tập thặng dư julia của ánh xạ newton

S húa bi Trung tõm Hc liu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ đại học thái nguyên Tr-ờng đại học khoa học HONG TH THM TP THNG D JULIA CA NH X NEWTON LUN VN THC S TON HC thái nguyên - năm 2014 S húa bi Trung tõm Hc liu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ đại học thái nguyên Tr-ờng đại học KHOA HọC HONG TH THM [ TP THNG D JULIA CA NH X NEWTON LUN VN THC S TON HC Chuyờn ngnh: Toỏn ng dng Mó s: 60 46 01 12 Ngi hng dn khoa hc: PGS. TS. T Duy Phng Thỏi Nguyờn, 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ———————o0o——————– HOÀNG THỊ THƠM TẬP THẶNG DƯ JULIA CỦA ÁNH XẠ NEWTON LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Mã số: Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Tạ Duy Phượng THÁI NGUYÊN, 2014 Lời nói đầu Sự tồn tại của các tập thặng dư Julia của các hàm phân thức bậc tối thiểu bằng 2 là một bài toán thú vị trong lý thuyết lặp các hàm phân thức. Makienko đã giả thuyết rằng một hàm phân thức có bậc tối thiểu là 2 không có tập thặng dư Julia khi và chỉ khi tập Fatou của nó có một thành phần hoàn toàn bất biến hoặc chỉ chứa hai thành phần. Nhưng cho tới nay mới chỉ có một số kết quả riêng lẻ trả lời cho câu hỏi này. Thí dụ, mới chỉ biết rằng giả thuyết đúng cho lớp các hàm phân thức có tập Julia liên thông địa phương. Ánh xạ Newton tạo ra dãy lặp của các hàm phân thức và do đó có thể nghiên cứu tập Julia của ánh xạ này như một ví dụ của hàm phân thức. Với mong muốn tìm hiểu một vấn đề thời sự và thú vị của giải tích phức và toán ứng dụng, tôi chọn: Tập thặng dư Julia của ánh xạ Newton làm đề tài luận văn cao học. Luận văn sẽ trình bày tổng quan về Tập thặng dư Julia của ánh xạ phân thức và ánh xạ Newton. Nội dung của luận văn được chia thành 3 chương. Chương 1: Nhắc lại một số lý thuyết liên quan như số phức, hàm phân thức, hàm giải tích, ánh xạ Newton của đa thức, Chương 2: Luận văn trình bày khái niệm cơ bản về tập Julia, tập Fatou, một số tính chất quan trọng của tập Julia và tập Fatou, nêu khái niệm về tập thặng dư Julia của ánh xạ phân thức, của ánh xạ Newton, Chương 3: Luận văn trình bày về giả thuyết Smale, tính hữu hiệu của phương pháp Newton và chứng minh một số định lý quan trọng trong chương này. Hi vọng luận văn sẽ được các bạn sinh viên và học viên cao học tham khảo khi nghiên cứu lý thuyết ánh xạ lặp Newton và giả thuyết Smale. i Lời cảm ơn Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Tạ Duy Phượng. Tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô giáo trong nhà trường Đại học Khoa học Thái Nguyên, các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán ứng dụng đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS. TS. Tạ Duy Phượng, người luôn chỉ bảo, tạo điều kiện và giúp đỡ tôi có thêm nhiều kiến thức, khả năng nghiên cứu, tài liệu trong suốt quá trình thực hiện luận văn này. Cuối cùng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người thân đã động viên và tạo điều kiện để tôi hoàn thành luận văn này. Thái Nguyên, tháng 4 - 2014 Người viết Luận văn Hoàng Thị Thơm ii Mục lục Lời nói đầu i 