Phân tích vành thương của vành các số nguyên gauss

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - PHẠM XUÂN HÙNG PHÂN TÍCH VÀNH THƯƠNG CỦA VÀNH CÁC SỐ NGUYÊN GAUSS LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - PHẠM XUÂN HÙNG PHÂN TÍCH VÀNH THƯƠNG CỦA VÀNH CÁC SỐ NGUYÊN GAUSS LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TS LÊ THỊ THANH NHÀN THÁI NGUYÊN - 2017 Mục lục Mục lục Lời nói đầu Vành số nguyên Gauss 1.1 Miền phân tích 1.2 Phân tích vành thương vành Z số nguyên 13 1.3 Vành Z[i] số nguyên Gauss 17 Một số ứng dụng 23 2.1 Phân tích vành thương vành Z[i] 23 2.2 Phân tích số nguyên thành tổng hai số phương 34 2.3 Xác định số Pythagore 39 Kết luận 45 Tài liệu tham khảo 46 Lời cảm ơn Tôi xin gửi lời biết ơn chân thành đến GS.TS Lê Thị Thanh Nhàn hướng dẫn tơi hồn thành luận văn Khi bắt đầu nhận đề tài thực cảm nhận đề tài mang nhiều nội dung mẻ Hơn với vốn kiến thức ỏi với kinh nghiệm làm đề tài lớn không nhiều nên chưa thực tự tin để tiếp cận đề tài Mặc dù bận rộn công việc Cô dành nhiều thời gian tâm huyết việc hướng dẫn, động viên khuyến khích tơi suốt thời gian thực đề tài Trong trình tiếp cận đề tài đến q trình hồn thiện luận văn Cơ ln tận tình bảo tạo điều kiện tốt cho Cho đến luận văn thạc sĩ tơi hồn thành, xin cảm ơn Cô đôn đốc nhắc nhở Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, Khoa tốn-Tin Phịng Đào tạo Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Tôi xin trân trọng cảm ơn Thầy, Cơ tận tình truyền đạt kiến thức quí báu tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành luận văn Cuối cùng, tơi xin chân thành bày tỏ lịng biết ơn đến gia đình, bạn bè, người không ngừng động viên, hỗ trợ tạo điều kiện tốt cho tơi suốt q trình học tập thực luận văn Lời nói đầu Các số phức có dạng a + bi với a, b ∈ Z gọi số nguyên Gauss Tập số nguyên Gauss làm thành vành với phép cộng nhân số phức Vành kí hiệu Z[i], gọi vành số nguyên Gauss Chú ý vành thương Z có dạng Z/mZ với m > Vành thương đồng với vành Zm Một kết quen biết phân tích vành Zm thành tổng trực tiếp sau: Nếu m = pt11 ptkk phân tích tiêu chuẩn m Zm ∼ = Z t1 ⊕ ⊕ Z tk Mục tiêu luận p1 pk văn phát triển kết cho vành thương vành số ngun Gauss Chúng tơi trình bày lại chi tiết kết báo G Dresden, W Dymacek (2005), “Finding factors of factor rings over the Gaussian Integers" đăng tạp chí “American Math Monthly" phân tích vành thương vành Z[i] Chúng quan tâm khai thác ứng dụng vành số nguyên Gauss để giải toán sơ cấp cổ điển tốn tìm điều kiện để số tự nhiên tổng hai số phương, tốn tìm số Pythagore Luận văn gồm Chương Trong Chương 1, Tiết 1.1 dành để nhắc lại số khái niệm miền phân tích nhất, miền iđêan miền Euclid Tiết trình bày phân tích vành thương vành Z số nguyên thành tổng trực tiếp vành đơn giản (Mệnh đề 1.2.5) Phần cuối Chương trình bày số kết vành Z[i] số nguyên Gauss, quan tâm đặc biệt đến việc xác định phần tử khả nghịch (Bổ đề 1.3.2), chứng minh Z[i] miền Euclid (Định lí 