Vành các số nguyên đại số

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM THỊ NGÂN VÀNH CÁC SỐ NGUYÊN ĐẠI SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM THỊ NGÂN VÀNH CÁC SỐ NGUYÊN ĐẠI SỐ Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS NÔNG QUỐC CHINH Thái Nguyên - 2016 i Mục lục Mục lục i Lời cảm ơn ii Mở đầu 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Nhóm 1.2 Vành trường 1.3 Đa thức 1.4 Nhóm Abel tự Vành số nguyên đại số trường số 13 2.1 Số đại số số nguyên đại số 13 2.2 Các trường số 20 2.3 Nhân tử hóa 32 2.4 Các iđêan vành số nguyên đại số 41 Kết luận 53 Tài liệu tham khảo 54 ii Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc với PGS.TS Nông Quốc Chinh, trực tiếp hướng dẫn tận tình động viên tác giả suốt thời gian nghiên cứu vừa qua Xin chân thành cảm ơn tới thầy, giáo Khoa Tốn - Tin, Phịng Đào tạo, bạn học viên lớp Cao học Toán K7C trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, bạn đồng nghiệp tạo điều kiện thuận lợi, động viên tác giả trình học tập nghiên cứu trường Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới gia đình người thân ln khuyến khích, động viên tác giả suốt trình học tập làm luận văn Thái Nguyên, 2016 Phạm Thị Ngân Học viên Cao học Toán K7C, Trường ĐH Khoa học - ĐH Thái Nguyên Mở đầu Số học mệnh danh nữ hồng tốn học, chứa đựng nhiều vẻ đẹp tư logic Số nguyên đại số lĩnh vực nhiều nhà toán học dành nhiều thời gian nghiên cứu Việc nghiên cứu tính chất số nguyên đại số đề tài hấp dẫn người yêu toán xưa Vì lý nên chọn "Vành số nguyên đại số" làm đối tượng nghiên cứu luận văn Ngồi phần mở đầu tài liệu tham khảo, luận văn gồm chương với nội dung sau Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Chương trình bày kiến thức có liên quan cần sử dụng cho luận văn như: Các khái niệm vành, iđêan, iđêan chính, iđêan nguyên tố, iđêan tối đại, vành nhân tử hóa, vành Euclid; Đa thức, đa thức đối xứng, đa thức bất khả quy; Nhóm Abel tự Chương 2: Vành số nguyên đại số trường số Nội dung chương trình bày khái niệm, tính chất iđêan vành OK số nguyên đại số Thái Nguyên, ngày 18 tháng 05 năm 2016 Phạm Thị Ngân Email: nganstar1821@gmail.com Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Nhóm Định nghĩa 1.1.1 Cho tập X với phép tốn nhân Ta nói (X, ) (gọi tắt X) là: (i) nửa nhóm phép toán nhân kết hợp X (X = ∅); (ii) vị nhóm phép tốn nhân kết hợp X phép tốn có phần tử đơn vị X Một nửa nhóm gọi giao hốn hay Abel phép toán tương ứng giao hoán Định nghĩa 1.1.2 Nhóm vị nhóm mà phần tử có phần tử nghịch đảo Nói cách khác, tập G khác rỗng với phép toán nhân gọi nhóm tính chất sau thỏa mãn: (G1 ) Với x, y, z ∈ G, (xy)z = x(yz); (G2 ) Tồn e ∈ G cho với x ∈ G, ex = xe = x; (G3 ) Với x ∈ G, tồn x−1 ∈ G cho xx−1 = x−1 x = e Nếu phép toán G phép toán cộng tính chất trở thành: (G1 ) Với x, y, z ∈ G, (x + y) + z = x + (y + z); (G2 ) Tồn e ∈ G cho với x ∈ G, + x = x + = x; (G3 ) Với x ∈ G, tồn −x ∈ G cho x + (−x) = (−x) + x = Trường hợp phép toán nhóm G giao hốn ta nói G nhóm giao hốn hay nhóm Abel Nhóm G gọi nhóm hữu hạn tập hợp G hữu hạn Khi số phần tử G gọi số nhóm G Nếu nhóm G khơng hữu hạn ta nói G nhóm vơ hạn Định nghĩa 1.1.3 Nhóm H nhóm G tập ổn định nhóm G cho với phép tốn cảm sinh H nhóm Ký hiệu H ≤ G để H nhóm G Định lí 1.1.4 Cho H tập khác rỗng nhóm (G, ) Các mệnh đề sau tương đương: (i) H ≤ G; (ii) Với x, y ∈ H, xy ∈ H x−1 ∈ H; (iii) Với x, y ∈ H, x−1 y ∈ H Định nghĩa 1.1.5 Cho S tập nhóm G Nhóm sinh S nhóm nhỏ G chứa S kí hiệu S Tập S gọi tập sinh nhóm S Nếu S hữu hạn S = {x1 , x2 , , xn } ta nói S nhóm hữu hạn sinh với phần tử sinh x1 , , xn mà ta thường kí hiệu nhóm x1 , , xn 1.2 Vành trường Định nghĩa 1.2.1 Vành tập R với hai phép toán cộng nhân thỏa mãn tính chất sau: (R1 ) (R, +) nhóm Abel; (R2 ) (R, ) nửa nhóm; (R3 ) Phép nhân phân phối phép cộng, nghĩa với x, y, z ∈ R, ta có x(y + z) = xy + xz; (y + z)x = yx + zx Phần tử đơn vị phép cộng gọi phần tử không, ký hiệu 0; phần tử nghịch đảo phần tử x ∈ R phần tử đối x ký hiệu −x Nếu phép nhân giao hốn ta nói vành R giao hốn; phép nhân có phần tử đơn vị vành R gọi vành có đơn vị Phần tử đơn vị ký hiệu e hay Định nghĩa 1.2.2 Cho R vành (i) Tập A khác rỗng R gọi vành R A ổn định hai phép toán vành R A với hai phép toán cảm sinh vành (ii) Vành I R gọi iđêan trái (tương ứng iđêan phải) R với r ∈ R x ∈ I ta có rx ∈ I (tương ứng xr ∈ I) Ta nói I iđêan R I vừa iđêan trái vừa iđêan phải R Định lí 1.2.3 (Đặc trưng vành con) Cho A tập khác rỗng vành R Các mệnh đề sau tương đương: (i) A vành R; (ii) Với x, y ∈ A, x + y ∈ A, xy ∈ A, −x ∈ A; (iii) Với x, y ∈ A, x − y ∈ A xy ∈ A Định lí 1.2.4 (Đặc trưng iđêan) Cho I tập khác rỗng vành R Các mệnh đề sau tương đương: (i) I iđêan R; (ii) Với x, y ∈ I r ∈ R, x + y ∈ I, −x ∈ I, rx ∈ I xr ∈ I; (iii) Với x, y ∈ I r ∈ R, x − y ∈ I, xr ∈ I rx ∈ I Định nghĩa 1.2.5 Cho S tập khác rỗng vành R Ta định nghĩa: (i) Giao tất vành R có chứa S vành sinh S (ii) Giao tất iđêan R có chứa S iđêan sinh S, ký hiệu S Định nghĩa 1.2.6 Cho S tập vành R I = S Ta nói I sinh S S tập sinh I Nếu S hữu hạn ta nói I hữu hạn sinh Đặc biệt, S = {a} ta viết I = a , gọi iđêan sinh a Định nghĩa 1.2.7 Cho R vành giao hoán, có đơn vị 1) Iđêan P R gọi iđêan nguyên tố P = R từ ab ∈ P suy a ∈ P b ∈ P với a, b ∈ R 2) Iđêan M gọi iđêan tối đại R M = R với iđêan B R thỏa mãn M ⊂ B ⊂ R B = R B = M Định nghĩa 1.2.8 (i) Cho R