Vận dụng quy tắc suy luận vào giải toán Tiểu học

Đứng trước thực tiễn đó, là một giáo viên Tiểu học trong tương lai, tôi quyết định chọn đề tài “ Vận dụng quy tắc suy luận vào giải toán Tiểu học”. Với học sinh Tiểu học còn nhỏ, vốn sống còn hạn chế, tư duy trừu tượng chưa phát triển, các vấn đề giảng dạy đều phải qua thực nghiệm nên đây là phương pháp chủ yếu, đơn giản nhất, dễ hiểu nhất đối với học sinh. Mặc dù nó chưa cho phép chúng ta chứng minh được chân lý mới nhưng cũng giúp chúng ta đưa các em đến thật gần với chân lý ấy, giúp giải thích ở mức độ nào đó các kiến thức mới, tránh tình trạng bắt buộc phải thừa nhận kiến thức mới một cách hình thức, hời hợt. Tôi mong muốn được đóng góp một phần nhỏ của mình vào việc giúp các em học sinh có được năng lực suy luận logic khi học mảng số học, đồng thời phát triển năng lực trí tuệ cho học sinh mình sau này.

Vinh, ngày 15 tháng 05 năm 2017

Sinh Viên

Vi Thị Ngọc

3, Nhiệm vụ nghiên cứu

4, Đối tượng- khách thể nghiên cứu

5, Phương pháp nghiên cứu

6, Một số tài liệu tham khảo

PHẦN 2: NỘI DUNG NGHIÊN CỨU

2, Giá trị của công thức

3, Sự bằng nhau của hai công thức

4, Phép biến đổi công thức

IV, Luật của logic mệnh đề

V, Quy tắc suy luận

1, Định nghĩa

2, Luật và quy tắc suy luận

3, Các quy tắc suy luận thường gặp

4, Một số quy tắc suy luận thường được vận dụng trong các suy luận toán học

B, CHỨNG MINH MỘT SỐ QUY TẮC SUY LUẬN

1, Quy tắc kết luận Modus ponens

2, Quy tắc kết luận ngược Modus tollens

3, Các quy tắc suy luận bắc cầu

C, VẬN DỤNG QUY TĂC SUY LUẬN VÀO GIẢI TOÁN TIỂU HỌC

1, Bài tập 4, trang 181- SGK Toán 1

2, Bài tập 3, trang 71- SGK Toán 2

3, Bài tập 4, trang 123- SGK Toán 2

4, Bài tập 1, trang 12- SGK Toán 2

5, Bài tập 2, trang 12- SGK Toán 3

6, Bài tập 2, trang 27- SGK Toán 3

7, Bài tập 4, trang 129- SGK Toán 3

8, Bài tập 2, trang 167- SGK Toán 3

9, Bài tập 1-3, trang47- SGK Toán 4

10, Bài tập 1-3, trang 148- SGK Toán 4

Bậc học nền tảng, đặt cơ sở ban đầu cho việc hình thành và phát triển nhâncách con người, đặt nền tảng vững chắc cho giáo dục phổ thông và cho toàn bộ

hệ thống giáo dục quốc dân chính là bậc Tiểu học Vì vậy, ở Tiểu học các emđược phát huy tối đa với các môn học thuộc tất cả các lĩnh vực: tự nhiên, xã hội

và con người

Môn Toán ở Tiểu học có một ý nghĩa và vị trí đặc biệt quan trọng Với tưcách là một môn khoa học nghiên cứu một số mặt của thế giới hiện thực, nó cómột hệ thống khái niệm, quy luật và có phương pháp riêng Hệ thống này luônphát triển trong quá trình nhận thức về thế giới và đưa ra kết quả là những trithức toán học để áp dụng vào cuộc sống Với đặc thù riêng của môn học, môntoán thực sự đóng vai trò chủ đạo trong việc trang bị cho học sinh hệ thống cáccông cụ và phương pháp riêng, là công cụ cần thiết để học sinh học các môn họckhác và phục vụ cho các bậc học trên Chương trình sách giáo khoa đảm bảophải dạy học những nguyên lý cơ bản và toàn diện về mặt đạo đức, trí tuệ, thẩm

mĩ đồng thời tạo điều kiện cho các em phát triển óc thông minh, khả năng độclập suy nghĩ sáng tạo Cái quan trọng của trí tuệ là rèn luyện óc thông minh vàsức suy nghĩ