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1 1.1 Số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Đa thức phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 Hàm phân thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.4 Liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.5 Hàm giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2 Tập thặng dư Julia của ánh xạ Newton 9 2.1 Tập Julia và tập Fatou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2 Hàm phân thức hyperbolic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.3 Tập thặng dư Julia của hàm phân thức . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.4 Tập thặng dư Julia của ánh xạ Newton . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.5 Điểm gai của hàm phân thức với đường cong Sierpinski của tập Julia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3 Bài toán Smale về tính hữu hiệu của phương pháp Newton 22 3.1 Tính hữu hiệu của phương pháp Newton . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.2 Giả thuyết giá trị trung bình của Smale . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.3 Đa thức được chuẩn hoá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.4 Kết quả chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.5 Tính chính xác đánh giá S  (P ) cho đa thức bậc 4 . . . . . . . . . . 42 3.5.1 Tính toán bằng máy tính cho cận của S  (P ) khi d = 4 . . . 42 3.5.2 Những khó khăn khi đánh giá S  P cho đa thức bậc 4 . . . 43 Tài liệu tham khảo 49 iii Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, em nhắc lại một số lý thuyết liên quan như số phức, hàm phân thức, hàm giải tích, tính khả vi của hàm phức, ánh xạ Newton của đa thức, 1.1 Số phức Một số phức z có dạng a + ib với a, b ∈ R (tập hợp số thực) và i = √ −1. Tập tất cả các số phức được ký hiệu là C. Biểu diễn lượng giác trong hệ toạ độ của số phức z = a + ib là z = |z|e iθ = |z|(cos θ + i sin θ) với |z| = √ a 2 + b 2 được gọi là modun của z và khi a = 0, θ = arctan b a được gọi là argument của z. Giả sử u = ρ 1 e iθ 1 = ρ 1 (cos θ 1 + i sin θ 1 ) và v = ρ 2 e iθ 2 = ρ 2 (cos θ 2 + i sin θ 2 ) là hai số phức trong biểu diễn toạ độ cực. Khi đó, biểu diễn toạ độ cực của tích của u.v là uv = ρ 1 ρ 2 e i(θ 1 +θ 2 ) = ρ 1 ρ 2  cos(θ 1 + θ 2 ) + i sin(θ 1 + θ 2 )  , biểu diễn toạ độ cực của tổng z = u + v là z = u + v = ρ 1 e iθ 1 + ρ 2 e iθ 2 = (ρ 1 cos θ 1 + ρ 2 cos θ 2 ) + i(ρ 1 sin θ 1 + ρ 2 sin θ 2 ) = |u + v|(cos θ + i sin θ); trong đó |z| = |u + v| =  (ρ 1 cos θ 1 + ρ 2 cos θ 2 ) 2 + (ρ 1 sin θ 1 + ρ 2 sin θ 2 ) 2 =  ρ 2 1 (cos 2 θ 1 + sin 2 θ 1 ) + ρ 2 2 (cos 2 θ 2 + sin 2 θ 2 ) + 2ρ 1 ρ 2 (cos θ 1 cos θ 2 + sin θ 1 sin θ 2 ) =  ρ 2 1 + ρ 2 2 + 2ρ 1 ρ 2 cos(θ 1 − θ 2 ); 1 Luận văn tốt nghiệp Tập thặng dư Julia của ánh xạ Newton cos θ = a |z| = ρ 1 cos θ 1 + ρ 2 cos θ 2  ρ 2 1 + ρ 2 2 + 2ρ 1 ρ 2 cos(θ 1 − θ 2 ) ; sin θ = b |z| = ρ 1 sin θ 1 + ρ 2 sin θ 2  ρ 2 1 + ρ 2 2 + 2ρ 1 ρ 2 cos(θ 1 − θ 2 ) . 