CHUYÊN đề số PHỨC ÔN THI THPT QG

CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC I Kiến thức Khái niệm số phức • Số phức (dạng đại số) : z = a + bi (a, b∈ R , a phần thực, b phần ảo, i đơn vị ảo, i2 = –1) • z số thực ⇔ phần ảo z (b = 0) z ảo ⇔ phần thực z (a = 0) Số vừa số thực vừa số ảo • Tập hợp số phức:  £ = { z = a + bi, a, b ∈ ¡ , i = −1} a = a ' (a, b, a ', b ' ∈ R) • Hai số phức nhau: a + bi = a’ + b’i ⇔  b = b ' Chú ý: i 4k = 1; i 4k +1 = i; i 4k + = -1; i 4k +3 = -i Biểu diễn hình học: Số phức z = a + bi (a, b ∈ R) biểu diễn điểm M(a; b) mp(Oxy) (mp phức) y M(a;b) b O x a Số phức liên hợp số phức z = a + bi z = a − bi z  z • z = z ; z ± z ' = z ± z ' ; z.z ' = z.z ';  ÷ = ;  z2  • z số thực ⇔ z = z ; z2 z.z = a + b z số ảo ⇔ z = − z Môđun số phức : z = a + bi uuuu r • z = a + b = zz = OM z =0⇔z=0 • z ≥ 0, ∀z ∈ C , • z.z ' = z z ' • z z = z' z' • z − z' ≤ z ± z' ≤ z + z' 5.Các phép toán số phức * Phép cộng phép trừ, nhân hai số phức Cho hai số phức z = a + bi z’ = a’ + b’i Ta định nghĩa: • z + z ' = (a + a ') + (b + b ')i • z − z ' = (a − a ') + (b − b ')i • zz ' = aa '− bb '+ (ab '− a ' b)i * Phép chia số phức khác Cho số phức z = a + bi ≠ (tức a2+b2 > ) Ta định nghĩa số nghịch đảo z-1 số phức z ≠ số • Chia hai số phức: 1 z-1= a + b z = z z a + bi aa' - bb' ab '+ a ' b = + i a'+ b'i a '2 + b '2 a '2 + b '2 Phương trình bậc hai với hệ số thực Az2 + Bz + C = (*) ( A ≠ ) ∆ = B2 − 4AC • ∆ > : PT có hai nghiệm phân biệt z1,2 = −B ± ∆ 2A • ∆ = : PT có nghiệm kép: z1 = z = − B 2A • ∆ < : PT có hai nghiệm phức phân biệt z1,2 = −B ± i ∆ 2A Chú ý: Nếu z0 ∈ C nghiệm (*) z0 nghiệm (*) II Các dạng tập luyện tập Câu Dạng đại số phép toán tập số phức Ví dụ 1: Tìm phần thực phần ảo , mô đun, số phức liên hợp số phức a ) z = + 2i b) z = ( + 2i ) + i ( − 4i ) c) z = ( + i ) − ( − 2i ) Giải: a) z = + 2i Phần thực: 1, phần ảo 2, số phức liên hợp z = − 2i , mô đun: z = b) z = ( + 2i ) + i ( − 4i ) = + 5i Phần thực: 5, phần ảo : 5, số phức liên hợp z = − 5i , mô đun: z = c) z = ( + i ) − ( − 3i ) = −5 + 4i Phần thực: -5, phần ảo : 4, số phức liên hợp z = −5 − 4i , mơ đun: z = 41 Ví dụ 2(Đề thi thức THPT QG năm 2017)Cho hai số phức z1 = − 7i z2 = + 3i Tìm số phức z = z1 + z2 A z = − 4i B z = + 5i C z = −2 + 5i Ví dụ 2: Tìm số phức liên hợp của: z = (1 + i )(3 − 2i ) + Giải: 3+i D z = − 10i 3−i 3−i Ta có z = + i + (3 + i)(3 − i) = + i + 10 Suy số phức liên hợp z là: z = 53 − i 10 10 Ví dụ 3: Tìm phần ảo số phức z biết z = ( +i ) ( − 2i ) Giải: ( )( ) z = + 2i − 2i = + 2i Suy ra, z = − 2i Phần ảo số phức z = − Ví dụ 4: Tìm mơ đun số phức z = Giải: Ta có: z = (1 + i )(2 − i) + 2i 5+i = 1+ i 5 Vậy mô đun z bằng: z = +  ÷ = 5 Ví dụ 5: Cho số phức z = 26 − i Tính số phức sau: z ; z2; ( z )3; + z + z2 2 Giải: 3 − i ⇒z = + i 2 2 *Vì z =   3 *Ta có z =  − i ÷÷ = + i − i = − i 2  2  4 2   3 ⇒ ( z ) =  + i ÷÷ = + i + i = + i 4 2  2  1   3 ( z )3 =( z )2 z =  + i ÷ ÷ + i ÷ ÷= + i + i − = i 2    Ta có: + z + z2 = + 1 3 + 1+ − i+ − i= − i 2 2 2 − 3i ) Ví dụ 6: Cho số phức z thỏa mãn z = ( 1− i Tìm mơđun số phức z + iz Giải: ( ) Do z = Ta có: − 3i = −8 −8 = −4 − 4i ⇒ z = −4 + 4i 1− i ⇒ z + iz = −4 − 4i + ( −4 + 4i ) i = −8 − 8i Vậy z + iz = * Hai số phức nhau: Ví dụ 7: Tìm số thực x, y thỏa mãn đẳng thức: a) 3x + y + 5xi = 2y – +(x – y)i b) (2x + 3y + 1) + ( –x + 2y)i = (3x – 2y + 2) + (4x – y – 3) i c) x ( + 5i ) + y ( − 2i ) = −35 + 23i Giải: a) Theo giả thiết: 3x + y + 5xi = 2y – +(x – y)i ⇔ (3x + y) + (5x)i = (2y – 1) +(x – y)i  x=−  3 x + y = y −  ⇔ ⇔ 5 x = x − y y =   x=  2 x + y + = 3x − y + − x + y =  11 ⇔ ⇔  − x + y = x − y − −5 x + y = −3 y =  11 b) Theo giả thiết ta có: c) Ta có ( − 2i ) = ( − 2i ) ( − 2i ) = ( −3 − 4i ) ( − 2i ) = 2i − 11 3 Suy x ( + 5i ) + y ( − 2i ) = −35 + 23i ⇔ x ( + 5i ) + y ( 2i − 11) = −35 + 23i 3 x − 11 y = −35 x = ⇔ ( x − 11 y ) + ( x + y ) i = −35 + 23i ⇔  ⇔ 5 x + y = 23 y = * Tính i n áp dụng: Chú ý: • i4n = 1; i4n+1 = i; i4n+2 = -1; i4n+3 = -i; ∀ n ∈ N*Vậy in ∈ {-1;1;-i;i}, ∀ n ∈ N* • (1 + i ) = 2i ; (1− i) = −2i Ví dụ 8: Tính: i105 + i23 + i20 – i34 Giải: Ta có i105 + i23 + i20 – i34 = i4.26+1 + i4.5+3 + i4.5 – i4.8+2 = i – i + + = 16 Ví dụ 9: Tính số phức sau: a) z = (1+i) 1+ i  1− i  b) z =  ÷ + ÷ 1− i  1+ i  15 Giải: a) Ta có: (1 + i)2 = + 2i – = 2i ⇒ (1 + i)14 = (2i)7 = 128.i7 = -128.i nên z = (1+i)15 = (1+i)14(1+i) = -128i (1+i) = -128 (-1 + i) = 128 – 128i b) Ta có: + i (1 + i )(1 + i) 2i = = =i 1− i 2 16 1− i 1+ i   − i  16 = −i Vậy  ⇒ + ÷ ÷ =i +(-i) = 1+ i 1− i  1+ i  Ví dụ 10: (Vận dụng)Tìm phần thực, phần ảo số phức sau: + ( + i ) + ( + i ) + ( + i ) + + ( + i ) 20 Giải: P = + ( + i ) + ( + i ) + + ( + i ) (1+ i) 20 20 ( 1+ i) = 21 −1 i = ( + i )  ( + i ) = ( 2i ) ( + i ) = −210 ( + i )   10 −2 ( + i ) − ⇒P= = −210 + ( 210 + 1) i i 21 10 Vậy phần thực −210 phần ảo 210 + * Tìm số phức dựa vào dạng đại số số phức Nếu hệ thức tìm số phức z xuất hay nhiều đại lượng sau: z , z , z , ta sẽ sử dụng Dạng đại số z z = x + yi với x, y ∈ R Ví dụ 11: ((Đề thi thức THPT QG năm 2017) Cho số phức z = a + bi, (a, b ∈ R) thỏa mãn z + + 3i − z i = Tính S = a + 3b A S = Giải : Đáp án B B S = −5 C S = D S = −  a = −1 2 z + + i − z i = ⇔ a + + ( b + 3) i = a + b i ⇔ Ta có:  b + = b + 1, (1) Với b ≥ −3 (1) tương đương với: (b + 3)2 = b2 + ⇔ b = Vậy a + 3b = −5 −4 Ví dụ 12: Tìm số phức z biết z − ( + 3i ) z = − 9i Giải: Giả sử z= a+ bi (a,b ∈ R ) ta có: z − ( + 3i ) z = − 9i ⇔ a + bi − ( + 3i ) ( a − bi ) = − 9i −a − 3b = a = ⇔ −a − 3b − ( 3a − 3b ) i = − 9i ⇔  ⇔ a − b =  b = −1 Vậy z = – i Ví dụ 12(TH) Cho số phức z thỏa mãn: (2 + i)z + phức ω = z + + i Giải: 2(1 + 2i) = + 8i (1) Tìm mơđun số 1+ i 2(1 + 2i) = + 8i ⇔ (2 + i)z + + i = + 8i 1+ i + 7i ⇔ (2 + i)z = + 7i ⇔ z = = + 2i 2+i Do ω = + 2i + + i = + 3i ⇒ ω = 16 + = (2 + i)z + Ví dụ 13: (TH)Tính mơ đun số phức z biết rằng: ( z − 1) ( + i ) + ( z + 1) ( − i ) = − 2i Giải: Gọi z= a+ bi (a, b∈ R ) Ta có ( z − 1) ( + i ) + ( z + 1) ( − i ) = − 2i ⇔ ( 2a − 1) + 2bi  ( + i ) + ( a + 1) − bi  ( − i ) = − 2i ⇔ ( 2a − 2b − 1) + ( 2a + 2b − 1) i + ( a − b + 1) − ( a + b + 1) i = − 2i  a =  3a − 3b = 1 ⇔ ( 3a − 3b ) + ( a + b − ) i = − 2i ⇔  ⇔ ⇒z= − i 3 a + b − = −2 b = −  Suy mô đun: z = a + b = 2 Ví dụ 14: Tìm số phức z thỏa mãn: z + z.z + z = z + z = Giải Gọi z = x + iy (x, y∈ R), ta có z = x − iy; z = z = z z = x + y 2 2 z + z.z + z = ⇔ 4( x + y ) = ⇔ ( x + y ) = (1) z + z = ⇔ x = ⇔ x = (2) Từ (1) (2) tìm x = ; y = ±1 Vậy số phức cần tìm + i - i Ví dụ 15: Tìm số phức z thỏa mãn z = z2 số ảo Giải: Gọi z= a+ bi (a, b ∈ R ) Ta có z = a + b z = a − b + 2abi a + b = a = a = ±1 ⇔ ⇔ Yêu cầu toán thỏa mãn  2 b = b = ±1 a − b = Vậy số phức cần tìm 1+i; 1-i; -1+i; -1-i Ví dụ 16: (Đề thi thức THPT QG năm 2017) Có số phức z thỏa mãn z − 3i = z số ảo ? z−4 A Giải: Đáp án C Đặt z = x + yi, ( x, y ∈ R) B Vô số C z − 3i = x + ( y − 3) = ⇔ x + y − y = 16 z x + yi ( x + yi )( x − − yi ) x − x + y yi = = = − 2 2 z − x − + yi ( x − 4) + y ( x − 4) + y ( x − 4) + y z x2 − 4x + y2 = ⇔ x2 − x + y = số ảo nên 2 z−4 ( x − 4) + y  x = (loai )  y =  2   x + y − y = 16 ⇔   x = 16 16 24  2 ⇒z= − i  Ta có hệ:  x + y − x = 13  13 13  −24  y = 13  Vậy có số phức z thỏa mãn D Ví dụ 16: (Vận dụng) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z − + z + = 10 Hướng dẫn giải Gọi M ( x; y ) điểm biểu diễn số phức z = x + yi , x, y ∈ ¡ Gọi A điểm biểu diễn số phức Gọi B điểm biểu diễn số phức −2 Ta có: z + + z − = 10 ⇔ MB + MA = 10 Ta có AB = Suy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z Elip với tiêu điểm A ( 2;0 ) , B ( −2;0 ) , tiêu cự AB = = 2c , độ dài trục lớn 10 = 2a , độ dài trục bé 2b = a − c = 25 − = 21 Vậy, tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện 2 z − + z + = 10 Elip có phương trình x + y = 25 21 Ví dụ 17: (Vận dụng)Tìm số phức z thỏa mãn hai điều kiện: z + − 2i = z + + 4i z − 2i số ảo z +i Giải Đặt z= x+ yi (x,y ∈ R ) Theo ta có x + + ( y − 2) i = x + + ( − y ) i ⇔ ( x + 1) + ( y − ) = ( x + 3) + ( y − ) ⇔ y = x + 2 2 z − 2i x + ( y − ) i x − ( y − ) ( y − 1) + x ( y − 3) i = = Số phức w = x + (1− y) i z +i x + ( y − 1)  x − ( y − ) ( y − 1) = 12  x = −   ⇔ w số ảo  x + ( y − 1) > y = x +  y = 23   Vậy z = − 12 23 + i 7 Ví dụ 18: (Vận dụng)Tìm số phức z biết z − Giải: Gọi z= a+ bi (a, b ∈ R ) a + b ≠ ta có 5+i −1 = z z− 5+i 5+i − = ⇔ a − bi − − = ⇔ a + b − − i − a − bi = z a + bi a + b − a − = ⇔ ( a + b − a − 5) − b + i = ⇔  b + = ( )  a = −1; b = − a − a − = ⇔ ⇔ b = −  = a = 2; b = − Vậy z = −1 − i z = + i Ví dụ 19: (Vận dụng)Trong số phức thỏa mãn điều kiện z + 3i = z + − i Tìm số phức có mơđun nhỏ nhất? A 5 B z = − + i z = − 2i 5 C z = − i D z = −1 − i Hướng dẫn giải Chọn C Phương pháp tự luận Giả sử z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) z + 3i = z + − i ⇔ x + ( y + 3) i = ( x + ) + ( y − 1) i ⇔ x + ( y + ) = ( x + ) + ( y − 1) 2 ⇔ y + = 4x + − y + ⇔ 4x − y − = ⇔ x − y −1 = ⇔ x = y + z = x2 + y = Suy z ( y + 1) + y = y + y + =  y + ÷ + ≥ 5 5  = y = − ⇒ x = 5 5 Vậy z = − i Phương pháp trắc nghiệm Giả sử z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) z + 3i = z + − i ⇔ x + ( y + 3) i = ( x + ) + ( y − 1) i ⇔ x + ( y + ) = ( x + ) + ( y − 1) 2 ⇔ y + = 4x + − y +1 ⇔ 4x − y − = ⇔ x − y −1 = Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa điều kiện z + 3i = z + − i đường thẳng d : x − y − = Phương án A: z = − 2i có điểm biểu diễn ( 1; − ) ∉ d nên loại A   Phương án B: z = − + i có điểm biểu diễn  − ; ÷∉ d nên loại B 5 5   1 2 có điểm biểu diễn  ; − ÷∈ d 5 5 Phương án D: z = −1 − i ⇒ z = có điểm biểu diễn ( −1; − 1) ∈ d 5 Phương án C: z = − i ⇒ z = Do phương án C thỏa mãn Ví dụ 20: (ĐỀ MINH HỌA QUỐC GIA NĂM 2017)Cho số phức z ∈ £ thỏa mãn z = Biết tập hợp điểm biểu diễn cho số phức w = ( + 4i ) z + i đường tròn I , bán kính R Khi A I ( 0;1) , R = B I ( 1;0 ) , R = 20 C I ( 0;1) , R = 20 D I ( 1; −2 ) , R = 22 Hướng dẫn giải Đặt w = a + bi với a; b; c ∈ ¡ a + ( b − 1) i  a + ( b − 1) i  ( − 4i ) = + 4i 25 3a + 4b − ( 3b − 4a − 3) ⇔z= + i 25 25 w = ( + 4i ) z + i ⇔ z = ⇒ z = ( 3a + 4b − ) + ( 3b − 4a − ) 25 Mà z =4⇒ ( 3a + 4b − ) + ( 3b − 4a − ) 25 =4 ⇔ ( 3a + 4b − ) + ( 3b − 4a − 3) = 1002 2 ⇔ a + b − 2b = 399 ⇔ a + ( b − 1) = 202 Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức w đường tròn I ( 0;1) , R = 20 đáp án C Ví dụ 21: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện : z − + 2i = w = z + + i có mơđun lớn Số phức z có mơđun bằng: A B C D Hướng dẫn giải: Gọi z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) ⇒ z − + 2i = ( x − 1) + ( y + ) i Ta có: z − + 2i = ⇔ ( x − 1) + ( y + ) = ⇔ ( x − 1) + ( y + ) = Suy tập hợp điểm M ( x; y ) biểu diễn số phức z thuộc đường tròn ( C ) tâm I ( 1; −2 ) bán kính R = hình vẽ: Dễ thấy O ∈ ( C ) , N ( −1; −1) ∈ ( C ) Theo đề ta có: y x −1 M ( x; y ) ∈ ( C ) điểm biểu diễn cho sốphức z thỏa mãn: w = z + + i = x + yi + + i = ( x + 1) + ( y + 1) i ⇒ z +1+ i = ( x + 1) uuuu r + ( y + 1) = MN Suy z + + i đạt giá trị lớn ⇔ MN lớn O −1 N −2 I y x2 + x + 1 a2 = lim = lim = lim 1+ + = 1, x→+∞ x x→+∞ x →+∞ x x x x+1 b2 = lim [ y − ax] = lim  x2 + x + − x = lim = x→+∞ x→+∞   x→+∞ x2 + x + + x Vậy, đường thẳng ( d2 ) : y = x + tiệm cận xiên bên trái (C)  Lựa chọn đáp án trích lược tự luận: Ta có tập xác định D = ℝ  Giả sử ( d1 ) : y = a1x + b1 tiệm cận xiên bên phải đồ thị hàm số, ta có:  y x2 + x + 1 1 = lim = lim  − 1+ + ÷ ÷ = −1, x→−∞ x x→−∞ x→−∞ x x x   a1 = lim b1 = lim [ y − ax] = lim  x2 + x + + x = − x→−∞ x→−∞   Vậy, đường thẳng ( d1 ) : y = −x − tiệm cận xiên bên phải Do đó, đáp án B (bởi đường tiệm cận có nhất đáp án B)  Lựa chọn đáp án phép thử: Ta biết đồ thị hàm số ln có hai tiệm cận xiên dạng y = x + bi , i = 1, với: bi = ± B A =± ⇒ Các đáp án A, C D bị loại Do đó, đáp án B  Nhận xét – Mở rộng: Như vậy, để lựa chọn đáp án cho toán thì:  Trong cách giải tự luận, thực theo phương pháp biết để tìm đường tiệm cận hàm vô tỉ  Trong cách lựa chọn đáp án phép thử, sử dụng kiến thức thu nhận nhận xét Tuy nhiên, em học sinh dễ nhận thấy rằng:  Phương pháp tự luận sẽ mất nhiều thời gian Ngoài ra, rất nhiều em học sinh khơng có kĩ tốt để thực trình bày rất sơ lược sách giáo khoa  Phương pháp nháp nhanh cho dù giảm nửa thời giam (ở toán này) dễ gây nhầm lẫn tính tốn Ngồi ra, có