Bài tập hình học lớp 12 bài tập toán

Học Thêm Toán BÀI TẬP diện tích thể tích đa diên-tròn xoay Bài 1: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy tam giác cạnh a, AA’ = b AA’ tạo với mặt đáy góc 600 Tính thể tích khối lăng trụ A C B Giải Gọi H chân đường cao kẻ từ A lăng trụ Khi đó, A’H hình chiếu AA’ mp(A’B’C’) Xét tam giác AA’H vuông H có: Sin A’ = A’ 60  AH = AA’ Sin A’ = AA’ Sin 60 = C’ H AH AA' b Do tam giác A’B’C’ tam giác nên chiều cao tam giác là: h = B’ a 3a a.h  Thể tích ABC.A’B’C’: V = AH SA’B’C’ = a b Diện tích tam giác A’B’C’: SA’B’C’ = Bài 2: Cho khối chóp tam giác S.ABC có đáy tam giác cạnh a, cạnh bên hợp với đáy góc 600 Tính thể tích khối chóp S Giải: Kẻ SH  (ABC) Gọi I giao điểm AH BC Do S.ABC hình chóp nên H trọng tâm tam giác ABC C A H B I  AI = a 3 2 a  AH = AI =  a 3 Do AH hình chiếu SA mp(ABC) nên SAH = 600 Xét tam giác SAH vuông H ta có: tan 600 = SH  SH  AH tan 60 = a AH 1a 3 AI.BC = a a 2 3 1 Thể tích khối chóp: V = SH SABC = a  a  a 3 12 Diện tích tam giác ABC: SABC = Thầy Huy – www.facebook.com/hocthemtoan - ĐT: 0968 64 65 97 Trang Học Thêm Toán BÀI TẬP diện tích thể tích đa diên-tròn xoay Bài 3: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD Mặt phẳng (P) qua A vuông góc với SC cắt SB, SC, SD B’, C’, D’ Biết AB = a, SB'  SB a) Tính tỉ số thể tích hai khối chóp S.AB’C’D’ S.ABCD b) Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ Giải a) Gọi SH đường cao hình chóp S.ABCD Gọi H’ giao điểm SH mp (P) Do S.ABCD hình chóp nên H giao điểm AC BD S C’ D’ E H’ D B’  BD  SH  BD  (SAC)  BD  SC  BD  AC Do mp (P)  SC  BD // mp (P) H A C B BD //( P)   Do  BD  (SBD)  BD // B' D' (P)  (SBD)  B' D'  SD' SH ' SB'    , H’D’ = H’B’ va B’D’  AC’ SD SH SB SC' Qua H kẻ đường thẳng song song với AC’ cắt SC E Khi đó: EC’ = EC,  SE SE  SC' EC'     SC’ = 2EC’ = CC’ SE SE V 2 V 2 Ta có: S.AB'D'    , S.B'C 'D '     VS.ABD 3 VS.BCD 3 V Ta có: VS.ABD = VS.BCD = S.ABCD 4 2 V  VS.AB’C’D’ = VS.AB’D’ + VS.B’C’D’ =    S.ABCD  VS.ABCD 9 9  b) Theo cm trên: AC’ vừa đường cao vừa đường trung tuyến tam giác SAC nên SA = AC  tam giác SAC  SH = VS.ABCD = 3 AC  a 2 a 2 6 a  a  VS.AB’C’D’ = a 18 Bài 4: Cho hai điểm A, B cố định Một đường thẳng d di động qua A cách B đoạn không đổi a = AB Chứng minh d nằm mặt nón Thầy Huy – www.facebook.com/hocthemtoan - ĐT: 0968 64 65 97 Trang Học Thêm Toán A BÀI TẬP diện tích thể tích đa diên-tròn xoay Giải Xét tùy ý đường thẳng d qua điểm A Theo gt: A cố định  d qua điểm A cố định thuộc đường thẳng AB cố định Trong mp (d, AB) kẻ BH  d H Gọi  = HAB Xét tam giác vuông ABCH ta có: H B d Sin  = (1) BH a     = 30 AB AB Vậy  không đổi (2) Từ (1) (2) suy d nằm mặt nón đỉnh A, nhận AB làm