1.2 Đa thức phức Định nghĩa 1.2.1. Một đa thức phức (hay đa thức với hệ số phức) P (z) có bậc n (ký hiệu là deg(P )) là đa thức có dạng P (z) = a n z n + a n−1 z n−1 + + a 1 z + a 0 với a i là các số phức, i = 0, n, a n = 0. Nhận xét (a) Nếu n = 0 thì P là hàm hằng, (b) Nếu n = 1 thì P được gọi là đa thức bậc nhất, (c) Nếu n ≥ 2 thì P được gọi chung là đa thức phức. Định nghĩa 1.2.2. (Nghiệm của đa thức phức) Giả sử P là một đa thức phức. Một điểm ξ ∈ C được gọi là nghiệm (hoặc không điểm) của P nếu P (ξ) = 0. Định nghĩa 1.2.3. (Điểm tới hạn và giá trị tới hạn) Cho P là một đa thức có bậc tối thiểu là hai, điểm ξ ∈ C được gọi là điểm tới hạn của P nếu P  (ξ) = 0. Giá trị ω = P (ξ) với ξ là điểm tới hạn của P , được gọi là giá trị tới hạn của P . Định nghĩa 1.2.4. (Đa thức phức monic) Một đa thức P được gọi là monic nếu hệ số cao nhất của P là 1, tức là P = z n + a n−1 z n−1 + + a 1 z + a 0 . Đa thức monic có dạng là P (z) = d  i=0 (z −z i ) với z i (i = 1, n) là nghiệm của P . 1.3 Hàm phân thức Định nghĩa 1.3.1. (Hàm phân thức) Một hàm phân thức (hay ánh xạ phân thức) R : C −→ C là một hàm có dạng R(z) = P (z) Q(z) , với P (z), Q(z) là những đa thức khác 0. Ở đây, C = C ∪{∞} (cũng được kí hiệu là C ∞ ) là mặt phẳng phức suy rộng, có tương ứng 1 − 1 với một hình cầu tiếp xúc với mặt phẳng phức tại điểm A. Hoàng Thị Thơm 2 Cao học toán K6C ĐHKH-ĐHTN Luận văn tốt nghiệp Tập thặng dư Julia của ánh xạ Newton Khi ấy, điểm ∞ của mặt phẳng phức tương ứng với điểm A  xuyên tâm đối với A. Do đó, C cũng được gọi là hình cầu phức. Định nghĩa 1.3.2. (Bậc của hàm phân thức) Bậc của hàm phân thức R được ký hiệu là deg(R) và được định nghĩa là deg(R) = max{deg(P ), deg(Q)}. với deg(P ), deg(Q) là bậc của đa thức P và Q. Định nghĩa 1.3.3. (Điểm cực của hàm phân thức) Cho R là hàm phân thức có dạng R(z) = P (z) Q(z) , với P (z), Q(z) là những đa thức khác 0. Một điểm z 0 ∈ C được gọi là điểm cực cô lập của R nếu z 0 là không điểm của Q và tồn tại lân cận U(z 0 ), trong đó Q(z) = 0, ∀z = z 0 . Cho R 1 và R 2 là hai hàm phân thức. Khi đó, bậc của đa thức tích R 1 .R 2 bằng deg(R 1 ) ×deg(R 2 ). Cho ϕ là một hàm phân thức có dạng ϕ(z) = az + b cz + d với ad − bc = 0. Khi ấy, ϕ là một hàm phân thức bậc 1 và ϕ được gọi là ánh xạ Mobius hoặc phép biến đổi song tuyến tính. Ánh xạ Mobius là ánh xạ 1 − 1 của mặt cầu phức lên chính nó. Do đó, hàm ngược của ϕ tồn tại và được ký hiệu là ϕ −1 . Hợp của hai ánh xạ Mobius là ánh xạ Mobius. Thật vậy, ϕ(z) = az + b cz + d , ψ(t) = a 1 t + b 1 c 1 + d 1 , Suy ra, ϕ(ψ(t)) = ϕ(z) = a a 1 t+b 1 c 1 t+d 1 + b c a 1 t+b 1 c 1 t+d 1 + d = (aa 1 + bc 1 )t + ab 1 + bd 1 (ca 1 + dc 1 )t + cb 1 + dd 1 = At + B Ct + D . Định lí 1.3.4. Cho T (z) = a z + b, a = 0, a, b ∈ C. Khi đó, T biến a. Một đường thẳng qua 0 lên một đường thẳng qua b, b. Một đường thẳng không đi qua 0 lên một đường tròn đi qua b, c. Một đường tròn qua 0 lên một đường tròn không đi qua b, d. Một đường tròn không đi qua 0 lên một đường tròn không đi qua b. Hoàng Thị Thơm 3 Cao học toán K6C ĐHKH-ĐHTN Luận văn tốt nghiệp Tập thặng dư Julia của ánh xạ Newton Định lí 1.3.5. Cho T (z) = az + b, a = 0, a, b ∈ C. Khi đó, T biến a. Một đường thẳng lên một đường thẳng, b. Một đường tròn lên một đường tròn. Hai định lí trên chỉ ra cho chúng ta tính chất quan trọng của ánh xạ Mobius. Định lí 1.3.6. Một ánh xạ Mobius biến đường tròn và đường thẳng thành đường tròn và đường thẳng. Chứng minh. Cho T(z) = az + b cz + d là ánh xạ Mobius. Khi đó, T = T 3 ◦T 2 ◦T 1 với T 1 (z) = cz + d, T 2 (z) = 1 z , T 3 (z) =  b − ad c  z + a c . Sử dụng các Định lí 1.3.4, Định lí 1.3.5 suy ra điều phải chứng minh. Định lí trên không đúng khi ánh xạ không phải là ánh xạ Mobius. 