Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu ? A. 2 22 xyz x ++− = 2 0. B. 2 22 x y z xy + − + − += 2 1 0. C. ( ) 2 2 2 2 2 2 x y xy z x + =+ −+ − 2 1. D. ( ) 2 2 x y xy z + = −− 2 1. Hướng dẫn giải: Phương trình mặt cầu (S ) có hai dạng là: (1) ( ) ( ) ( ) 2 22 2 xa yb zc R − +− +− = ; (2) 2 22 x y z ax by cz d + + − − − += 222 0 với 222 abcd + + −> 0 . Từ đây ta có dấu hiệu nhận biết nhanh chóng, hoặc thực hiện phép biến đổi đưa phương trình cho trước về một trong hai dạng trên. Lựa chọn đáp án A. Câu 2. Phương trình nào sau đây không phải
TÁN ĐỔ TỐN PLUS CHỦ ĐỀ 27 PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU Câu VIP HƯỚNG DẪN GIẢI Phương trình sau phương trình mặt cầu ? A x + y + z − x = B x + y − z + x − y + = 0 C x + y = ( x + y ) − z + x − D ( x + y ) = xy − z − 2 Hướng dẫn giải: Phương trình mặt cầu ( S ) có hai dạng là: (1) ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = R2 ; Câu 2 (2) x + y + z − 2ax − 2by − 2cz + d = với a + b + c − d > Từ ta có dấu hiệu nhận biết nhanh chóng, thực phép biến đổi đưa phương trình cho trước hai dạng Lựa chọn đáp án A Phương trình sau khơng phải phương trình mặt cầu ? A x + y + z − x = B x + y = ( x + y ) − z + x − C x + y + z + x − y + = D ( x + y )= xy − z + − x 2 Hướng dẫn giải: Phương trình mặt cầu ( S ) có hai dạng : (1) ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = R2 ; 2 (2) x + y + z − 2ax − 2by − 2cz + d = với a + b + c − d > Từ ta có dấu hiệu nhận biết nhanh chóng, thực phép biến đổi đưa phương trình cho trước hai dạng Ở đáp án B, C, D thỏa mãn điều kiện phương trình mặt cầu Tuy nhiên đáp án A phương trình: x + y = Câu ( x + y) − z + x − ⇔ x + y + z − xy − x + = khơng dạng phương trình mặt cầu Lựa chọn đáp án A Phương trình sau khơng phải phương trình mặt cầu ? A ( x − 1) + ( y − 1) + ( z − 1) = B ( x − 1) + ( y − 1) + ( z − 1) = C ( x − 1) + ( y − 1) + ( z + 1) = D ( x + y ) = xy − z + − x 2 2 2 2 2 Hướng dẫn giải: Phương trình mặt cầu ( S ) có hai dạng là: (1) ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = R2 ; 2 (2) x + y + z − 2ax − 2by − 2cz + d = với a + b + c − d > Từ ta có dấu hiệu nhận biết nhanh chóng, thực phép biến đổi đưa phương trình cho trước hai dạng Phương trình đáp án B, C, D thỏa mãn điều kiện phương trình mặt cầu Ví dụ : Tài liệu KYS Nuôi dưỡng ước mơ 2 1 1 1 C ( x − 1) + ( y − 1) + ( z + 1) =6 ⇔ x − + y − + z + = 2 2 2 2 D ( x + y ) = xy − z + − x ⇔ x + y + z + x − 3= Lựa chọn đáp án A Câu Cho phương trình sau: ( x − 1) + y2 + z2 = 1; x + ( y − 1) + z = 4; 2 16 x2 + y + z + = 0; ( x + 1) + ( y − 1) + z = Số phương trình phương trình mặt cầu là: A B Hướng dẫn giải: C D 2 1 1 Ta có: ( x + 1) + ( y − 1) + z = 16 ⇔ x + + y − + z = 2 2 ( x − 1) 2 + y2 + z2 = phương trình mặt cầu Lựa chọn đáp án A Câu Mặt cầu ( S ) : ( x − 1) + ( y + ) + z = có tâm là: A I (1; −2;0 ) B I ( −1; 2;0 ) C I (1; 2;0 ) D I ( −1; −2;0 ) Hướng dẫn giải: Phương