vành giao hoán Phần tử x ∈ R\{0} gọi ước tồn y ∈ R\{0} cho xy = (ii) Một vành giao hốn, có đơn vị, có nhiều phần tử khơng có ước không gọi miền nguyên (iii) Một vành giao hốn, có đơn vị, có nhiều phần tử phần tử khác khơng khả nghịch gọi trường Định lí 1.2.9 (i) Mọi trường miền nguyên (ii) Mọi miền nguyên hữu hạn trường Định nghĩa 1.2.10 Cho R trường I tập khác rỗng, ổn định hai phép toán R Ta nói I trường R I với hai phép toán cảm sinh từ R trường Định lí 1.2.11 (Đặc trưng trường con) Cho R trường I tập R có chứa hai phần tử Các mệnh đề sau tương đương: (i) I trường R; (ii) Với x, y ∈ I, x + y ∈ I, xy ∈ I, −x ∈ I nữa, x = x−1 ∈ I; (iii) Với x, y ∈ I, x − y ∈ I nữa, x = x−1 y ∈ I Một hàm Euclid φ miền nguyên R hàm φ : R\{0} → Z với tính chất • φ(a) ≥ với a ∈ R, a = 0, • a, b ∈ R với a = a|b tồn c ∈ R với φ(b − ac) < φ(a) Một miền nguyên R miền Euclid tồn hàm Euclid R Bổ đề 1.2.12 Giả sử R miền Euclid Khi iđêan R iđêan 1.3 Đa thức Cho R vành (giao hốn) có đơn vị 1, kí hiệu R[X] vành đa thức biến X với hệ số R Nếu f = a0 + a1 X + a2 X + · · · + an X n với an = n bậc f , an hạng tử cao f an X n số hạng cao f Bậc f kí hiệu deg(f ) Một đa thức gọi đa thức monic hệ số cao Nhận xét 1.3.1 Nếu R miền nguyên deg(f g) = deg(f ) + deg(g), f g hai đa thức khác không R[X] Đặc biệt f g = R[X] miền nguyên Mệnh đề 1.3.2 (Thuật toán chia) Cho K trường f, g ∈ K[X] với g = Khi đó, tồn đa thức q, r ∈ K[X] cho 40 Ví dụ 2.3.19 Giải phương trình nghiệm nguyên (2.2) x3 = y + Sự có mặt số (2.2) gợi ý ta hạn chế tính chẵn lẻ x y Nếu y chẵn | y y + ≡ (mod 4) Nhưng x3 ≡ (mod 4) nên y lẻ Điều suy x3 lẻ x lẻ Tiếp theo phân tích (2.2) thành x3 = (y + √ −2)(y − √ −2) (2.3) √ Đây phép phân tích thành nhân tử OK = Q( −2) Lưu ý √ OK = Z[ −2] OK có phép phân tích thành nhân tử K Euclid Dễ thấy đơn vị OK ±1 Ta phân tích √ y + −2 thành thừa số nguyên tố Ta có y+ √ am −2 = ±π1a1 π2a2 πm (2.4) j = k πj = ±πk Khi (2.3) suy x3 = π1a1 π2a2 πkak π a11 π a22 π akk Ta chứng minh khơng có πj ±π k Nếu điều xảy πj | √ √ √ (y + −2) πj | (y − −2) Do πj nhân tử (y + −2) − (y − √ √ √ √ −2) = −2 Nhưng πj | (y+ −2) nên N (πj ) | N (y+ −2) = y +2 √ √ số lẻ πj | −2 nên N (πj ) | N (2 −2) = Do N (πj ) = 1, điều có nghĩa πj đơn vị khơng bất khả quy Vì x3 lập phương, ta viết lũy thừa phần tử bất khả quy, số mũ nhân tử bội Từ phép nhân tử hóa suy aj chia hết cho Ngược lại từ (2.4), ta có √ √ y + −2 = ±β = (±β)3 β ∈ OK Viết ±β = a + b −2 với a, b ∈ Z 41 Khi y+ √ √ −2 = (a3 − 6ab2 ) + (3a2 b − 2b3 ) −2 y = a(a2 − 6b2 ) = b(3a2 − 2b2 ) Do b = ±1 ±1 = 3a2 − 2b2 = 3a2 − Điều xảy 3a2 = a = ±1 Khi y = ±(−5) = ±5 Do x3 = 27 x = Kết luận phương trình (2.2) có nghiệm ngun dương (x, y) = (3, 