1.4 Liên hợp Định nghĩa 1.4.1. (Liên hợp-Conjugation, xem [5] trang 36) Cho R và S là hai ánh xạ phân thức, R và S được gọi là liên hợp đôi một (hoặc R và S là liên hợp) nếu tồn tại một ánh xạ Mobius ϕ thoả mãn ϕ ◦R = S ◦ϕ. Định nghĩa 1.4.2. (Điểm bất động) Cho R : C −→ C là một ánh xạ , ξ ∈ C là một điểm bất động của R nếu R(ξ) = ξ. Ví dụ 1.4.3. a. Xét P (z) = z 2 −z + 1. Khi đó P (z) = z ⇔ z 2 −z + 1 = z. Suy ra z = 1 là điểm bất động của P. b. Xét P (z) = z 2 − 3z + 2. Khi đó P (z) = z ⇔ z 2 − 3z + 2 = z ⇔ (z − 2) 2 = 2 ⇔ z = 2 ± √ 2. Vậy P có hai điểm bất động là z = 2 ± √ 2. Định lí 1.4.4. Cho R và S là hai ánh xạ phân thức. Giả sử, R và S là liên hợp sao cho: ϕ ◦R = S ◦ϕ. Khi đó, ξ ∈ C là một điểm bất động của S nếu và chỉ nếu ϕ −1 (ξ) là điểm bất động của R. Chứng minh. Giả sử, hai ánh xạ phân thức R và S là liên hợp đôi một. Và ξ ∈ C là một điểm bất động của S, tức là S(ξ) = ξ. Vì ϕ ◦ R = S ◦ ϕ nên R = ϕ −1 ◦ S ◦ ϕ. Vậy R(ϕ −1 (ξ)) = ϕ −1 ◦ S ◦ ϕ(ϕ −1 (ξ)) = ϕ −1 ◦ S(ξ) = ϕ −1 (ξ) Suy ra, ϕ −1 (ξ) là một điểm bất động của R. Hoàng Thị Thơm 4 Cao học toán K6C ĐHKH-ĐHTN [...]... tập hợp của hàm đơn diệp trong đĩa mở đơn vị ∆ = {z ∈ C : |z| < 1} sao cho f (0) = 0 và f (0) = 1 Hoàng Thị Thơm 7 Cao học toán K6C ĐHKH-ĐHTN Chương 2 Tập thặng dư Julia của ánh xạ Newton Trong chương này, trình bày khái niệm cơ bản về tập Julia, tập Fatou, một số tính chất quan trọng của tập Julia và tập Fatou, nêu khái niệm về tập thặng dư Julia của ánh xạ phân thức, của ánh xạ Newton, 2.1 Tập Julia. .. phần 2.4 Tập thặng dư Julia của ánh xạ Newton Định lí 2.4.1 Hàm f là hàm phân thức với deg(f ) ≥ 2 Tập J(R) là liên thông nếu f có duy nhất điểm đẩy Hoàng Thị Thơm 14 Cao học toán K6C ĐHKH-ĐHTN Luận văn tốt nghiệp Tập thặng dư Julia của ánh xạ Newton Cho một đa thức P , ánh xạ Newton NP của nó là: NP (z) = z − P (z) P (z) Ta đã biết rằng, không điểm của đa thức P là điểm tới hạn cố định của NP Liên... được gọi là ánh xạ bảo giác tại điểm z0 nếu góc của hai đường cong trơn định hướng C1 và C2 qua z0 bằng với góc của ảnh của hai đướng cong đó và hướng của góc không thay đổi Hoàng Thị Thơm 6 Cao học toán K6C ĐHKH-ĐHTN Luận văn tốt nghiệp Tập thặng dư Julia của ánh xạ Newton Ánh xạ w = f (z) được gọi là ánh xạ bảo giác trên miền D nếu f (z) bảo giác tại mọi điểm thuộc D Ánh xạ bảo giác là ánh xạ bảo toàn... Tập thặng dư Julia của ánh xạ Newton Để cho gọn, ta nói thành phần Fatou nghĩa là một thành phần liên thông của tập Fatou F (R) Số thành phần Fatou của hàm phân thức chỉ có thể là 0, 1, 2 hoặc ∞ (xem [6] trang 94) Thêm vào đó, số thành phần Fatou hoàn toàn bất biến của hàm phân thức chỉ có thể tối đa là 2 (xem [6] trang 94) Từ định nghĩa của