Đề thi học sinh giỏi lớp 8 có đáp án

Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn ĐỀ THI SỐ Câu 1: (4,0 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a) 3x2 – 7x + 2; b) a(x2 + 1) – x(a2 + 1) Câu 2: (5,0 điểm) Cho biểu thức : 2 x 4x2 2 x x  3x A(   ):( ) 2 x x 4 2 x x  x3 a) Tìm ĐKXĐ rút gọn biểu thức A ? b) Tìm giá trị x để A > 0? c) Tính giá trị A trường hợp : |x - 7| = Câu 3: (5,0 điểm) a) Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau : 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = b) Cho x2 y z a b c x y z       Chứng minh :    a b c x y z a b c Câu 4: (6,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn đường chéo BD Gọi E, F hình chiếu B D xuống đường thẳng AC Gọi H K hình chiếu C xuống đường thẳng AB AD a) Tứ giác BEDF hình ? Hãy chứng minh điều ? b) Chứng minh : CH.CD = CB.CK c) Chứng minh : AB.AH + AD.AK = AC2 HƯỚNG DẪN CHẤM THI Nội dung đáp án Bài a 3x – 7x + = 3x – 6x – x + = = 3x(x -2) – (x - 2) = (x - 2)(3x - 1) 2 b a(x2 + 1) – x(a2 + 1) = ax2 + a – a2x – x = Điểm 2,0 1,0 0,5 0,5 2,0 1,0 Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn = ax(x - a) – (x - a) = = (x - a)(ax - 1) 0,5 0,5 5,0 3,0 Bài 2: a ĐKXĐ : 2  x   x  x       x  2 2  x   x  3x   x   2 x  x  A( 1,0 2 x 4x2 2 x x  3x (2  x)  x  (2  x) x (2  x)   ):( )    x x   x x  x3 (2  x)(2  x) x( x  3) x2  8x x (2  x)  (2  x)(2  x) x  1,0 0,5 x( x  2) x(2  x) x2   (2  x)(2  x)( x  3) x  0,25 4x Vậy với x  0, x  2, x  A  x3 0,25 b 1,0 Với x  0, x  3, x  2 : A   4x 0 x3  x 3   x  3(TMDKXD) Vậy với x > A > c x   x7     x   4  x  11(TMDKXD)   x  3( KTMDKXD) Với x = 11 A = 121 0,25 0,25 0,25 0,25 1,0 0,5 0,25 0,25 Bài a 5,0 2,5 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 =  (9x2 – 18x + 9) + (y2 – 6y + 9) + 2(z2 + 2z + 1) =  9(x - 1)2 + (y - 3)2 + (z + 1)2 = (*) Do : ( x  1)2  0;( y  3)2  0;( z  1)2  Nên : (*)  x = 1; y = 3; z = -1 Vậy (x,y,z) = (1,3,-1) b 1,0 0,5 0,5 0,25 0,25 2,5 Gia sư Tài Năng Việt Từ : Ta có : https://giasudaykem.com.vn a b c ayz+bxz+cxy   0 0 x y z xyz 0,5  ayz + bxz + cxy = x y z x y z     (   )2  a b c a b c 2 x y z xy xz yz     2(   )  a b c ab ac bc 2 x y z cxy  bxz  ayz    2 1 a b c abc x2 y z     1( dfcm) a b c 0,25 0,5 0,5 0,5 0,25 Bài 6,0 H C B 0,25 F O E A D a Ta có : BE  AC (gt); DF  AC (gt) => BE // DF Chứng minh : BEO  DFO( g  c  g ) => BE = DF Suy : Tứ giác : BEDF hình bình hành b Ta có: ABC  ADC  HBC  KDC Chứng minh : CBH CDK ( g  g )  CH CK   CH CD  CK CB CB CD b, K 2,0 0,5 0,5 0,25 0,25 2,0 0,5 1,0 0,5 1,75 0,25 Chứng minh : AFD AKC ( g  g ) AF AK   AD AK  AF AC AD AC Chứng minh : CFD AHC ( g  g ) CF AH   CD AC  0,25 0,25 0,25 Gia sư Tài Năng Việt Mà : CD = AB  https://giasudaykem.com.vn CF AH   AB AH  CF AC AB AC 0,5 Suy : AB.AH + AB.AH = CF.AC + AF.AC = (CF + AF)AC = AC2 (đfcm) 0,25 ĐỀ SỐ Câu1 a Phân tích đa thức sau thừa