Nhưng thực tế trong dạy học các tính chất, các quy tắc thực hành bốn phéptính, chúng ta mới chỉ chú trọng đến việc giúp học sinh nắm vững các quy tắc,tính chất mà chưa coi trọng đúng mức đến cách thức hoạt động của thầy, tròtrong quá trình chiếm lĩnh tri thức ấy Chính điều này đã dẫn đến một mặt khôngphát huy được tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của người học, mặt kháckhông phát triển được tư duy logic cho học sinh

Đứng trước thực tiễn đó, là một giáo viên Tiểu học trong tương lai, tôi quyết

định chọn đề tài “ Vận dụng quy tắc suy luận vào giải toán Tiểu học” Với học

sinh Tiểu học còn nhỏ, vốn sống còn hạn chế, tư duy trừu tượng chưa phát triển,các vấn đề giảng dạy đều phải qua thực nghiệm nên đây là phương pháp chủyếu, đơn giản nhất, dễ hiểu nhất đối với học sinh Mặc dù nó chưa cho phépchúng ta chứng minh được chân lý mới nhưng cũng giúp chúng ta đưa các emđến thật gần với chân lý ấy, giúp giải thích ở mức độ nào đó các kiến thức mới,tránh tình trạng bắt buộc phải thừa nhận kiến thức mới một cách hình thức, hờihợt Tôi mong muốn được đóng góp một phần nhỏ của mình vào việc giúp các

em học sinh có được năng lực suy luận logic khi học mảng số học, đồng thờiphát triển năng lực trí tuệ cho học sinh mình sau này

2, Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu phương pháp áp dụng quy tắc suy luận vào giải toán trong mạch

số học ở Tiểu học

3, Nhiệm vụ nghiên cứu

- Đặc điểm nhận thức của học sinh

- Tìm hiểu về những cơ sở logic toán

- Trình bày về vận dụng quy tắc suy luận trong giải toán Tiểu học

4, Đối tượng- khách thể nghiên cứu:

Đối tượng nghiên cứu: Vận dụng quy tắc suy luận vào giải toán Tiểu học

Khách thể nghiên cứu: Học sinh Tiểu học

5, Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp phân tích, tổng hợp lý thuyết

- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm

- Phương pháp thử nghiệm

6, Một số tài liệu tham khảo:

- Giáo trình toán cao cấp 1: TS Trần Diên Hiền-Nguyễn Văn Ngọc(Trường Đại học Sư phạm Hà Nội)

- Giáo trình toán cao cấp 1: Nguyễn Thị Châu Giang (Trường Đại họcVinh)

- Sách giáo khoa Toán 1, Toán 2, Toán 3, Toán 4 của Bộ giáo dục

- Một số trang web giáo dục: luanvan.com, tusach.thuvienkhoahoc.com,

PHẦN 2: NỘI DUNG NGHIÊN CỨU

A, LÝ THUYẾT

I Mệnh đề:

Định nghĩa: Là câu khẳng định có thể xác định tính đúng hay sai của nó Một

mệnh đề không thể vừa đúng vừa sai

Ví dụ:

b, Tam giác đều ABC có ba cạnh bằng nhau là mệnh đề đúng

c, Số 23 chia hết cho 5 (235) là mệnh đề sai

Nhận xét: Các câu hỏi, câu cảm thán, câu mệnh lệnh, các định nghĩa nói chung

các câu không nhằm phản ánh tính đúng sai của thực tế khách quan đều khôngđược coi là mệnh đề

Ví dụ: Các câu dưới đây đều không phải là mệnh đề:

a, Hãy điền vào chỗ trống

b, Y là số chẵn

c, Tứ giác ABCD có phải là hình chữ nhật không?

d, Ngày mai trời mưa rất to

e, Bạn đã đến trường chưa?

f, Cuốn sách này bao nhiêu tiền?

h, Ôi! Đôi giày kia đẹp quá!

Ta thừa nhận rằng

- Mỗi mệnh đề là đúng hoặc sai, không có mệnh đề nào không đúng màcũng không sai (Luật bài trùng)

- Không có mệnh đề nào vừa đúng vừa sai (Luật mâu thuẫn)

Trong logic mệnh đề ta không quan tâm đến cấu trúc ngữ pháp cũng như

ý nghĩa nội dung của mệnh đề mà chỉ quan tâm đến tính đúng sai của mỗi mệnhđề

Để chỉ ra các mệnh đề chưa xác định ta dùng các chữ cái in thường p, q,r… và gọi chúng là các biến mệnh đề.