trình mặt cầu ( S ) có dạng ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = R có tâm I ( a; b; c ) , bán kính 2 R Lựa chọn đáp án A Câu có tâm là: Mặt cầu ( S ) : x + y + z − x + y + = B I ( −4;1;0 ) A I ( 8; −2;0 ) D I ( 4; −1;0 ) C I ( −8; 2;0 ) Hướng dẫn giải: Phương trình mặt cầu ( S ) có dạng x + y + z − 2ax − 2by − 2cz + d = với a + b + c − d > , có tâm I ( a; b; c ) , bán kính R= Câu a + b2 + c2 − d Lựa chọn đáp án A có tọa độ tâm bán kính R là: Mặt cầu ( S ) : x + y + z − x + = A I ( 2;0;0 ) , R = B I ( 2;0;0 ) , R = C I ( 0; 2;0 ) , R = D I ( −2;0;0 ) , R = Hướng dẫn giải: Phương trình mặt cầu ( S ) có dạng x + y + z − 2ax − 2by − 2cz + d = với a + b + c − d > , có tâm I ( a; b; c ) , bán kính R= Câu a + b2 + c2 − d Lựa chọn đáp án A Phương trình mặt cầu có tâm I ( −1; 2; −3) , bán kính R = là: A ( x − 1) + ( y + ) + ( z − 3) = B ( x + 1) + ( y − ) + ( z + 3) = C ( x + 1) + ( y − ) + ( z + 3) = D ( x + 1) + ( y − ) + ( z + 3) = 2 2 2 2 2 2 Hướng dẫn giải: Mặt cầu có tâm I ( −1; 2; −3) , bán kính R = có hương trình : ( x + 1) + ( y − ) + ( z + 3) = 2 2 Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Lựa chọn đáp án A Câu Mặt cầu ( S ) : ( x + y )= xy − z + − x có tâm là: B I ( 4;0;0 ) A I ( −2;0;0 ) C I ( −4;0;0 ) D I ( 2;0;0 ) Hướng dẫn giải: Biến đổi ( x + y )= xy − z + − x ⇔ x + y + z + x − = Vậy mặt cầu có tâm I ( −2;0;0 ) Lựa chọn đáp án A Câu 10 Đường kính mặt cầu ( S ) : x + y + ( z − 1) = bằng: A B C Hướng dẫn giải: Mặt cầu ( S ) có bán kính R = suy đường kính có độ dài: R = D 16 Lựa chọn đáp án A Câu 11 Mặt cầu có phương trình sau có tâm I ( −1;1;0 ) ? A x + y + z − x + y = C x + y = ( x + y) B x + y + z + x − y + = − z + x − − xy D ( x + y )= xy − z + − x Hướng dẫn giải: Phương trình mặt cầu ( S ) có dạng x + y + z − 2ax − 2by − 2cz + d = với a + b + c − d > , có tâm I ( a; b; c ) , bán kính R= a + b2 + c2 − d Lựa chọn đáp án A Câu 12 Mặt cầu ( S ) : x + y + z − x + 12 y + = có bán kính bằng: Hướng dẫn giải: A B C 21 Biến đổi x + y + z − x + 12 y + = ⇔ x + y + z − x + y + D 13 = có tâm I (1; −2;0 ) , 13 Lựa chọn đáp án A bán kính R = Câu 13 Gọi I tâm mặt cầu ( S ) : x + y + ( z − ) = Độ dài OI ( O gốc tọa độ) bằng: A Hướng dẫn giải: B Mặt cầu ( S ) có tâm I ( 0;0; ) ⇒ OI = C = ( 0;0; ) ⇒ OI D ` Lựa chọn đáp án A Câu 14 Phương trình mặt cầu có bán kính tâm giao điểm ba trục toạ độ? A x + y + z − z = B x + y + z − y = 0 C x + y + z = D x + y + z − x = Hướng dẫn giải: Mặt cầu tâm O ( 0;0;0 ) bán kính R=3 có phương trình: ( S ) : x + y + z = Lựa chọn đáp án A Tài liệu KYS Nuôi dưỡng ước mơ Câu 15 Mặt cầu ( S ) : x + y + z − x + 10 y + z + = qua điểm có tọa độ sau đây? B ( 3; −2; −4 ) A ( 2;1;9 ) D ( −1;3; −1) C ( 4; −1;0 ) Hướng dẫn giải: Lần lượt thay tọa độ điểm vào phương trình mặt cầu Tọa độ điểm thỏa mãn phương trình điểm thuộc mặt cầu Lựa chọn đáp án A Câu 16 Mặt cầu tâm I ( −1; 2; −3) qua điểm A ( 2;0;0 ) có phương