Hai mặt phẳng vuông góc (11-Nâng cao)

Kiểm tra bài cũ Kiểm tra bài cũ Câu hỏi 1: Định nghĩa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ? Câu hỏi 2: Cho a⊥(P), b⊥(P). Có nhận xét gì về hai đường thẳng a và b? P b a Câu hỏi 3: Cho a//a’, b//b’. Có nhận xét gì về góc giữa hai đường thẳng a và b và góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ ? a b 'a 'b p q O Q P a b 'a 'b Lấy a ⊥ (P) và b ⊥ (Q). Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó. Định nghĩa 1 Cho hai mặt phẳng (P) và (Q). Góc giữa a và b có phụ thuộc vào vị trí của a và b hay không ? Ta gọi góc giữa a và b là góc giữa (P) và (Q). Hai mÆt ph¼ng vu«ng gãc Hai mÆt ph¼ng vu«ng gãc § 4 1. Góc giữa hai mặt phẳng (Tiết 39) Q P b a Khi (P) và (Q) song song hoặc trùng nhau thì góc giữa chúng bằng bao nhiêu ? P Q a b Góc giữa hai mặt phẳng song song hoặc trùng nhau bằng 0 0 . Còn góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau ? Nếu góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau là ϕ thì 0 0 < ϕ ≤ 90 0 . P Q R ∆ a b p q O H K I Cho (P)∩(Q)=∆, (R) ⊥ ∆, (R)∩(P)=p, (R)∩(Q)=q. a) Trong (R) lấy các đường thẳng a và b sao cho a⊥p, b⊥q. Hãy chứng minh góc giữa (P) và (Q) là góc giữa a và b. Bài toán: b) So sánh góc giữa a và b với góc giữa p và q. Từ đó suy ra một cách xác định góc giữa (P) và (Q) ? Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến ∆. Để xác định góc giữa (P) và (Q), ta có thể làm như sau: - Chọn mặt phẳng (R) vuông góc với ∆. - Xác định các giao tuyến p, q của (R) với (P) và (Q). - Góc giữa (P) và (Q) bằng góc giữa p và q. Chú ý A B P Q ∆ O p q Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến ∆. Để đơn giản ta có thể xác định góc giữa (P) và (Q) như sau: -Chọn một điểm O∈∆. - Trong (P) và (Q) lần lượt dựng các đường thẳng p và q cùng vuông góc với ∆ tại O. - Góc giữa (P) và (Q) bằng góc giữa p và q. Nếu AB⊥∆ và A∈(P), B∈(Q) thì ta có thể xác định góc giữa (P) và (Q) như sau: Kẻ BO⊥∆ tại O. Khi đó góc giữa (P) và (Q) là góc giữa OA và OB d) Kẻ OH⊥SC tại H. Khi đó (BHD)⊥SC. Suy ra góc giữa (SBC) và (SCD) bằng góc giữa HB và HD. (Tính toán xem như bài tập về nhà) Ví dụ 1 Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD), SA=a. Xác định góc giữa hai mặt phẳng sau: a) (SAB) và (ABCD). b) (SBC) và (ABCD). c) (SBD) và (ABCD). d) (SBC) và (SCD). H O A B C D S Giải: · · 0 tan 1 45Ta cã SA a SBA SBA AB a = = = ⇒ = a) Ta có SA⊥(ABCD) và AD⊥(SAB) nên góc giữa (SAB) và (ABCD) là góc giữa SA và AD. Vì SA⊥AD nên góc giữa (SAB) và (ABCD) bằng 90 0 . b) Vì SB⊥BC và AB⊥BC nên góc giữa (SBC) và (ABCD) bằng góc giữa SB và AB. c) Vì AO⊥BD và SO⊥BD nên góc giữa (SBD) và (ABCD) bằng góc giữa AO và SO. (Tính toán xem như bài tập về nhà) Vậy góc giữa (SBC) và (ABCD) bằng 45 0 . Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), góc giữa (ABC) và (SBC) bằng ϕ . CMR: S ABC =S SBC .cos ϕ . (ký hiệu S ABC là diện tích tam giác ABC) H A B C S ϕ Vì tam giác SAH vuông tại A nên ta có AH=SH. cos ϕ Suy ra 1 1 . . cos .cos 2 2 ABC SBC S BC AH BC SH S ϕ ϕ = = = Kẻ AH vuông góc với BC tại H. Khi đó BC ⊥ (SAH), suy ra SH ⊥ BC. Do đó góc giữa (ABC) và (SBC) bằng góc · SHA ϕ = Giải: Gọi S là diện tích của đa giác H trong mặt phẳng (P) và S’ là diện tích hình chiếu H’ của H trên mặt phẳng (P’). Khi đó S’=S. cos ϕ , trong đó ϕ là góc giữa (P) và (P’). 