trục có góc đỉnh 2 = 600 Bài 5: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Tính diện tích xung quanh thể tích khối nón có đỉnh tâm O hình vuông ABCD đáy hình tròn nội tiếp hình vuông A’B’C’D’ Giải B A O D Khối nón có chiều cao a có bán kính đáy r = C a 2 Độ dài đường sinh: l = a a a2     2 Diện tích xung quanh khối nón: A’ B’ O’ D’ C’ a a a Sxq =  rl   2 2 a  a Thể tích khối nón: V = r h = r   a  3 12  2 Bài 6: Cho đường tròn (C) mp (P) Từ điểm M (C) kẻ đường thẳng d vuông góc với mp (P) Chứng minh đường thẳng d nằm mặt trụ  Giải Gọi  đường thẳng vuông góc với mp (P) O Gọi r bán kính (C) O Do  d P M  d  (P)  d //    ( P ) Khoảng cách d  là: d(d, ) = OM = r: không đổi Vậy d nằm mặt trụ trụ  bán kính r Thầy Huy – www.facebook.com/hocthemtoan - ĐT: 0968 64 65 97 Trang Học Thêm Toán BÀI TẬP diện tích thể tích đa diên-tròn xoay Bài 7: Cho khối trụ có bán kính đáy r có thiết diện qua trục hình vuông a) Tính diện tích xung quanh diện tích toàn phần hình trụ b) Tính thể tích khối lăng trụ tứ giác nội tiếp hình trụ cho (hình lăng trụ có đáy hình vuông nội tiếp đường tròn đáy hình trụ) c) Gọi V thể tích khối lăng trụ nội tiếp khối trụ V’ thể tích khối trụ Tính tỉ số V V’ Giải a) Vì thiết diện qua trục hình trụ hình vuông nên đường sinh l đường cao h l = h = 2r Diện tích xung quanh hình trụ: Sxq = 2 r l = 4 r2 Diện tích toàn phần hình trụ: Stp = Sxq + 2B = 6 r2 b) Gọi ABCD.A’B’C’D’ trụ tứ giác nội tiếp hình trụ cho Ta có: ABCD nội tiếp đường tròn đáy nên: AB = r Thể tích khối lăng trụ tứ giác đều: V = AA’.SABCD = 4r3 c) Thể tích khối trụ: V’ = B.h = 2 r3 B A O C D B’ A’ O’ C’ D’ Vậy: V  V'  Bài 8: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Xác định tâm bán kính mặt cầu qua đỉnh hình lập phương cho B A D C Bán kính r = O A’ B’ D’ Giải Gọi O trung điểm đường chéo AC’ Ta có: O cách đỉnh hình lập phương Vậy mặt cầu qua đỉnh hình lập phương có tâm O, AC' AC’ = a  r = a C’ Bài 9: Cho tứ diện D.ABC có DA  (ABC) DA = 5a, tam giác ABC vuông B AB = 3a, BC = 4a Xác định tâm bán kính mặt cầu qua bốn đỉnh tứ diện D O A C B Giải Gọi O trung điểm DC Do DA  (ABC) nên DA  AB, DA  AC   DAC vuông A  OA = OC = OD = CD/2 (1) Ta có: BC  BA, BC  DA  BC  (ABD)  BC  BD  OB = CD/ (2) Thầy Huy – www.facebook.com/hocthemtoan - ĐT: 0968 64 65 97 Trang Học Thêm Toán BÀI TẬP diện tích thể tích đa diên-tròn xoay Từ (1 (2) suy ra: A, B, C, D thuộc mặt cầu tâm O, bán kính r = CD/2 Bài 10: Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a, cạnh bên b Xác định tâm bán kính mặt cầu qua đỉnh hình chóp S A C H Giải Gọi H trọng tâm tam giác ABC Do SABC hình chóp nên tâm O mặt cầu nằm SH Gọi I trung điểm SA Trong mp(SAH) dựng IO vuông góc với SA cắt SH