5) (x, y) = (3, −5) 2.4 Các iđêan vành số nguyên đại số Trong phần ta trình bày lý thuyết iđêan vành OK số nguyên đại số Bổ đề 2.4.1 Cho K trường số Giả sử β γ hai phần tử khác không OK Khi β = γ γ/β khả nghịch OK Chứng minh Nếu β = γ β ∈ γ γ ∈ β Do γ/β ∈ OK γ/β ∈ U (OK ) Ngược lại, γ/β ∈ U (OK ) β/γ, γ/β ∈ OK β|γ γ|β Do β ⊆ γ ⊆ β , suy β = γ Định nghĩa 2.4.2 (i) Cho I iđêan OK γ, δ ∈ OK Ta nói γ đồng dư với δ theo modulo I γ − δ ∈ I kí hiệu γ ≡ δ (mod I) (ii) Một iđêan P OK iđêan nguyên tố • P = 0, • P = , • γ, δ ∈ OK γδ ∈ P γ ∈ P δ ∈ P Nhận xét 2.4.3 (i) Nếu γ ≡ σ (mod β ) ta có γ−σ ∈ β ⇔ γ−σ = ηβ Do ta hiểu γ ≡ σ (mod β ) giống γ ≡ σ (mod β) Cho nên β phần tử nguyên tố OK điều kiện viết lại sau: 42 • β = 0; β = OK • γ, δ ∈ OK γδ ∈ β γ ∈ β δ ∈ β (ii) Iđêan ngun tố, OK có dạng β , β nguyên tố Mệnh đề 2.4.4 Giả sử K trường số iđêan OK iđêan Mỗi iđêan khơng tầm thường OK tích iđêan nguyên tố phép biểu diễn Chứng minh Mỗi iđêan không tầm thường I có dạng I = β β = β∈ / U (OK ) Khi đó, theo Bổ đề 2.3.8 β = γ1 γ2 γr γj bất khả quy Khi I = γ1 γ2 γr theo Mệnh đề 2.3.17 γj nguyên tố Nhưng γj iđêan nguyên tố I tích iđêan nguyên tố Giả sử I = P P2 Pr = Q Q Q s (2.5) hai phép phân tích thành nhân tử I thành tích iđêan nguyên tố Viết Pi = γi Qj = δj Khi β, γ1 γ2 γr δ1 δ2 δs khác phần tử đơn vị Bằng cách hấp thụ vào γ1 δ1 ta giả sử β = γ γ γ r = δ1 δ2 δs Theo Mệnh đề 2.3.12 , phép phân tích thành nhân tử tương đương mà có nghĩa (2.5) r = s Pi s Qi s bậc √ √ Ví dụ 2.4.5 Giả sử K = Q( −6) Khi OK = {a + b −6} Ta định nghĩa hai tập OK √ √ I = {a + b −6 : a, b ∈ Z, a số chẵn} = {2c + b −6 : b, c ∈ Z} √ √ J = {a + b −6 : a, b ∈ Z, 3|a} = {3c + b −6 : b, c ∈ Z} 43 Khi đó, dễ thấy I J nhóm OK với phép cộng Giả sử √ √ β = 2c + b −6 ∈ I γ = r + s −6 ∈ OK Khi √ √ √ γβ = (r + s −6)(2c + b −6) = 2(rs − 3sb) + (rb + 2sc) −6 ∈ I I iđêan OK Lập luận tương tự suy J iđêan √ √ OK Thực tế ta đánh giá I = 2, −6 Chắc chắn ∈ I −6 ∈ I √ √ suy 2, −6 ⊂ I Mặt khác phần tử I có dạng 2c + b −6 với √ b, c ∈ Z Mỗi phần tử I có dạng 2γ + δ −6 với γ, δ ∈ OK √ √ √ I ⊆ 2, −6 Khi I = 2, −6 Tương tự J = 3, −6 Bây ta chứng minh I J khơng phải iđêan Giả sử I iđêan Khi I = β với vài β ∈ OK Khi ∈ I √ √ √ −6 ∈ I nên β|2 β| −6 Do N (β)|N (2) = N (β)|N ( −6) = √ Suy N (β) = ±1 ±2 Nhưng N (β) = a2 +6b2 β = a+b −6 a, b ∈ Z Chỉ a = ±1 b = Nhưng β = ±1 ±1 ∈ /I điều sai Do I khơng phải iđêan Lập luận tương tự chứng tỏ J iđêan Ta tính tích I J Đầu tiên ta xét I Ta có I = 2, √ −6 2, √ √ √ −6 = 4, −6, −6, −6 √ Bằng cách kiểm tra ta thấy 4, −6 −6 phần tử suy I ⊆ Nhưng = (−1)4 − (−1)(−6) ∈ I Do ⊆ I ta suy I = Tương tự J = Bây xét IJ Ta có IJ = 2, −6 3, √ √ √ −6 = 6, −6, −6, −6 √ √ √ −6| ± OK ta thấy IJ ⊆ −6 Nhưng −6 = −6 + √ √ √ −6 (−1)2 −6 ∈ IJ −6 ⊆ IJ Do dó IJ = Vì √ √ Bây ta chứng tỏ I J iđêan nguyên tố Giả sử β = √ √ a + b −6, γ = c + d −6 ∈ OK giả sử β ∈ / I γ ∈ / J Khi a 44 √ c số lẻ Do βγ = (ac − 6bd) + (ad + bd) −6 Nhưng ac − 6cd lẻ, βγ ∈ / I Do I nguyên tố Bây giả sử β ∈ / J γ∈ / J Khi ∤ a ∤ c Nhưng ∤ (ac − 6bd) βγ ∈ / J Do J nguyên tố Ta có √ √ = × = ( −6)(− −6) phép phân tích khơng thành tích thừa số bất khả quy OK Điều cho ta phép phân tích thành tích iđêan = = Nhưng không phần tử , √ −6 √ (2.6) −6 "bất khả quy" iđêan Phép phân tích thành nhân tử (2.6) viết (I )(J ) = (IJ)(IJ) xem hai cách nhóm iđêan ngun tố, khơng phải iđêan phép phân tích = I J thành tích cặp tới iđêan Bổ đề 2.4.6 [4] Giả sử K trường số bậc n Mỗi iđêan khác không OK nhóm Abel tự hạng n với phép cộng Chứng minh Giả sử I iđêan khác không OK Giả sử β1 , β2 , , βn lập thành sở nguyên OK giả sử γ phần tử khác khơng I Khi đó, rõ ràng γβ1 , γβ2 , , γβn lập thành sở nguyên γ Do γ nhóm Abel tự hạng n Vì I nhóm Ok nên theo Mệnh đề 1.4.1 I nhóm Abel hạng m, m ≤ n Nhưng γ nhóm I hạng γ n, không vượt m Do n ≤ m ≤ n, suy m = n 45 Giả sử K trường số Mỗi iđêan OK có hạng với nhóm Abel OK Theo Mệnh đề 1.4.3 iđêan I có số hữu hạn nhóm OK Ta gọi số chuẩn I kí hiệu N (I) Tức N (I) = |OK : I| Điều có nghĩa N (I) = m có γ1 , , γm ∈ OK mà lập thành hệ lớp biểu diễn cho I OK Tức β ∈ OK đồng dư với phần tử γj theo modulo I √ √ Ví dụ 2.4.7 (i) Cho K = Q( −6), suy OK = Z[ −6] Xét iđêan √ √ + −6 Giả sử β = + −6, γ ∈ β γ/β ∈ √ √ Z[ −6] Nếu γ = a + b −6 √ √ √ a + b −6 (a + b −6)(1 − −6) a + 6b b − a√ √ √ √ −6 = + = = β 7 + −6 (1 + −6)(1 − −6) γ Do γ ∈ β a + 6b ≡ (mod 7) b − a ≡ (mod 7) √ Hai điều kiện tương đương với a ≡ b (mod 7) Ngược lại a + b −6 ≡ √ c + d −6 (mod β ) b − a ≡ d − c (mod 7) Do √ 0, 1, 2, 3, 4, 5, lập thành hệ lớp biểu diễn cho β Z[ −6] √ N ( + −6 ) = √ √ (ii) Cho K = Q( −6) Xét iđêan khơng phải iđêan I = 2, −6 √ √ Ta thấy a + b −6 ∈ I a số chẵn Do a + b −6 ≡ √ c + d −6 (mod I) a ≡ c (mod 2) Do lập thành √ hệ lớp biểu diễn cho I Z[ −6] N (I) = Lập luận √ tương tự suy N (J) = J = 3, −6 Tính chất 2.4.8 Giả sử I J iđêan khác khơng OK Khi • N (I) số nguyên dương N (I) = I = = OK , • I ⊆ J N (J)|N (I) N (J) = N (I) I = J 46 Định lí 2.4.9 [4] Giả sử K trường số Nếu γ phần tử khác không OK (2.7) N ( γ ) = |N (γ)| (Chú ý vế trái (2.7) chuẩn iđêan vế phải chuẩn phần tử.) Chứng minh Giả sử β1 , , βn sở nguyên OK Khi γβ1 , , γβn lập thành sở nguyên γ Ta viết γβj = n ajk βk j=1 ajk ∈ Z Theo Mệnh đề 1.4.3 suy N ( γ ) = |OK : γ | = | det(A)|, A ma trận vng cấp n với phần tử thứ (j, k) ajk Ta phải det(A) = N (γ) Thật vậy, phương trình