p1 không khả nghịch, chonên phải có p1 và q1 liên kết, tức là q1 = u1p1 với u1 khả nghịch Nhưvậy ta được p1p2 pm = u1p1q2 qn

Vì p1 6= 0 ta suy ra

p2 pm = u1q2 qn.Theo Bổ đề 1.4, p2 là ước của một qi nào đó với i ≥ 2 Ta có thể gảithiết rằng p2 là ước của q2 Do đó ta được q2 = u2p2 với u2 khả nghịch

Như vậy ta được

p2p3 pm = u1u2p2q3 qn

Vì p2 6= 0 nên ta suy ra

p3 pm = u1u2q3 qn.Sau khi đã lặp lại quá trình đó m lần, ta được m ≤ n và

1 = u1u2 umqm+1 qn

Vì qn không khả nghịch nên ta phải có m = n

Định lí 1.8 Giả sử K là trường các thương của vành chính A, α ∈ K

là một nghiệm của đa thức

f (x) = xn+ an−1xn−1 + + a1x + ao (ai ∈ A)

Khi đó α ∈ A

Chứng minh K là trường các thương của vành chính A nên mọi phần

tử α ∈ K đều có thể viết dưới dạng α = a/b, với a, b là nguyên tố

cùng nhau Thật vậy giả sử α = a0/b0, với a0, b0 ∈ A Gọi d ∈ A làước chung lớn nhất của a0 và b0 Khi đó ta có a0 = ad và b0 = bd, với

a, b ∈ A Hiển nhiên a, b nguyên tố cùng nhau và α = a/b

Vì f (α) = 0 nên sau khi thay α bằng a/b và nhân với bn ta được:

an + b(an−1an−1 + + a1abn−2+ aobn−1) = 0

Như vậy b chia hết an; vì b nguyên tố với a nên áp dụng liên tiếp Hệ

quả 1.3 ta được b chia hết a Do đó b là một phần tử khả nghịch của

A, tức là b−1 ∈ A, điều này kéo theo α = ab−1 ∈ A

(i) Nếu b|a và a 6= 0 thì δ(b) ≤ δ(a),

(ii) Với a,b là hai phần tử tùy ý của A và b 6= 0 thì tồn tại duy nhất

cặp phần tử q,r của A sao cho a = bq + r và δ(b) ≥ δ(r) nếu

r 6= 0

gọi là một vành Euclide

Phần tử r gọi là dư Nếu r = 0 thì b chia hết a và theo (i) ta có

δ(b) ≤ δ(a) Như vậy điều kiện cần để một phần tử b là ước của một

phần tử a 6= 0 là δ(b) ≤ δ(a)

Định lí 1.9 Nếu A là một vành Euclide thì A là một vành chính

Chứng minh Ta chứng minh mọi iđêan của A là chính Giả sử I là

một iđêan của A Nếu I = {0} thì I là iđêan sinh ra bởi 0 Giả sử

I 6= {0} Gọi a là phần tử khác 0 của I sao cho δ(a) là bé nhất trong

tập hợp δ(I∗), I∗ là tập hợp các phần tử khác 0 của I Giả sử x làmột phần tử tùy ý của I Theo tính chất (ii) ta có q, r ∈ A sao cho

x = aq + r.

Vì a, x ∈ I nên r = x−aq ∈ I Nếu r 6= 0 ta có δ(r) < δ(a), mâu thuẫn

với giả thiết δ(a) là bé nhất trong δ(I∗) Vậy r = 0 và I = Aa

r ∈ I, do đó J ⊂ I Vậy I = J Nhưng A là một vành chính, nên tồn

tại d ∈ I sao cho Ad = I Theo Bổ đề 1.2, d là ước chung lớn nhất

của a và b Nhưng I = J , nên d cũng là ước chung lớn nhất của b và

r

Nhận xét 1.1 Giả sử A là một vành Euclide, ta đi tìm ước chung

lớn nhất của hai phần tử a, b ∈ A Nếu a = 0 thì rõ ràng ước chung

lớn nhất của a và b là b Vì vậy giả sử a và b đều khác 0 Thực hiện

phép chia a cho b ta được

r = ƯCLN(rk, 0) = ƯCLN(rk−1, rk) = ƯCLN(rk−2, rk−1) = ƯCLN(r1, r2)

= ƯCLN(ro, r1) = ƯCLN(b, ro) = ƯCLN(a, b)

1.2.3 Vành Gauss (vành nhân tử hóa)

Định nghĩa 1.19 Miền nguyên A được gọi là thỏa mãn điều kiện có

ước chung lớn nhất (ƯCLN) nếu trong A mọi cặp phần tử a, b đều có

ước chung lớn nhất

Định lí 1.10 Cho A là một thỏa mãn điều kiện có ƯCLN, p là phần

tử bất khả quy thuộc A Khi đó với mọi a thuộc A, hoặc a chia hết cho

p hoặc a và p nguyên tố cùng nhau

Chứng minh Đặt d = (a, p) là ước chung lớn nhất của a và p Vì p là

phần tử bất khả quy nên hoặc d là ước của đơn vị hoặc d liên kết với

p Khi đó hoặc a và p nguyên tố cùng nhau, hoặc p là ước của a

Định lí 1.11 Trong vành A thỏa mãn điều kiện có ƯCLN, một phần

tử là bất khả quy khi và chỉ khi nó là nguyên tố

Bổ đề 1.6 Cho A là miền nguyên thỏa mãn điều kiện có ƯCLN,

p ∈ A là phần tử bất khả quy Nếu a1, a2, , an(n ≥ 2) là những phần

tử của A sao cho p|a1a2 an thì tồn tại ak sao cho p|ak

Bổ đề 1.7 Cho A là một miền nguyên, thỏa mãn điều kiện dừng

những ước thực sự Nếu a ∈ A, a 6= 0 và a không khả nghịch thì a có

một ước bất khả quy

Định nghĩa 1.20 Miền nguyên A được gọi là vành Gauss (hay vành

nhân tử hóa) nếu mọi phần tử khác 0 và không khả nghịch của nó

đều phân tích được một cách duy nhất thành một tích những nhân tử

bất khả quy, sai khác thứ tự các nhân tử và sai khác các nhân tử khả

nghịch

Mệnh đề 1.7 Cho A là một miền nguyên thỏa mãn điều kiện dừng

những ước thực sự và điều kiện có ƯCLN Khi đó A là một vành Gauss

Chứng minh Cho a ∈ A, a 6= 0 và a không là ước của 1 Trước hết ta

chứng minh a phân tích được thành tích của những phần tử bất khả

quy Nếu a là phần tử bất khả quy thì kết quả là hiển nhiên Nếu a

không là phần tử bất khả quy thì theo Bổ đề 1.7, a có một ước bất

khả quy là p1 và a = p1pa với a1 là ước thực sự của a Tiếp tục lậpluận như trên ta được

a = ao = p1a1, a1 = p2a2, , an−1 = pnan,với pi là bất khả quy và ai+1 là ước thực sự của ai, i > 0 Theo giảthiết dãy giảm những ước

p1p2 pm = u1p1q2 qn.Sau khi giản ước hai vế cho p1 ta được

p2 pm = u1q2 qn.Tiếp tục lập luận trên sau hữu hạn bước ta được

1 = u1u2 umqm+1 qn

Vì qm+1, , qn là những phần tử bất khả quy nên đẳng thức này khôngthể xảy ra Lập luận tương tự cho trường hợp n < m Vậy ta phải có

m = n và ta có pi ∼ qi với một cách đánh số thích hợp cho các chỉ số.Mệnh đề được chứng minh