O Khi đó: O tâm mặt cầu qua đỉnh hình chóp Xét hai tam giác đồng dạng SIO SHA ta có: SA SO SI SA    SO = r SA SH 2SH 2SH B  2a   nên SH = Mà SH = SA  AH = b      Vậy: r = 2 3b  a  3b  a 3 SA b2 3b  = 2SH 3b  a 3b  a Bài 11: Cho mặt cầu S(O,r) điểm a biết OA = 2r Qua A kẻ tiếp tuyến với mặt cầu B kẻ cát tuyến cắt mặt cầu C D Cho biết CD = r a) Tính AB b) Tính khoảng cách từ O đến CD C A D B H O Giải a) Ta có: AB tiếp tuyến mặt cầu B nên AB  OB  AB = OA  OB  4r  r  r b) Gọi H hình chiếu vuông góc O CD Ta có: OC = OD = r Nên tam giác OCD cân O Do H trung điểm CD nên HC = CD r  2 Vậy khoảng cách từ O đến CD độ dài OH với OH = r 3 r   OC  HC  r      2 Thầy Huy – www.facebook.com/hocthemtoan - ĐT: 0968 64 65 97 Trang Học Thêm Toán BÀI TẬP diện tích thể tích đa diên-tròn xoay Bài 12: Cho tứ diện ABCD có DA = 5a DA vuông góc với mp(ABC) Tam giác ABC vuông B AB = 3a, BC = 4a a) Xác định tâm bán kính mặt cầu qua đỉnh tứ diện b) Tính diện tích mặt cầu thể tích khối cầu tương ứng Giải a) Gọi O trung điểm DC Do DA  (ABC) nên DA  AB, DA  AC   DAC vuông A  OA = OC = OD = CD/2 (1) Ta có: BC  BA, BC  DA C  BC  (ABD)  BC  BD  OB = CD/ (2) Từ (1 (2) suy ra: A, B, C, D thuộc mặt cầu tâm O, bán kính r = CD/2 D O A B r= 5a 1 CD  AD  AC  AD  AB  BC = 2 2 b) Diện tích mặt cầu: S = 4 r2 = 50 a2 125a Thể tích khối cầu tương ứng: V =  r = 3 Bài 13: Cho khối lăng trụ tứ giác ABCD.A1B1C1D1 có khoảng cách hai đường thẳng AB A1D độ dài đường chéo mặt bên a) Hạ AK  A1D ( K  A1 D) Chứng minh AK = b) Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A1B1C1D1 A x x B x D C x K h A1 D1 B1 C1 Giải: a) Chứng minh AK = 2: AB  (ADD1A1)  AB  AK Gt: AK  A1D  AK đoạn vuông góc chung AB A1D Vậy AK = d  AB, A1D   AK  b) Tính thể tích V khối lăng trụ ABCD.A1B1C1D1: Đặt h = AA1 chiều cao khối lăng trụ; x cạnh đáy hình vuông Gt AK = 2; A1D = DAA1 vuông A có AK đường cao nên: AK.A1D = AD.AH  10  x.h AD2 + AA12  A1D  x  h  25  x  h  25 ( x  h)2  45  x  h    xh  10 xh  10  xh  10   Giải hệ:  Thầy Huy – www.facebook.com/hocthemtoan - ĐT: 0968 64 65 97 Trang Học Thêm Toán BÀI TẬP diện tích thể tích đa diên-tròn xoay  x  5; h   V  x h  20   x  5; h   V  x h  10   450 Bài 14: Cho khối lăng trụ đứng ABCD.A1B1C1D1 có đáy hình bình hành BAD Các đường chéo AC1 DB1 tạo với đáy góc 450 600 Hãy tính thể tích khối lăng trụ biết chiều cao D1 A1 Giải:  Gt: (AC1, (ABCD)) = 450 = (AC1,AC) = C AC  (DB1, (ABCD)) = 600 = (DB1, DB) = B DB C1   1v  AC  CC cot C  ACC1 , C 1 AC  2.cot 45  B1   1v  BD  BB cot B  DBB1 , B 1 DB  2.cot 60  Đặt AD = BC = x ; AB = DC = y ADC có : AC  AD  DC  2.AD.DC.cos  ADC D A   x  y  xy cos1350  x  y  xy cos 450 (1)  BCD có : BD  BC  CD  2.BC.CD.cos BCD  x  y  xy