Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng • Vectơ n ≠ 0 là vectơ pháp tuyến (VTPT) nếu giá của n vuông góc với mặt phẳng ( ) α • Chú ý: Nếu n là một VTPT của mặt phẳng ( ) α thì kn ( 0) k ≠ cũng là một VTPT của mặt phẳng ( ) α . Một mặt phẳng được xác định duy nhất nếu biết một điểm nó đi qua và một VTPT của nó. Nếu u v, có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng ( ) α thì n uv = , là một VTPT của ( ) α . II. Phương trình tổng quát của mặt phẳng Trong không gian Oxyz , mọi mặt phẳng đều có dạng phương trình: Ax By Cz D + + += 0 với 222 ABC ++≠ 0 Nếu mặt phẳng ( ) α có phương trìnhv
TÁN ĐỔ TỐN PLUS CHỦ ĐỀ 28 PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG VIP A TỔNG HỢP LÝ THUYẾT I Vectơ pháp tuyến mặt phẳng • Vectơ n ≠ vectơ pháp tuyến (VTPT) giá n vng góc với mặt phẳng (α ) • Chú ý: Nếu n VTPT mặt phẳng (α ) k n (k ≠ 0) VTPT mặt phẳng (α ) Một mặt phẳng xác định biết điểm qua VTPT Nếu u , v có giá song song nằm mặt phẳng (α ) n = [u , v] VTPT (α ) II Phương trình tổng quát mặt phẳng Trong không gian Oxyz , mặt phẳng có dạng phương trình: Ax + By + Cz + D = với A2 + B + C ≠ Nếu mặt phẳng (α ) có phương trình Ax + By + Cz + D = có VTPT n( A; B; C ) Phương trình mặt phẳng qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) nhận vectơ n( A; B; C ) khác VTPT là: A( x − x0 ) + B( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = • Các trường hợp riêng Xét phương trình mặt phẳng (α ) : Ax + By + Cz + D = với A2 + B + C ≠ Nếu D = mặt phẳng (α ) qua gốc tọa độ O Nếu A = 0, B ≠ 0, C ≠ mặt phẳng (α ) song song chứa trục Ox Nếu A ≠ 0, B = 0, C ≠ mặt phẳng (α ) song song chứa trục Oy Nếu A ≠ 0, B ≠ 0, C = mặt phẳng (α ) song song chứa trục Oz Nếu A= B= 0, C ≠ mặt phẳng (α ) song song trùng với ( Oxy ) Nếu A= C= 0, B ≠ mặt phẳng (α ) song song trùng với ( Oxz ) Tài liệu KYS Nuôi dưỡng ước mơ Nếu B= C= 0, A ≠ mặt phẳng (α ) song song trùng với ( Oyz ) Chú ý: Nếu phương trình (α ) khơng chứa ẩn (α ) song song chứa trục tương ứng x y z Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn (α ) : + + = Ở (α ) cắt trục tọa độ a b c điểm ( a; 0; ) , ( 0; b;0 ) , ( 0;0;c ) với abc ≠ III Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng • Trong không gian Oxyz , cho điểm M (x ; y0 ; z0 ) mặt phẳng ( α ) : Ax + By + Cz + D = Khi khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (α ) tính: d ( M , ( )) IV Góc hai mặt phẳng Trong không gian Oxyz , cho hai | Ax0 By0 Cz0 D | A2 B C mặt phẳng ( β ) : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = Góc ( α ) ( β ) bù với góc hai VTPT cos ( ( α ) ,= nβ (β ) ) cos nα ,= ( ) nα nβ = nα nβ ( α ) : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = nα , nβ Tức là: A1 A2 + B1 B2 + C1C2 A12 + B12 + C12 A22 + B22 + C22 V Một số dạng tập viết phương trình mặt phẳng Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng biết điểm vectơ pháp tuyến Phương pháp giải Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng qua điểm có VTPT Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) song song với mặt phẳng ( β ) : Ax + By + Cz + D = cho trước Phương pháp giải Cách 1: Thực theo bước sau: VTPT ( β ) nβ = ( A; B; C ) (α ) // ( β ) nên VTPT mặt phẳng (α ) n= n= α β ( A; B; C ) Phương trình mặt phẳng (α ) : A ( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = Cách 2: Mặt phẳng (α ) // ( β ) nên phương trình ( P ) có dạng: Ax + By + Cz + D′ = (*), với D′ ≠ D Vì ( P ) qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) nên thay tọa độ M ( x0 ; y0 ; z0 ) vào (*) tìm D′ Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua điểm A , B , C không thẳng hàng Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Phương pháp giải Tìm tọa độ vectơ: AB, AC Vectơ pháp tuyến (α ) : nα = AB, AC Điểm thuộc mặt phẳng: A (hoặc B C ) Viết phương trình mặt phẳng qua điểm có VTPT nα Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua điểm M vng góc với đường thẳng ∆ Phương pháp giải Tìm VTCP ∆ u ∆ Vì (α ) ⊥ ∆ nên (α ) có VTPT nα = u∆ Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng qua điểm có VTPT nα Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng (α ) chứa đường thẳng ∆ , vng góc với mặt phẳng ( β ) Phương pháp giải Tìm VTPT ( β ) nβ Tìm VTCP ∆ u∆ VTPT mặt phẳng (α ) là: nα = nβ ; u∆ Lấy điểm M ∆ Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng qua điểm có VTPT Dạng 6: Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua hai điểm A , B vuông góc với mặt phẳng ( β ) Phương pháp giải Tìm VTPT ( β ) nβ Tìm tọa độ vectơ AB VTPT mặt phẳng (α ) là: nα = nβ , AB Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng qua điểm có VTPT Dạng 7: Viết phương trình mặt phẳng (α ) chứa đường thẳng ∆ song song với ∆′ ( ∆ , ∆′ chéo nhau) Phương pháp giải Tìm VTCP ∆ ∆′ u∆ u∆ ' VTPT mặt phẳng (α ) là: nα = u∆ , u∆′ Lấy điểm M ∆ Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng qua điểm có VTPT Dạng 8: Viết phương trình mặt phẳng (α ) chứa đường thẳng ∆ điểm M Phương pháp giải Tìm VTCP ∆ u∆ , lấy điểm N ∆ Tính tọa độ MN VTPT mặt phẳng (α ) là: nα = u∆ ; MN Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng qua điểm có VTPT Dạng 9: Viết phương trình mặt phẳng (α ) chứa đường thẳng cắt ∆ ∆′ Phương pháp giải Tìm VTCP ∆ ∆′ u∆ u∆ ' Tài liệu KYS Nuôi dưỡng ước mơ VTPT mặt phẳng (α ) là: nα = u∆ ; u∆ ' Lấy điểm M ∆ Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng qua điểm có VTPT Dạng 10: Viết phương trình mặt phẳng (α ) chứa song song ∆ ∆′ Phương pháp giải Tìm VTCP ∆ ∆′ u∆ u∆′ , lấy M ∈ ∆, N ∈ ∆′ VTPT mặt phẳng (α ) là: nα = u∆ ; MN 3.Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng qua điểm có VTPT Dạng 11:Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua điểm M song song với hai đường thẳng ∆ ∆′ chéo cho trước Phương pháp giải Tìm VTCP ∆ ∆ ’ u∆ u∆ ' VTPT mặt phẳng (α ) là: nα = u∆ ; u∆′ 3.Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng qua điểm có VTPT Dạng 12:Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua điểm M vng góc với hai mặt phẳng ( P ) , ( Q ) cho trước Phương pháp giải Tìm VTPT ( P ) ( Q ) nP nQ VTPT mặt phẳng (α ) là: nα = nP ; nQ 3.Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng qua điểm có VTPT Dạng 13: Viết phương trình mặt phẳng (α ) song song với mặt phẳng khoảng ( β ) : Ax + By + Cz + D = (β) cách k cho trước Phương pháp giải Trên mặt phẳng ( β ) chọn điểm M Do ( α ) // ( β ) nên ( α ) có phương trình Ax + By + Cz + D′ = ( D′ ≠ D ) Sử dụng công thức khoảng cách d ( ( α ) , ( β = ) ) d ( M , ( β= ) ) k để tìm D′ Dạng 14: Viết phương trình mặt phẳng (α ) song song với mặt phẳng ( β ) : Ax + By + Cz + D = cho trước cách điểm M khoảng k cho trước Phương pháp giải Do ( α ) // ( β ) nên ( α ) có phương trình Ax + By + Cz + D′ = ( D′ ≠ D ) Sử dụng công thức khoảng cách d ( M , ( α ) ) = k để tìm D′ Dạng 15: Viết phương trình mặt phẳng (α ) tiếp xúc với mặt cầu ( S ) Phương pháp giải Tìm tọa độ tâm I tính bán kính mặt cầu ( S ) Nếu mặt phẳng (α ) tiếp xúc với mặt cầu ( S ) M ∈ ( S ) mặt phẳng (α ) qua điểm M có VTPT MI Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Khi tốn khơng cho tiếp điểm ta phải sử dụng kiện tốn tìm VTPT mặt phẳng viết phương trình mặt phẳng có dạng: Ax + By + Cz + D = ( D chưa biết) Sử dụng điều kiện tiếp xúc: d ( I , (α ) ) = R để tìm D Dạng 16: Viết phương trình mặt phẳng (α ) chứa đường thẳng ∆ tạo với mặt phẳng cho trước góc ϕ ( β ) : Ax + By + Cz + D = cho trước Phương pháp giải Tìm VTPT ( β ) nβ Gọi nα ( A′; B′; C ′) (nα ; nβ ) = ϕ Dùng phương pháp vô định giải hệ: ⇒ nα n ⊥ u α ∆ Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng qua điểm có VTPT VI Các ví dụ Ví dụ Trong khơng gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( P) qua điểm A(1;0; −2) có vectơ pháp tuyến n(1; −1; 2) Lời giải Mặt phẳng ( P) qua điểm A(1;0; −2) có vectơ pháp tuyến n(1; −1; 2) có phương trình là: 1( x − 1) − 1( y − 0) + 2( z + 2) = ⇔ x − y + 2z + = Vậy phương trình mặt phẳng ( P) là: x − y + z + = Ví dụ Trong khơng gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( P) qua điểm M (0;1;3) song song với mặt phẳng (Q) : x − z + = Lời giải Mặt phẳng ( P) song song với mặt phẳng (Q) : x − z + = nên mặt phẳng ( P) có phương trình dạng: x − z + D = ( D ≠ 1) Mặt phẳng ( P) qua điểm M (0;1;3) nên thay tọa độ điểm M vào phương trình mặt phẳng phải thỏa mãn Ta được: 2.0 − 3.3 + D =0 ⇔ D =9 (thỏa mãn D ≠ ) Vậy phương trình mặt phẳng ( P) là: x − z + = Ví dụ Trong khơng gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A(1;0; −2), B (1;1;1), C (0; −1; 2) Lời giải