trình: A ( x + 1) + ( y − ) + ( z + 3) = 22 B ( x + 1) + ( y − ) + ( z + 3) = 11 C ( x − 1) + ( y + ) + ( z − 3) = 22 D ( x − 1) + ( y − ) + ( z − 3) = 22 2 2 2 2 2 2 Hướng dẫn giải: Ta có : IA = ( 3; −2;3) ⇒ IA = 22 Vậy ( S ) : ( x + 1) + ( y − ) + ( z + 3) = 22 2 Lựa chọn đáp án A Câu 17 Cho hai điểm A (1;0; −3) B ( 3; 2;1) Phương trình mặt cầu đường kính AB là: A x + y + z − x − y + z = B x + y + z + x − y + z = C x + y + z − x − y + z − = D x + y + z − x − y + z + = Hướng dẫn giải: Ta có AB = ( 2; 2; ) ⇒ AB = Mặt cầu đường kính AB có tâm I trung điểm AB nên I ( 2;1; −1) , bán kính= R AB = Lựa chọn đáp án A Câu 18 Nếu mặt cầu ( S ) qua bốn điểm M ( 2; 2; ) , N ( 4;0; ) , P ( 4; 2;0 ) Q ( 4; 2; ) tâm I ( S ) có toạ độ là: A ( −1; −1;0 ) B ( 3;1;1) C (1;1;1) D (1; 2;1) Hướng dẫn giải: Gọi phương trình mặt cầu (S) : x + y + z − 2ax − 2by − 2cz + d = , ( a + b2 + c2 − d > ) Do M ( 2; 2; ) ∈ ( S ) ⇔ −4a − 4b − 4c + d = −12 (1) N ( 4;0; ) ∈ ( S ) ⇔ −8a − 4c + d = −20 (2) P ( 4; 2;0 ) ∈ ( S ) ⇔ −8a − 4b + d = −20 (3) Q ( 4; 2; ) ∈ ( S ) ⇔ −8a − 4b − 4c + d = −24 (4) Giải hệ (1), (2), (3), (4) ta có a = 1, b = 2, c = 1, d = −8 , suy mặt cầu (S) có tâm I (1; 2;1) Lựa chọn đáp án A Câu 19 Bán kính mặt cầu qua bốn điểm M (1;0;1) , N (1;0;0 ) , P ( 2;1;0 ) Q (1;1;1) bằng: B Hướng dẫn giải: Gọi phương trình mặt cầu A C (S ) có dạng D x + y + z − 2ax − 2by − 2cz + d = với a + b + c − d > Do ( S ) qua bốn điểm M, N, P, Q nên ta có hệ phương trình: Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ a = −2 −2a − 2c + d = −2a + d = b = −1 ⇔ Vậy R = a b d − − + = − −2a − 2b − 2c + d = −3 c = d = 2 2 3 1 1 + + − 2= 2 2 2 Lựa chọn đáp án A Câu 20 Cho mặt cầu ( S ) : x + y + z − = điểm M (1; 2;0 ) , N ( 0;1;0 ) , P (1;1;1) , Q (1; −1; ) Trong bốn điểm đó, có điểm không nằm mặt cầu ( S ) ? A điểm B điểm C điểm D điểm Hướng dẫn giải: Lần lượt thay tọa độ điểm M, N, P, Q vào phương trình mặt cầu ( S ) , ta thấy có tọa độ điểm Q thỏa mãn Lựa chọn đáp án A Câu 21 Mặt cầu ( S ) tâm I ( −1; 2; −3) tiếp xúc với mặt phẳng ( P ) : x + y + z + = có phương trình: 2 A ( x − 1) + ( y + ) + ( z − 3) = 2 C ( x + 1) + ( y − ) + ( z + 3) = Hướng dẫn giải: 2 B ( x + 1) + ( y − ) + ( z + 3) = 16 2 D ( x + 1) + ( y − ) + ( z + 3) = Mặt cầu ( S ) tâm I, tiếp xúc với mặt phẳng ( P ) ⇔ d ( I ; ( P ) ) = R ⇔ R = 2 ⇒ ( S ) : ( x + 1) + ( y − ) + ( z + 3) = Lựa chọn đáp án A Câu 22 Phương trình mặt cầu có tâm I ( 2;1;3) tiếp xúc với mặt phẳng 0? ( P ) : x + y + 2z + = A ( x − ) + ( y − 1) + ( z − 3) = 16 B ( x − ) + ( y − 1) + ( z − 1) = C ( x − ) + ( y − 1) + ( z − 1) = 25 D ( x + ) + ( y + 1) + ( z + 1) = 2 2 2 2 2 2 Hướng dẫn giải: Do mặt cầu S ( I ; R ) tiếp xúc với mặt phẳng ( P ) ⇔ d ( I ; ( P ) ) = R ⇔ R = ⇒ ( S ) : ( x − ) + ( y − 1) + ( z − 3) = 16 2 Lựa chọn đáp án A Câu 23 Mặt cầu ( S ) tâm I ( 3; −3;1) qua A ( 5; −2;1) có phương trình: A ( x − 3) + ( y + 3) + ( z − 1) = B ( x − ) + ( y + ) + ( z − 1) = C ( x − 3) + ( y + 3) + ( z − 1) =5 D ( x − ) + ( y + ) + ( z − 1) =5 2 2 2 2 2 2 Hướng dẫn giải: Bán kính mặt cầu là: R = IA = Tài liệu KYS Nuôi dưỡng ước mơ 22 + 12 + 02 = 5 Vậy phương trình mặt cầu là: ( S ) : ( x − 3) + ( y + 3) + ( z − 1) = 2 Lựa chọn đáp án A Câu 24 Phương trình mặt trình mặt cầu có đường kính AB với A (1;3; ) , B ( 3;5;0 ) là: A ( x − 2) + ( y − 4) + ( z − 1) = B ( x − 2) + ( y − 4) + ( z − 1) = C ( x + 2) + ( y + 4) + ( z + 1) = D ( x + 2) + ( y + 4) + ( z + 1) = Hướng dẫn giải: Trung điểm đoạn thẳng AB I ( 2; 4;1) , AB = 22 + 22 + (−2)= AB = 2 Vậy phương trình mặt cầu là: ( x − 2) + ( y − 4) + ( z − 1) = Mặt cầu đường kính AB có tâm I ( 2; 4;1) , bán kính= R [Phương pháp trắc nghiệm] Ta có: R= AB= 22 + 22 + (−2) 2= ⇔ R= ⇒ Các đáp án B C bị loại Với đáp án D thì: (1 + 2) + (3 + 4) + (2 + 1) = ⇔ 67 = ⇒ A∉(S ) ⇒ Đáp án D bị loại Lựa chọn đáp án A Câu 25 Cho I (1; 2; ) mặt phẳng ( P ) : x + y + z − =0 Mặt cầu tâm I tiếp xúc với mặt phẳng ( P ) , có phương trình là: A ( x − 1) + ( y + ) + ( z − ) = B ( x + 1) + ( y + ) + ( z + ) = C ( x − 1) + ( y − ) + ( z − ) = D ( x − 1) + ( y − ) + ( z − ) = 2 2 2 2 2 2 Hướng dẫn giải: Bán kính mặt cầu : R d= = ( I , (α ) ) 2.1 + 2.2 + − = 22 + 22 + 12 Phương trình mặt cầu là: ( x − 1) + ( y − 2) + ( z − 4) = Lựa chọn đáp án A x y −1 z +1 Câu 26 Cho đường thẳng d= điểm A ( 5; 4; −2 ) Phương trình mặt cầu qua điểm : = −1 A có tâm giao điểm d với mặt phẳng ( Oxy ) là: A ( S ) : ( x − 1) + ( y + ) + z = 64 B ( S ) : ( x + 1) + ( y − 1) + z = C ( S ) : ( x + 1) + ( y + 1) + z = 65 D ( S ) : ( x + 1) + ( y − 1) + ( z + 2) = 65 2 2 2 2 Hướng dẫn giải: Mặt phẳng ( Oxy ) có phương trình z = Tâm I giao điểm d với mặt phẳng ( Oxy ) ⇒ I ∈ d ⇒ I ( t ;1 + 2t ; −1 − t ) I ∈ ( Oxy ) ⇒ −1 − t = ⇒ t = −1 ⇒ I ( −1; −1;0 ) ⇒ IA = ( 6;5; −2 ) Bán kính mặt cầu là: R= IA= 62 + 52 + (−2) = 65 Vậy phương trình mặt cầu ( S ) : ( x + 1) + ( y + 1) + z = 65 2 Lựa chọn đáp án A Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Lưu ý : Để làm học sinh phải nhớ phương trình tổng quát mặt phẳng ( Oxy ) loại đáp án D Câu 27 Cho ba điểm A(6; −2;3) , B(0;1;6) , C (2;0; −1) , D(4;1;0) Khi mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có phương trình là: A x + y + z − x + y − z − = B x + y + z + x − y + z − = C x + y + z − x + y − z − = D x + y + z + x − y + z − = Hướng dẫn giải: Phương trình mặt cầu ( S ) có dạng: x + y + z − Ax − By − 2Cz + D = , ta có : (1) A(6; −2;3) ∈ ( S ) 49 − 12 A + B − 6C + D = B(0;1;6) ∈ ( S ) 37 − B − 12C + D = (2) ⇔ + 2C + D = (3) C (2;0; −1) ∈ ( S ) 5 − A D(4;1;0) ∈ ( S ) 17 − A − B +D= (4) Lấy (1) − ( ) ; ( ) − ( 3) ; ( 3) − ( ) ta hệ: −12 −12 A + B + 6C = A = −32 ⇔ B = −1 4 A − B − 14C = 4 A + B= + 2C 12 = C ⇒D = −3 Vậy phương trình măt cầu là: x + y + z − x + y − z − = Lựa chọn đáp án A Lưu ý : Ở máy tính Casio giúp giải nhanh chóng hệ phương trình bậc