cos 450 (2) 16 Từ (1) (2)   2( x  y )  x  y  thay 3  C vào (2) có: B   xy  xy  3 xy 2 S ABCD  2.S BCD  BC CD.sin C  xy.sin 450    2 3 2 Vậy V = SABCD CC1=  (đvdt) 3 Bài 15: Cho khối lăng trụ ABC.A1B1C1 có đáy ABC tam giác vuông cân với cạnh huyền AB = Cho biết mặt phẳng (AA1B) vuông góc với mặt phẳng (ABC), AA1 = , góc  A1 AB nhọn, góc mặt phẳng (A1 AC) mặt phẳng (ABC) 600 Hãy tính thể tích khối lăng trụ Giải: Gt: ( A1 AB)  ( ABC ) Từ A1 dựng A1H vuông góc AB H A1H  ( ABC )  A1H chiều cao lăng trụ Đặt A1H = h Dựng HK  AC K (HK // BC)  AKH vuông cân K  AH  HK  Thầy Huy – www.facebook.com/hocthemtoan - ĐT: 0968 64 65 97 h Trang Học Thêm Toán A1 B1 BÀI TẬP diện tích thể tích đa diên-tròn xoay   1v  A H  HA2  A A2 A1 HA, H 1 2h   5h   h  1 3CA2 V  S ABC A1 H  CA.CB.h  CA2  2 5 ACB có : AC  CB  AB  AC   AC  Vậy V = (đvdt)  h2  C1 h A H B K C Bài 16: (Dự bị B2-2006) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có A’.ABC hình chóp tam giác đều, cạnh đáy AB = a, cạnh bên AA’ = b Gọi  góc hai mặt phẳng (ABC) (A’BC) Tính tan  tính thể tích khối chóp A’.BB’C’C Giải: * Tính tan  : + Gọi H tâm tam giác ABC Do A’.ABC hình chóp tam giác nên hình chiếu vuông góc A’ (ABC) trùng với H + Gọi M giao điểm AH với BC AM  BC Mặt khác: A’B = A’C = A’A = b  A ' M  BC  Vậy góc hai mặt phẳng (ABC) (A’BC) là:   AMA'  A’HM vuông H (vì A’H  (ABC)) '  A ' H  tan   tan AMA MH C’ A’ B’ b  ABC có cạnh a nên AM = a  AH  A’H = A C a H 2 a a AM  ; MH  AM  ; 3 a2 3b  a 2 2 A ' A  AH  b   3 3b2  a a 3b  a Vậy tan   :  a * Tính thẻ tích V khối chóp A’.BB’C’C: M B Thầy Huy – www.facebook.com/hocthemtoan - ĐT: 0968 64 65 97 Trang Học Thêm Toán V  VA' B 'C ' ABC  VA' ABC a 3b  a V BÀI TẬP diện tích thể tích đa diên-tròn xoay 2  a  3b  a  S ABC A ' H  S ABC A ' H  S ABC A ' H   a  3 3 2  (đvtt)  Bài 17: Cho khối chóp tam giác S.ABC có chiều cao h góc AS B  2 Hãy tính thể tích khối chóp Giải: Tính VS.ABC : + Gọi H hình chiếu S (ABC) Vì: SA = SB = SC  HA = HB = HC  H tâm tam giác ABC + Gọi M giao điểm CH AB M trung điểm AB SM  AB + Đặt AB = 2x  AM = BM = x (x > 0)    BSM    (00    900 ) + gt: AS B  2  ASM S A C H M   1v  SM  AM cot AS  + ASM, M M  x cot  MH = 1 3 x CM  AB  x  3 3 B   1v  SH  MH  SM  h  x  x cot  + SHM, H x VS ABC 3h 3cot   1 1 1 2x 3 3h   S ABC SH   AB.CM  h  h.2 x  x h  3 3cot    (đvtt) Bài 18: Khối chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân đỉnh C SA  ( ABC ) , SC = a Hãy tìm góc hai mặt phẳng (SCB) (ABC) để thể tích khối chóp lớn Giải: Tìm góc hai mặt phẳng (SCB) (ABC) để thể tích S.ABC lớn nhất: S + gt: SA  ( ABC ) & AC  CB  SC  CB  (00    900 ) + Gọi    ( SCB), ( ABC )     SCA    SA  SC sin SCA  a sin  + SAC , A  1v     acos  