ma trận γv = Av, v véctơ cột (β1 β2 βn )T Tác động đồng cấu σk vào phương trình này, suy σk (γ)vk = Avk vk = (σk (β1 ) σk (β2 ) σk (βn ))T Do vk véctơ riêng A với giá trị riêng σk (γ) Ma trận B = (σk (βj )) ma trận vuông cấp n Khi BB T có phần tử thứ (j, k) n σi (βj )σi (βk ) = T (βj βk ) i=1 det(BB T ) = ∆(β1 , , βn ) = Do B khơng suy biến Khi BAB −1 ma trận đường chéo với phần tử đường chéo σj (γ) det(A) = det(BAB ) = −1 n σj (γ) = N (γ) j=1 Lập luận tương tự chứng tỏ N ( γ I) = |N (γ)|N (I) Tổng quát, K trường số I, J iđêan OK N (IJ) = N (I)N (J) Bổ đề 2.4.10 Cho K trường số P iđêan nguyên tố OK Nếu I J iđêan OK IJ ⊆ P I ⊆ P J ⊆ P Tổng quát, I1 , , Im iđêan I1 Im ⊆ P Ik ⊆ P với số k Chứng minh Giả sử ngược lại IJ ⊆ P I ⊆ P J ⊆ P Khi đó, tồn β ∈ I, γ ∈ J với β ∈ / P γ ∈ / P Có βγ ∈ IJ IJ ⊆ P nên 47 βγ ∈ P , βγ ⊆ P nên βγ ∈ P , P nguyên tố nên β ∈ P γ ∈ P Điều vô lý Vậy IJ ⊆ P Trường hợp tổng quát suy phương pháp quy nạp Định nghĩa 2.4.11 Một iđêan I OK iđêan cực đại I iđêan không tầm thường iđêan J OK mà I ⊆ J J = I J = OK Bổ đề 2.4.12 Cho K trường số Một iđêan I = OK iđêan nguyên tố iđêan cực đại Chứng minh Đầu tiên giả sử I iđêan cực đại Lấy β, γ ∈ OK với βγ ∈ I β ∈ / I Để chứng minh I nguyên tố ta cần chứng minh γ ∈ I Giả sử J = I + β Khi J iđêan cảu OK I ⊆ J, I = J β ∈ J Do I cực đại nên J = OK Do ∈ J, suy = η + δβ η ∈ I δ ∈ OK Khi ≡ δβ (mod I) Suy γ = 1γ ≡ δβγ ≡ (mod I) βγ ∈ I Suy γ ∈ I I iđêan nguyên tố Tiếp theo, giả sử I iđêan nguyên tố J iđêan OK với I ⊆ J I = J Ta J = OK hay tương đương ∈ OK Giả sử β ∈ J β∈ / I Khi J ⊇ I + β , ta chứng tỏ ∈ I + β Iđêan I có số hữu hạn m OK Giả sử γ1 , , γm lớp biểu diễn I OK Vì phần tử OK đồng dư với γj theo modulo I Đặc biệt γj ≡ γk ( mod I) j = k Nếu βγj ≡ βγk (mod I) β(γj − γk ) ∈ I Vì I nguyên tố β ∈ / I nên γj − γk ∈ I j = k Các phần tử βγ1 , βγm thuộc lớp khác I nên hệ lớp biểu diễn I OK Đặc biệt ≡ βγj (mod I) với vài j = η + γj β với η ∈ I Do ∈ I + β , suy I iđêan cực đại Bổ đề 2.4.13 Cho K trường số I iđêan không tầm thường OK Khi đó, tồn iđêan nguyên tố P OK cho I ⊆ P 48 Chứng minh Xét iđêan không tầm thường J OK cho I ⊆ J Nếu I = J iđêan không tầm thường J OK mà I ⊆ J I = J Suy I iđêan cực đại OK , I iđêan nguyên tố Khi ta chọn P = I thỏa mãn yêu cầu toán Nếu J = I chọn J = P , P iđêan có chuẩn bé Khi P iđêan cực đại, P ⊆ J1 với J1 = P iđêan OK N (J1 ) < N (P ) J1 = OK Vì P cực đại nên P nguyên tố Bổ đề 2.4.14 [4] Giả sử K trường số I iđêan khơng tầm thường OK Khi I ⊇ P1 P2 Pm , Pj iđêan nguyên tố OK Chứng minh Ta chứng minh quy nạp N (I) Nếu N (I) = ta có I = OK bổ đề Giả sử bổ đề với iđêan có chuẩn nhỏ m, ta với iđêan có chuẩn m Nếu I ngun tố ta có điều