ba ấn tạo để tìm hệ số phương trình mặt cầu tổng qt (Ta dùng máy tính cầm tay thay trực tiếp tọa độ điểm vào đáp án tìm đáp án đúng) Câu 28 Cho ba điểm A ( 2;0;1) , B (1;0;0 ) , C (1;1;1) mặt phẳng ( P ) : x + y + z − = Phương trình mặt cầu qua ba điểm A, B, C có tâm thuộc mặt phẳng ( P ) là: A x + y + z − x + z + = B x + y + z − x − y + = C x + y + z − x + y + = D x + y + z − x − z + = Hướng dẫn giải: Phương mặt cầu ( S ) có dạng: x + y + z − Ax − By − 2Cz + D = , ta có : − 2C + D = −5 (1) A(2;0;1) ∈ ( S ) −4 A B(1;0;0) ∈ ( S ) −2 A +D= −1 (2) ⇔ −3 (3) C (1;1;1) ∈ ( S ) −2 A − B − 2C + D = I ∈ ( P) A + B + C = (4) Lấy (1) − ( ) ; ( ) − ( 3) ; kết hợp (4) ta hệ: −4 −2 A − 2C = A = 2 B + 2C = ⇔ B = ⇒ D = A += C B+C = Vậy phương trình mặt cầu : x + y + z − x − z + = Lựa chọn đáp án A Tài liệu KYS Nuôi dưỡng ước mơ Lưu ý : Ở câu nhanh trí sử dụng máy tính cầm tay thay tọa độ tâm mặt cầu đáp án vào phương trình mặt phẳng ( P ) để loại đáp án có tọa độ tâm khơng thuộc mặt phẳng ( P ) Câu 29 Phương trình mặt cầu tâm I (1; −2;3) tiếp xúc với trục Oy là: A ( x − 1) + ( y + ) + ( z − 3) = B ( x − 1) + ( y + ) + ( z − 3) = 16 C ( x − 1) + ( y + ) + ( z − 3) = D ( x − 1) + ( y + ) + ( z − 3) = 10 2 2 2 2 2 2 Hướng dẫn giải: Gọi M hình chiếu I (1; −2;3) lên Oy , ta có M ( 0; −2;0 ) IM =( −1;0; −3) ⇒ R =IM = 10 bán kính mặt cầu cần tìm Vậy phương trình mặt cầu : ( x − 1) + ( y + ) + ( z − 3) = 10 2 Lựa chọn đáp án A x= 1+ t Câu 30 Cho điểm A ( −2; 4;1) , B ( 2;0;3) đường thẳng d : y = + 2t Gọi ( S ) mặt cầu qua z =−2 + t A, B có tâm thuộc đường thẳng d Bán kính mặt cầu ( S ) bằng: A 3 B C.3 Hướng dẫn giải: Tâm I ∈ d ⇒ I (1 + t ;1 + 2t ; −2 + t ) AI = ( + t ; −3 + 2t ; −3 + t ) ; BI = ( −1 + t ;1 + 2t ; −5 + t ) D Vì ( S ) qua A, B nên ta có IA = IB ⇔ IA2 = IB ⇔ ( + t ) + ( −3 + 2t ) + ( −3 + t ) = ( −1 + t ) + (1 + 2t ) + ( −5 + t ) ⇔ 4t = ⇔ t = ⇒ IA = ( 3; −3; −3) 2 Vậy bán kính mặt cầu ( S ) : R= IA= 2 2 32 + ( −3) + ( −3) = 3 2 Lựa chọn đáp án A x +1 y − z + Câu 31 Cho điểm A (1; −2;3) đường thẳng d có phương trình = = Phương trình mặt −1 cầu tâm A , tiếp xúc với d là: A ( x –1) + ( y + ) + ( z – 3) =50 B ( x –1) + ( y + ) + ( z – 3) = C ( x –1) + ( y + ) + ( z – 3) = 50 D ( x + 1) + ( y − ) + ( z + 3) = 50 2 2 Hướng dẫn giải: BA, a = d ( A, d ) = a 2 2 2 + 196 + 100 = Trong B ( −1; 2; −3) ∈ d +1+1 Phương trình mặt cầu tâm A (1; −2;3) , bán kính R = ( S ) : ( x –1) + ( y + ) + ( z – 3) 2 = 50 Lựa chọn đáp án C Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ x −1 Câu 32 Cho đường thẳng d: = y +1 z mặt phẳng ( P ) : x + y − z + = Phương trình mặt = 1 cầu ( S ) có tâm nằm đường thẳng d có bán kính nhỏ tiếp xúc với ( P ) qua điểm A (1; −1;1) là: A ( x + ) + ( y + ) + ( z + 1) = B ( x − ) + y + ( z − 1) = C ( x − 1) + ( y + 1) + z = D ( x − 3) + ( y − 1) + ( z − 1) = 2 2 2 2 2 Hướng dẫn giải: Gọi I tâm (S) I ∈ d ⇒ I (1 + 3t ; −1 + t ; t ) Bán kính R = IA = 