Ta có: AB =(0;1;3), AC =(−1; −1: 4) ⇒ AB, AC = (7; −3;1) Gọi n vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( ABC ) ta có n ⊥ AB nên n phương với AB, AC n ⊥ AC Chọn = n (7; −3;1) ta phương trình mặt phẳng ( ABC ) là: 7( x − 1) − 3( y − 0) + 1( z + 2) = ⇔ 7x − 3y + z − = Tài liệu KYS Nuôi dưỡng ước mơ Ví dụ Trong khơng gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng (α ) qua điểm O vng t x= góc với đường thẳng d : y =−1 + 2t = + t z Lời giải Đường thẳng d có vectơ phương là: ud = (1; 2;1) Mặt phẳng (α ) vng góc với đường thẳng d nên (α ) có vectơ pháp tuyến là: n= u= (1; 2;1) α d Đồng thời (α ) qua điểm O nên có phương trình là: x + y + z = Ví dụ Trong khơng gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng (α ) chứa đường thẳng x −t = d : y =−1 + 2t vng góc với ( β ) : x + y − z + =0 = + t z Lời giải Đường thẳng d qua điểm A ( 0; −1; ) có VTCP là: ud = (−1; 2;1) Mặt phẳng ( β ) có VTPT là= nβ (1; 2; −1) Mặt phẳng (α ) chứa đường thẳng d vng góc với ( β ) nên (α ) có vectơ pháp tuyến là: ud , nβ = nα = −4 (1;0;1) ( −4;0; −4 ) = Phương trình mặt phẳng ( α ) là: x + z − = Ví dụ Trong khơng gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng (α ) qua điểm A(1;2; −2), B (2; −1;4) vuông góc với ( β ) : x − y − z + =0 Lời giải Có AB= (1; −3;6 ) Mặt phẳng ( β ) có VTPT nβ = (1; −2; −1) phẳng (α ) chứa A , B vng góc với ( β ) nên (α ) có vectơ pháp tuyến là: = AB, nβ (15;7;1) Phương trình mặt phẳng ( α ) là: 15 x + z + − 27 =0 Mặt = nα Ví dụ Trong khơng gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( P) chứa đường thẳng x =1 x −1 y z −1 d1 : y = − 2t song song với đường thẳng d : = = 2 z = 1+ t Lời giải Đường thẳng d1 qua điểm M (1;1;1) vectơ phương u1 (0; −2;1) Đường thẳng d qua điểm M (1; 0;1) vectơ phương u2 (1; 2; 2) Ta có u1 , u2 = (−6;1; 2) Gọi n vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( P) , ta có: Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ n ⊥ u1 nên n phương với u1 , u2 n ⊥ u2 Chọn n = (−6;1; 2) Mặt phẳng ( P) qua điểm M (1;1;1) nhận vectơ pháp tuyến n = (−6;1; 2) có phương trình: − 6( x − 1) + 1( y − 1) + 2( z − 1) = ⇔ −6 x + y + z + =0 Thay tọa độ điểm M vào phương trình mặt phẳng ( P) thấy không thỏa mãn Vậy phương trình mặt phẳng ( P) là: −6 x + y + z + = Ví dụ Trong khơng gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng (α ) chứa đường thẳng x =1 d : y = − 2t điểm M (−4;3;2) z = 1+ t Lời giải Đường thẳng d qua điểm N (1;1;1) vectơ phương ud (0; −2;1) MN = ( 5; −2; −1) Mặt = nα phẳng (α ) chứa đường thẳng d điểm M nên (α ) có vectơ pháp tuyến là: = u d , MN ( 4;5;10 ) Phương trình mặt phẳng ( α ) là: x + y + 10 z − 19 = Ví dụ Trong khơng gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( P) chứa đường thẳng x =1 x = + 3t d1 : y = − 2t d : y = − 2t z = 1+ t z = 1+ t Lời giải Đường thẳng d1 qua điểm M (1;1;1) vectơ phương u1 (0; −2;1) Đường thẳng d qua điểm M (1;1;1) vectơ phương u2 (3; −2;1) Ta có u1 , u2 = ( 0;3;6 ) , M 1M = ( 0;0;0 ) Do M 1M u1 , u2 = nên đường thẳng d1 , d cắt Mặt phẳng (α ) chứa đường thẳng d1 , d cắt nên (α ) có vectơ pháp tuyến là: = nα = u1 , u2 (= 0;3;6 ) ( 0;1; ) Phương trình mặt phẳng ( α ) là: y + z − = Ví dụ 10 Trong khơng gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng (α ) chứa đường thẳng x =1 x=4 d1 : y = − 2t d : y= − 4t z = 1+ t z = 1+ t Lời giải Đường thẳng d1 qua điểm M (1;1;1) vectơ phương u1 (0; −2;1) Đường thẳng d qua điểm M ( 4;3;1) vectơ phương u2 ( 0; −4; ) Tài liệu KYS Nuôi dưỡng ước mơ Ta có u1 , u2 = , M 1M = ( 3; 2;0 ) Do u1 , u2 = nên đường thẳng d1 , d song song Mặt phẳng (α ) chứa đường thẳng d1 , d song song nên (α ) có vectơ pháp tuyến là: nα =u1 , M 1M =− ( 2;3;6 ) =− ( 2; −3; −6 ) Phương trình mặt phẳng ( α ) là: x − y − z + = Ví dụ 11 Trong khơng gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( P) qua điểm A(1;0; −2) x =1 x −1 y z −1 ( P) song song với hai đường thẳng d1 : y = − 2t d : = = 2 z = 1+ t Lời giải Đường thẳng d1 qua điểm M (1;1;1) vectơ phương u1 (0; −2;1) Đường thẳng d qua điểm M (1; 0;1) vectơ phương u2 (1; 2; 2) Ta có u1 , u2 = (−6;1; 2) Gọi n vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( P) , ta có: n ⊥ u1 nên n phương với u1 , u2 n ⊥ u2 Chọn n = (−6;1; 2) ta phương trình mặt phẳng ( P) là: − 6( x − 1) + 1( y − 0) + 2( z + 2) = ⇔ −6 x + y + z + 10 =0 Ví dụ 12 : Trong khơng gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( P) qua điểm M(−1; −2; 5) vng góc với hai mặt phẳng (Q) : x + y − z + = ( R) : x − y + z + = Lời giải VTPT (Q) nQ (1; 2; −3) , VTPT ( R) nR (2; −3;1) Ta có nQ , nR =(−7; −7; −7) nên mặt phẳng ( P) nhận n(1;1;1) VTPT ( P) qua điểm M(−1; −2; 5) nên có phương trình là: x + y + z − = Ví dụ 13: Trong khơng gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( P) song song với mặt phẳng (Q) : x + y − z + = cách (Q) khoảng Lời giải Trên mặt phẳng (Q) : x + y − z + = chọn điểm M(−1; 0; 0) Do ( P) song song với mặt phẳng (Q) nên phương trình mặt phẳng (P) có dạng: x + y − 2z + D = với D D 8 | 1 D | 12 22 (2) D 10 Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu toán: x + y − z − = x + y − z + 10 = Ví dụ 14 : Trong khơng gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( P) song song với mặt phẳng (Q) : x + y − z + = ( P) cách điểm M(1; −2;1) khoảng Lời giải Vì d (( P ), (Q)) d ( M , ( P)) | 1 D | Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Do ( P) song song với mặt phẳng (Q) nên phương trình mặt phẳng (P) có dạng: x + y − 2z + D = với D D 4 | 5 D | D 14 12 22 (2) Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu toán: x + y − z − = x + y − z + 14 = Ví dụ 15: Trong khơng gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( P) song song với mặt phẳng Vì d ( M , ( P)) |1 D | (Q) : x + y − z + = tiếp xúc với mặt cầu (S ) : x + y + z2 + x − y − z − = Lời giải Mặt cầu (S ) có tâm I (1; 2;1) bán kính R (1) 22 12 Do ( P) song song với mặt phẳng (Q) nên phương trình mặt phẳng (P) có dạng: với D x + y − 2z + D = Vì ( P) tiếp xúc với mặt cầu (S ) nên d ( I , ( P)) R | 1 D | 12 22 (2) |1 D | D 10 D Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu toán: x + y − z − 10 = x + y − z + = Ví dụ 16 : Trong mặt phẳng Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) đường thẳng d có phương trình ( P ) : x + y − z + = d : x +1 = y + = z − Viết phương trình mặt phẳng ( Q ) chứa đường thẳng d tạo với mặt phẳng ( P ) góc 600 Lời giải Giả sử mặt phẳng (Q) có dạng Ax + By + Cz + D = ( A2 + B + C ≠ ) Chọn hai điểm M ( −1; −1;3) , N (1;0; ) ∈ d C = −2 A − B A ( −1) + B ( −1) + C.3 + D = ⇒ Mặt phẳng ( Q ) chứa d nên M , N ∈ ( Q ) ⇒ D A + 4B = A.1 + B.0 + C.4 + D = Suy mặt phẳng có phương trình Ax + By + ( −2 A − B ) z + A + B =0 có VTPT n= ( A; B; −2 A − B ) Q ( Q ) tạo ⇒ với mặt phẳng ( P) góc 600 A + 2B + A + B A2 + B + (2 A + B) = cos(600 ) = 12 + 22 + (−1) ⇔ A = (4 ± 3) B Cho B = ta A= (4 ± 3) Vậy có phương trình mặt phẳng ( ) 3) x + y + ( −9 − ) z + 32 + 14 (4 − 3) x + y + −9 + z + 32 − 14 =0 (4 + Tài liệu KYS Nuôi dưỡng ước mơ =0 Câu Chọn khẳng định sai BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM A Nếu n vectơ pháp tuyến mặt phẳng (P) k n (k ∈ ) vectơ pháp tuyến mặt phẳng (P) B Một mặt phẳng hoàn toàn xác định biết điểm qua vectơ pháp tuyến C Mọi mặt phẳng khơng gian Oxyz có phương trình dạng: Ax + By + Cz + D = ( A2 + B + C ≠ 0) Câu Câu Câu D Trong không gian Oxyz , phương trình dạng: Ax + By + Cz + D = ( A2 + B + C ≠ 0) phương trình mặt phẳng Chọn khẳng định A Nếu hai vectơ pháp tuyến hai mặt phẳng phương hai mặt phẳng song song B Nếu hai mặt phẳng song song hai vectơ pháp tuyến tương ứng phương C Nếu hai mặt phẳng trùng hai vectơ pháp tuyến tương ứng D Nếu hai vectơ pháp tuyến hai mặt phẳng phương hai mặt phẳng trùng Chọn khẳng định sai A Nếu hai đường thẳng AB, CD song song vectơ AB, CD vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( ABCD) B Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng, vectơ AB, AC vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( ABC ) C Cho hai đường thẳng AB, CD chéo nhau, vectơ AB, CD vectơ pháp tuyến mặt phẳng chứa đường thẳng AB song song với đường thẳng CD D Nếu hai đường thẳng AB, CD cắt vectơ AB, CD vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( ABCD) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng (α ) : Ax + By + Cz + D = Tìm khẳng định sai mệnh đề sau: A A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0, D ≠ (α ) song song với trục Ox B D = (α ) qua gốc tọa độ C A ≠ 0, B = 0, C ≠ 0, D = (α ) song song với mặt phẳng ( Oyz ) D A = 0, B = 0, C ≠ 0, D ≠ (α ) song song với mặt phẳng ( Oxy ) Câu Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho A ( a;0;0 ) , B ( 0; b;0 ) , C ( 0;0; c ) , ( abc ≠ ) Khi phương trình mặt phẳng ( ABC ) là: x y z x y z B + + = 1 + + = b a c a b c x y z x y z C + + = D + + = 1 a c b c b a Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng (α ) : x − z = Tìm khẳng định A Câu mệnh đề sau: A (α ) / /Ox 10 B (α ) / / ( xOz ) Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ C (α ) / /Oy D (α ) ⊃ Oy Câu Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz Mặt phẳng (P) − x + z − =0 có phương trình song Câu song với: A Trục Oy B Trục Oz C Mặt phẳng Oxy D Trục Ox Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng (P) có phương trình x + y − z + = Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là: A n(3; 2;1) B n(−2;3;1) C n(3; 2; −1) D n(3; −2; −1) Câu Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng (P) có phương trình −2 x + y − z − = Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là: A n(4; −4; 2) B n(−2; 2; −3) C n(−4; 4; 2) D n(0;0; −3) Câu 10 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho ba điểm A (1; −2;1) , B ( −1;3;3) , C ( 2; −4; ) Một vectơ pháp tuyến n mặt phẳng ( ABC ) là: = n ( 9; 4; −1) A B n = ( 9; 4;1) = n ( 4;9; −1) C D n = ( −1;9; ) Câu 11 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz Điểm sau thuộc mặt phẳng (P) −2 x + y − = A (−2;1;0) B (−2;1; −5) C (1;7;5) D (−2; 2; −5) Câu 12 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz Phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A(−1; 2;0) nhận n(−1;0; 2) VTPT có phương trình là: A − x + y − =0 B − x + z − =0 C − x + y − =0 D − x + z − =0 Câu 13 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho ba điểm A ( 3; −2; −2 ) , B ( 3; 2;0 ) , C ( 0; 2;1) Phương trình mặt phẳng ( ABC ) là: A x − y + z = B y + z − = C x + y + = D y + z − = Câu 14 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm A(−1;0;1), B(−2;1;1) Phương trình mặt phẳng trung trực đoạn AB là: A x − y − = B x − y + = C x − y + = D − x + y + = Câu 15 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz Mặt phẳng (P) qua điểm A(−1;0;0) , B(0; 2;0) , C (0;0; −2) có phương trình là: A −2 x + y + z − = B −2 x − y − z + = C −2 x + y − z − = D −2 x + y − z + = Câu 16 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho điểm A ( −1; 2;1) hai mặt phẳng Tìm khẳng định đúng? (α ) : x + y − z − =0 ( β ) : x + y − 3z = A Mặt phẳng ( β ) qua điểm A song song với mặt phẳng (α ) ; B Mặt phẳng ( β ) qua điểm A không song song với mặt phẳng (α ) ; C Mặt phẳng ( β ) không qua điểm A không song song với mặt phẳng (α ) ; D Mặt phẳng ( β ) không qua điểm A song song với mặt phẳng (α ) ; Tài liệu KYS Nuôi dưỡng ước mơ 11 Câu 17 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho điểm M ( 2; −1;3) mặt phẳng: , (γ ) : z − = Tìm khẳng định sai , ( β ) : y +1 = (α ) : x − = B ( β ) qua M A (α ) / /Ox C ( γ ) / / ( xOy ) D ( β ) ⊥ ( γ ) Câu 18 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz Phương trình mặt phẳng qua A ( 2;5;1) song song với mặt phẳng ( Oxy ) là: A x + y + z = B x − = C y − = D z − =0 Câu 19 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz Mặt phẳng qua M (1; 4;3) vng góc với trục Oy có phương trình là: A y − = B x − =0 C z − = D x + y + z = Câu 20 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng (α ) : x − y − z − = Khẳng định sau sai? A Mặt phẳng (α ) có vectơ pháp tuyến u ( −6,3, ) B Khoảng cách từ O đến mặt phẳng (α ) C Mặt phẳng (α ) chứa điểm A (1, 2, −3) D Mặt phẳng (α ) cắt ba trục Ox, Oy, Oz Câu 21 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz Biết A, B, C số thực khác , mặt phẳng chứa trục Oz có phương trình là: A Ax + Bz + C = B Ax + By = C By + Az + C = D Ax + By + C = Câu 22 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A(5;1;3), B(1;2;6), C (5;0;4), D(4;0;6) Viết phương trình mặt phẳng qua D song song với mặt phẳng ( ABC ) A x + y + z − 10 = B x + y + z − = C x + y + z − = D x + y + z − 10 = Câu 23 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A(5;1;3), B(1;2;6), C (5;0;4), D(4;0;6) Viết phương trình mặt phẳng chứa AB song song với CD A x + y + z − 18 = B x − y + z + = D x + y + z − = C x − y + z + = Câu 24 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , gọi (P) mặt phẳng chứa trục Ox vng góc với mặt phẳng (Q) : x + y + z − = Phương trình mặt phẳng (P ) là: A y + z = B y − z = C y − z − = D y − z = Câu 25 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz Phương trình mặt phẳng chứa trục Ox qua điểm I ( 2; −3;1) là: A y + z = B x + y = C y − z = D y + z = Câu 26 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho ba điểm A2; 1;1 , B 1;0; 4 C 0; 2; 1 Phương trình mặt phẳng qua A vng góc với đường thẳng BC là: 12 Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ A x y z B x y z C x y z D x y z Câu 27 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (α ) qua A ( 2; −1; ) , B ( 3; 2; −1) vng góc với mặt phẳng ( Q ) : x + y + z − = Phương trình mặt phẳng (α ) là: A x + y − z + = B x + y − z + 21 = C x + y + z − = D x + y − z = Câu 28 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , mặt phẳng (α ) qua M ( 0; −2;3) , song song với x − y +1 đường thẳng d : = = z vng góc với mặt phẳng ( β ) : x + y − z = có phương −3 trình: B x − y + z − = A x − y − z − = 0 C x + y + z + = D x + y + z − = Câu 29 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz Tọa độ giao điểm M mặt phẳng ( P ) : x + y + z − =0 với trục Ox A M ( 0, 0, ) ? B M 0, , C M ( 3, 0, ) D M ( 2, 0, ) Câu 30 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , gọi mặt phẳng qua hình chiếu A5; 4;3 lên trục tọa độ Phương trình mặt phẳng là: B 12 x 15 y 20 z 60 A 12 x 15 y 20 z 60 x y z x y z C D 60 5 Câu 31 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng ( α ) qua hai điểm A5; 2;0 , B 3; 4;1 có vectơ phương a 1;1;1 Phương trình mặt phẳng ( α ) là: B x y A x y 14 z C x y 14 z D 5 x y 14 z Câu 32 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , có mặt phẳng song song với mặt phẳng ( P) : x + y + z − = tiếp xúc với mặt cầu ( S ) : x + y + z = 12 ? A B Khơng có C D Câu 33 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x − y + x − = 0, , ( W ) : x − y + z − 12 = Có ( Q ) − x + y − z + =0 , ( R ) : 3x − y + 12 z − 10 = cặp mặt phẳng song song với A.2 B C.0 D.1 Câu 34 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng (α ) : x + ( m − 1) y + z − = 0, Với giá trị thực m, n để (α ) song song ( β ) ( β ) : nx + ( m + ) y + z + = A m = 3; n = −6 B = m 3;= n C m = −3; n = D m = −3; n = −6 Câu 35 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng ( P ) : x + my + ( m − 1) z + = 0, Giá trị số thực ( Q ) : x − y + 3z − = A m = B m = − Tài liệu KYS Nuôi dưỡng ước mơ m để hai mặt phẳng ( P ) , ( Q ) vng góc C m = D m = 13 Câu 36 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz Cho hai mặt phẳng (α ) : x − y + z − = 0, ( β ) : x − y + z − =0 Khoảng cách hai mặt phẳng (α ) , ( β ) ? 11 B d ( (α ) , ( β ) ) = C d ( (α ) , ( β ) ) = D d ( (α ) , ( β ) ) = 3 Câu 37 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x + y − z + = Gọi mặt phẳng A d ( (α ) , ( β ) ) = (Q ) (Q ) mặt phẳng đối xứng mặt phẳng ( P ) qua trục tung Khi phương trình mặt phẳng ? A x + y − z − =0 B x − y − z + = C x + y + z + = D x − y − z − =0 Câu 38 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x − y + z − = Gọi mặt phẳng ( Q ) mặt phẳng đối xứng mặt phẳng ( P ) qua mặt phẳng (Oxz ) Khi phương trình mặt phẳng ( Q ) ? A ( P ) : x − y − z − = B ( P ) : x − y + z − = C ( P ) : x + y + z − = D ( P ) : x − y + z + = Câu 39 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , mặt phẳng qua điểm A2; 1;5 vng góc với hai mặt phẳng P : x y z Q : x y z Phương trình mặt phẳng là: B x y z 10 A x y z C x y z 10 D x y z Câu 40 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz ,tọa độ điểm M nằm trục Oy cách hai mặt là: phẳng: ( P ) : x + y − z + =0 ( Q ) : x − y + z − = A M ( 0; −3;0 ) B M ( 0;3;0 ) C M ( 0; −2;0 ) D M ( 0;1;0 ) Câu 41 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , gọi (α ) mặt phẳng qua G (1; 2;3) cắt trục Ox, Oy, Oz điểm A, B, C (khác gốc O ) cho G trọng tâm tam giác ABC Khi mặt phẳng (α ) có phương trình: A x + y + z + 18 = B x + y + z − 18 = C x + y + z − = D x + y + z + = Câu 42 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , gọi (α ) mặt phẳng song song với mặt phẳng ( β ) : x − y + z + =0 phẳng (α ) là: cách điểm A ( 2; −3; ) khoảng k = Phương trình mặt A x − y + z − = x − y + z − 13 = B x − y + z − 25 = C x − y + z − = D x − y + z − 25 = x − y + z − = Câu 43 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz ,cho hai đường thẳng d1 , d có phương trình x −1 y − z −1 x −2 y −2 z −3 , d2 : = = Phương trình mặt phẳng (α ) cách hai d1 : = = −1 đường thẳng d1 , d là: 14 Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ A x − y − z = B x − y − z + = C x + y + z + = D 14 x − y − z + = Câu 44 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho A (1;0;0 ) , B ( 0; b;0 ) , C ( 0;0; c ) , ( b > 0, c > ) Xác định b c biết mặt phẳng ( ABC ) vuông góc với mặt phẳng mặt phẳng ( P ) : y − z + = ( P) khoảng cách từ O đến ( ABC ) A b = = ,c 2 B.= b 1,= c C.= b 1 = ,c 2 D = b ,c = Câu 45 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz ,mặt phẳng qua điểm M 5; 4;3 cắt tia Ox, Oy, Oz đoạn có phương trình là: B x y z A x y z 12 C x y z 50 D x y z Câu 46 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , gọi (P ) mặt phẳng chứa trục Oy tạo với mặt phẳng y + z + = góc 600 Phương trình mặt phẳng (P ) là: x − z = A x + z = x − y = B x + y = x − 2z = D x + z = x − z − = C x − z = Câu 47 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hình cầu ( S ) : ( x − 1) + ( y − ) + ( z − 3) = Phương 2 trình mặt phẳng (α ) chứa trục Oz tiếp xúc với ( S ) A (α ) : x − y + = B (α ) : x + y = C (α ) : x − y = D (α ) : x − y = Câu 48 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , tam giác ABC có A (1, 2, −1) , B ( −2,1, ) , C ( 2,3, ) Điểm G trọng tâm tam giác ABC Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( OGB ) ? A 174 29 B 174 29 C 174 29 Câu 49 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hình cầu D 174 29 ( S ) : ( x − 1) + ( y − ) + ( z − 3) 2 = 16 Phương trình mặt phẳng (α ) chứa Oy cắt hình cầu ( S ) theo thiết diện đường tròn có chu vi 8π A (α ) : x − z = B (α ) : x + z = C (α ) : x + z + = D (α ) : x − z = Câu 50 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , gọi (P) mặt phẳng song song với mặt phẳng Oxz cắt mặt cầu ( x − 1) + ( y + 2) + z = 12 theo đường tròn có chu vi lớn Phương trình (P ) là: A x − y + = B y − = C y + = D y + = Câu 51 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm M (1;2;3) Gọi (α ) mặt phẳng chứa trục Oy cách M khoảng lớn Phương trình (α ) là: A x + z = B x + z = Tài liệu KYS Nuôi dưỡng ước mơ C x − z = D x = 15 Câu 52 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : ( x − 1) + ( y − ) + ( z − 3) = 9, 2 điểm A ( 0;0; ) Phương trình mặt phẳng ( P ) qua A cắt mặt cầu ( S ) theo thiết diện hình tròn ( C ) có diện tích nhỏ ? A ( P ) : x + y + z − = B ( P ) : x + y + z − = C ( P ) : x + y + z − = D ( P ) : x − y + z − = Câu 53 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm N (1;1;1) Viết phương trình mặt phẳng ( P ) cắt trục Ox, Oy, Oz A, B, C (không trùng với gốc tọa độ O ) cho N tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC A ( P ) : x + y + z − = B ( P ) : x + y − z + = C ( P ) : x − y − z + =0 D ( P ) : x + y + z − = Câu 54 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( P ) qua hai điểm A(1;1;1) , B ( 0; 2; ) đồng thời cắt tia Ox, Oy hai điểm M , N (không trùng với gốc tọa độ O ) cho OM = 2ON A ( P ) : x + y − z − = B ( P ) : x + y − z − = C ( P ) : x − y − z + = D ( P ) : x + y + z − = Câu 55 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho tứ diện ABCD có đỉnh A (1; 2;1) , B ( −2;1;3) , C ( 2; −1;3) D ( 0;3;1) Phương trình mặt phẳng (α ) qua A, B đồng thời cách C , D z − 15 0; ( P2 ) : x − y − = z + 10 A ( P1 ) : x + y + 7= z − 0; ( P2 ) : x + y + 5= z + 10 B ( P1 ) : x − y + = z − 0; ( P2 ) : x += 3z − C ( P1 ) : x − y += − 20 0; ( P2 ) : x + y + z= − 10 D ( P1 ) : x + y + z= Câu 56 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho ba điểm A ( 2;1;3) ; B ( 3;0; ) ; C ( 0; −2;1) Phương trình mặt phẳng ( P ) qua A, B cách C khoảng lớn ? A ( P ) : x + y + z − 11 = B ( P ) : x + y + z − 13 = C ( P ) : x − y + z − 12 = D ( P ) : x + y − = Câu 57 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng qua điểm M 1; 2;3 cắt trục Ox, Oy, Oz A , B , C ( khác gốc toạ độ O ) cho M trực tâm tam giác ABC Mặt phẳng có phương trình là: x y z B 1 C x y z 10 D x y z 14 Câu 58 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm G (1;4;3) Viết phương trình mặt phẳng cắt A x y z 14 trục Ox, Oy, Oz A, B, C cho G trọng tâm tứ diện OABC ? x y z A + + = 16 12 16 B x y z + + = 16 12 C x y z + + = 12 D x y z + + = 12 Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Câu 59 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm M (1;2;3) Mặt phẳng (P ) qua M cắt tia Ox, Oy, Oz A, B, C cho thể tích khối tứ diện OABC nhỏ có phương trình là: B x + y + z − 18 = A x + y + z = D x + y + z − = C x + y + z − 14 = Câu 60 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng có phương trình ( P) mặt cầu ( S ) : ( x − 1) + ( y + ) + z = Mặt phẳng x + y + z − =0 ( Q ) : x + y − z − = (α ) vuông với mặt phẳng ( P ) , ( Q ) đồng thời tiếp xúc với mặt cầu ( S ) A x + y −= 0; x + y + = B x − y −= 0; x − y + = C x − y + = 0; x − y − = D x − y += 0; x − y −= 0 , điểm Câu 61 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x + y − z + = A (1;0;0 ) , B(−1; 2;0) ( S ) : ( x − 1) + ( y − ) + z = 25 Viết phương trình mặt phẳng (α ) vuông 2 với mặt phẳng ( P ) , song song với đường thẳng AB , đồng thời cắt mặt cầu ( S ) theo đường tròn có bán kính r = 2 A x + y + z + 11= 0; x + y + z − 23= B x − y + z + 11= 0; x − y + z − 23= C x − y + z − 11= 0; x − y + z + 23= D x + y + z − 11= 0; x + y + z + 23= Câu 62 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz ,cho điểm A (1;1; −1) , B (1;1; ) , C ( −1; 2; −2 ) mặt Lập phương trình mặt phẳng (α ) qua A , vng góc với mặt phẳng ( P ) : x − y + z + = phẳng ( P ) cắt đường thẳng BC I cho IB = IC biết tọa độ điểm I số nguyên A (α ) : x − y − z − = B (α ) : x + y − z − = C (α ) : x + y − z − = D (α ) : x + y + z − = ( P ) x + y + z − =0 , A (1;0;1) chứa giao tuyến Câu 63 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho hai mặt phẳng ( Q ) : x + y + z − =0 Lập phương trình mặt phẳng (α ) qua hai mặt phẳng ( P ) , ( Q ) ? 0 A (α ) : x + y + z − = B (α ) : x + y + z − 16 = 0 C (α ) : x + y + z − 17 = D (α ) : x − y + z − = x Câu 64 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz ,cho đường thẳng d1= : x −1 y z +1 Viết phương trình mặt phẳng (α ) vng góc với d1 ,cắt Oz d2 : = = d B ( có tọa nguyên ) cho AB = A (α ) :10 x − y + z + = B (α ) : x − y + z + = C (α ) : x − y + z + = D (α ) : x − y + z + = y −1 z = −1 A cắt Câu 65 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz ,cho tứ diện ABCD có điểm A (1;1;1) , B ( 2;0; ) , C ( −1; −1;0 ) , D ( 0;3; ) Trên cạnh AB, AC , AD lấy điểm B ', C ', D ' thỏa : Tài liệu KYS Nuôi dưỡng ước mơ 17 AB AC AD Viết phương trình mặt phẳng ( B ' C ' D ') biết tứ diện AB ' C ' D ' + + = AB ' AC ' AD ' tích nhỏ ? A 16 x + 40 y − 44 z + 39 = B 16 x + 40 y + 44 z − 39 = 0 D 16 x − 40 y − 44 z − 39 = C 16 x − 40 y − 44 z + 39 = 0 , (Q ) : x − y + 4z − = Lập Câu 66 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz ,cho ( P ) : x + y − z − = phương trình mặt phẳng (α ) chứa giao tuyến ( P ) , ( Q ) cắt trục tọa độ điểm A, B, C cho hình chóp O ABC hình chóp A x + y + z + = A B A C A B x + y + z − = D A C C x + y − z − = D x + y + z − = ĐÁP ÁN 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 A A B D A C C A A D A B 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 B A A B D C A D D A C C B C D A D C A A 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 B D D C A A C A A D A B A C D A A B B D 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 A A B C A B Contact us: SĐT: 099.75.76.756 Admin: fb.com/khactridg Fanpage Tài liệu KYS: fb.com/tailieukys Group Gia đình Kyser: fb.com/groups/giadinhkyser 18 Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ ... viết phương trình mặt phẳng Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng biết điểm vectơ pháp tuyến Phương pháp giải Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng qua điểm có VTPT Dạng 2: Viết phương trình mặt. .. với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x − y + z − = Gọi mặt phẳng ( Q ) mặt phẳng đối xứng mặt phẳng ( P ) qua mặt phẳng (Oxz ) Khi phương trình mặt phẳng ( Q ) ? A ( P ) : x − y... Oxyz , phương trình dạng: Ax + By + Cz + D = ( A2 + B + C ≠ 0) phương trình mặt phẳng Chọn khẳng định A Nếu hai vectơ pháp tuyến hai mặt phẳng phương hai mặt phẳng song song B Nếu hai mặt phẳng