1.3.4), đặc trưng phần tử nguyên tố vành số nguyên Gauss (Định lí 1.3.5) Trong Chương 2, phần đầu Chương trình bày tốn phân tích vành thương vành Z[i] thành tổng trực tiếp vành đơn giản Hai tiết lại (Tiết 2.2 Tiết 2.3) dành để khai thác kết vành Z[i] để giải hai tốn sơ cấp kinh điển: tìm điều kiện để số tự nhiên tổng hai số phương (Định lí 2.2.1, Định lí 2.2.5), tốn tìm số Pythagore (Định lí 2.3.4) Chương Vành số nguyên Gauss Các số phức có dạng a + bi với a, b ∈ Z gọi số nguyên Gauss (Carl Friedrich Gauss người nghiên cứu số phức này) Tập số nguyên Gauss làm thành vành, kí hiệu Z[i], gọi vành số nguyên Gauss Mục tiêu Chương trình bày tính chất sở vành số nguyên Gauss Phần đầu Chương nhắc lại số khái niệm miền phân tích nhất, miền iđêan miền Euclid Phần trình bày phân tích vành thương vành Z số nguyên thành tổng trực tiếp vành đơn giản Phần cuối trình bày vành Z[i] số nguyên Gauss, quan tâm đặc biệt đến việc xác định phần tử khả nghịch, việc chứng minh Z[i] miền Euclid, việc đặc trưng số nguyên tố Gauss Carl Friedrich Gauss (sinh ngày 30 tháng năm 1777, ngày 23 tháng năm 1855) nhà Toán học nhà Khoa học thiên tài người Đức Ông có đóng góp lớn cho Khoa học, đặc biệt Lí thuyết số, Giải tích, Hình học vi phân, Khoa học trắc địa, Từ học, Tĩnh điện học, Thiên văn học Quang học Với ảnh hưởng sâu sắc Khoa học, đặc biệt Toán học, Carl Friedrich Gauss xếp ngang với thiên tài Leonhard Euler, Isaac Newton Archimedes - nhà Toán học vĩ đại lịch sử 1.1 Miền phân tích Chúng ta biết rằng, miền nguyên Z, số nguyên dương n > có phân tích tiêu chuẩn n = pr11 prkk , p1 , , pk số nguyên tố đôi phân biệt r1 , , rk số nguyên dương Sự phân tích tiêu chuẩn n không kể đến thứ tự nhân tử Vấn đề đặt miền ngun có tính chất phân tích tương tự vành số nguyên Z? Mục đích tiết giải vấn đề Những miền ngun có tính chất gọi miền phân tích - Unique Factorization Domain (UFD) hay miền nhân tử hóa Đơi miền phân tích cịn gọi miền Gauss, Carl Friedrich Gauss người nghiên cứu loại miền nguyên Ông người có đóng góp quan trọng việc phát triển lí thuyết chia hết từ vành số nguyên Z sang miền phân tích Trong Chương I, giả thiết D miền nguyên, tức D vành giao hoán khác {0} a, b = hai phần tử D ab = Trước trình bày khái niệm miền phân tích nhất, nhắc lại số khái niệm ước, bội, phần tử nguyên tố, phần tử bất khả quy 1.1.1 Định nghĩa Cho a, b ∈ D, b = Ta nói b ước a (hay a bội b), tồn q ∈ D cho a = bq Nếu tồn q ∈ D để = bq ta nói b phần tử khả nghịch hay b ước đơn vị Ta nói a b liên kết, viết a ∼ b, đồng thời a ước b b ước a Nếu b ước a a không ước b ta nói b ước thực a Chú ý a b liên kết với chúng khác nhân tử ước đơn vị, tức tồn phần tử khả nghịch u ∈ D cho a = bu 1.1.2 Định nghĩa Cho p ∈ D Ta nói p phần tử bất khả quy p khác 0, không khả nghịch có ước thực Ta nói p phần tử nguyên tố p khác 0, không khả nghịch p ước tích ab p ước a p ước b với a, b ∈ D Trong miền nguyên Z, phần tử bất khả quy số nguyên tố Trong miền nguyên