Nguyễn Minh Tiến – maths287 Bài 07 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD có điểm M thuộc đường chéo BD Gọi E F hình chiếu vuông góc điểm M lên cạnh AB AD , phương trình đường thẳng (CM ) : x + y − = ( DE ) : x − y − = Xác định tọa độ đỉnh hình vuông ABCD biết điểm F ( 1; ) Lời giải Cách 1: Hạ MK ⊥ CD ( K ∈ CD ) Dễ thấy FMKD hình vuông → MF = MK ∆MEB vuông cân E → EM = EB Và EBCK hình chữ nhật → EB = CK → CK = EM → ∆CKM = ∆EMF ( c.g.c ) → EFM = CMK (góc tương ứng) ( 1) Mà EMH = MCK (góc đối đỉnh) (2) (1) + ( ) → EFM = EMH → EMH + MEH = MEH + MFH = 90 → CM ⊥ EF qua F ( 1; ) Phương trình ( EF ) : → ( EF ) : 3x − y − = → E ( 2; ) ⊥ ( CM ) Lấy điểm M ( − 3m; m ) ∈ ( CM ) Ta có ME ⊥ MF → ME.MF = m = → ( − 3m )( − 3m ) + ( m − )( m − ) = ↔ 10 m − 46 m + 52 = ↔ m = Do M F nằm khác phía qua đường ( DE ) → m = → M ( 2; ) Ta có MK = DK = MF = ME = → ME = MK → EM = MK → K ( 2;1) qua K → ( CD ) : y − = → C ( 5;1) Phương trình ( CD ) : ⊥ ME Ta có CK = → CK = 3KD → CK = 3KD → D ( 1;1) Phương trình ( BD ) qua D M → ( BD ) : x − y = Nguyễn Minh Tiến – maths287 qua E Phương trình ( AB ) : → ( AB ) : y − = → B = ( BD ) ∩ ( AB ) → B ( 5; ) ⊥ ME Ta có ABCD hình vuông → AB = DC → A ( 1; ) Kết luận: Bài toán có nghiệm A ( 1; ) , B ( 5; ) , C ( 5;1) D ( 1;1) Cách 2: Dễ thấy AEMF hình chữ nhật → AE = MF Đồng thời ∆MFD vuông cân → FM = FD Từ AE = FD → ∆AED = ∆FDC ( c.g.c ) → ADE = FCD (góc tương ứng) → HFD + HDF = HFD + FCD = 90 → FHD = 90 → DE ⊥ CF qua F (CF ) : ⊥ → ( CF ) : x + y − = ( DE ) Tọa độ C = ( CM ) ∩ ( CF ) → C ( 5;1) Lấy điểm D ( d; 4d − ) ∈ ( DE ) Ta có DF ⊥ DC → DC.DF = d = → ( d − 1)( d − ) + ( 4d − )( 4d − ) = ↔ ( d − 1)( 5d − ) = ↔ d = qua F Khi d = → D ( 1;1) Có ( FM ) : → ( FM ) : y − = ⊥ DF Tọa độ M = ( CM ) ∩ ( FM ) → M ( 2; ) Phương trình ( BD ) qua D M → ( BD ) : x − y = qua C → ( BC ) : x − = → B ( 5; ) Phương trình ( BD ) : ⊥ ( CD ) Ta có ABCD hình vuông → AB = DC → A ( 1; ) Khi d = Dành cho bạn đọc (trường hợp loại) Kết luận: Bài toán có nghiệm A ( 1; ) , B ( 5; ) , C ( 5;1) D ( 1;1)