AC  SC.cos SCA a 1 + VS ABC  S ABC SA  AC SA  a cos 2 a sin  A B C VS ABC  a 3cos 2 sin  + Xét hàm số: f ( )  cos 2 sin  , 00    900 Thầy Huy – www.facebook.com/hocthemtoan - ĐT: 0968 64 65 97 Trang Học Thêm Toán BÀI TẬP diện tích thể tích đa diên-tròn xoay f '( )  2cos  sin   cos   2cos  (1  cos  )  cos3  3cos3   2cos   cos  Vì: 00    900  cos   cos   3cos   3cos    3cos      ; Do đó: f '( )   3cos    cos    ;    900   cos    Lập bảng biến thiên hàm số f(  ) khoảng  00 ; 900  : 00  f’(  )   + 900 -  fmax f(  ) 0 0 Ta có f(  ) lớn  cos  Vậy thể tích S.ABC lớn  f(  ) lớn  cos  Bài 19: Cho khối chóp tứ giác S.ABCD mà khoảng cách từ đỉnh A đến mp(SBC) 2a Với giá trị góc mặt bên mặt đáy khối chóp thể tích khối chóp nhỏ ? Giải: Tìm góc mặt bên mặt đáy để thể tích S.ABCD nhỏ nhất: S K B C N M O A D + Gọi O tâm hình vuông ABCD SO vuông góc với (ABCD) SO chiều cao khối chóp S.ABCD + Gọi MN đường trung bình hình vuông ABCD với M  CD N  AB + CD  (SMN), (SMN) vẽ NK  SM, NK  CD  NK  (SCD) Vậy NK = d  N , ( SCD)  + Vì AB//CD  AB//(SCD)  d  A, (SCD )  = NK = 2a Ta có: SM  CD MN  CD      ( SCD ), ( ABCD)   SMN   1v  MN  NKM , K NK 2a a   OM   sin  sin  sin NMK   1v  SO  OM tan   a + SOM , O cos 1 4a a 4a + VS ABCD  S ABCD SO  MN SO   3 sin  cos 3sin  cos Vậy VS ABCD nhỏ  f ( )  sin  cos lớn nhất, với 00    900 f '( )  2cos2 .sin   sin3  2sin  (1 sin2 )  sin3  2sin   3sin3  Thầy Huy – www.facebook.com/hocthemtoan - ĐT: 0968 64 65 97 Trang 10 Học Thêm Toán BÀI TẬP diện tích thể tích đa diên-tròn xoay     3sin    sin    sin       2 f '( )    sin    sin     arcsin 3 0 Lập bảng biến thiên hàm số f(  ) khoảng ; 90 :   00 f’(  ) arcsin  +  900 -  fmax f(  ) 0 0 Ta có f(  ) lớn    arcsin Vậy thể tích S.ABCD nhỏ  f(  ) lớn    arcsin Bài 20: Khối chóp S.ABC có SA  ( ABC ) ; đáy ABC cân A, độ dài trung tuyến AD = a, cạnh SB tạo với đáy góc  tạo với mặt (SAD) góc  Tính thể tích khối chóp Giải: Tính thể tích khối chóp S.ABC: + SA  (ABCD) nên AB hình chiếu SB (ABC) S  ABS     SB, ( ABC )  + BC  AD BC  SA  BC  (SAD) nên SD hình      SB, ( SAD )  chiếu SB (SAD)  BSD + SAB, A  1v  AB  SB.cos   1v  BD  SB.sin + SDB, D   1v  AD  AB  BD + ADB, D A C D  a  SB (cos 2  sin  )  SB  Vậy BD  a cos 2  sin  a sin  cos 2  sin  B SA = SB sin   a.sin  cos 2  sin  1 AD.BC VS ABC  S ABC SA  SA  AD.BD.SA 3 a sin  a sin  a sin  sin   a  2 cos2  sin  cos 2  sin  cos   sin  (đvtt) Thầy Huy – www.facebook.com/hocthemtoan - ĐT: 0968 64 65 97 Trang 11 Học Thêm Toán BÀI TẬP diện tích thể tích đa diên-tròn xoay Bài 21: Cho khối chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy SA = 2a Gọi B’, D’ hình chiếu A SB SD Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC C’ Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ Giải: Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’: + Trong (SBD) gọi I giao điểm B’D’ SO Trong (SAC), gọi C’ giao điểm AI với SC thì: S C’là giao điểm (AB’D’) với SC + SAB  SAD  SB  SD SA2 SA2 SB ' SD ' + SB '    SD '   (*) SB SD SB SD 2a C’ D’ + VS,AB’C’ + VS.AC’D’ = VS.AB’C’D’ 1 VS.ABCD = V (đặt VS.ABCD = V) 2 2VS AB 'C ' SB ' SC ' SB ' SC '  hay:  V SB SC SB SC + VS,ABC = VS.ACD = I B’ A D O B a C VS AB ' C ' VS ABC Tương tự: 2VS AC ' D ' SD ' SC ' SB ' SC '   (do SD  SB ) V SD SC SB SC SB '.SC ' SB '.SC ' 2a  2VS AB ' C ' D '  V  SB.SC SB.SC SB '.SC ' 2a3 SB.SC SA2 SB ' SA2 4a 4a Vì: SB '       2 2 SB SB SB SA  AB 4a  a + Ta có: BC  AB & BC  SA  BC  ( SAB)  BC  AB ' Mặt khác: SB  AB ' Vậy AB '  ( SBC )  AB '  SC ; tương tự: AD '  SC  SC  ( AB ' D ')  SC  AC '  VS AB ' C ' D '  Tam giác SAC vuông A AC’ đường cao nên: SC ' SA2 4a 4a 2     2 2 SC SC SA  AC 4a  2a 3 2a 16a   3 45 SC’.SC = SA2   VS AB ' C ' D ' Bài 21: Cho khối lăng trụ ABC.A1B1C1 có đáy ABC tam giác vuông cân với cạnh huyền AB = Cho biết mặt phẳng (AA1B) vuông góc với mặt phẳng (ABC), AA1 = , góc  A1 AB nhọn, góc mặt phẳng (A1 AC) mặt phẳng (ABC) 600 Hãy tính thể tích khối lăng trụ Giải: Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A1B1C1 + Gt: ( A1 AB)  ( ABC ) Từ A1 dựng A1H  AB H  A1 H  ( ABC )  A1H chiều cao lăng trụ Đặt A1H = h Thầy Huy – www.facebook.com/hocthemtoan - ĐT: 0968 64 65 97 Trang 12 Học Thêm Toán BÀI TẬP diện tích thể tích đa diên-tròn xoay A1 B1 C1 h  HK  A1H cot  A1KH  h cot 600  h + Dựng HK  AC K (HK//BC)  AKH vuông cân K HK hình chiếu A1K (ABC) mà AC  HK nên AC  A1K Vậy  ( A1 AC ), ( ABC )    A1 KH  600  A1HK vuông H:  AHK vuông cân K  AH  HK  A H B h  A1HK vuông H  A1 H  HA2  A1 A2  h2  K 2h   5h   h  C 1 V  S ABC AH  CA.CB.h  CA2 2 2  ABC , C  1v  AC  CB  AB  AC   AC  Vậy V  (đvtt) Bài 22: (DB A1-08PB) Cho hình chóp SABC có đáy tam giác ABC vuông cân đỉnh B, BA = BC = 2a, hình chiếu vuông góc đỉnh S mặt phẳng đáy (ABC) trung điểm E AB SE = 2a Gọi I, J trung điểm EC, SC M điểm di động tia  đối tia BA cho ECM   (  90 ) H hình chiếu vuông góc S MC Tính thể tích khối tứ diện EHIJ theo a;  tìm  để thể tích lớn Giải: * Tính thể tích khối tứ diện EHIJ: + Gọi V thể tích khối tứ diện EHIJ Ta có: S h , với S diện tích IHE h chiều cao khối tứ diện 1 + GT suy IJ// SE IJ= SE  2a  a ; Vì SE  ( ABC )  IJ  ( IHE ) Vậy h = IJ = a 2  EBC vuông B có EB = AB = a; BC = 2a nên EC = BC  BE  (2a )2  a  a + Vì SE  (ABC) nên HE hình chiếu SH mặt phẳng (ABC), SH  CM nên   ECM   EH  CM Vậy tam giác CHE vuông H có ECH V=   a 5.cos  CH  CE.cos ECH Thầy Huy – www.facebook.com/hocthemtoan - ĐT: 0968 