D bất kì, p phần từ nguyên tố p bất khả quy Tuy nhiên, điều ngược lại không Chẳng hạn, xét miền nguyên √ D = {a + bi | a, b ∈ Z} √ √ Các phần tử 2, 3, + i − i bất khả quy khơng phần tử ngun tố, ta có phân tích √ √ = 2.3 = (1 + i 5)(1 − i 5), √ √ 2, ước tích (1 + i 5)(1 − i 5) không √ √ √ ước + i không ước − i Tương tự, + i √ √ √ − i ước tích 2.3, + i − i không ước không ước 1.1.3 Định nghĩa Miền nguyên D gọi miền phân tích phần tử khác không khả nghịch phân tích thành tích phần tử bất khả quy phân tích không kể đến thứ tự nhân tử không kể đến nhân tử ước đơn vị Miền phân tích (Unique Factorization Domain) cịn gọi miền nhân tử hố hay miền Gauss Ví dụ đơn giản cho miền phân tích miền nguyên Z Miền phân tích vành số nguyên Gauss Z[i] (sẽ nghiên cứu Tiết 2.3), giới thiệu khám phá nhà toán học người Đức Carl Friedrich Gauss báo năm 1828 ơng nói thặng dư bậc hai Để trình bày đặc trưng miền phân tích nhất, cần đến điều kiện dãy dừng ước thực điều kiện có ước chung lớn 1.1.4 Định nghĩa Cho a1 , a2 , a3 , dãy phần tử D cho ai+1 ước với i ≥ Ta nói a1 , a2 , a3 , dãy dừng tồn số tự nhiên n0 cho an liên kết với an0 với n ≥ n0 Miền nguyên D gọi thoả mãn điều kiện dãy dừng ước thực dãy a1 , a2 , a3 , phần tử D thỏa mãn tính chất ai+1 ước với i dãy dừng Miền nguyên Z thoả mãn điều kiện dãy dừng ước thực Giả sử D miền nguyên thoả mãn điều kiện dãy dừng ước thực Khi phần tử khác khơng khả nghịch D có ước bất khả quy Hơn nữa, phần tử khác không khả nghịch D phân tích thành tích nhân tử bất khả quy 1.1.5 Định nghĩa Cho a1 , , an ∈ D Một ước chung d ∈ D a1 , , an gọi ước chung lớn bội ước chung khác a1 , , an Nếu ước chung lớn a1 , , an ta nói a1 , , an nguyên tố Một bội chung m ∈ D a1 , , an gọi bội chung nhỏ m ước bội chung khác a1 , , an Chú ý d, d′ ∈ D hai ước chung lớn a1 , , an , d d′ liên kết với nhau, tức tồn phần tử khả nghịch 32 N (zt ) số nguyên tố đồng dư với theo mơđun Vì số N (zt ) số lẻ Vì vậy, p = ta lấy chuẩn hai vế đẳng thức p(c′ + d′ i) = c + di, từ ta suy ước tích số nguyên tố, số đồng dư với theo môđun Điều xảy Nếu p đồng dư với theo mơđun theo Hệ 1.3.7 ta suy p số nguyên tố Gauss Vì p ước tích N (zt )nt mà nhân tử zt số nguyên tố Gauss, nên p ước phần tử zt Suy chuẩn p ước N (zt ) Ta có N (p) = p2 Vì p ước N (zt ) Chú ý N (zt ) số nguyên tố đồng dư với theo mơđun 4, điều khơng thể xảy Vì p số nguyên tố (trong Z) đồng dư với theo môđun Theo Hệ 2.1.8, p không số nguyên tố Gauss Do theo Hệ 1.3.7, p tổng hai số phương, tức tồn x, y ∈ Z cho p = x2 + y Khơng tính tổng qt ta giả thiết |x| ≥ |y| Khi p = (y + xi)(y − xi) Do N (y + xi) = p số nguyên tố đồng dư với theo môđun 4, nên y + xi số nguyên tố Gauss theo Hệ 2.1.8 Vì y + xi ước phần tử zt đó, điều vơ lí y + xi có tính chất |y| ≤ |x| Vậy, c, d nguyên tố Theo Bổ đề 2.1.6 ta có Z[i]/ ztnt = Z[i]/(c + di) ∼ = Zc2 +d2 = Zs1 Tương tự ta có Z[i]/ (zj∗ )mj ∼ = Z s2 Từ đẳng cấu ta suy điều phải chứng minh Phần cuối tiết dành để đưa số ví dụ minh họa cho Định lí phân tích tổng trực tiếp vành thương vành Z[i] 2.1.11 Ví dụ Để phân tích vành thương Z[i]/(2+i), ta thấy N (2+i) = Vì số nguyên tố đồng dư với theo môđun nên theo + i số 33 nguyên tố Gauss thỏa mãn > Theo Định lí 2.1.10 ta có Z[i]/(2 + i) ∼ = Z5 2.1.12 Ví dụ Để phân tích vành thương Z[i]/(2 + 5i), ta thấy N (2 + 5i) = 29 Vì 29 số nguyên tố đồng dư với theo môđun nên theo + 5i số nguyên tố Gauss tthỏa mãn < Theo Định lí 2.1.10 ta có Z[i]/(2 + i) ∼ = Z29 2.1.13 Ví dụ Để phân tích vành thương Z[i]/(11), ta thấy 11 số nguyên tố đồng dư với theo mơđun Vì 11 số ngun tố Gauss theo Hệ 2.1.8 Theo Định lí 2.1.10 ta có Z[i]/(11) ∼ = Z11 [i] Theo Bổ đề 2.1.3, vành Z[i]/(11) trường 2.1.14 Ví dụ Để phân tích vành thương Z[i]/(13), ta thấy 13 số nguyên tố đồng dư với theo mơđun Vì 13 khơng số ngun tố Gauss Phân tích tiêu chuẩn 13 Z[i] 13 = i3 (3 + 2i)(2 + 3i) Theo Định lí 2.1.10 ta có Z[i]/(13) ∼ = Z13 ⊕ Z13 Vì Z[i]/(13) khơng trường 2.1.15 Ví dụ Để phân tích vành thương Z[i]/(6 + 14i), ta thấy phân tích tiêu chuẩn + 14i Z[i] + 14i = i3 (5 + 2i)(1 + i)3 Theo Định lí 2.1.10 ta có Z[i]/(6 + 14i) ∼ = Z29 ⊕ R3 34 2.2 Phân tích số nguyên thành tổng hai số phương Một ứng dụng thú vị lí thuyết vành số nguyên Gauss (trong Tiết 1.3 Tiết 2.1) để giải toán sơ cấp: Biểu diễn số tự nhiên thành tổng hai số phương Theo Hệ 1.3.7, số nguyên tố p số nguyên tố Gauss khơng tổng hai số phương Theo Hệ 1.3.8, số phức z = a + bi có chuẩn N (z) = a2 + b2 số nguyên tố Z, z z¯ số nguyên tố Gauss Vì vậy, tốn xác định số ngun tố Gauss liên quan mật thiết đến toán cổ điển sau Bài tốn Tìm điều kiện để số tự nhiên n tổng hai số phương Trước đưa lời giải cho toán này, xét trường hợp n ≤ 50 Tính tốn trực tiếp ta nhận tập hợp số n tổng của số phương bao gồm số sau: 1; 2; 4; 5; 8; 9; 10; 13; 16; 17; 18; 20; 25; 26; 29; 32; 34; 36; 37; 40; 41; 45; 49; 50 Các số dãy khơng có dạng 4k + Lọc từ dãy số trên, ta nhận tập số nguyên tố p cho p ≤ 50 p tổng hai số phương bao gồm 2; 5; 13; 17; 29; 37; 41 Do tập số nguyên tố p cho p ≤ 50 p khơng tổng hai số phương bao gồm 3; 7; 11; 19; 23; 31; 43; 47 35 Từ hai dãy số nguyên tố trên, ta dễ dàng kiểm tra số nguyên tố p ≤ 50 tổng hai số phương p không đồng dư với theo môđun (tức khơng có dạng 4p + 3) Định lí sau cho lời giải tốn trường hợp số nguyên tố 2.2.1 Định lý (Fermat) Cho p số nguyên tố Khi tồn hai số nguyên x, y cho p = x2 +y p = p ≡ (mod 4) Để chứng minh Định lí 2.2.1 cần bổ đề sau 2.2.2 Bổ đề (Lagrange) Nếu p = 4k + số nguyên tố tồn số tự nhiên m cho p ước m2 + Chứng minh Theo Định lí Wilson, ta có (p − 1)! ≡ −1 (mod p) Do p = 4k + nên (4k)! ≡ −1 (mod p) Chú ý (4k)! ≡ (2k)!(2k+1)(2k+2) 4k ≡ (2k)!(−2k)(−2k+1) (−1) (mod p) Vì (−2k)(−2k + 1) (−1) = (−1)2k (2k)! nên ta có (4k)! ≡ (2k)!