nhiều kết trắc nghiệm chứa phương trình y = −x − khơng thể giảm thời gian  Phương pháp lựa chọn đáp án phép thử sử dụng kiến thức không trình bày sách giáo khoa nên hẳn nhiều em học sinh khơng biết khơng nhớ Do vậy, sẽ quan tâm tới việc sử dụng định nghĩa để lựa chọn đáp án phương pháp lựa chọn đáp án phép thử Câu 8: Đáp án A  Lời giải tự luận 1: Ta có:  Tiệm cận đứng x =  Tiệm cận ngang y = Suy ra, đồ thị hàm số có tâm đối xứng điểm I ( 1;2)  Lời giải tự luận 2: Hàm phân thức bậc nhất bậc nhất ln có tâm đối xứng là:  d a I  − ; ÷ ⇒ I ( 1;2) , ứng với đáp án A  c c  Lựa chọn đáp án phép thử 1: Ta đánh giá:  Tập xác định D = R \ { 1} nên tâm đối xứng có hồnh độ 1, suy đáp án B D bị loại  Nhận thấy điểm M ( 0; −3) thuộc đồ thị điểm N ( 2;1) không thuộc đồ thị, suy đáp án C bị loại Do đó, đáp án A a c  Lựa chọn đáp án phép thử 2: Tâm đối xứng có tung độ y = = , suy đáp án B, C D bị loại Do đáp án A  Nhận xét – Mở rộng: Như vậy, để lựa chọn đáp án cho toán thì:  Trong cách giải tự luận 1, chuyển việc tìm tọa độ giao điểm hai đường tiệm cận đồ thị hàm số  Trong cách giải tự luận 2, em học sinh cần nhớ công thức tâm đối xứng đồ thị hàm số bậc nhất bậc nhất  Trong cách lựa chọn đáp án phép thử 1, ta thực hiện:  Khẳng định hoành độ tâm đối xứng ta loại đáp án B D  Để lựa chọn A C, ta lấy điểm M thuộc đồ thị điểm N đối xứng với M qu điểm I ( 1; −1) Vì N khơng thuộc đồ thị nên ta khẳng định điểm I ( 1; −1) tâm đối xứng đồ thị hàm số  Trong cách lựa chọn đáp án phép thử 2, việc khẳng định tung độ tâm đối xứng ta đáp án Câu 9: Đáp án A Câu 10: Đáp án B  Lời giải tự luận: Ta có: y' = 3x2 − 12x + Giả sử M ( x;y) tiếp điểm, đó: y'( x) = −4 ⇔ 3x2 − 12x + = −4 ⇔ x2 − 4x + = ⇔ x = ⇒ M ( 2;1) Từ đó, suy phương trình tiếp tuyến ( d) có dạng: ( d) : y = −4( x − 2) + 1⇔ ( d) : 4x + y − =  Lựa chọn đáp án phép thử kết hợp sử dụng máy tính CASIO fx-570MS: Ta đánh giá:  Với đường thẳng đáp án A, ta có phương trình hoành độ: x3 − 6x2 + 8x + = 11− 4x ⇔ x3 − 6x2 + 12x − 10 = Phương trình khơng có nghiệm bội, cách ấn: MODE MODE MODE „ = ( − ) = 12 = ( − ) 10 = 3.2599 ‚ R↔I ⇒ Đáp án A bị loại  Với đường thẳng đáp án B, ta có phương trình hồnh độ: x3 − 6x2 + 8x + = − 4x ⇔ x3 − 6x2 + 12x − = ⇔ ( x − 2) = ⇔ x = nghiệm bội ⇒ y = 9− 4x tiếp xúc với (C) Do đó, đáp án B Câu 11: Đáp án B  Lời giải tự luận: Phương trình hồnh độ giao điểm: (*) x3 − 2x2 − = 1− 3x ⇔ x3 − 2x2 + 3x − = ⇔ ( x − 1) x2 − x + = ⇔ x = ( ) Vậy, số giao điểm đồ thị hàm số đường thẳng  Nhận xét – Mở rộng: Để sử dụng máy tính CASIO fx-570MS giải nhanh phương trình (*), ta ấn: MODE MODE MODE „ 1= ( − ) = = ( − ) = R↔I ‚ Câu 12: Đáp án A  Lời giải tự luận: Ta có: ( −18) 182.5 18.18.5 6.6.5 12 = = = = , ứng với đáp án A 152.3 15 15.15.3 5.5.3 Câu 13: Đáp án C  Lời giải tự luận: Ta biến đổi: log2 36 − log2 144 = log2 36 = log2 = log2 2−2 = −2 144  Lựa chọn đáp án phép thử với máy tính CASIO fx-570MS: cách thực hiện: ln36 ÷ ln − ln144 ÷ ln = -2 Do đó, đáp án C Câu 14: Đáp án C  Lời giải tự luận: Ta biến đổi: ( ) e2x − e2x − e2x − x x lim = lim = lim lim = 2.1 = x→ sinx x→ x → x → x sinx 2x sinx  Lựa chọn đáp án phép thử kết hợp sử dụng máy tính CASIO fx-570MS: Bạn đọc tự làm Câu 15: Đáp án B  Tời giải tự luận: Ta có: y' = lnx + x = lnx + x Câu 16: Đáp án C  Lời giải tự luận: Điều kiện: x + y >  x − y > (*) Từ phương trình thứ nhất hệ lấy logarit số hai vế, ta được: ( ) log2 x2 − y2 = log2 ⇔ log2 ( x + y) + log2 ( x − y) = ⇔ log2 ( x + y) = 1− log2 ( x − y) Thế vào phương trình thứ hai, ta được: 1− log2 ( x − y) − log3 2.log2 ( x − y) = ⇔ ( 1+ log3 2) log2 ( x − y) = ⇔ log2 ( x − y) = ⇔ x − y = Vậy, ta hệ mới:  x=   x − y = x + y =  ⇔ ⇔  thỏa mãn điều kiện (*) x − y =  y = x − y =   1 Vậy, hệ phương trình có nghiệm  ; ÷  2 2  Nhận xét – Mở rộng: phép thử thực tương tự câu 16/ Đề Câu 17: Đáp án A  Lời giải tự luận: Biến đổi tương đương bất phương trình dạng: x >  − < x < −2  x + x − >   < x2 + x − < x + ⇔  ⇔   x < −2 ⇔  1< x < x <  x < Vậy, bất phương trình có nghiệm ( − 5;2) ∪ ( 1; 5)  Nhận xét – Mở rộng: Ta có:  Lựa chọn phép thử thực tương tự câu 17/ Đề  Sử dụng máy tính Fx giải phương trình log0,1 ( x2 + x − 2) = log0,1 ( x + 3) sử dụng tính đơn điệu hàm số để kết luận tập nghiệm Câu 18: Đáp án A  Lời giải tự luận 1: Biến đổi tương đương bất phương trình dạng: x x4 ≤ x x  x >   x ≤ x   ⇔ x = ⇔ 1≤ x ≤ 43   0 < x <   x ≥ x   Vậy, nghiệm bất phương trình 1≤ x ≤ 43  Lời giải tự luận 2: Sử dụng phép biến đổi: x x4 ≤ x x x >     x − 1≥  x x >   − x ≤ ⇔ ⇔    x  ( x − 1)  − x ÷ ≤   x − 1≤ ⇔ 1≤ x ≤ 4        x  − x ≥   Nhận xét – Mở rộng: Lựa chọn phép thử thực tương tự câu 17/ Đề Câu 19: Đáp án A  Lời giải tự luận 1: Biến đổi phương trình dạng:  x + 1= x = x =   ⇔ ⇔ < x + ≠ − < x ≠   x =      x + = 3− x  x = Vậy, phương trình có tập nghiệm T = { 0;1}  Lời giải tự luận 2: Biến đổi phương trình dạng: x =  x + > x > −1 ⇔ ⇔  ( x + 1− 1) ( x + 1) − ( 3− x)  = x ( 2x − 2) =  x = Vậy, phương trình có tập nghiệm T = { 0;1}  Lựa chọn đáp án phép thử 1: (từ trái qua phải): Ta đánh giá:  Với x = thay vào phương trình ta thấy: 11 = 13 ⇔ = 1, ⇒ Các đáp án C D bị loại  Với x = thay vào phương trình ta thấy: 22 = 22 ⇔ = , ⇒ Đáp án B bị loại Do đó, đáp án A  Lựa chọn đáp án phép thử 2: (từ phải qua trái): Ta đánh giá:  Với x = thay vào phương trình ta thấy: 44 = 40 , mâu thuẫn ⇒ Đáp án D bị loại  Với x = thay vào phương trình ta thấy: 33 = 31 , mâu thuẫn ⇒ Các đáp án C B bị loại Do đó, đáp án A  Lựa chọn đáp án phép thử kết hợp sử dụng máy tính CASIO fx-570MS: cách thực theo thứ tự:  Nhập 2x −5x+ ta ấn: ( ALPHA X + 1) ^( ALPHA X + 1) − ( ALPHA X + 1) ^( − ALPHA X )  Khi đó, ta với giá trị x = 0, x = 1: CALC = ⇒ x = nghiệm ⇒ Các đáp án C D bị loại CALC 1= ⇒ x = nghiệm ⇒ Đáp án B bị loại Do đó, đáp án A Câu 20: Đáp án C  Lời giải tự luận: Biến đổi phương trình dạng: ( ) log2 2x+1 − = log2 2x ⇔ 2.2x − = 2x ⇔ 2x = ⇔ x = log2 Vậy, phương trình có tập nghiệm T = { log2 5}  Lựa chọn đáp án phép thử 1: (từ trái qua phải): Ta đánh giá:  Với x = thay vào phương trình ta thấy: log2 ( − 5) = ⇔ log2 ( −3) = 0, vi phạm ⇒ Đáp án A bị loại  Với x = thay vào phương trình ta thấy: log2 ( 22 − 5) = ⇔ log2 ( −1) = 1, vi phạm ⇒ Đáp án B bị loại  Với x = thay vào phương trình ta thấy: log2 ( 16 − 5) = ⇔ log2 11 = , mâu thuẫn ⇒ Đáp án D bị loại Do đó, đáp án C  Lựa chọn đáp án phép thử 2: (từ phải qua trái): Ta đánh giá:  Với x = thay vào phương trình ta thấy: log2 ( 16 − 5) = ⇔ log2 11 = , mâu thuẫn ⇒ Đáp án D bị loại  Với x = log2 thay vào phương trình ta thấy: ( ) ( ) log2 2log2 5+1 − = log2 ⇔ log2 2log2 10 − = log2 ⇔ log2 ( 10 − 5) = log2 , ⇒ x = log2 nghiệm phương trình Do đó, đáp án C  Lựa chọn đáp án phép thử kết hợp sử dụng máy tính CASIO fx-570MS: Bạn đọc tự thực Câu 21: Đáp án C  Lời giải tự luận: Chia hai vế phương trình cho 9x , ta được: x x 2x x  4  6  2  2  ÷ +  ÷ = ⇔  ÷ +  ÷ =         x  2 Đặt t =  ÷ , điều kiện t >  3 (*) Phương trình biến đổi dạng: ( *)  2 t2 + t − = 0⇔ t = ⇔  ÷ = 1⇔ x =  3 Vậy, phương trình có tập nghiệm T = { 0} x  Lựa chọn đáp án phép thử 1: Ta đánh giá:  Với x < thì: ⇒ 4x + 6x > 9x + 9x ⇒ Các đáp án A B bị loại  Với x = thay vào phương trình ta thấy: 1+ = 2.1 ⇔ = , ⇒ Đáp án D bị loại Do đó, đáp án C  Lựa chọn đáp án phép thử 2: Ta đánh giá:  Với x = -2 thay vào phương trình ta thấy: 1 + = , mâu thuẫn ⇒ Đáp án A bị loại 16 36 81  Với x = -1 thay vào phương trình ta thấy: 1 + = , mâu thuẫn ⇒ Đáp án A bị loại  Với x = thay vào phương trình ta thấy: 1+ = 2.1 ⇔ = , Do đó, đáp án C  Lựa chọn đáp án phép thử kết hợp sử dụng máy tính CASIO fx-570MS: Bằng cách thực theo thứ tự:  Nhập 4x + 6x − 2.9x ta ấn: ^ ALPHA X + ^ ALPHA X − × ^ ALPHA X  Khi đó, ta thử với giá trị x = −2,x = −1 x = 0: CALC ( − ) = 85┘1296 ⇒ x = -2 khơng phải nghiệm phương trình ⇒ Đáp án A bị loại CALC ( − ) = 7┘36 ⇒ x = -1 nghiệm phương trình ⇒ Đáp án B bị loại CALC = Do đó, đáp án C Câu 22: Đáp án B  Lời giải tự luận: Ta có: ∫ f ( x) dx = ∫ x dx dx   =∫ dx = ∫  − ÷dx + 3x + ( x + 1) ( x + 2)  x + x + 2 = ln x + − ln x + + C = ln x+1 + C , ứng với đáp án B x+  Lựa chọn đáp án phép thử: Ta đánh giá:  Với F(x) đáp án A thì: /  x−  f ( x) =  ln + C ÷ =  ln x − − ln x − + C  x−1  1 1 = − = = x − x − ( x − 1) ( x − 2) x − 3x + ⇒ Đáp án A bị loại  Với F(x) đáp án B thì: /  x+1  f ( x) =  ln + C ÷ =  ln x + − ln x + + C  x+  1 1 = − = = x + x + ( x + 1) ( x + 2) x + 3x + ⇒ Đáp án B Do đó, đáp án B  Lựa chọn đáp án phép thử kết hợp phép đánh giá: Ta thấy:  Vì x2 + 3x + = ( x + 1) ( x + 2) nên ngun hàm khơng thể chứa x − x − Do đó, đáp án A C bị loại  Với F(x) đáp án B thì: /  x+1  f ( x) =  ln + C ÷ =  ln x + − ln x + + C  x+  1 1 = − = = x + x + ( x + 1) ( x + 2) x + 3x + ⇒ Đáp án B Do đó, đáp án B  Nhận xét – Mở rộng: Như vậy, để lựa chọn đáp án cho tốn thì:  Trong cách giải tự luận, sử dụng phương pháp phân tích để tìm ngun hàm hàm số hữu tỉ Cụ thể, với hàm số cho ta phân tích: ( A + B) x + 2A + B 1 A B = = + = x + 3x + ( x + 1) ( x + 2) x + x + ( x + 1) ( x + 2) Ta đẳng thức: I = ( A + B) x + 2A + B (1) Để xác định A, B (1) ta lựa chọn hai cách sau: Cách 1: (Phương pháp đồng hệ số): Đồng nhất đẳng thức, ta được: A + B = A = ⇔  2A + B =  B = −1 Cách 2: (Phương pháp trị số riêng): Lần lượt thay x = 1,x = vào hai vế (1) ta A = B = −1 Tức là, ta có: 1 = − x + 3x + x + x + 2 Bài toán sẽ mở rộng cho dạng nguyên hàm  Trong cách lựa chọn đáp án phép thử, cần sử dụng phép biến đổi logarit để đơn giản phép tính đạo hàm  Trong cách lựa chọn đáp án phép thử kết hợp với phép đánh giá, loại bỏ đáp án A C thơng qua việc phân tích hàm số f(x) dưới dấu tích phân Câu 23: Đáp án B  Lời giải tự luận: Đặt t = x2 + suy ra: xdx dt = x2 + = xdx ⇔ xdx = tdt f ( x) dx = 2t2dt t Khi đó: ∫ f ( x) dx = 2∫ t2dt = t3 + C = 2 x + + C , ứng với đáp án B ( )  Lựa chọn đáp án phép thử: Ta đánh giá:  Với F(x) đáp án A thì: / 1  f ( x) =  x2 +  = 2x x2 + = x x2 + ⇒ Đáp án A bị loại 3  ( ) ( )  Bởi đáp án A, B khác hệ số giả thiết cho hệ số nên đáp án B Câu 24: Đáp án D  Lời giải tự luận: Ta có: 4 ∫ f ( x) dx = ∫ f ( x) dx + ∫ f ( x) dx = ∫ f ( z) dz + ∫ f ( t) dt ⇔ ∫ f ( t) dt = ∫ f ( x) dx − ∫ f ( z) dz = 7− = 4, ứng với đáp án D 0 4 3 0 Câu 25: Đáp án B  Lời giải tự luận: Ta có: π /2 π /2 1  ∫−π/2 cosx.cos2x.dx = ∫−π /2( cos3x + cosx) dx =  3sin3x + sinx ÷ −π /2 = , ứng với đáp án B π /2  Lựa chọn đáp án phép thử kết hợp sử dụng máy tính CASIO fx-570MS: Bằng cách thực theo thứ tự: MODE MODE MODE MODE MODE (Thiết lập đơn vị đo rad) ∫ dx cos ALPHA X × cos ( ALPHA X ) , ( −) SHIFT π ab/c 2, SHIFT ( − ) π ab/c 2) = 0.6666 Do đó, đáp án B Câu 26: Đáp án D  Lời giải tự luận 1: Đặt t = 1+ sinx suy dt = cosx.dx Đổi cận:  Với x = t =  Với x = π t = 2 Khi đó: ∫ π /2 2 dt cosx.dx =∫ = ( ln t ) = ln2 , ứng với đáp án D 1+ sinx t  Lời giải tự luận 2: Ta viết lại tích phân dưới dạng: ∫ π /2 π /2 d( 1+ sinx) cosx.dx =∫ = ( ln 1+ sinx ) 1+ sinx 1+ sinx π /2 = ln2 , ứng với đáp án D  Lựa chọn đáp án phép thử kết hợp sử dụng máy tính CASIO fx-570MS: Bằng cách thực theo thứ tự: MODE MODE MODE MODE MODE (Thiết lập đơn vị đo rad) ∫ dx cos ALPHA X ÷ ( + sin ALPHA X ) , 0, SHIFT π ab/c ) = 0.6931 Câu 27: Đáp án A  Lời giải tự luận: Gọi S diện tích cần xác định, ta có: S= ∫ π /3 π /6 1 − dx sin x cos2 x Ta biết rằng: π ≤ x< π  Với ≤ x <  Với x 1 ⇒ < sinx < cosx ⇔ − > sin x cos2 x π 1 ⇒ < cosx < sinx ⇔ − < sin x cos2 x Do đó: π /3   1   − dx = ∫  − ÷dx  ÷ 2 π /6 sin x π /4 cos x cos x  sin x    π /4 π /3 − ( − cotx − tanx) π /6 + ( cotx + tanx) π /4 = − (đvdt) S= ∫ π /4 Nhận xét – Mở rộng: Sử dụng máy tnish để nhận giá trị gần tích phân so sánh với đáp án Câu 28: Đáp án A  Lời giải tự luận: Diện tích thiết diện S(x) cho bởi: ( S( x) = 1− x2 ) ( ) = 1− x2 Khi đó, thể tích vật thể cho bởi: 1 −1 −1 V = ∫ S( x) dx = 4∫ ( 1  16  1− x dx = 4 x − x3 ÷ =  −1  )  Nhận xét – Mở rộng: Sử dụng máy tính để nhận giá trị gần tích phân so sánh với đáp án Câu 29: Đáp án C  Lời giải tự luận: Giả sử z = a+ bi , đó: −2iz = −2i ( a + bi ) = 2b − 2ai ⇒ −2iz = ( 2b) + ( −2a) = b2 + a2 = z , ứng với đáp án C Câu 30: Đáp án C  Lời giải tự luận: Ta có: 3− 4i ( 3− 4i ) − i 16 13 = = ( 3− 4i ) ( + i ) = − i , ứng với đáp án C 2 4− i +1 17 17 17 Câu 31: Đáp án B  Lời giải tự luận 1: Với số phức z = a+ bi,( a,b∈ ¡ ) Ta có: = iz + − i = i ( a + bi ) + − i = ( − b) + ( a − 1) i 2 − b =  b = ⇔ ⇔ ⇔ z = 1+ 2i , ứng với đáp án B a − = a =  Lời giải tự luận 2: Ta biến đổi: iz + − i = ⇔ iz = i − ⇔ z = i−2 = ( i − 2) ( − i ) = 1+ 2i , ứng với đáp án B i Câu 32: Đáp án C  Lời giải tự luận: Giả sử số z = x + yi ( x,y ∈ ¡ ) bậc hai 1+ 3i , tức ta có: 1+ 3i = ( x + yi ) = x2 − y2 + 2xyi  y =   3 2  x = vµ y = x x − y =  y = y = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ x x ⇔ 2xy = x2 −   =  x4 − x2 − 12 = x2 =  x = −2 vµ y = −  ÷   ÷   x   Vậy, số 1+ 3i có hai bậc hai ± ( + i 3) Câu 33: Đáp án A  Lời giải tự luận: Phương trình có: ( ) ∆ = − = −2 = i Nên phương trình có hai nghiệm phân biệt z1,2 = 2± i Câu 34: Đáp án A  Lời giải tự luận: Ta biến đổi phương trình dạng:  z2 = 2i ( 1) z = −4 ⇔   z = −2i ( 2)  Giả sử số z + x + yi ( x,y ∈ ¡ ) bậc hai 2i, tức ta có: x2 − y2 = x = ± y  x = y = 2i = ( x + yi ) = x2 − y2 + 2xyi ⇔  ⇔ ⇔ xy = 2xy =   x = y = −1  Suy ra, phương trình (1) có hai nghiệm ± ( 1+ i )  Giả sử số z = x + yi ( x,y ∈ ¡ ) bậc hai -2i, tức ta có :  x2 − y2 =  x = ± y  x = −y = −2i = ( x + yi ) = x2 − y2 + 2xyi ⇔  ⇔ ⇔  xy = −1  x = − y = −1 2xy = −2 Suy ra, phương trình (2) có hai nghiệm ± ( 1− i ) Vậy, phương trình cho có bốn nghiệm ± ( 1+ i ) ± ( 1− i ) Câu 35: Đáp án D  Lời giải tự luận: Với hình chóp tứ giác S.ABCD, gọi M, E, N, F theo thứ tự trung điểm AB, AD, CD, BC ta có nhận xét: Đ(SMN)(S.ABCD) = S.BADC ⇒ (SMN) mặt phẳng đối xứng hình chóp S.ABCD Đ(SEF)(S.ABCD) = S.DCBA ⇒ (SEF) mặt phẳng đối xứng hình chóp S.ABCD Đ(SAC)(S.ABCD) = S.ADCB ⇒ (SAC) mặt phẳng đối xứng hình chóp S.ABCD Đ(SBD)(S.ABCD) = S.CBAD ⇒ (SBD) mặt phẳng đối xứng hình chóp S.ABCD Vậy, hình chóp tứ giác S.ABCD có bốn mặt phẳng đối xứng Câu 36: Đáp án B  Lời giải tự luận: Dựa kết có năm loại khối đa diện đều: { 3;3} ,{ 4;3} ,{ 3;4} ,{ 5;3} ,{ 3;5} ⇒ Đáp án B Câu 37: Đáp án C  Lời giải tự luận: Gọi a, b, c ba kích thước hình hộp chữ nhật, ta có: a2 + b2 = a =  2   b + c = 10 ⇔ b =  c2 + a2 = 13 c =   Khi đó, thể tích khối hộp chữ nhật là: V = abc = 2.1.3 = , ứng với đáp án C Câu 38: Đáp án A  Lời giải tự luận: Gọi h độ dài đường cao lăng trụ, ta có: V = S.h (1) Ta có: h= 76 ( 19+ 20+ 37) = 3 (2) Gọi S diện tích đáy p nửa chu vi nó, ta có: ( 19+ 20+ 37) = 38 S = p( p − 19) ( p − 20) ( p − 37) = 38.19.18.1 = 114 p= (3) Thay (2), (3) vào (1), ta được: V= 76 114 = 2888, ứng với đáp án A Câu 39: Đáp án D  Lời giải tự luận: Ta biết mặt cầu chứa đường tròn (I) tâm O thuộc trục đường tròn (I) (đường thẳng (d) qua I vng góc với mặt phẳng chứa đường tròn (I)) Do đó, để mặt cầu (O) chứa hai đồ thị (I1) (I2) O = ( d1 ) ∩ ( d2 ) điều xảy với hai đường tròn cắt hai điểm phân biệt không nằm mặt phẳng Do đó, đáp án D Câu 40: Đáp án A  Lời giải tự luận: Giả sử hình vng có cạnh a Gọi C',D' theo thứ tự hình chiếu vng góc C, D xuống đường tròn (O), ta có: AD'2 = BD'2 − AB2 = 4R2 − a2 , AD2 = AD'2 + DD'2 ⇔ a2 = 4R2 − a2 + R2 ⇔ a2 = 5R Diện tích hình vng ADBC là: S = a2 = 5R2 , ứng với đáp án A Câu 41: Đáp án A  Lời giải tự luận: Hình nón tròn xoay sinh đường gấp khúc AC'A ' quay quanh AA ' có: R = A 'C' = a l = AC' = a ⇒ Sxq = πRl = πa 2.a = πa2 , ứng với đáp án A Câu 42: Đáp án A  Lời giải tự luận: Ta có: a đường sinh l = a nên: 2 a  a  3πa Stp = Sxq + Sđ = πRl + πR = π .a+ π. ÷ =  2  Hình nón có bán kính đáy R =  Mặt cầu có bán kính R, ta có: S = 4πR2 ⇔ 4πR2 = 3πa2 a ⇔R= , ứng với đáp án A 4 Câu 43: Đáp án A  Lời giải tự luận: Ta có: 2 r 16 217  1  4 u =  ÷ +  ÷ + 22 = + +4= , ứng với đáp án A  2  3  Lựa chọn đáp án việc sử dụng máy tính CASIO fx-570MS: Bằng cách thực theo thứ tự: MODE MODE MODE SHIFT VCT 1 = 1ab/c = 4ab/c = = 2.4551 SHIFT Abs SHIFT VCT 31= Do đó, đáp án A Câu 44: Đáp án C r r  Lời giải tự luận: Vectơ vng góc với a b là: r r  −1 −1 1  a,b =  ; ; ÷ = ( 1; −3;1) , ứng với đáp án C    1 2 1  Lựa chọn đáp án phép thử 1: (từ trái qua phải): Ta đánh giá:  Với vectơ đáp án A, ta có: r a.( 1;1;0) = ( 1;0; −1) ( 1;1;0) = ≠ ⇒ Đáp án A bị loại  Với vectơ đáp án B, ta có: r r a.( 0;1;0) = ( 1;0; −1) ( 0;1;0) = ⇒ a ⊥ ( 0;1;0) , thỏa mãn r b.