phải chứng minh Nếu I khơng ngun tố tồn β, γ ∈ OK với β ∈ / I, γ ∈ / I βγ ∈ I Giả sử J1 = β + I J2 = γ + I Khi I ⊆ J1 I ⊆ J2 I = J1 I = J2 Do N (J1 ) < N (I) N (J2 ) < N (I) Nhưng J1 J2 = βγ + βI + γI + I ⊆ I βγ ∈ I Theo giả thiết quy nạp J1 ⊇ P1 Pr J2 ⊇ Q1 Qs với Pj Qk iđêan nguyên tố Do I ⊇ J1 J2 ⊇ P1 Pr Q1 Qs Định nghĩa 2.4.15 Cho K trường (i) Một iđêan thương K tập có dạng βI, β phần tử khác khơng K I iđêan khác không OK (ii) Nếu iđêan OK iđêan iđêan thương K gọi iđêan thương (iii) Nếu = β ∈ K β 1/β = = OK iđêan β gọi iđêan thương khả nghịch 49 Bổ đề 2.4.16 Giả sử K trường số Khi I iđêan thương K • I nhóm khác khơng K với phép cộng, • β ∈ I γ ∈ OK γβ ∈ I, • tồn η ∈ K khác không cho β/η ∈ OK với β ∈ I Chứng minh Nếu I = ηJ iđêan thương K với η ∈ K J iđêan OK ba tính chất xảy với giá trị η Ngược lại giả sử lại ba tính chất Khi J = η −1 I = {β/η : β ∈ I} iđêan OK I = ηJ iđêan thương Bổ đề 2.4.17 Cho K trường số I iđêan khác không OK Nếu γI ⊆ I với I ∈ K γ ∈ OK Chứng minh Theo Bổ đề 2.4.6, ta có I nhóm Abel tự Gọi β1 , , βn lập thành sở nguyên I γβj ∈ I với j, γβj = n k=1 ajk βk ajk ∈ Z Do γv = Av v = (βj ) véctơ cột A = (ajk ) Do γ giá trị riêng A ma trận với hệ số nguyên Suy γ số nguyên đại số γ ∈ K ∩ B = OK Mệnh đề 2.4.18 [4] Cho K trường số P iđêan nguyên tố OK Khi đó, tồn iđêan thương J K với P J = Chứng minh Đặt P ∗ = {β ∈ K : βP ⊆ OK } Khi P ∗ iđêan thương K, OK ⊆ P ∗ P ⊆ P P ∗ ⊆ OK Theo tính cực đại iđêan nguyên tố P P P ∗ = P P P ∗ = OK Ta P P ∗ = OK Thật vậy, giả sử P P ∗ = P , γ ∈ P ∗ , suy γP ⊆ P theo Bổ đề 2.4.17 ta có γ ∈ OK Do P ∗ ⊆ OK suy P ∗ = OK Để mâu thuẫn, ta phần tử P ∗ không thuộc OK 50 Gọi β phần tử khác khơng P Khi đó, theo Bổ đề 2.4.14 β chứa tích P1 P2 Pr với Pj iđêan nguyên tố Chọn tích với số nhân tử Khi P ⊇ β ⊇ P1 P2 Pr theo Bổ đề 2.4.10 P ⊆ Pj với j Khơng tính tổng qt ta giả sử P ⊇ P1 , suy P = P1 P1 iđêan cực đại Do β ⊇ P I I = P2 Pr Vì r chọn nhỏ nên β ⊇ I Do đó, tồn γ ∈ I γ ∈ / β Do δ = γ/β ∈ / OK Nhưng γP ⊆ P I ⊆ β δP = β −1 γP ⊆ OK Do δ ∈ P ∗ Nhưng γ ∈ / β nên δ ∈ / OK Suy P P ∗ = OK = Định lí 2.4.19 Cho K trường số giả sử I iđêan không tầm thường OK Khi I = P1 P2 Pm với Pj iđêan nguyên tố với j = 1, m Chứng minh Ta chứng minh quy nạp theo N (I) Nếu I iđêan ngun tố ta có điều phải chứng minh Nếu I iđêan nguyên tố Theo Bổ đề 2.4.13 I ⊆ P với P iđêan nguyên tố Gọi P −1 iđêan nghịch đảo P Vì P ⊆ OK nên OK = P P −1 ⊆ OK P −1 = P −1 Giả sử J = IP −1 Vì I ⊆ P nên J ⊆ P P −1 = OK J iđêan OK Ngoài I = P J, J iđêan thực OK Ta biết P −1 ⊇ OK P −1 ⊆ OK , ngược lại P −1 = OK Do J = IP −1 ⊇ IOK = I Nếu có J = I γI ⊆ I với γ ∈ P −1 theo Bổ đề 2.4.17 ta có P −1 ⊆ OK Điều mâu thuẫn P −1 ⊆ OK Do I ⊆ J I = J nên N (J) < N (I) Theo giả thiết quy nạp J tích nguyên tố I = P J Mệnh đề 2.4.20 Cho K trường số I iđêan thương K Khi I iđêan khả nghịch 51 Chứng minh Do I iđêan thương K nên ta viết I dạng I = βJ β = J iđêan OK Theo Định lý 2.4.19 ta có J = P1 P2 Pr Pj iđêan nguyên tố với j = 1, r theo Bổ đề 2.4.13 PJ khả nghịch với phần tử nghịch đảo Pj−1 Khi đó, iđêan thương β −1 P1−1 P2−1 Pj−1 nghịch đảo I Từ điều ta iđêan thương K lập thành nhóm với phép nhân iđêan thương lập thành nhóm nhóm Mệnh đề 2.4.21 Cho K trường số I1 , I2 iđêan khác khơng OK Khi I1 ⊇ I2 tồn iđêan J OK cho I2 = I1 J Chứng minh Nếu I2 = I1 J với iđêan J rõ ràng I2 ⊆ I1 Ngược lại giả sử I1 ⊇ I2 Khi OK = I1 I1−1 ⊇ I2 I1−1 = J Khi J iđêan OK I1 J = I1 I2 I −1 = I2 Định lí 2.4.22 Cho K trường số I iđêan khác không OK Nếu I = P P2 Pr = Q Q Q s (2.8) với Pj Qk iđêan nguyên tố OK r = s đánh số lại Qk cho Pj = Qj với j Chứng minh Ta chứng minh quy nạp theo r Rõ ràng P1 ⊇ I = Q1 Q2 Qs Theo Bổ đề 2.4.10 suy P1 ⊇ Qk với vài k Đánh số lại Qj ta có P1 ⊇ Q1 Vì Q1 ngun tố nên cực đại, suy P1 = Q1 Nhân (2.8) với P1−1 ta P2 Pr = Q Q s 52 Tiếp tục trình sau hữu hạn bước Nếu r > s Ps+1 Ps+2 Pr = Điều vơ lý Pi ngun tố nên khơng khả nghịch Tương tự r < s Qr+1 Qr+2 Qs = 1, điều vô lý Vậy r = s việc đánh số lại nhân tử ta có Pj = Qj với j = 1, r 53 Kết luận Trong luận văn tơi trình bày kết sau: (1) Trình bày kiến thức bản: Các khái niệm nhóm, vành trường; Đa thức, đa thức đối xứng, đa thức bất khả quy; Nhóm Abel tự (2) Trình bày khái niệm, tính chất vành OK số nguyên đại số (3) Trình bày iđêan vành OK vành số nguyên đại số: Iđêan vành giao hoán, Iđêan vành OK , chuẩn iđêan phân tích iđêan khơng tầm thường thành tích iđêan nguyên tố 54 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Viết Đông, Trần Ngọc Hội (2005), Đại số đại cương, Nxb Đại học quốc gia TP HCM [2] Lê Thị Thanh Nhàn (2015), Giáo trình đa thức, Nxb Đại học quốc gia Hà Nội [3] Nguyễn Tiến Quang (2002), Cơ sở lý thuyết trường lý thuyết Galois, Nxb Đại học quốc gia Hà Nội Tiếng Anh [4] Robin Chapman (2005), "Algebraic number theory" http://empslocal.ex.ac.uk/people/staff/rjchapma/notes/ant2.pdf ... Chương Vành số nguyên đại số trường số 2.1 Số đại số số nguyên đại số Định nghĩa 2.1.1 (i) Phần tử α ∈ C số đại số f (α) = với f ∈ Q[X] đa thức monic (ii) Phần tử β ∈ C số nguyên đại số g(β)... Vành số nguyên đại số trường số 13 2.1 Số đại số số nguyên đại số 13 2.2 Các trường số 20 2.3 Nhân tử hóa 32 2.4 Các iđêan... B, A − B AB, số có hệ số nguyên Nhưng ma trận C có hệ số nguyên giá trị riêng số ngun đại số, đa thức đặc trưng C đa thức monic với hệ số nguyên Suy α + β, α − β αβ số nguyên đại số Nếu ta giả