64 65 97 Trang 13 Học Thêm Toán BÀI TẬP diện tích thể tích đa diên-tròn xoay S 1  SECH  CE CH sin   a 5.a 5cos sin  2 5a  sin 2 J Do I trung điểm CE C A I H E 5a nên S = S ECH  sin 2 5a Vậy V = sin 2 24 * Tìm  để thể tích V khối tứ diện EHIJ lớn nhất: 5a 5a Ta có: V = sin 2  (do sin 2  1) 24 24 Vậy V lớn  sin 2   2  900    450 B M Bài 23: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, SA  a SA vuông góc với mặt phẳng đáy, gọi M trung điểm SD Tính theo a thể tích khối tứ diện SAMC côsin góc hai đường thẳng SB, AC Giải: * Tính thể tích khối tứ diên SAMC: + Gọi V, V1, V2 thể tích khối tứ diện SAMC, khối chóp S.ACD, M.ACD , ta có: V = V1 - V2 + SA  (ABCD) nên SA chiều cao khối S chóp S.ACD Vậy V1 = M 1 a3 SA.S ACD  a AD.DC  3 Gọi H trung điểm AD MH//SA nên SA  a 2 1 a3 V2 = MH S ACD  a AD.DC  3 2 12 3 a a a Vậy V =   12 12 MH  (ABCD) MH = A H D O B * Tính côsin góc hai đường thẳng SB, AC: C Ta có: MO đường trung bình tam giác SBD nên: MO = SB  1 SA2  AD  3a  a  a MO//SB nên góc SB AC góc 2 OM AC Thầy Huy – www.facebook.com/hocthemtoan - ĐT: 0968 64 65 97 Trang 14 Học Thêm Toán BÀI TẬP diện tích thể tích đa diên-tròn xoay a 3a a 2 OA = AC  ; AM  AH  MH   a 2 4 a2  a2  a2 2 OA  OM  AM Trong tam giác OAM có: cos  AOM    2.OA.OM a 2 2 .a Vậy cos  SB, AC   cos  OM , OA  2 Bài 24: Cho hình trụ có đáy đường tròn tâm O O’, tứ giác ABCD hình vuông nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R AA’, BB’ đường sinh khối trụ Biết góc mặt phẳng (A’B”CD) đáy hình trụ 60o, tính thể tích khối trụ Giải: Ta có: A ' A  ( ABCD)  A ' D có hình chiếu (ABCD) B' AD Do BC  AD  BC  A’D A' ( A ' B ' CD )  ( ABCD)  BC  A ' D  ( A ' B ' CD ); BC  ( ABCD)  ( A ' B ' CD ); ( ABCD )   A ' DA  600 Vì:   B   OAD vuông cân nên AD  OA  R A C D Gọi h chiều cao hình trụ  ADA’ có h = AA’=AD.tan60 = R Thể tích khối trụ V =  R h   R R   R3 (đvtt) Bài 25: Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD, có cạnh AB = a cạnh lại a A Giải: Gọi I trung đểm cạnh CD D I M B C AI  CD  BI  CD Gt    (1) a  AB   ABI  mp trung trực cạnh CD Gọi M giao điểm BI với mặt cầu S  ngoại tiếp tứ diện ABCD , AI  BI   Đường tròn lớn S  đường tròn  ABM  Mặt phẳng BCD  cắt S  theo đường tròn BCD  qua M, BM đường kính a 2a  BM   sin 60 13 (1)  ABI   ABM = 600 ; AM  AB  BM  AB.BM cos 60  a 12 Thầy Huy – www.facebook.com/hocthemtoan - ĐT: 0968 64 65 97 Trang 15 Học Thêm Toán BÀI TẬP diện tích thể tích đa diên-tròn xoay AM a 13 13 13 R   V  R  a sin 60 162 Bài 26: Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO = h, bán kính đáy R Điểm M  SO tâm đường tròn (C) 1.Tính thể tích khối nón có đỉnh S đáy (C) 2.Tìm x để thể tích lớn Giải: S Ta có SM R ' h  x R' R     R '  ( h  x) SO R h R h Thể tích khối nón: 3 V= R '2 SM   (C) M R2 R2 ( h  x ) x   ( x  2hx  h x ) h h R2 V =  3x  4hx  h , V’ =  h  ’   x  h3 x= h (loại)  x  h h O Dựa vào bảng biến thiên ta có: V Max  x = Bài 27: Cho hình nón đỉnh S có độ dài đường sinh l, bán kính đường tròn đáy r Gọi I tâm mặt cầu nội tiếp hình nón (mặt cầu bên hình nón, tiếp xúc với tất đường sinh đường tròn đáy nón gọi mặt cầu nội tiếp hình nón) Tính theo r, l diện tích mặt cầu tâm I; Giả sử độ dài đường sinh nón không đổi Với điều kiện bán kính đáy diện tích mặt cầu tâm I đạt giá trị lớn nhất? Giải: +) Gọi rC bán kính mặt cầu nội tiếp nón, bán kính đường tròn nội tiếp tam giác SAB S Ta có: S SAB  prC  (l  r ).rC  l  rC  I A M l  r 2r l r r 2(l  r) l r 2 +) Scầu = 4 r C  4 r r +) Đặt: y(r)  B SM AB l r l r  r  4 lr lr lr2 r3 ,0  r l ; l r Thầy Huy – www.facebook.com/hocthemtoan - ĐT: 0968 64 65 97 Trang 16 Học Thêm Toán BÀI TẬP diện tích thể tích đa diên-tròn xoay   1 l r  2r(r  rl l )  y '(r)  0 (l  r)2  1 l r   +) BBT: r 1 l 2 l y'(r) y(r) ymax +) Ta có max Scầu đạt  y(r) đạt max  r 1 l Bài 28: Cho hình trụ có bán kính đáy x, chiều cao y, diện tích toàn phần  Với x hình trụ tồn tại? Tính thể tích V khối trụ theo x tìm giá trị lớn V Giải: Ta có Stp= Sxq+2Sđ = 2xy  2x  2 ( xy  x ) ; (x > 0) Theo giả thiết ta có 2 (xy+x2) = 2  xy+x2 =1  y = 1 x2 x Hình trụ tồn y > (với x > 0)  1- x2 >  < x < Khi V(x) =  x2y =  x(1- x2) =  ( -x3 + x) 2  x Khảo sát hàm số V(x) với x  (0;1) ta giá trị lớn V = 3 Bài 29: Cho hình nón tròn xoay đỉnh S, đáy hình tròn tâm O.Trên đường tròn lấy điểm A cố định điểm M di động Biết  AOM   , góc tạo bỡi hai mặt phẳng (SAM) (OAM) có số đo β khoảng cách từ O đến (SAM) a Tính thể tích khối nón theo a, α, β Giải: Gọi I trung điểm AM ∆SAM cân nên SI  AM ∆OAM cân nên OI  AM (C) H O I A (OAM )  OI , OI  AM  Góc tạo bỡi hai mặt phẳng  ( SAM )  SI , SI  AM  (SAM) (OAM) SIO MA  OI MA  SO  MA  ( SOI )  ( SAM )  (SOI ) Và ( SAM )  ( SOI )  OI Kẽ OH  OI  OH  ( SAM )  d  O, (SAM )   OH  a   1v  OI  OH  a OHI , H sin  sin  OI a OMI , I  1v  OM   =R   cos cos sin  2 Thầy Huy – www.facebook.com/hocthemtoan - ĐT: 0968 64 65 97 Trang 17 Học Thêm Toán BÀI TẬP diện tích thể tích đa diên-tròn xoay a cos  a V= SO. OM  3 cos  SO = OI tan  = a2 a    cos sin  sin  cos  cos 2 Bài 30: Cho mặt cầu đường kính AB=2R Gọi I điểm AB cho AI = h Một mặt phẳng vuông góc với AB I cắt mặt cầu theo đường tròn (C) 1) Tính thể tích khối nón đỉnh A đáy (C) 2) Xác định vị trí điểm I để thể tích đạt giá trị lớn Giải: Gọi EF đường kính cua (C) ta có: IE.IF = IA.IB hay IE2 = IA.IB = h(2R-h) Gọi r bán kính (C) thì: r = IE = h(2 R  h) Thể tích cần tính là:  V= V   r h   Rh  h3  , với 0