tập Julia, biên của thành phần Fatou là tập con của tập Julia. .. Khi đó, ∂F là tập con của m ∂Di Hợp của các giá trị biên của tất cả các thành phần Fatou của R phải là i=1 m m ∂Di ⊂ J(R) Thật vậy, nếu J(R) = i=1 ∂Di , thì tập thặng dư Julia của R là i=1 khác rỗng Định nghĩa 2.3.1 Cho R là một hàm phân thức có bậc tối thiểu là 2 Tập thặng dư Julia (hoặc tập các điểm gai của tập Julia- the sets of buried points of the Julia set), ký hiệu là Jr (R), là tập các điểm... dãy con hội tụ {fnj } = {Rnj } trên U Định nghĩa 2.1.5 (Tập Fatou và tập Julia, xem [4] trang 50) Cho R là hàm phân thức khác hằng số Tập tất cả các điểm Fatou được gọi là tập Fatou, tập Fatou của R ký hiệu là F (R) Tập Julia của R là phần bù của tập Fatou trong C, tập Julia của R ký hiệu là J(R) Dư i đây là một vài tính chất của tập Fatou và tập Julia Định lí 2.1.6 (Xem [7] trang 50) Cho R là một hàm... nếu nó là họ liên tục đồng bậc trên mọi tập con compact của U Dư i đây, ta sẽ trình bày định nghĩa tập Fatou và tập Julia của hàm phân thức, thực chất hai định nghĩa tương đương theo Định lý 2.1.3 Định nghĩa 2.1.4 và Định nghĩa 2.1.5 dư i đây thường được sử dụng như là định nghĩa hình thức của tập Fatou và Julia 8 Luận văn tốt nghiệp Tập thặng dư Julia của ánh xạ Newton Định nghĩa 2.1.4 (Điểm Fatou)... và Bổ đề 2.4.4 cũng đúng cho một lớp của hàm phân hình chứa các hàm phân thức Định lí 2.4.6 Cho P (z) = z n − 1 khi n ≥ 3 Khi đó Jr (R) = ∅ và f không có thành phần gai Hình 2.1: Tập Fatou và tập Julia của NP khi P (z) = z 3 − 1 Hoàng Thị Thơm 15 Cao học toán K6C ĐHKH-ĐHTN Luận văn tốt nghiệp Tập thặng dư Julia của ánh xạ Newton Hình 2.2: Tập Fatou và tập Julia của NP khi P (z) = z 4 − 1 Chứng minh... nghiệp Tập thặng dư Julia của ánh xạ Newton không có thành phần Fatou hoàn toàn bất biến và do đó ta phải có Jr (NP ) = ∅ Vì J(NP ) là liên thông nên không tồn tại các thành phần gai 2.5 Điểm gai của hàm phân thức với đường cong Sierpinski của tập Julia Trong [8] đã chỉ ra rằng tồn tại λ ∈ C sao cho tập Julia của hàm fλ (z) = z 2 + λ z2 là đường cong Sierpinski Ta nhắc lại đường cong Sierpinski là tập. .. cố định ξ của R; (c) Một thành phần parabolic (hoặc miền Leau) nếu có một điểm cố định không Hoàng Thị Thơm 11 Cao học toán K6C ĐHKH-ĐHTN Luận văn tốt nghiệp Tập thặng dư Julia của ánh xạ Newton phân biệt hữu tỷ ξ của R trên biên của Ω, và Rn −→ ξ trên Ω; (d) Một đĩa Siegel nếu R : Ω −→ Ω là giải tích liên hợp với một phép quay Euclid của hình cầu đơn vị lên chính nó (tức là tồn tại ánh xạ giải tích . bày khái niệm cơ bản về tập Julia, tập Fatou, một số tính chất quan trọng của tập Julia và tập Fatou, nêu khái niệm về tập thặng dư Julia của ánh xạ phân thức, của ánh xạ Newton, Chương 3: Luận. 2 Tập thặng dư Julia của ánh xạ Newton Trong chương này, trình bày khái niệm cơ bản về tập Julia, tập Fatou, một số tính chất quan trọng của tập Julia và tập Fatou, nêu khái niệm về tập thặng dư Julia. và thú vị của giải tích phức và toán ứng dụng, tôi chọn: Tập thặng dư Julia của ánh xạ Newton làm đề tài luận văn cao học. Luận văn sẽ trình bày tổng quan về Tập thặng dư Julia của ánh xạ phân