(−1)2k (2k)! ≡ ((2k)!)2 (mod p) Kết hợp với đồng dư thức (4k)! ≡ −1 (mod p) chứng minh trên, ta suy −1 ≡ ((2k)!)2 (mod p) Do p ước ((2k)!)2 + Chứng minh Định lí 2.2.1 Giả sử p = x2 + y số nguyên tố Khi p ≡ (mod 4) Rõ ràng khơng có số ngun tố đồng dư với theo môđun Nếu p đồng dư với theo mơđun p = Nếu p = p đồng dư với theo môđun 36 Ngược lại, p = p = 12 + 12 , tức p tổng hai số phương Giả sử p số nguyên tố đồng dư với theo môđun Viết p = 4n + Theo Bổ đề 2.2.2, tồn số tự nhiên m cho p ước m2 + Ta khẳng định p không số nguyên Gauss Thật vậy, giả sử p số nguyên tố Gauss Do m2 + = (m − i)(m + i) p phần tử nguyên tố Z[i] nên p ước m + i p ước m − i Nếu p ước m + i tồn z ∈ Z[i] cho pz = m + i Suy m z= + i ∈ Z[i], điều vơ lí Tương tự, ta suy p không p p thể ước m − i Do p khơng số nguyên tố Gauss Theo Hệ 1.3.7 ta suy p tổng hai số phương Từ Định lí 1.3.5 Định lí 2.2.1 ta suy hệ sau 2.2.3 Hệ Cho p ∈ N số nguyên tố Khi p số nguyên tố Gauss p đồng dư với theo môđun Chúng ta sử dụng kết để chứng minh kết sơ cấp sau 2.2.4 Hệ Cho p số nguyên tố khơng đồng dư với theo mơđun Khi phương trình p = x2 + y có nghiệm (x, y) ∈ N2 với x ≥ y Chứng minh Vì p số ngun tố khơng đồng dư với theo môđun 4, nên p = p đồng dư vói theo mơđun Do theo Định lí 2.2.1, p tổng hai số phương Do phương trình p = x2 + y có nghiệm ngun (x, y) ∈ N2 với x ≥ y Ta có phân tích p = x2 + y = (x + yi)(x − yi) Do N (x + yi) = x2 + y = p số nguyên tố Z, nên theo Hệ 1.3.8, số phức x + yi x − yi số nguyên tố Gauss Suy p = (x + yi)(x − yi) phân tích bất khả quy p vành số nguyên Gauss 37 Giả sử (x′ , y ′ ) ∈ N2 nghiệm phương trình p = x2 + y với x′ ≥ y ′ Khi p = x′2 + y ′2 = (x′ + y ′ i)(x′ − y ′ i) Cũng N (x′ + y ′ i) = x′2 + y ′2 = p số nguyên tố, nên x′ + y ′ i x′ − y ′ i số nguyên tố Gauss Do p = (x′ + y ′ i)(x′ − y ′ i) phân tích bất khả quy p Do vành Z[i] vành Euclid (theo Định lí 1.3.4) nên vành Gauss Vì phân tích bất khả quy phần tử p sai khác thứ tự nhân tử khả nghịch Do tồn hai phần tử khả nghịch u, v ∈ Z[i] cho x′ + y ′ i = u(x + yi) x′ + y ′ i = v(x − yi) Vì u, v khả nghịch nên theo Bổ đề 1.3.2, ta suy u, v ∈ {1, −1, i, −i} Nếu u = 1, (x, y) = (x′ , y ′ ) Nếu u = −1 x′ = −x ≤ y ′ = −y ≤ 0, điều xảy Nếu u = i x′ = −y ≤ y ′ = x Do x′ ∈ N nên y = 0, suy p = x2 không số ngun tố, vơ lí Nếu u = −i y ′ = −x ∈ N, suy x = p = y khơng số ngun tố, vơ lí Tương tự, xét tất trường hợp v ta suy (x, y) = (x′ , y ′ ) Một phân tích n = pt11 ptkk số nguyên dương n gọi phân tích tích tiêu chuẩn p1 , , pk số nguyên tố đôi khác t1 , , tk số nguyên dương Định lí sau trả lời trọn vẹn cho tốn phân tích số tự nhiên thành tổng hai số phương 2.2.5 Định lý Một số tự nhiên n tổng hai số phương ước nguyên tố n đồng dư với theo môđun xuất số chẵn lần phân tích tiêu chuẩn n Chứng minh Cho n số tự nhiên Rõ ràng n = x2 + y n = N (x + yi) Do n tổng hai số phương n chuẩn phần tử Z[i] Viết n= pei i f qj j 38 phân tích tiêu chuẩn n vành Z, pi số nguyên tố đồng dư với theo mô đun 4, qj số nguyên tố không đồng dư với theo mô đun Theo Hệ 2.2.4, tồn cặp số (aj , bj ) ∈ N với a ≥ b, cho qj = a2j + b2j = πj π¯j , πj = aj + bj i ∈ Z[i] Do