11t − 2t + Mặt phẳng ( P ) tiếp xúc với ( S ) nên d ( I= , ( P)) 5t + = R t= ⇒ R= ⇔ 37t − 24t = ⇔ 24 77 t= ⇒ R= 37 37 Vì ( S ) có bán kính nhỏ nên chọn= t 0,= R Suy I (1; −1;0 ) Vậy phương trình mặt cầu (S): ( x − 1) + ( y + 1) + z = 2 Lựa chọn đáp án C Câu 33 Phương trình mặt cầu có tâm I (1; 2;3) tiếp xúc với mặt phẳng ( Oxz ) là: A x + y + z + x + y + z − 10 = B x + y + z − x − y − z + 10 = C x + y + z − x − y + z + 10 = D x + y + z + x + y + z − 10 = Hướng dẫn giải: Gọi M hình chiếu I (1; 2;3) lên mặt phẳng ( Oxz ) , ta có: M (1;0;3) IM = ( 0; −2;0 ) ⇒ R = IM = bán kính mặt cầu cần tìm Vậy phương trình mặt cầu ( x − 1) + ( y − ) + ( z − 3) = 2 Hay x + y + z − x − y − z + 10 = Lựa chọn đáp án B Câu 34 Mặt phẳng ( P ) tiếp xúc với mặt cầu tâm I (1; −3; ) điểm M ( 7; −1;5 ) có phương trình là: A x + y + z + 55 = B x + y + z − 22 = C x + y + z − 55 = D x + y + z + 22 = Hướng dẫn giải: Mặt cầu ( S ) có tâm I (1; −3; ) Vì mặt phẳng ( P ) tiếp xúc với mặt cầu ( S ) điểm M nên mặt phẳng ( P ) qua M ( 7; −1;5 ) có vectơ pháp tuyến= = ( 6; 2;3) n IM Vậy phương trình mặt phẳng ( P ) : x + y + z − 55 = Lựa chọn đáp án C Lưu ý : Vì mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu điểm M ( 7; −1;5 ) nên điểm M thuộc mặt phẳng cần tìm khoảng cách từ tâm I (1; −3; ) đến mặt phẳng cần tìm IM bán kính mặt cầu Từ nhận xét để tìm đáp án ta làm sau: Tài liệu KYS Nuôi dưỡng ước mơ B1: Thay tọa độ M vào đáp án để loại mặt phẳng không chứa M B2: Tính IM d ( I ; ( P ) ) kết luận Câu 35 Cho mặt cầu ( S ) : x + y + z − x − y − z − = mặt phẳng (α ) : x + y − 12 z + 10 = Mặt phẳng tiếp xúc với ( S ) song song với (α ) có phương trình là: A x + y − 12 z + 78 = B x + y − 12 z − 78 = x + y − 12 z + 26 = C x + y − 12 z − 26 = D x + y − 12 z + 78 = x + y − 12 z − 26 = Hướng dẫn giải: Mặt cầu (S) có tâm I (1; 2;3) bán kính R= 12 + 22 + 32 + = Gọi ( β ) mặt phẳng tiếp xúc với ( S ) song song với (α ) Vì ( β ) / /(α ) ⇒ ( β ) : x + y − 12 z + D = (D ≠ 10) 4.1 + 3.2 − 12.3 + D Mặt phẳng ( β ) tiếp xúc với mặt cầu ( S ) ⇔ d ( I , ( β ) ) = R⇔ = 2 + + ( −12 ) D = 78 ( thỏa điều kiện) ⇔ D − 26 = 52 ⇔ D = −26 Vậy phương trình mặt phẳng ( β ) : x + y − 12 z + 78 = ( β ) : x + y − 12 z − 26 = Lựa chọn đáp án D Lưu ý: Nếu hình dung phác họa hình học tốn ta dự đốn có mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu đề Câu 36 Cho mặt cầu ( S ) : ( x − ) + ( y + 1) + z = 14 Mặt cầu ( S ) cắt trục Oz A B ( z A < 0) 2 Phương trình sau phương trình tiếp diện ( S ) B : A x − y − z + = B x − y − z − = C x − y − z − = D x − y + z + = Hướng dẫn giải: Mặt cầu (S) có tâm I ( 2; −1;0 ) Vì A ∈ Oz ⇒ A ( 0;0; z A ) ( z A < 0) A ∈ ( S ) ⇒ ( − ) + ( + 1) + z A = −3 14 ⇒ z A =⇒ zA = 2 Nên mặt cầu ( S ) cắt trục Oz A ( 0;0; −3) B ( 0;0;3) Gọi (α ) tiếp diện mặt cầu ( S ) B Mặt phẳng (α ) qua B ( 0;0;3) có vectơ pháp tuyến n = IB = ( −2;1;3) Vậy phương trình mặt phẳng (α ) : x − y − z + = Lựa