Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn ĐỀTHI SỐ Câu 1: (4,0 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a) 3x2 – 7x + 2; b) a(x2 + 1) – x(a2 + 1) Câu 2: (5,0 điểm) Cho biểu thức : 2 x 4x2 2 x x 3x A( ):( ) 2 x x 4 2 x x x3 a) Tìm ĐKXĐ rút gọn biểu thức A ? b) Tìm giá trị x để A > 0? c) Tính giá trị A trường hợp : |x - 7| = Câu 3: (5,0 điểm) a) Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau : 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = b) Cho x2 y z a b c x y z Chứng minh : a b c x y z a b c Câu 4: (6,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn đường chéo BD Gọi E, F hình chiếu B D xuống đường thẳng AC Gọi H K hình chiếu C xuống đường thẳng AB AD a) Tứ giác BEDF hình ? Hãy chứng minh điều ? b) Chứng minh : CH.CD = CB.CK c) Chứng minh : AB.AH + AD.AK = AC2 HƯỚNG DẪN CHẤM THI Nội dung đápán Bài a 3x – 7x + = 3x – 6x – x + = = 3x(x -2) – (x - 2) = (x - 2)(3x - 1) 2 b a(x2 + 1) – x(a2 + 1) = ax2 + a – a2x – x = Điểm 2,0 1,0 0,5 0,5 2,0 1,0 Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn = ax(x - a) – (x - a) = = (x - a)(ax - 1) 0,5 0,5 5,0 3,0 Bài 2: a ĐKXĐ : 2 x x x x 2 2 x x 3x x 2 x x A( 1,0 2 x 4x2 2 x x 3x (2 x) x (2 x) x (2 x) ):( ) x x x x x3 (2 x)(2 x) x( x 3) x2 8x x (2 x) (2 x)(2 x) x 1,0 0,5 x( x 2) x(2 x) x2 (2 x)(2 x)( x 3) x 0,25 4x Vậy với x 0, x 2, x A x3 0,25 b 1,0 Với x 0, x 3, x 2 : A 4x 0 x3 x 3 x 3(TMDKXD) Vậy với x > A > c x x7 x 4 x 11(TMDKXD) x 3( KTMDKXD) Với x = 11 A = 121 0,25 0,25 0,25 0,25 1,0 0,5 0,25 0,25 Bài a 5,0 2,5 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = (9x2 – 18x + 9) + (y2 – 6y + 9) + 2(z2 + 2z + 1) = 9(x - 1)2 + (y - 3)2 + (z + 1)2 = (*) Do : ( x 1)2 0;( y 3)2 0;( z 1)2 Nên : (*) x = 1; y = 3; z = -1 Vậy (x,y,z) = (1,3,-1) b 1,0 0,5 0,5 0,25 0,25 2,5 Gia sư Tài Năng Việt Từ : Ta có : https://giasudaykem.com.vn a b c ayz+bxz+cxy 0 0 x y z xyz 0,5 ayz + bxz + cxy = x y z x y z ( )2 a b c a b c 2 x y z xy xz yz 2( ) a b c ab ac bc 2 x y z cxy bxz ayz 2 1 a b c abc x2 y z 1( dfcm) a b c 0,25 0,5 0,5 0,5 0,25 Bài 6,0 H C B 0,25 F O E A D a Ta có : BE AC (gt); DF AC (gt) => BE // DF Chứng minh : BEO DFO( g c g ) => BE = DF Suy : Tứ giác : BEDF hình bình hành b Ta có: ABC ADC HBC KDC Chứng minh : CBH CDK ( g g ) CH CK CH CD CK CB CB CD b, K 2,0 0,5 0,5 0,25 0,25 2,0 0,5 1,0 0,5 1,75 0,25 Chứng minh : AFD AKC ( g g ) AF AK AD AK AF AC AD AC Chứng minh : CFD AHC ( g g ) CF AH CD AC 0,25 0,25 0,25 Gia sư Tài Năng Việt Mà : CD = AB https://giasudaykem.com.vn CF AH AB AH CF AC AB AC 0,5 Suy : AB.AH + AB.AH = CF.AC + AF.AC = (CF + AF)AC = AC2 (đfcm) 0,25 ĐỀ SỐ Câu1 a Phân tích đa thức sau thừa số: x4 x 2 x 3 x 4 x 5 24 b Giải phương trình: x 30x 31x 30 a b c a2 b2 c2 Chứng minh rằng: c Cho 0 b c c a a b b c c a a b Câu2 Cho biểu thức: 10 x x A :x 2 x2 x 2 x x 2 a Rút gọn biểu thức A b Tính giá trị A , Biết x = c Tìm giá trị x để A < d Tìm giá trị nguyên x để A có giá trị nguyên Câu Cho hình vng ABCD, M điểm tuỳ ý đường chéo BD Kẻ ME AB, MF AD a Chứng minh: DE CF b Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy c Xác định vị trí điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn Câu a Cho số dương a, b, c có tổng Chứng minh rằng: 1 9 a b c b Cho a, b d-ơng a2000 + b2000 = a2001 + b2001 = a2002 + b2002 Tinh: a2011 + b2011 HƯỚNG DẪN CHẤM THIHỌCSINHGIỎILỚP Câu Đápán a x4 + = x4 + 4x2 + - 4x2 = (x4 + 4x2 + 4) - (2x)2 = (x2 + + 2x)(x2 + - 2x) Điểm ( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) - 24 = (x2 + 7x + 11 - 1)( x2 + 7x + 11 + 1) - 24 = [(x2 + 7x + 11)2 - 1] - 24 = (x2 + 7x + 11)2 - 52 = (x2 + 7x + 6)( x2 + 7x + 16) = (x + 1)(x + 6) )( x2 + 7x + 16) Câu (6 điểm) x 30x 31x 30 x x x 5 x 6 b (*) (2 điểm) (2 điểm) Gia sư Tài Năng Việt Vì x2 - x + = (x ) + https://giasudaykem.com.vn >0 x (*) (x - 5)(x + 6) = x x x x a b c 1 c Nhân vế của: b c c a a b với a + b + c; rút gọn đpcm 10 x x Biểu thức: A :x 2 x2 x 2 x x 2 1 a Rút gọn kq: A x2 1 1 x x b x 2 Câu (6 điểm) 4 A c A x 1 Z x 1;3 d A Z x2 A HV + GT + KL (1.5 điểm) (1.5 điểm) (1.5 điểm) (1.5 điểm) E A (2 điểm) B (1 điểm) F Câu (6 điểm) M AE FM DFD AED DFC đpcm b DE, BF, CM ba đường cao EFC đpcm a Chứng minh: C (2 điểm) (2 điểm) c Có Chu vi hình chữ nhật AEMF = 2a không đổi ME MF a không đổi SAEMF ME.MF lớn ME MF (AEMF hình vng) M trung điểm BD (1 điểm) Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn b c 1 a 1 a a a c 1 a Từ: a + b + c = 1 b b b a b 1 c c c Câu 4: (2 điểm) (1 điểm) 1 a b a c b c a b c b a c a c b 3 2 2 2 Dấu xảy a = b = c = b (a2001 + b2001).(a+ b) - (a2000 + b2000).ab = a2002 + b2002 (a+ b) – ab = (a – 1).(b – 1) = a = hc b = Víi a = => b2000 = b2001 => b = hc b = (lo¹i) Víi b = => a2000 = a2001 => a = hc a = (lo¹i) VËy a = 1; b = => a2011 + b2011 = (1 điểm) ĐỀTHI SỐ Bài 1: (4 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) (x + y + z) – x3 – y3 – z3 b) x4 + 2010x2 + 2009x + 2010 Bài 2: (2 điểm) Giải phương trình: x 241 x 220 x 195 x 166 10 17 19 21 23 Bài 3: (3 điểm) Tìm x biết: 2 2009 x 2009 x x 2010 x 2010 2009 x 2009 x x 2010 x 2010 Bài 4: (3 điểm) 19 49 Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn Tìm giá trị nhỏ biểu thức A 2010x 2680 x2 Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC vuông A, D điểm di động cạnh BC Gọi E, F hình chiếu vng góc điểm D lên AB, AC a) Xác định vị trí điểm D để tứ giác AEDF hình vng b) Xác định vị trí điểm D cho 3AD + 4EF đạt giá trị nhỏ Bài 6: (4 điểm) Trong tam giác ABC, điểm A, E, F tương ứng nằm cạnh BC, CA, AB cho: AFE BFD, BDF CDE, CED AEF a) Chứng minh rằng: BDF BAC b) Cho AB = 5, BC = 8, CA = Tính độ dài đoạn BD Một lời giải: Bài 1: a) (x + y + z) – x3 – y3 – z3 = x y z x y3 z3 = y z x y z x y z x x y z y yz z = y z 3x 3xy 3yz 3zx = y z x x y z x y = x y y z z x b) x4 + 2010x2 + 2009x + 2010 = x x 2010x 2010x 2010 = x x 1 x x 1 2010 x x 1 = x x 1 x x 2010 Bài 2: x 241 x 220 x 195 x 166 10 17 19 21 23 x 241 x 220 x 195 x 166 1 2 3 40 17 19 21 23 x 258 x 258 x 258 x 258 0 17 19 21 23 1 1 x 258 17 19 21 23 x 258 Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn Bài 3: 2009 x 2009 x x 2010 x 2010 19 2 2009 x 2009 x x 2010 x 2010 49 2 ĐKXĐ: x 2009; x 2010 Đặt a = x – 2010 (a 0), ta có hệ thức: a 1 a 1 a a 19 a a 19 a 1 a 1 a a 49 3a 3a 49 49a 49a 49 57a 57a 19 8a 8a 30 a 2 (thoả ĐK) 2a 1 42 2a 3 2a a 4023 4015 Suy x = x = (thoả ĐK) 2 4023 4015 Vậy x = x = giá trị cần tìm 2 Bài 4: 2010x 2680 A x2 335x 335 335x 2010x 3015 335(x 3)2 = 335 335 x2 x2 Vậy giá trị nhỏ A – 335 x = – Bài 5: a) Tứ giác AEDF hình chữ nhật (vì E A F 90o ) C Để tứ giác AEDF hình vng AD tia phân giác BAC b) Do tứ giác AEDF hình chữ nhật nên AD = EF Suy 3AD + 4EF = 7AD 3AD + 4EF nhỏ AD nhỏ F D hình chiếu vng góc A lên BC Bài 6: a) Đặt AFE BFD , BDF CDE , CED AEF D A E B Ta có BAC 1800 (*) Qua D, E, F kẻ đường thẳng vng góc với BC, AC, AB cắt O Suy O giao điểm ba đường phân giác tam giác DEF OFD OED ODF 90o (1) Ta có OFD OED ODF 270o (2) Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn (1) & (2) 180o (**) s s s (*) & (**) BAC BDF b) Chứng minh tương tự câu a) ta có: B , C AEF DBF DEC ABC 5BF 5BF 5BF BD BA BD BD BD BF BC 8 7CE 7CE 7CE CD CA CD CD CD 8 CE CB AE AB 7AE 5AF 7(7 CE) 5(5 BF) 7CE 5BF 24 AF AC CD BD (3) Ta lại có CD + BD = (4) (3) & (4) BD = 2,5 ... dương a, b, c có tổng Chứng minh rằng: 1 9 a b c b Cho a, b d-¬ng vµ a2000 + b2000 = a2001 + b2001 = a2002 + b2002 Tinh: a2011 + b2011 HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP Câu Đáp án a x4 +... 195 x 166 1 2 3 40 17 19 21 23 x 2 58 x 2 58 x 2 58 x 2 58 0 17 19 21 23 1 1 x 2 58 17 19 21 23 x 2 58 Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn... a = x – 2010 (a 0), ta có hệ thức: a 1 a 1 a a 19 a a 19 a 1 a 1 a a 49 3a 3a 49 49a 49a 49 57a 57a 19 8a 8a 30 a 2 (thoả