N (πj ) = N (aj + bj i) = qj số nguyên tố nên theo Hệ 1.3.8, số πj số nguyên tố Gauss Ta chứng minh pi số nguyên tố Gauss với i Giả sử ngược lại, tức tồn i cho pi không số nguyên tố Gauss Theo Hệ 1.3.7, tồn , bi ∈ Z cho pi = a2i + b2i Vì pi số nguyên tố tổng hai số phương nên theo Định lí 2.2.1 ta suy pi = pi ≡ (mod 4) Điều khơng thể xảy ta giả thiết pi ≡ (mod 4) Do n= pei i f πj j π¯j fj phân tích bất khả quy n vành Z[i] Vì N (pi ) = p2i không số nguyên tố nên pi số nguyên tố Gauss có dạng (i) Định lí 1.3.5 Vì N (πj ) = qj = N (¯ πj số nguyên tố nên πj π ¯j số nguyên tố Gauss có dạng (ii) Định lí 1.3.5 Bây ta chứng minh Định lí Giả sử n = x2 + y tổng hai số phương Khi n = N (z), z = x + yi Giả sử z= pei i f πj j phân tích bất khả quy z vành Z[i], pi số nguyên tố Gauss có dạng (i) Định lí 1.3.5 πj số nguyên tố Gauss có dạng (ii) Định lí 1.3.5 với i, j Chú ý liên hợp tích hai số phức tích liên hợp, ta có z¯ = pei i f π ¯j j 39 Vì πj số ngun tố Gauss có dạng (ii) Định lí 1.3.5 nên π ¯j số ngun tố Gauss có dạng (ii) Định lí 1.3.5 Do ta có f i p2e i n = N (z) = z.¯ z= f πj j π ¯j j phân tích bất khả quy số n vành Z[i] Chú ý p ước nguyên tố n đồng dư với theo mơ đun 4, p = pi với i đó, p xuất số chẵn lần phân tích tiêu chuẩn n Ngược lại, giả sử ước nguyên tố n đồng dư với theo mô đun xuất số chẵn lần phân tích tiêu chuẩn n Theo phần đầu chứng minh Định lí, phân tích bất khả quy n có dạng n= f pei i πj j π¯j fj , pi số nguyên tố Gauss có dạng (i) Định lí 1.3.5 πj , π ¯j số nguyên tố Gauss có dạng (ii) Định lí 1.3.5 với i, j Chú ý p số ngun tố Gauss có dạng (i) Định lí 1.3.5, p đồng dư với theo mơ đun Do n có phân tích bất khả quy dạng n= f pi2ri ei = 2ri với ri ∈ N Đặt πj j π¯j fj , f πj j = a + bi với a, b ∈ Z Do chuẩn tích hữu hạn số phức tích chuẩn nên ta có n= i p2r i N (πj )fj = pi2ri N ( f πj j ) = pi2ri (a2 + b2 ) Do n tổng hai số phương 2.3 Xác định số Pythagore Một ứng dụng khác lí thuyết vành số nguyên Gauss để xác định số Pythagore 40 Nhắc lại gồm số x, y, z ∈ N gọi số Pythagore z = x2 + y 2.3.1 Định nghĩa Một ba số Pythagore x, y, z gọi số Pythagore nguyên thủy x y hai số nguyên nguyên tố Chẳng hạn, 3, 4, số Pythagore nguyên thủy Chú ý x, y, z số Pythagore nguyên thủy kx, ky, kz số Pythagore với k ∈ N Ngược lại, x, y, z số Pythagore z = x2 + y Gọi d = gcd(x, y) Khi x = da y = db với a, b ∈ N gcd(a, b) = Ta có z = d2 (a2 + b2 ) Suy d2 ước z Do d ước z Đặt z = dc với c ∈ N Suy d2 c2 = z = d2 (a2 + b2 ) Vì c2 = a2 + b2 gcd(a, b) = Do a, b, c số Pythagore nguyên thủy (x, y, z) = (da, db, dc) Do đó, để xác định số Pythagore, cần xác định số Pythagore nguyên thủy Trước hết, cần bổ đề sau 2.3.2 Bổ đề Cho x, y, z số Pythagore nguyên thủy Khi x + yi x − yi nguyên tố vành Z[i] Chứng minh Trước hết ta khẳng định x y nguyên tố Z[i] Thật vậy, gcd(x, y) = nên gcd(x2 , y ) = Giả sử α ∈ Z[i] ước chung x y Vì N (x) = x2 , N (y) = y nên N (α) ước chúng x2 y Suy N (α) = Do α khả nghịch Vì