Ta quy ước: p=1 khi p là mệnh đề đúng

p=0 khi p là mệnh đề saiCác giá trị 0 và 1 gọi là các giá trị chân lý của các mệnh đề

II Các phép toán của mệnh đề

Với các phép toán đại số, từ các số x, y nào đó ta có thể lập được các sốmới -x, x+y, x-y, x.y…

Tương tự như thế Trên tập hợp các mệnh đề, với một vài mệnh đề chotrước, bằng một quy tắc nhất định, ta có thể lập được các mệnh đề mới

Các quy tắc thiết lập mệnh đề mới này gọi là các phép toán mệnh đề haycòn gọi là các phép toán logic, các phép liên kết logic

Ta có một số phép toán mệnh đề cơ bản sau:

Một số ví dụ khác về phép phủ định:

a, p: 2 không phải là số nguyên tố (là mệnh đề sai)

p: 2 là nguyên tố (là mệnh đề đúng)

b, p: hình vuông có 4 góc vuông (là mệnh đề đúng)

p: hình vuông không có 4 góc vuông (là mệnh đề sai)

c, p: 100 không phải là số tự nhiên (là mệnh đề sai)

p: “Trang là học sinh lớp 12A1”

q: “Linh là học sinh lớp 12A2”

Nối hai mệnh đề đó bằng liên từ “và” ta được mệnh đề mới: “Trang là họcsinh lớp 12A1 và Linh là học sinh lớp 12A2” Mệnh đề mới này ta gọi là hội củahai mệnh đề đã cho Trong trường hợp này mệnh đề đúng vì cả hai mệnh đề tạothành đều đúng

Ví dụ 2: Cho hai mệnh đề:

p: “2 là số tự nhiên”

q: “-3 là số tự nhiên”

Nối hai mệnh đề này lại bằng liên từ “và” ta được mệnh đề mới “2 là số tự nhiên

và -3 là số tự nhiên” Trường hợp này mệnh đề hội sai vì trong hai mệnh đề đó

có một mệnh đề sai

Ta có định nghĩa phép hội như sau: Hội của hai mệnh đề p và q, ký hiệu p q,đọc là “p và q” là một mệnh đề đúng khi cả p lẫn q cũng đúng và sai trong cáctrường hợp còn lại

Ta có bảng chân lý của Phép hội như sau:

p: “ABC là tam giác cân” là mệnh đề đúng

q: “ABC là tam giác vuông” là mệnh đề sai

p q: “ABC là tam giác vuông cân” là mệnh đề sai

c,

p: “ Bắc Kinh là thủ đô của nước Đức” là mệnh đề sai

q: “ Trung Quốc thuộc châu Âu” là mệnh đề sai

p˄q: “ Bắc Kinh là thủ đô của nước Đức và Trung Quốc thuộc châu Âu”

Nối hai mệnh đề cho trước bằng liên từ “hoặc” ta được một mệnh đề mới gọi

là tuyển của hai mệnh đề Phép toán thành lập mệnh đề tuyến gọi là phép tuyển

*Chú ý: Trong ngôn ngữ thông thường, liên từ “hoặc” được dùng theo hai nghĩa

khác nhau

- Trong câu: “Trang phải mua váy mới hoặc áo mới” ta hiểu rằng Trang phải mua một trong hai hoặc phải mua cả hai

- Trong câu: “Điểm kiểm tra toán của Hùng được 10 hoặc 9” ta hiểu là khi điểm toán của Hùng chỉ được 1 trong 2 điểm là 10 hoặc 9 không thể 1 bài kiểm tra được cùng lúc cả điểm 10 và 9 (phép tuyển loại trừ).

Trong logic mệnh đề sử dụng liên từ “hoặc” theo nghĩa thứ nhất được gọi là phép tuyển không loại trừ, Ta có định nghĩa như sau

Định nghĩa: Tuyển của 2 mệnh đề p,q ký hiệu là p v q được gọi là p hoặc q là

một mệnh đề sai khi cả p lẫn q đều sai và đúng trong mọi trường hợp còn lại

Từ định nghĩa của phép tuyển, ta có giá trị của chân lý sau đây:

0011

0110

0111

q: “số 10 chia hết cho 4” – là mệnh đề sai

p q: “số 9 chia hết cho 3 hoặc số 10 chia hết cho 4” là mệnh đề đúng vì có

Định nghĩa: Cho hai mệnh đề p và q Mệnh đề kéo theo p=>q đọc là “p kéo

theo q” hay “nếu p thì q” là mệnh đề chỉ sai khi p đúng và q sai, còn đúng trong mọi trường hợp còn lại

