Tóm tắt kiến thức đại số và hình học lớp 12

Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn TÓM TẮT KIẾN THỨC ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 12 I.Định nghĩa: Cho hàm số y  f ( x) xác định D, với D khoảng, đoạn nửa khoảng 1.Hàm số y  f ( x) gọi đồng biến D x1 , x2  D, x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) 2.Hàm số gọi nghịch biến D y  f ( x) x1 , x2  D, x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) II.Điều kiện cần để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y  f ( x) có đạo hàm khoảng D 1.Nếu hàm số y  f ( x) đồng biến D f '( x)  0, x  D 2.Nếu hàm số y  f ( x) nghịch biến D f '( x)  0, x  D III.Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu: 1.Định lý Nếu hàm số y  f ( x) liên tục đoạn  a, b  có đạo hàm khoảng (a,b) tồn điểm c  (a, b) cho: f (b)  f (a)  f '(c)(b  a) 2.Định lý Giả sử hàm số y  f ( x) có đạo hàm khoảng D 1.Nếu f '( x)  0, x  D f '( x)  số hữu hạn điểm thuộc D hàm số đồng biến D 2.Nếu f '( x)  0, x  D f '( x)  số hữu hạn điểm thuộc D hàm số nghịch biến D 3.Nếu f '( x)  0, x  D hàm số khơng đổi D PHẦN II MỘT SỐ DẠNG TỐN Dạng 1.Xét chiều biến thiên hàm số y  f ( x) *Phương pháp : Xét chiều biến thiên hàm số y  f ( x) 1.Tìm tập xác định hàm số y  f ( x) 2.Tính y '  f '( x) xét dấu y’ ( Giải phương trình y’ = ) 3.Lập bảng biến thiên 4.Kết luận Dạng Tìm điều kiện tham số để hàm số đơn điệu khoảng cho trước Dạng Sử dụng tính đơn điệu để giải PT,BPT,BĐT Chủ đề CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ PHẦN I TÓM TẮT LÝ THUYẾT I.Định nghĩa: Cho hàm số y  f ( x) xác định D  R x0  D x0 gọi điểm cực đại hàm số y  f ( x) tồn (a,b) chứa điểm x0 cho (a, b)  D f ( x)  f ( x0 ), x  (a, b) \  x0  Khi f ( x0 ) gọi già trị cực đại hàm số M ( x0 ; f ( x0 )) gọi điểm cực đại hàm số x0 gọi điểm cực tiểu hàm số y  f ( x) tồn (a,b) chứa điểm x0 cho (a, b)  D f ( x)  f ( x0 ), x  (a, b) \  x0  Khi f ( x0 ) gọi già trị cực tiểu hàm số M ( x0 ; f ( x0 )) gọi điểm cực tiểu hàm số Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn 3.Giá trị cực đại giá trị cực tiểu gọi chung cực trị hàm số II.Điều kiện cần để hàm số có cực trị : Giả sử hàm số y  f ( x) có cực trị x0 Khi đó, y  f ( x) có đạo hàm điểm x0 f '( x0 )  III.Điều kiện đủ để hàm số có cực trị : 1.Định lý (Dấu hiệu để tìm cực trị hàm số ) Giả sử hàm số y  f ( x) liên tục khoảng (a,b) chứa điểm x0 có đạo hàm khoảng (a, x0 ) ( x0 , b) Khi : + Nếu f’(x) đổi dấu từ âm sang dương x qua điểm x0 hàm số đạt cực tiểu x0 + Nếu f’(x) đổi dấu từ dương sang âm x qua điểm x0 hàm số đạt cực đại x0 2.Định lý (Dấu hiệu để tìm cực trị hàm số ) Giả sử hàm số y  f ( x) có đạo hàm khoảng (a,b) chứa điểm x0 , f '( x0 )  f(x) có đạo hàm cấp hai khác điểm x0 Khi đó: + Nếu f ''( x0 )  hàm số đạt cực đại điểm x0 + Nếu f ''( x0 )  hàm số đạt cực tiểu điểm x0 PHẦN II MỘT SỐ DẠNG TỐN Dạng Tìm cực trị hàm số *Phương pháp1 (Quy tắc 1)Tìm cực trị hàm số y  f ( x) 1.Tìm tập xác định hàm số 2.Tính f '( x) giải phương trình f '( x)  tìm nghiệm thuộc tập xác định 3.Lập bảng biến thiên 4.Kết luận *Phương pháp (Quy tắc 2)Tìm cực trị hàm số y  f ( x) 1.Tìm tập xác định hàm số 2.Tính f '( x) giải phương trình f '( x)  tìm nghiệm xi (i  1, 2,3 ) thuộc tập xác định 3.Tính f ''( x) f ''( xi ) 4.Kết luận +Nếu f ''( xi )  hàm số đạt cực đại điểm xi +Nếu f ''( xi )  hàm số đạt cực tiểu điểm xi Chủ đề GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ PHẦN I TÓM TẮT LÝ THUYẾT I.