x y nguyên tố Z[i] Giả sử x + yi x − yi không nguyên tố vành Z[i] Khi tồn số nguyên tố Gauss w cho w ước chung x + yi x − yi Vì 2x = (x + yi) + (x − yi) 2yi = (x + yi) − (x − yi) nên w ước chung 2x 2yi Vì x y nguyên tố 41 vành Z[i] i phần tử khả nghịch Z[i] nên w ước Do w số nguyên tố Gauss nên theo Hệ 2.1.8 ta suy w = u(+i), u phần tử khả nghịch Z[i] Vì w ước x + yi nên chuẩn w ước chuẩn x + yi Vì N (w) = ước N (x + yi) = x2 + y Vì z = x2 + y nên ước z Do z số chẵn Suy z bội Do x2 + y bội Kiểm tra khả với x y đồng dư với 0, 1, 2, theo mơđun 4, ta thấy có khả xảy x2 y chẵn Điều vơ lí 2.3.3 Bổ đề Giả sử α, β ∈ Z[i] hai số nguyên Gauss nguyên tố Nếu tồn γ ∈ Z[i] cho αβ = γ (tức αβ số phương) có phần tử khả nghịch u ∈ Z[i] cho uα u−1 β số phương vành Z[i] Chứng minh Nếu γ khả nghịch Z[i] γ ∈ {1, −1, i, −i} Suy γ ∈ {1, −1} Do α, β khả nghịch Z[i] (α, β) ∈ {(1, 1), (−1, −1), (i, −i), (i, i), (−i, i), (−i, −i)} Ta thử trường hợp thấy Bổ đề với γ khả nghịch Tương, Bổ đề với γ = Vì ta giả thiết γ khác khơng khả nghịch Do γ có phân tích thành tích số nguyên tố Gauss γ = z1n1 zknk với z1 , , zk số nguyên tố Gauss đôi không bội n1 , , nk số nguyên dương Suy αβ = γ = z12n1 zk2nk Vì α β nguyên tố nên ước nguyên tố Gauss α không ước β ước nguyên tố Gauss β khơng ước 42 α Do đó, sau phép hoán đổi thứ tự nhân tử đưa tích phần tử khả nghịch ngồi (nếu cần thiết), tồn số tự nhiên t ≤ k phần tử u khả nghịch Z[i] cho α = u−1 z12n1 zt2nt ; 2n β = uzt+1t+1 zk2nk Suy uα = z12n1 zt2nt phương Z[i] Tương tự, u−1 β phương Z[i] Như phân tích phần đầu Tiết 2.3, để xác định số Pythagore, cần xác định số Pythagore nguyên thủy Bây sử dụng kết thu để giải toán: Xác định số Pythagore nguyên thủy 2.3.4 Định lý Cho số nguyên dương (x, y, z) Khi x, y, z số Pythagore nguyên thủy sau hốn vị x y ta có x = u2 − v y = 2uv, u > v hai số tự nhiên nguyên tố u, v không đồng thời số lẻ Trong trường hợp ta có z = u2 + v Chứng minh Giả sử x, y, z số Pythagore nguyên thủy Khi gcd(x, y) = ta có z = x2 + y = (x + yi)(x − yi) Theo Bổ đề 2.3.2, phần tử x + yi x − yi nguyên tố vành Z[i] Đặt α = x + yi, β = x − yi γ = z Vì αβ = γ α, β nguyên tố nên theo Bổ đề 2.3.3, tồn phần tử khả nghịch u ∈ Z[i] cho phần tử uα u−1 β phương vành Z[i] Chú ý phần tử khả nghịch Z[i] ±1, ±i Do α = ±w2 α = ±iw2 với w ∈ Z[i] Vì −1 = i2 nên α = −w2 43 α = (iw)2 Tương tự, α = −iw2 α = i(iw)2 Do ta giả thiết α = w2 α = iw2 Giả sử w = u + vi Thay α = x + yi, ta nhận x + yi = u2 − v + 2uvi x + yi = −2uv + (u2 − v )i Trong trường hợp thứ ta suy x = u2 − v , y = 2uv Khơng tính tổng qt ta giả thiết u > v Nếu u, v lẻ x chẵn, gcd(x, y) > 1, điều khơng thể xảy Vì y ∈ N nên u, v dương âm Nếu u, v âm ta có x = |u|2 + |v|2 , y = 2|u|.|v| Do ta giả thiết u, v ∈ N Trong trường hợp thứ hai ta có x = −2uv y = u2 − v Vì x > nên u, v trái dấu Ta giả thiết u < Khi x = 2u′ v y = (u′ )2 − v Với lập luận tương tự ta suy u′ , v số lẻ u′ > v Ngược lại, giả sử có hai số tự nhiên u, v ∈ N không đồng thời số lẻ cho u > v gcd(u, v) = Đặt x = u2 − v , y = 2uv z = u2 + v Khi x, y, z ∈ N z = x2 + y Giả sử gcd(x, y) > Khi x, y có ước ngun tố p Vì p ước y nên p ước số 2, u, v Nếu p ước 2, p = Khi ước x Do u, v không số lẻ nên u, v chẵn Suy gcd(u, v) > 1, vơ lí Giả sử p ước u Khi p ước u2 Vì p ước x nên p ước v Do p ước v Suy gcd(u, v) > 1, vơ lí Tương tự, p ước v ta suy gcd(u, v) > 1, vơ lí Do gcd(x, y) = Vậy x, y, z số Pythagore nguyên thủy 2.3.5 Ví dụ Cho u = Khi v = Suy x = u2 − v = 3, y = 2uv = 4, z = u2 + v = Vậy 3, 4, ba Pythagore nguyên thủy 2.3.6 Ví dụ Cho u = Khi v = (vì u > v u, v khơng lẻ) Suy x = u2 − v = 5, y = 2uv = 12, z = u2 + v = 13 Vậy 5, 12, 13 ba Pythagore nguyên thủy 44 2.3.7 Ví dụ Cho u = Khi v = v = (vì u > v u, v khơng lẻ) Nếu v = x = u2 − v = 7, y = 2uv = 24, z = u2 + v = 25 Nếu v = x = u2 − v = 15, y = 2uv = 8, z = u2 + v = 17 Vậy 7, 24, 25 15, 8, 17 ba Pythagore nguyên thủy 45 Kết luận Luận văn trình bày hệ thống kết vành số nguyên Gauss số ứng dụng việc giải toán sơ cấp kinh điển Tài liệu tham khảo luận văn báo gần G Dresden W M Dymacek “Finding factors of factor rings over the Gaussian Integers" đăng tạp chi The American Mathematical Monthly Các nội dung luận văn là: Nhắc lại số kiến thức quen biết bậc đại học vành phân tích (miền Gauss), vành iđêan chính, vành Euclid Phân tích vành thương vành số nguyên thành tổng trực tiếp vành đơn giản (Mệnh đề 1.2.5) Nghiên cứu khái niệm tính chất vành số nguyên Gauss, xác định phần tử khả nghịch (Bổ đề 1.3.2), chứng minh vành số nguyên Gauss vành Euclid (Định lí 1.3.4), xác định số nguyên tố Gauss (Định lí 1.3.5, Hệ 2.1.7, Hệ 2.1.8) Vận dụng kết để phân tích số nguyên Gauss thành tích phần tử nguyên tố vành Z[i] (Hệ 2.1.9), phân tích vành thương vành số nguyên Gauss (Định lí 2.1.10) Vận dụng kết lí thuyết để giải số toán sơ cấp kinh điển tốn tìm điều kiện để số tự nhiên tổng hai số phương (Định lí 2.2.1, Định lí 2.2.5) tốn tìm số Pythagore (Định lí 2.3.4) Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Tự Cường (2003), “Đại số đại", NXB ĐHQGHN [2] Lê Thị Thanh Nhàn (2015), “Lí thuyết đa thức", NXB ĐHQGHN Tiếng Anh [3] G Dresden, W Dymacek (2005), Finding factors of factor rings over the Gaussian Integers, American Math Monthly, 112, 602-611 [4] E B Vinberg (2003), “A course in Algebra", Amer Math Soc 46 ... 1.2, phân tích vành thương vành Z số nguyên thành tổng trực tiếp vành khơng phân tích Tiết dành để phát triển kết cho vành Z[i] số nguyên Gauss Mục tiêu tiết chứng minh định lí phân tích vành thương. .. nguyên Z phân tích thành tổng trực tiếp hữu hạn vành khơng phân tích dạng Zn với n lũy thừa số nguyên tố 1.3 Vành Z[i] số nguyên Gauss Vành số nguyên Gauss, lần nghiên cứu Gauss, loại vành liên... nói đầu Các số phức có dạng a + bi với a, b ∈ Z gọi số nguyên Gauss Tập số nguyên Gauss làm thành vành với phép cộng nhân số phức Vành kí hiệu Z[i], gọi vành số nguyên Gauss Chú ý vành thương