Ta có bảng chân lý sau đây

p=>q : “15 có chữ số tận cùng là 5 nên chia hết cho 5”=> là mệnh đề đúng

b, p: “dây tóc bóng đèn không có dòng điện chạy qua”

q: “bóng đèn sáng”

p=>q : “nếu dây tóc bóng đèn có dòng điện chạy qua thì bóng đèn không sáng” là mệnh đề sai

vì mệnh đề giả thiết p đúng mà mệnh đề q sai

c, p: “mặt trời quay xung quanh trái đất”

q: “Việt Nam nằm ở Châu Âu”

p=>q: “Nếu mặt trời quay xugn quanh trái đất thì Việt Nam nằm ở Châu Âu” là mệnh đề đúng vì cả hai mệnh đề p, q đều sai

Định nghĩa: Cho hai mệnh đề p, q Mệnh đề “p tương đương q” (hay “p nếu và

chỉ nếu q”), ký hiệu p q là mệnh đề đúng khi và chỉ khi cả hai mệnh đề p, q cùng đúng hay cả hai mệnh đề p, q cùng sai

2 Hai mệnh đề a, b tương với nhau hoàn toàn không có nghĩa là nội dung của

chúng như nhau, mà nó chỉ nói lên rằng chúng có cùng giá trị chân lý (cùng đúng hoặc cùng sai)

VD: “tháng 12 có 31 ngày khi và chỉ khi trái đất quay quanh mặt trời” là mệnh

đề đúng

“Hình vuông có một góc tù khi và chỉ khi 100 là số nguyên tố” là mệnh đề đúng

Một số ví dụ về phép tương đương:

a, p: “8 là số chẵn”

q: “Tứ giác ABCD có 4 cạnh bằng nhau”

p q : “Tứ giác ABCD là hình chữ nhật nếu và chỉ nếu tứ giác ABCD có 4 cạnh bằng nhau” là mệnh đề sai vì có một mệnh đề đúng và có một mệnh đề sai

III Công thức logic của mệnh đề:

Từ các mệnh đề sơ cấp, nhờ các phép toán logic đã định nghĩa, ta có thể thành lập được những mệnh đề ngày càng phức tạp

Trong logic mệnh đề người ta đưa ra khái niệm công thức, tương tự như khái niệm biểu thức trong toán học

1, Định nghĩa công thức

Cho p, q, r là các mệnh đề (hay còn gọi là các biến mệnh đề)

Từ các mệnh đề đó, sử dụng các phép toán, logic, -, , ,=>,<=> ta lập được những mệnh đề mới, phức tạp hơn như q=> p; (p q)  r …

Từ các mệnh đề mới lập được, lại áp dụng các phép toán logic, ta lại được các mệnh đề mới, chẳng hạn: ( p  (p q)); (p=>q)  (q=>p)

Cứ như vậy ta kiến thiết được một dãy các ký hiệu gọi là công thức của logic mệnh đề

Như vậy, mỗi công thức của logic mệnh đề là một dãy các ký hiệu thuộc ba loại:

- Các mệnh đề sơ cấp p, q, r…

- Các ký hiệu phép toán logic -, , ,=>,<=>

- Các dấu ngoặc ( ) chỉ thứ tự các phép toán

* Chú ý:

- Bản thân các mệnh đề sơ cấp cũng là các công thức

- Nếu P, Q là các công thức thì p, p q, p q, p=>, D(=) cũng là công thức.

* Nhận xét: Khái niệm trong công thức logic mệnh đề tương tự như khái niệm

biểu thức đại số trong đại số Vì thế có hiểu đơn giản công thức của logic mệnh

đề như là biểu thức của logic mệnh đề

2 Giá trị của công thức

Khi thay p, q, r… trong công thức bởi các mệnh đề cụ thể (tức là biết tính đúng sai của nó) thì công thức sẽ trở thành một mệnh đề xác định Giá trị chân lý của các mệnh đề phụ thuộc vào giá trị chân lý của các mệnh đề p, q, r và vào kết quảthực hiện của các phép tính logic

* Tổng quát:

Cho S(p1, p2,….,pn) là công thức chứa n mệnh đề p1,p2,….,pn

Khi thay p1,p2,….,pn bằng các mệnh đề cụ thể thì công thức S(p1, p2,….,pn) trở thành một mệnh đề xác định và có một giá trị chân lý xác định

Giá trị chân lý này là giá trị của công thức ứng với bộ giá trị (p1, p2,….,pn) đã cho và có thể tính được bằng cách lập bảng giá trị chân lý của công thức

VD: Lập bảng chân lý của công thức p  q

*Chú ý: Với công thức chứa mệnh đề ta phải lập bảng chân lý có 2n dòng.