Định nghĩa: Cho hàm số y  f ( x) xác định D  R 1.Nếu tồn điểm x0  D cho f ( x)  f ( x0 ), x  D số M  f ( x0 ) gọi giá trị lớn hàm số f(x) D, ký hiệu M  Max f ( x) xD  x  D, f ( x)  M Như M  Max f ( x)   xD x0  D, f ( x0 )  M Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn Nếu tồn điểm x0  D cho f ( x)  f ( x0 ), x  D số m  f ( x0 ) gọi giá trị nhỏ hàm số f(x) D, ký hiệu m  Min f ( x) xD  x  D, f ( x)  m Như m  Min f ( x)   xD x0  D, f ( x0 )  m II.Phương pháp tìm GTLN,GTNN hàm số : Cho hàm số y  f ( x) xác định D  R Bài toán 1.Nếu D  (a, b) ta tìm GTLN,GTNN hàm số sau: 1.Tìm tập xác định hàm số 2.Tính f '( x) giải phương trình f '( x)  tìm nghiệm thuộc tập xác định 3.Lập bảng biến thiên 4.Kết luận Bài toán Nếu D   a, b  ta tìm GTLN,GTNN hàm số sau: 1.Tìm tập xác định hàm số 2.Tính f '( x) giải phương trình f '( x)  tìm nghiệm x1 , x2 thuộc tập xác định 3.Tính f (a), f ( x1 ), f ( x2 ) f (b) 4.Kết luận: Số lớn M  Max f ( x) số nhỏ m  Min f ( x) x a ,b  x a ,b  Bài toán 3.Sử dụng bất đẳng thức thông dụng : Cauchy, Bunhiacốpxki, … Bài tốn 4.Sử dụng điều kiện có nghiệm phương trình, tập giá trị hàm số PHẦN II MỘT SỐ DẠNG TỐN Dạng Tìm GTLN, GTNN hàm số Dạng 2.Tìm GTLN,GTNN hàm số có chứa tham số Chủ đề ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ PHẦN I TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1.Đường tiệm cận đứng Đường thẳng (d): x  x0 gọi đường tiệm cận đứng đồ thị (C) hàm số y  f ( x) lim f ( x)   lim f ( x)   x  x0 Hoặc x  x0 lim f ( x)   lim f ( x)   x  x0 x  x0 2.Đường tiệm cận ngang Đường thẳng (d): y  y0 gọi đường tiệm cận ngang đồ thị (C) hàm số y  f ( x) lim f ( x)  y0 lim f ( x)  y0 x  x  3.Đường tiệm cận xiên Đường thẳng (d) y  ax  b(a  0) gọi tiệm cận xiên đồ thị (C) đồ thị hàm số y  f ( x) Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn lim  f ( x)  (ax  b)  lim  f ( x)  (ax  b)  x  x  Chú ý: Cách tìm tiệm cận xiên đồ thị hàm số y  f ( x) Đường thẳng (d) y  ax  b(a  0) tiệm cận xiên đồ thị hàm số y  f ( x) f ( x) f ( x) a  lim ; b  lim  f ( x)  ax  a  lim ; b  lim  f ( x)  ax  x  x  x  x  x x PHẦN II MỘT SỐ DẠNG TỐN Chủ đề PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ PHẦN I TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1.Bài toán Tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f ( x) có đồ thị (C) điểm Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số M ( x0 , y0 )  (C ) có dang : y  y0  f '( x0 )( x  x0 ) Trong f '( x0 ) gọi hệ số góc tiếp tuyến tiếp điểm M ( x0 , y0 ) 2.Bài toán Tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f ( x) có đồ thị (C) có hệ số góc k cho trước 1.Gọi M ( x0 , y0 ) tiếp điểm tiếp tuyến, ta có M  (C )  y0  f ( x0 ) Phương trình tiếp tuyến có dạng y  f ( x0 )  f '( x0 )( x  x0 ) 2.Vì hệ số góc tiếp tuyến k nên f '( x0 )  k , giải PT f '( x0 )  k tìm x0  y0 3.Kết luận Chú ý: Nếu hai đường thẳng song song hai hệ số góc Nếu hai đường thẳng vng góc tích hai hệ số góc -1 3.Bài toán Tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f ( x) có đồ thị (C) qua điểm A( xA , y A ) 1.Lập phương trình đường thẳng d qua điểm A với hệ số góc k d: y  k ( x  xA )  y A (1) 2.d tiếp tuyến đồ thị hàm số hệ phương tình có nghiệm  f ( x)  k ( x  x A )  y A (I)   f '( x)  k 3.Giải hệ (I) tìm k Thay k vào (1) để viết phương tình tiếp tuyến ... xi )  hàm số đạt cực đại điểm xi +Nếu f ''( xi )  hàm số đạt cực tiểu điểm xi Chủ đề GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ PHẦN I TÓM TẮT LÝ THUYẾT I.Định nghĩa: Cho hàm số y  f (... ''( x0 )  hàm số đạt cực đại điểm x0 + Nếu f ''( x0 )  hàm số đạt cực tiểu điểm x0 PHẦN II MỘT SỐ DẠNG TOÁN Dạng Tìm cực trị hàm số *Phương pháp1 (Quy tắc 1)Tìm cực trị hàm số y  f ( x) 1.Tìm... GTLN,GTNN hàm số có chứa tham số Chủ đề ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ PHẦN I TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1.Đường tiệm cận đứng Đường thẳng (d): x  x0 gọi đường tiệm cận đứng đồ thị (C) hàm số y  f (