( 0;1;0) = ( 2;1;1) ( 0;1;0) = ≠ ⇒ Đáp án B bị loại  Với vectơ đáp án C, ta có: r r a.( 1; −3;1) = ( 1;0; −1) ( 1; −3;1) = ⇒ a ⊥ ( 1; −3;1) thỏa mãn r r b.( 1; −3;1) = ( 2;1;1) ( 1; −3;1) = ⇒ b ⊥ ( 1; −3;1) , thỏa mãn Do đó, đáp án C  Lựa chọn đáp án phép thử 2: (từ phải qua trái): Ta đánh giá:  Với vectơ đáp án D, ta có: r r a.( 1;3;1) = ( 1;0; −1) ( 1;3;1) = ⇒ a ⊥ ( 1;3;1) , thỏa mãn r b.( 1;3;1) = ( 2;1;1) ( 1;3;1) = ≠ ⇒ Đáp án D bị loại  Với vectơ đáp án C, ta có: r r a.( 1; −3;1) = ( 1;0; −1) ( 1; −3;1) = ⇒ a ⊥ ( 1; −3;1) , thỏa mãn r r b( 1; −3;1) = ( 2;1;1) ( 1; −3;1) = ⇒ b ⊥ ( 1; −3;1) , thỏa mãn Do đó, đáp án C  Lựa chọn đáp án việc sử dụng máy tính CASIO fx-570MS: Bằng cách thực theo thứ tự: MODE MODE MODE SHIFT VCT 1 = = = ( − ) = SHIFT VCT = = = = SHIFT VCT 31× SHIFT VCT 32 = „ „ -3 Do đó, đáp án C Câu 45: Đáp án C  Lời giải tự luận: Ta có: a = 1,b = −2 c = nên có: a2 + b2 + c2 − d = 16 > từ suy ra, tâm I ( 1; −2;3) bán kính R = a2 + b2 + c2 − d = Câu 46: Đáp án B  Lời giải tự luận 1: Giả sử mặt cầu (S) có phương trình: ( S) : x2 + y2 + z2 − 2ax − 2by − 2cx + d = , điều kiện a2 + b2 + c2 − d ≥ Điểm S,A,B,C ∈ ( S) , ta được: 6a+ 2b − 4c − d = 14 a = 5/ 10a+ 6b − 2c − d = 35 b = 7/   ⇔  , thỏa mãn điều kiện  4a+ 6b − 8c − d = 29 c = −3/ 2a+ 4b − d = d = 14 Vậy, phương trình mặt cầu (S) có dạng: ( S) : x2 + y2 + z2 − 5x − 7y + 3z + 14 =  Lời giải tự luận 2: Nhận xét rằng: SA = SB = SC = 3,AB = BC = CA = 18 suy S.ABC hình chóp tam giác  Lời giải tự luận 3: Nhận xét rằng: SA, SB, SC đôi vuông góc với  Lời giải tự luận 4: Nhận xét SA, SB, SC đơi vng góc với nhau, mặt cầu ngoại tiếp hình chóp mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương sinh SA, SB, SC SBDC.AB1D1C1  Lựa chọn đáp án phép thử: Bạn đọc tự thực Câu 47: Đáp án B  Lời giải tự luận: Ta có: d( M, ( P ) ) = 2− 2+ 22 + ( −2) + = , ứng với đáp án B Câu 48: Đáp án C  Lời giải tự luận: Biến đổi phương trình đường thẳng dạng: ( d) : r x y− z+ = = ⇒ vtcp a( 2; −3;1) , ứng với đáp án C −3 Câu 49: Đáp án C  Lựa chọn đáp án phép thử 1: (từ trái qua phải): Ta đánh giá:  Với điểm cho đáp án A, ta có:  −2 = −t − t =   1 = 2+ 2t ⇔  , vô nghiệm ⇒ Đáp án A bị loại 0 = t = −   Với điểm cho đáp án B, ta có: 2 = − t − t = −4    −1 = 2+ 2t ⇔  , vô nghiệm ⇒ Đáp án B bị loại 0 = t = −   Với điểm cho đáp án C, ta có: 0 = −t −   −2 = + 2t ⇔ t = −2 z =  Do đó, đáp án C  Lựa chọn đáp án phép thử 2: (từ phải qua trái): Ta đánh giá:  Với điểm cho đáp án D, ta có:  = − t −  t = −4   1 = 2+ 2t ⇔  , vô nghiệm ⇒ Đáp án D bị loại z =  t = −   Với điểm cho đáp án C, ta có: 0 = −t −   −2 = + 2t ⇔ t = −2 z =  Do đó, đáp án C Câu 50: Đáp án B  Lời giải tự luận: Mặt cầu (S) có tâm I ( 1;2;2) Gọi (P) mặt phẳng thỏa mãn điều kiện đề bài, ta có: qua A qua A ( 3;4;3) ⇔ ( P) :  ⇔ ( P) : 2x + 2y + z − 17 = 0, ứng với đáp án B uur ( P)  ( P) ⊥ IA  vtpt IA ( 2;2;1)  Lựa chọn đáp án trích lược tự luận: Mặt cầu (S) có tâm I ( 1;2;2) uur Từ điều kiện (P) vng góc với IA nên nhận IA ( 2;2;1) làm vtpt, suy đáp án A, C D bị loại Do đó, đáp án B  Lựa chọn đáp án phép thử: Từ điều kiện (P) phải qua A, ta có:  Thay tọa độ điểm A vào phương trình mặt phẳng đáp án A, ta thấy: 12 + 16 − − 17 = ⇔ = , mâu thuẫn ⇒ Đáp án A bị loại  Thay tọa độ điểm A vào phương trình mặt phẳng đáp án C, ta thấy: + 16 + 3− 17 = ⇔ = , mâu thuẫn ⇒ Đáp án C bị loại  Thay tọa độ điểm A vào phương trình mặt phẳng đáp án D, ta thấy: 3+ + 3− 17 = ⇔ −7 = , mâu thuẫn ⇒ Đáp án D bị loại Do đó, đáp án B ... 2: Cho số phức z = 1+ 3i số phức z’ = + i Hãy: a) Biểu diễn số phức z z’ mp phức b) Biểu diễn số phức z + z’ z’ – z mp phức Giải: a) Biểu diễn số phức z = + 3i điểm M(1;3) Biểu diễn số phức z’... mệnh đề sau, mệnh đề sai ? A z = z C z.z số thực dương B z + z số ảo D mođun số phức z số thực Cho số phức z = x + yi Số phức z có phần thực A x + y B x − y C x Câu 14 Câu 15 D xy Cho số phức. .. Tìm số phức dựa vào dạng đại số số phức Nếu hệ thức tìm số phức z xuất hay nhiều đại lượng sau: z , z , z , ta sẽ sử dụng Dạng đại số z z = x + yi với x, y ∈ R Ví dụ 11: ( (Đề thi thức THPT QG