chọn đáp án A Câu 37 Cho điềm A ( 3; −2; −2 ) , B ( 3; 2;0 ) , C ( 0; 2;1) D ( −1;1; ) Mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng ( BCD) có phương trình là: A ( x − 3) + ( y + ) + ( z + ) =14 B ( x + 3) + ( y − ) + ( z − ) = 14 C ( x + 3) + ( y − ) + ( z − ) =14 D ( x − 3) + ( y + ) + ( z + ) = 14 2 2 2 2 2 2 Hướng dẫn giải: 10 Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ C ( S ) : ( x − 1) + ( y − ) + ( z − 3) = 2 2 2 19 16 15 D ( S ) : ( x − 1) + ( y − ) + ( z − 3) = ( S ) : x + + y − + z − = 17 17 17 289 Hướng dẫn giải: I ∈ d ⇒ I ( 2t + 1; t + 2; 2t + 3) 2 Mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng ⇔ d ( I ; ( P1 ) ) = d ( I ; ( P2 ) ) t = 8t + = 9t + ⇔ 8t + = 9t + ⇔ ⇔ −18 t = 9 − = − − t t 17 t= ⇒ I (1; 2;3) ; R =⇒ ( S ) : ( x − 1) + ( y − ) + ( z − 3) = 2 2 2 18 19 16 15 19 16 15 t= − ⇒ I − ; ; ; R = ⇒ (S ) : x + + y − + z − = 17 17 17 17 17 289 17 17 17 Lựa chọn đáp án D x +1 y − z Câu 44 Cho điểm A(1;3; 2) , đường thẳng d : = = mặt phẳng ( P) : x − y + z − = −1 −2 Phương trình mặt cầu ( S ) qua A, có tâm thuộc d đồng thời tiếp xúc với ( P) là: A ( S ) : ( x − 1) + ( y − 3) + ( z + ) = 2 2 2 2 83 87 70 13456 B ( S ) : ( x + 1) + ( y + 3) + ( z − 2) = 16 ( S ) : x − + y + + z + = 13 13 13 169 83 87 70 13456 C ( S ) : ( x − 1) + ( y − 3) + ( z + 2) = 16 ( S ) : x + + y − + z − = 13 13 13 169 2 D ( S ) : ( x − 1) + ( y − 3) + ( z + ) = 16 2 Hướng dẫn giải: x =−1 + 2t d có phương trình tham số y= − t z = −2t Gọi I tâm mặt cầu (S), I thuộc d nên I ( −1 + 2t ; − t ; −2t ) Theo đề bài, (S) có bán kính R = IA = d ( I ; ( P )) ⇒ ( − 2t ) + ( t − 1) + ( + 2t ) 2 2 ( −1 + 2t ) − ( − t ) − 2t − = 22 + 22 + 12 t = 4t − 16 2 ⇔ 9t − 2t + = ⇔ ( 9t − 2t + ) =( 4t − 16 ) ⇔ 65t + 110t − 175 =0 ⇔ t = − 35 13 Với t =1 ⇒ I (1;3; −2 ) , R =4 ⇒ ( S ) : ( x − 1) + ( y − 3) + ( z + ) =16 2 35 116 83 87 70 Với t = − ⇒ I − ; ; ; R = 13 13 13 13 13 2 83 87 70 13456 ⇒ (S ) : x + + y − + z − = 13 13 13 169 14 Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Lựa chọn đáp án C Câu 45 Cho mặt phẳng ( P ) : x − y − z + 10 = hai đường thẳng ∆1 : x − y z −1 = =, 1 −1 x−2 y z +3 = = Mặt cầu ( S ) có tâm thuộc ∆1 , tiếp xúc với ∆ mặt phẳng ( P ) , có 1 phương trình: ∆2 : 2 2 2 11 7 81 A ( x − 1) + ( y + 1) + ( z − 2) = x − + y − + z + = 2 2 2 11 7 81 B ( x + 1) + ( y − 1) + ( z + 2) = x + + y + + z − = 2 2 2 2 C ( x − 1) + ( y + 1) + ( z − 2) = D ( x − 1) + ( y + 1) + ( z − 2) = Hướng dẫn giải: x= + t ∆1 : y = ; ∆ qua điểm A(2;0; −3) có vectơ phương a2 = (1;1; 4) t z = 1− t Giả sử I (2 + t ; t ;1 − t ) ∈ ∆1 tâm R bán kính mặt cầu ( S ) Ta có:= I ; ∆2 ) AI (t ; t ; − t ) ⇒ AI , a2 = (5t − 4; − 5t ;0) ⇒ d (= = d ( I , ( P)) AI , a2 5t − = a2 + t − 2t − 2(1 − t ) + 10 t + 10 = 1+ + t= ( S ) tiếp xúc với ∆ ( P ) ⇔ d ( I , ∆ ) = d ( I , ( P)) ⇔ 5t − = t + 10 ⇔ t = −1 2 11 7 81 11 • Với t = ⇒ I ; ; − , R = ⇒ ( S ) : x − + y − + z + = 2 2 2 2 2 