'H H P 'P Định lý 1 Công thức diện tích hình chiếu Hai mÆt ph¼ng vu«ng gãc Hai mÆt ph¼ng vu«ng gãc § 4 1. Góc giữa hai mặt phẳng 2. Hai mặt phẳng vuông góc Hai mặt phẳng gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90 0 . Định nghĩa 2 Hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau được ký hiệu là (P)⊥(Q). Để chứng minh (P) ⊥ (Q) ta chứng minh góc giữa (P) và (Q) bằng 90 0 . làm như thế nào ? [...]... ⊥ ( SBC ) Do ®ã ( ABI ) ⊥ ( SBC ) B § 4 Hai mÆt ph¼ng vu«ng gãc (Hệ thống kiến thức) 1 Góc giữa hai mặt phẳng a Định nghĩa góc giữa hai mặt phẳng b Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng c Công thức diện tích hình chiếu 2 Hai mặt phẳng vuông góc a Định nghĩa hai mặt phẳng vuông góc b Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc c Tính chất của hai mặt phẳng vuông góc Hướng dẫn học ở nhà 1 Ôn lại lý thuyết...§ 4 Hai mÆt ph¼ng vu«ng gãc 1 Góc giữa hai mặt phẳng 2 Hai mặt phẳng vuông góc H1 Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau a) Hãy chỉ ra các đường thẳng lần lượt vuông góc với các mặt phẳng (ABC), (ACD), (ABD) b) Từ đó suy ra các mặt phẳng đó đôi một vuông góc Giải: B A D C Vì AB⊥(ACD), AC⊥(ABD) và AB⊥AC nên góc giữa (ACD) và (ABD) là góc giữa AB và AC và bằng... Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc Định lý 2 Nếu một mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng khác thì hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau a ⊂ ( P )  Tóm tắt  ⇒ ( P) ⊥ ( Q) a ⊥ ( Q )  Chứng minh Gọi H là giao điểm của a và giao tuyến c của (P) và (Q) Trong (Q) kẻ đường thẳng b vuông góc với c tại H Khi đó góc giữa (P) và (Q) bằng góc giữa a và b Vì a⊥(Q) nên a⊥b Do đó góc giữa... của hai mặt phẳng vuông góc Định lý 3 Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng a nào nằm trong (P), vuông góc với giao tuyến của (P) và (Q) đều vuông góc với (Q) ( P ) ∩ ( Q ) = c  ( P ) ⊥ ( Q ) Tóm tắt  ⇒ a ⊥ ( Q) a ⊂ ( P ) a ⊥ c  Chứng minh P a c H b Q Gọi H là giao điểm của a và c Trong (Q) kẻ đường thẳng b vuông góc Với c tại H Khi đó góc giữa a và b bằng góc. .. minh P a c H b Q Gọi H là giao điểm của a và c Trong (Q) kẻ đường thẳng b vuông góc Với c tại H Khi đó góc giữa a và b bằng góc giữa (P) và (Q) Vì (P)⊥(Q) nên a⊥b Mặt khác a⊥c nên a⊥(Q) Ví dụ: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, SAC là tam giác đều và (SAC)⊥(ABC) a) CMR: (SBC)⊥(SAC) b) Gọi I là trung điểm của SC CMR: (ABI)⊥(SBC) Hướng dẫn: ( SAC ) ⊥ ( ABC )  ( SAC ) ∩ ( ABC . Hai mÆt ph¼ng vu«ng gãc Hai mÆt ph¼ng vu«ng gãc § 4 1. Góc giữa hai mặt phẳng 2. Hai mặt phẳng vuông góc Hai mặt phẳng gọi là vuông góc với nhau nếu góc. gãc Hai mÆt ph¼ng vu«ng gãc § 4 1. Góc giữa hai mặt phẳng 2. Hai mặt phẳng vuông góc Nếu một mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng