Lập thặng dư julia của ánh xạ newton ( Luận văn thạc sĩ)Lập thặng dư julia của ánh xạ newton ( Luận văn thạc sĩ)Lập thặng dư julia của ánh xạ newton ( Luận văn thạc sĩ)Lập thặng dư julia của ánh xạ newton ( Luận văn thạc sĩ)Lập thặng dư julia của ánh xạ newton ( Luận văn thạc sĩ)
đại học thái nguyên Tr-ờng đại học khoa học HONG THỊ THƠM TẬP THẶNG DƯ JULIA CỦA ÁNH XẠ NEWTON LUN VN THC S TON HC thái nguyên - năm 2014 S húa bi Trung tõm Hc liu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ đại học thái nguyên Tr-ờng đại học KHOA HọC HONG TH THƠM [ TẬP THẶNG DƯ JULIA CỦA ÁNH XẠ NEWTON LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Tạ Duy Phượng Thái Nguyên, 2014 Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ———————o0o——————– HOÀNG THỊ THƠM TẬP THẶNG DƯ JULIA CỦA ÁNH XẠ NEWTON LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Mã số: Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Tạ Duy Phượng THÁI NGUYÊN, 2014 Lời nói đầu Sự tồn tập thặng dư Julia hàm phân thức bậc tối thiểu toán thú vị lý thuyết lặp hàm phân thức Makienko giả thuyết hàm phân thức có bậc tối thiểu khơng có tập thặng dư Julia tập Fatou có thành phần hồn toàn bất biến chứa hai thành phần Nhưng có số kết riêng lẻ trả lời cho câu hỏi Thí dụ, biết giả thuyết cho lớp hàm phân thức có tập Julia liên thơng địa phương Ánh xạ Newton tạo dãy lặp hàm phân thức nghiên cứu tập Julia ánh xạ ví dụ hàm phân thức Với mong muốn tìm hiểu vấn đề thời thú vị giải tích phức tốn ứng dụng, tơi chọn: Tập thặng dư Julia ánh xạ Newton làm đề tài luận văn cao học Luận văn trình bày tổng quan Tập thặng dư Julia ánh xạ phân thức ánh xạ Newton Nội dung luận văn chia thành chương Chương 1: Nhắc lại số lý thuyết liên quan số phức, hàm phân thức, hàm giải tích, ánh xạ Newton đa thức, Chương 2: Luận văn trình bày khái niệm tập Julia, tập Fatou, số tính chất quan trọng tập Julia tập Fatou, nêu khái niệm tập thặng dư Julia ánh xạ phân thức, ánh xạ Newton, Chương 3: Luận văn trình bày giả thuyết Smale, tính hữu hiệu phương pháp Newton chứng minh số định lý quan trọng chương Hi vọng luận văn bạn sinh viên học viên cao học tham khảo nghiên cứu lý thuyết ánh xạ lặp Newton giả thuyết Smale i Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học Thái Nguyên hướng dẫn PGS TS Tạ Duy Phượng Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy cô giáo nhà trường Đại học Khoa học Thái Nguyên, thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Tốn ứng dụng giúp đỡ tơi suốt q trình học tập Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS TS Tạ Duy Phượng, người bảo, tạo điều kiện giúp đỡ có thêm nhiều kiến thức, khả nghiên cứu, tài liệu suốt trình thực luận văn Cuối tơi xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người thân động viên tạo điều kiện để tơi hồn thành luận văn Thái Ngun, tháng - 2014 Người viết Luận văn Hoàng Thị Thơm ii Mục lục Lời nói đầu Một số kiến thức chuẩn 1.1 Số phức 1.2 Đa thức phức 1.3 Hàm phân thức 1.4 Liên hợp 1.5 Hàm giải tích Tập 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 Bài 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 i bị thặng dư Julia ánh xạ Newton Tập Julia tập Fatou Hàm phân thức hyperbolic Tập thặng dư Julia hàm phân thức Tập thặng dư Julia ánh xạ Newton Điểm gai hàm phân thức với đường cong Julia Sierpinski tập toán Smale tính hữu hiệu phương pháp Newton Tính hữu hiệu phương pháp Newton Giả thuyết giá trị trung bình Smale Đa thức chuẩn hoá Kết Tính xác đánh giá S (P ) cho đa thức bậc 3.5.1 Tính tốn máy tính cho cận S (P ) d = 3.5.2 Những khó khăn đánh giá SP cho đa thức bậc Tài liệu tham khảo 1 9 14 15 16 19 22 22 24 26 28 42 42 43 49 iii Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, em nhắc lại số lý thuyết liên quan số phức, hàm phân thức, hàm giải tích, tính khả vi hàm phức, ánh xạ Newton đa thức, 1.1 Số phức √ Một số phức z có dạng a + ib với a, b ∈ R (tập hợp số thực) i = −1 Tập tất số phức ký hiệu C Biểu diễn lượng giác hệ toạ độ √ số phức z = a + ib z = |z|eiθ = |z|(cos θ + i sin θ) với |z| = a2 + b2 gọi modun z a = 0, θ = arctan b gọi argument z a Giả sử u = ρ1 eiθ1 = ρ1 (cos θ1 + i sin θ1 ) v = ρ2 eiθ2 = ρ2 (cos θ2 + i sin θ2 ) hai số phức biểu diễn toạ độ cực Khi đó, biểu diễn toạ độ cực tích u.v uv = ρ1 ρ2 ei(θ1 +θ2 ) = ρ1 ρ2 cos(θ1 + θ2 ) + i sin(θ1 + θ2 ) , biểu diễn toạ độ cực tổng z = u + v z = u + v = ρ1 eiθ1 + ρ2 eiθ2 = (ρ1 cos θ1 + ρ2 cos θ2 ) + i(ρ1 sin θ1 + ρ2 sin θ2 ) = |u + v|(cos θ + i sin θ); |z| = |u + v| = (ρ1 cos θ1 + ρ2 cos θ2 )2 + (ρ1 sin θ1 + ρ2 sin θ2 )2 = ρ21 (cos2 θ1 + sin2 θ1 ) + ρ22 (cos2 θ2 + sin2 θ2 ) + 2ρ1 ρ2 (cos θ1 cos θ2 + sin θ1 sin θ2 ) = ρ21 + ρ22 + 2ρ1 ρ2 cos(θ1 − θ2 ); Luận văn tốt nghiệp Tập thặng dư Julia ánh xạ Newton cos θ = a = |z| ρ1 cos θ1 + ρ2 cos θ2 sin θ = b = |z| 1.2 Đa thức phức ρ21 + ρ22 + 2ρ1 ρ2 cos(θ1 − θ2 ) ρ1 sin θ1 + ρ2 sin θ2 ρ21 + ρ22 + 2ρ1 ρ2 cos(θ1 − θ2 ) ; Định nghĩa 1.2.1 Một đa thức phức (hay đa thức với hệ số phức) P (z) có bậc n (ký hiệu deg(P )) đa thức có dạng P (z) = an z n + an−1 z n−1 + + a1 z + a0 với số phức, i = 0, n, an = Nhận xét (a) Nếu n = P hàm hằng, (b) Nếu n = P gọi đa thức bậc nhất, (c) Nếu n ≥ P gọi chung đa thức phức Định nghĩa 1.2.2 (Nghiệm đa thức phức) Giả sử P đa thức phức Một điểm ξ ∈ C gọi nghiệm (hoặc không điểm) P P (ξ) = Định nghĩa 1.2.3 (Điểm tới hạn giá trị tới hạn) Cho P đa thức có bậc tối thiểu hai, điểm ξ ∈ C gọi điểm tới hạn P P (ξ) = Giá trị ω = P (ξ) với ξ điểm tới hạn P , gọi giá trị tới hạn P Định nghĩa 1.2.4 (Đa thức phức monic) Một đa thức P gọi monic hệ số cao P 1, tức P = z n + an−1 z n−1 + + a1 z + a0 d Đa thức monic có dạng P (z) = (z − zi ) với zi (i = 1, n) nghiệm P i=0 1.3 Hàm phân thức Định nghĩa 1.3.1 (Hàm phân thức) Một hàm phân thức (hay ánh xạ phân thức) R : C −→ C hàm có dạng R(z) = P (z) , với P (z), Q(z) đa Q(z) thức khác Ở đây, C = C ∪ {∞} (cũng kí hiệu C∞ ) mặt phẳng phức suy rộng, có tương ứng − với hình cầu tiếp xúc với mặt phẳng phức điểm A Hồng Thị Thơm Cao học tốn K6C ĐHKH-ĐHTN Luận văn tốt nghiệp Tập thặng dư Julia ánh xạ Newton Khi ấy, điểm ∞ mặt phẳng phức tương ứng với điểm A xuyên tâm A Do đó, C gọi hình cầu phức Định nghĩa 1.3.2 (Bậc hàm phân thức) Bậc hàm phân thức R ký hiệu deg(R) định nghĩa deg(R) = max{deg(P ), deg(Q)} với deg(P ), deg(Q) bậc đa thức P Q Định nghĩa 1.3.3 (Điểm cực hàm phân thức) Cho R hàm phân thức P (z) , với P (z), Q(z) đa thức khác Một điểm z0 ∈ C Q(z) gọi điểm cực cô lập R z0 không điểm Q tồn lân cận U (z0 ), Q(z) = 0, ∀z = z0 có dạng R(z) = Cho R1 R2 hai hàm phân thức Khi đó, bậc đa thức tích R1 R2 deg(R1 ) × deg(R2 ) Cho ϕ hàm phân thức có dạng ϕ(z) = az + b với ad − bc = Khi ấy, ϕ cz + d hàm phân thức bậc ϕ gọi ánh xạ Mobius phép biến đổi song tuyến tính Ánh xạ Mobius ánh xạ − mặt cầu phức lên Do đó, hàm ngược ϕ tồn ký hiệu ϕ−1 Hợp hai ánh xạ Mobius ánh xạ Mobius Thật vậy, az + b , cz + d ϕ(z) = ψ(t) = a1 t + b , c1 + d Suy ra, ϕ(ψ(t)) = ϕ(z) = t+b1 +b a ac11t+d t+b1 c ac11t+d +d (aa1 + bc1 )t + ab1 + bd1 (ca1 + dc1 )t + cb1 + dd1 At + B = Ct + D = a + b, a = 0, a, b ∈ C Khi đó, T biến z a Một đường thẳng qua lên đường thẳng qua b, Định lí 1.3.4 Cho T (z) = b Một đường thẳng không qua lên đường tròn qua b, c Một đường tròn qua lên đường tròn khơng qua b, d Một đường tròn khơng qua lên đường tròn khơng qua b Hồng Thị Thơm Cao học tốn K6C ĐHKH-ĐHTN Luận văn tốt nghiệp Tập thặng dư Julia ánh xạ Newton Định lí 1.3.5 Cho T (z) = az + b, a = 0, a, b ∈ C Khi đó, T biến a Một đường thẳng lên đường thẳng, b Một đường tròn lên đường tròn Hai định lí cho tính chất quan trọng ánh xạ Mobius Định lí 1.3.6 Một ánh xạ Mobius biến đường tròn đường thẳng thành đường tròn đường thẳng az + b ánh xạ Mobius Khi đó, T = T3 ◦ T2 ◦ T1 với cz + d ad a T1 (z) = cz + d, T2 (z) = , T3 (z) = b − z + Sử dụng Định lí 1.3.4, Định z c c lí 1.3.5 suy điều phải chứng minh Chứng minh Cho T (z) = Định lí khơng ánh xạ khơng phải ánh xạ Mobius 1.4 Liên hợp Định nghĩa 1.4.1 (Liên hợp-Conjugation, xem [5] trang 36) Cho R S hai ánh xạ phân thức, R S gọi liên hợp đôi (hoặc R S liên hợp) tồn ánh xạ Mobius ϕ thoả mãn ϕ ◦ R = S ◦ ϕ Định nghĩa 1.4.2 (Điểm bất động) Cho R : C −→ C ánh xạ , ξ ∈ C điểm bất động R R(ξ) = ξ Ví dụ 1.4.3 a Xét P (z) = z − z + Khi P (z) = z ⇔ z − z + = z Suy z = điểm bất động P b Xét P (z) = z − 3z + Khi P (z) = z ⇔ z − 3z + = z ⇔ (z − 2)2 = √ √ ⇔ z = ± Vậy P có hai điểm bất động z = ± Định lí 1.4.4 Cho R S hai ánh xạ phân thức Giả sử, R S liên hợp cho: ϕ ◦ R = S ◦ ϕ Khi đó, ξ ∈ C điểm bất động S ϕ−1 (ξ) điểm bất động R Chứng minh Giả sử, hai ánh xạ phân thức R S liên hợp đôi Và ξ ∈ C điểm bất động S , tức S(ξ) = ξ Vì ϕ ◦ R = S ◦ ϕ nên R = ϕ−1 ◦ S ◦ ϕ Vậy R(ϕ−1 (ξ)) = ϕ−1 ◦ S ◦ ϕ(ϕ−1 (ξ)) = ϕ−1 ◦ S(ξ) = ϕ−1 (ξ) Suy ra, ϕ−1 (ξ) điểm bất động R Hoàng Thị Thơm Cao học toán K6C ĐHKH-ĐHTN ... tơi chọn: Tập thặng dư Julia ánh xạ Newton làm đề tài luận văn cao học Luận văn trình bày tổng quan Tập thặng dư Julia ánh xạ phân thức ánh xạ Newton Nội dung luận văn chia thành chương Chương 1:... thặng dư Julia ánh xạ Newton Tập Julia tập Fatou Hàm phân thức hyperbolic Tập thặng dư Julia hàm phân thức Tập thặng dư Julia ánh xạ Newton Điểm gai... tích, ánh xạ Newton đa thức, Chương 2: Luận văn trình bày khái niệm tập Julia, tập Fatou, số tính chất quan trọng tập Julia tập Fatou, nêu khái niệm tập thặng dư Julia ánh xạ phân thức, ánh xạ Newton,