VD: Lập bảng chân lý của công thức p q =>r

(Công thức chứa 3 mệnh đề nên ta lập bảng chân lí 8 dòng)

r

r q

3 Sự bằng nhau của hai công thức

Định nghĩa: Cho hai công thức P và Q, ta nói rằng P tương đương logic với Q

(hay P đồng nhất bằng Q)

Ký hiệu PQ, nếu chúng cùng nhận giá trị chân lý như nhau với mọi hệ chân

lý có thể có của các biến mệnh đề có mặt trong chúng

Hệ thức PQ gọi là một đẳng thức hay một tương đương logic

Ví dụ: a, p q q p

b, p p q  q

* Chú ý:

a, Khi định nghĩa sự tương đương logic của hai công thức, không bắt buộc phải

giả thiết chúng cũng chứa các biến mệnh đề như nhau

b, Để chứng minh đẳng thức PQ ta có thể dùng phương pháp bảng chân lý

Theo bảng chân lý trên ta thấy hai công thức p  q và p  q cùng nhận giá trị chân lý như nhau với mọi hệ giá trị chân lý (ở đây có 4 hệ giá trị chân lý) của các biến mệnh đề có mặt trong chúng Do đó ta có đẳng thức cần chứng minh.

Sử dụng phương pháp dùng bảng chân lý, chúng ta có thể dễ dàng chứng minh các đẳng thức sau đây phản ánh tính chất của các phép toán logic

4 Phép biến đổi công thức:

Trong logic mệnh đề, ta đã hình thành khái niệm công thức, tương tự như khái niệm biểu thức trong toán học, và khái niệm đẳng thức, tương tự như khái niệm hằng đẳng thức trong toán học

Dựa vào các hằng đẳng thức, chúng ta có thể thực hiện phép biến đổi đồng nhất, tương tự như phép biến đổi đồng nhất trong toán học

Chúng ta sử dụng phép biến đổi đồng nhất để chứng minh một đẳng thức hoặc đưa một công thức về dạng đơn giản hơn

Ví dụ 1: Dùng phép biến đổi đồng nhất để chứng minh các đẳng thức:

( p  q)  r (theo 4.1)

(p=>q) r (điều phải chứng minh) (theo 6.1)

Ví dụ 2: Dùng phép biến đổi đồng nhất đưa các công thức sau đây về dạng đơn

Định nghĩa: Cho công thức S(p,q,r…) Nếu mệnh đề biểu thị bởi công thức S

luôn luôn đúng với các mệnh đề p,q,r… bất kỳ thì gọi S(p,q,r…) là một luật logic Ta dùng ký hiệu S(p,q,r…) để chỉ S(p,q,r…) là một luật

Nói khác đi S(p,q,r…) là một luật khi S(p,q,r…) nhận giá trị 1 với mọi bộ giá trị của các mệnh đề p,q,r…

* Chú ý:

- Để xem một công thức chứa n mệnh đề có là một luật hay không ta phải tính giá trị của công thức trong 2n trường hợp

- Nếu trong mọi trường hợp công thức đều nhận giá trị bằng 1 thì công thức đúng là 1 luật.

- Nếu với một bộ giá trị nào đó của các biến mà công thức nhận giá trị 0 thì nó không phải là một luật

Ví dụ:

Cho mệnh đề:

p: “Paris là thủ đô của nước Pháp”

q: “Hà Nội là thủ đô của nước Việt Nam”

p q: “Paris là thủ đô của ngước Pháp và Hà Nội là thủ đô của nước Việt Nam” là 1 mệnh đề đúng nghĩa là p q1 hay ta có luật p q

Ví dụ 2:

Cho mệnh đề:

p: “Mặt trời quay quanh trái đất”

q: “Nước Hàn Quốc ở Châu Âu”

p q: “Mặt trời quay quanh trái đất hoặc nước Hàn Quốc ở Châu Âu” là một mệnh đề sai nên p q không phải là một luật

Với công thức S là 1 luật của logic mệnh đề ta có ký hiệu: |=S

* Nhận xét:

- Công thức S là hằng đúng khi và chỉ khi phủ định của nó (S ) là hằng sai

- Nếu A là hằng đúng thì A là thực hiện được

- Hai công thức hằng đúng thì tương đương logic với nhau Hai công thức hằng sai cũng tương đương logic với nhau

- Để có thể chứng minh công thức A là hằng đúng, hằng sai, hay thực hiện được

ta có thể dùng phương pháp lập bảng Chân lý để tính giá trị Chân lý của S