số: x4   x  2 x  3 x  4 x  5  24 b Giải phương trình: x  30x  31x  30  a b c a2 b2 c2    Chứng minh rằng: c Cho   0 b  c c a a b b  c c a a b Câu2 Cho biểu thức:   10  x   x A     :x 2 x2   x  2 x x  2  a Rút gọn biểu thức A b Tính giá trị A , Biết x = c Tìm giá trị x để A < d Tìm giá trị nguyên x để A có giá trị nguyên Câu Cho hình vng ABCD, M điểm tuỳ ý đường chéo BD Kẻ ME  AB, MF  AD a Chứng minh: DE  CF b Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy c Xác định vị trí điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn Câu a Cho số dương a, b, c có tổng Chứng minh rằng: 1   9 a b c b Cho a, b d-ơng a2000 + b2000 = a2001 + b2001 = a2002 + b2002 Tinh: a2011 + b2011 HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP Câu Đáp án a x4 + = x4 + 4x2 + - 4x2 = (x4 + 4x2 + 4) - (2x)2 = (x2 + + 2x)(x2 + - 2x) Điểm ( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) - 24 = (x2 + 7x + 11 - 1)( x2 + 7x + 11 + 1) - 24 = [(x2 + 7x + 11)2 - 1] - 24 = (x2 + 7x + 11)2 - 52 = (x2 + 7x + 6)( x2 + 7x + 16) = (x + 1)(x + 6) )( x2 + 7x + 16) Câu (6 điểm) x  30x  31x  30  x  x   x  5 x  6  b   (*) (2 điểm) (2 điểm) Gia sư Tài Năng Việt Vì x2 - x + = (x  ) + https://giasudaykem.com.vn >0 x (*) (x - 5)(x + 6) = x   x   x   x     a b c   1 c Nhân vế của: b  c c a a b với a + b + c; rút gọn  đpcm   10  x   x Biểu thức: A      :x 2 x2   x  2 x x  2  1 a Rút gọn kq: A  x2 1 1  x  x  b x  2  Câu (6 điểm) 4 A  c A   x  1  Z  x  1;3 d A  Z  x2 A  HV + GT + KL (1.5 điểm) (1.5 điểm) (1.5 điểm) (1.5 điểm) E A (2 điểm) B (1 điểm) F Câu (6 điểm) M AE  FM  DFD  AED  DFC  đpcm b DE, BF, CM ba đường cao EFC  đpcm a Chứng minh: C (2 điểm) (2 điểm) c Có Chu vi hình chữ nhật AEMF = 2a không đổi  ME  MF  a không đổi  SAEMF  ME.MF lớn  ME  MF (AEMF hình vng)  M trung điểm BD (1 điểm) Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn b c 1  a  1 a  a  a c 1 a Từ: a + b + c =    1  b b b  a b 1    c c c  Câu 4: (2 điểm) (1 điểm) 1  a b  a c  b c               a b c  b a  c a  c b   3 2 2 2 Dấu xảy  a = b = c =  b (a2001 + b2001).(a+ b) - (a2000 + b2000).ab = a2002 + b2002  (a+ b) – ab =  (a – 1).(b – 1) =  a = hc b = Víi a = => b2000 = b2001 => b = hc b = (lo¹i) Víi b = => a2000 = a2001 => a = hc a = (lo¹i) VËy a = 1; b = => a2011 + b2011 = (1 điểm) ĐỀ THI SỐ Bài 1: (4 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) (x + y + z) – x3 – y3 – z3 b) x4 + 2010x2 + 2009x + 2010 Bài 2: (2 điểm) Giải phương trình: x  241 x  220 x  195 x  166     10 17 19 21 23 Bài 3: (3 điểm) Tìm x biết: 2  2009  x    2009  x  x  2010    x  2010   2009  x    2009  x  x  2010    x  2010  Bài 4: (3 điểm)  19 49 Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn Tìm giá trị nhỏ biểu thức A  2010x  2680 x2  Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC vuông A, D điểm di động cạnh BC Gọi E, F hình chiếu vng góc điểm D lên AB, AC a) Xác định vị trí điểm D để tứ giác AEDF hình vng b) Xác định vị trí điểm D cho 3AD + 4EF đạt giá trị nhỏ Bài 6: (4 điểm) Trong tam giác ABC, điểm A, E, F tương ứng nằm cạnh BC, CA, AB cho: AFE  BFD, BDF  CDE, CED  AEF a) Chứng minh rằng: BDF  BAC b) Cho AB = 5, BC = 8, CA = Tính độ dài đoạn BD Một lời giải: Bài 1: a) (x + y + z) – x3 – y3 – z3 =  x  y  z   x    y3  z3    =  y  z   x  y  z    x  y  z  x  x    y  z   y  yz  z    =  y  z   3x  3xy  3yz  3zx  =  y  z   x  x  y   z  x  y  =  x  y  y  z  z  x  b) x4 + 2010x2 + 2009x + 2010 =  x  x    2010x  2010x  2010  = x  x  1  x  x  1  2010  x  x  1 =  x  x  1 x  x  2010  Bài 2: x  241 x  220 x  195 x  166     10 17 19 21 23  x  241 x  220 x  195 x  166 1 2 3 40 17 19 21 23 x  258 x  258 x  258 x  258    0 17 19 21 23  1 1   x  258        17 19 21 23   x  258  Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn Bài 3:  2009  x    2009  x  x  2010    x  2010   19 2  2009  x    2009  x  x  2010    x  2010  49 2 ĐKXĐ: x  2009; x  2010 Đặt a = x – 2010 (a  0), ta có hệ thức:  a  1   a  1 a  a  19  a  a   19  a  1   a  1 a  a 49 3a  3a  49  49a  49a  49  57a  57a  19  8a  8a  30   a  2 (thoả ĐK)   2a  1  42    2a  3 2a      a    4023 4015 Suy x = x = (thoả ĐK) 2 4023 4015 Vậy x = x = giá trị cần tìm 2 Bài 4: 2010x  2680 A x2  335x  335  335x  2010x  3015 335(x  3)2 =   335   335 x2  x2  Vậy giá trị nhỏ A – 335 x = – Bài 5: a) Tứ giác AEDF hình chữ nhật (vì E  A  F  90o ) C Để tứ giác AEDF hình vng AD tia phân giác BAC b) Do tứ giác AEDF hình chữ nhật nên AD = EF Suy 3AD + 4EF = 7AD 3AD + 4EF nhỏ  AD nhỏ F  D hình chiếu vng góc A lên BC Bài 6: a) Đặt AFE  BFD  , BDF  CDE  , CED  AEF   D A E B Ta có BAC      1800 (*) Qua D, E, F kẻ đường thẳng vng góc với BC, AC, AB cắt O Suy O giao điểm ba đường phân giác tam giác DEF  OFD  OED  ODF  90o (1) Ta có OFD    OED    ODF    270o (2) Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn (1) & (2)        180o (**) s s s (*) & (**)  BAC    BDF b) Chứng minh tương tự câu a) ta có: B  , C    AEF DBF DEC ABC 5BF 5BF 5BF  BD BA      BD  BD  BD   BF BC    8     7CE 7CE 7CE  CD CA        CD   CD   CD  8  CE CB     AE AB 7AE  5AF 7(7  CE)  5(5  BF) 7CE  5BF  24    AF AC         CD  BD  (3) Ta lại có CD + BD = (4) (3) & (4)  BD = 2,5 ... dương a, b, c có tổng Chứng minh rằng: 1   9 a b c b Cho a, b d-¬ng vµ a2000 + b2000 = a2001 + b2001 = a2002 + b2002 Tinh: a2011 + b2011 HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP Câu Đáp án a x4 +... 195 x  166 1 2 3 40 17 19 21 23 x  2 58 x  2 58 x  2 58 x  2 58    0 17 19 21 23  1 1   x  2 58        17 19 21 23   x  2 58  Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn... a = x – 2010 (a  0), ta có hệ thức:  a  1   a  1 a  a  19  a  a   19  a  1   a  1 a  a 49 3a  3a  49  49a  49a  49  57a  57a  19  8a  8a  30   a  2 (thoả