2 • Với t = −1 ⇒ I (1; −1; 2), R = ⇒ ( S ) : ( x − 1) + ( y + 1) + ( z − 2) = Lựa chọn đáp án A Câu 46 Cho mặt phẳng ( P ) m−5 ( P ) : x + y + z − m2 + 4= ( P ) tiếp xúc ( S ) là: mặt cầu (S ) có phương trình 0; ( S ) : x + y + z − x + y − 2= z − Giá trị m để A m = −1 m = C m = −1 B m = m = −5 D m = Hướng dẫn giải: (S ) : x2 + y + z − x + y − z − = có tâm I (1; −1;1) bán kính R = ( P ) tiếp xúc ( S ) ⇔ d ( I ; ( P ) ) = R ⇔ 2.1 + 2.(−1) + 1.1 − m + 4m − + +1 2 Tài liệu KYS Nuôi dưỡng ước mơ =3 ⇔ m − 4m + =9 15 m − 4m + =9 ⇔ ⇔ m − 4m − = ⇔ m − 4m + =−9 m =−1 m = Lựa chọn đáp án A mặt phẳng Câu 47 Cho mặt cầu ( S ) : x + y + z − x + y + z − = ( P ) : x + y − 2z + = Phương trình đường thẳng d tiếp xúc với mặt cầu ( S ) A ( 3; −1;1) song song với mặt phẳng ( P ) là: x = + 4t B y =−2 − 6t z =−1 − t x= − 4t A y =−1 + 6t z = 1+ t x= + 4t C y =−1 − 6t z = 1− t x= + 2t D y =−1 + t z = + 2t Hướng dẫn giải: Mặt cầu ( S ) có tâm I (1; −2; −1) ⇒ IA = ( 2;1; ) t= Đường thẳng d tiếp xúc với mặt cầu ( S ) song song với mặt phẳng ( P ) nên t = −1 đường thẳng d có vettơ phương ad = n( P ) , IA = ( 4; −6; −1) x= + 4t Vậy phương trình đường thẳng d : y =−1 − 6t z = 1− t Lựa chọn đáp án A Câu 48 Cho điểm A ( 2;5;1) mặt phẳng ( P) : x + y − z + 24 = , H hình chiếu vng góc A mặt phẳng ( P ) Phương trình mặt cầu ( S ) có diện tích 784π tiếp xúc với mặt phẳng ( P) H, cho điểm A nằm mặt cầu là: A ( x − ) + ( y − ) + ( z + 1) = 196 B ( x + ) + ( y + ) + ( z − 1) = 196 C ( x + 16 ) + ( y + ) + ( z − ) = 196 D ( x − 16 ) + ( y − ) + ( z + ) = 196 2 2 2 2 2 2 Hướng dẫn giải: x= + 6t Gọi d đường thẳng qua A vuông góc với ( P ) Suy d : y= + 3t z = − 2t Vì H hình chiếu vng góc A ( P ) nên H= d ∩ ( P) Vì H ∈ d nên H ( + 6t ;5 + 3t ;1 − 2t ) 0⇔t = −1 Mặt khác, H ∈ ( P) nên ta có: ( + 6t ) + ( + 3t ) − (1 − 2t ) + 24 = Do đó, H ( −4; 2;3) Gọi I , R tâm bán kính mặt cầu Theo giả thiết diện tích mặt cầu 784π , suy 4π R= 784π ⇒ = R 14 Vì mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng ( P ) H nên IH ⊥ ( P) ⇒ I ∈ d Do tọa độ điểm I có dạng I ( + 6t ;5 + 3t ;1 − 2t ) , với t ≠ −1 Theo giả thiết, tọa độ điểm I thỏa mãn: 16 Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ ( + 6t ) + ( + 3t ) − (1 − 2t ) + 24 t = = 14 ( , ( )) 14 = d I P 2 + + (−2) ⇔ ⇔ t = −3 ⇔ t = AI < 14 2 −2 < t < ( 6t ) + ( 3t ) + ( −2t ) < 14 Do đó: I ( 8;8; − 1) Vậy phương trình mặt cầu ( S ) : ( x − ) + ( y − ) + ( z + 1) = 196 2 Lựa chọn đáp án A điểm A ( 0;0; ) , B ( 2;0;0 ) Phương trình mặt cầu Câu 49 Cho mặt phẳng ( P ) : x + y − z + = qua O, A, B tiếp xúc với mặt phẳng ( P ) là: A ( x − 1) + ( y − 1) + ( z − ) = B ( x + 1) + ( y + 1) + ( z + ) = C ( x − 1) + ( y + 1) + ( z − ) = D ( x − 1) + ( y − 1) + ( z + ) = 2 2 2 2 2 2 Hướng dẫn giải: Gọi ( S ) có tâm I ( a; b; c ) bán kính R Phương mặt cầu ( S ) có dạng: x + y + z − 2ax − 2by − 2cz + d = (S) qua điểm O, A, B , ta có hệ phương trình : d = d = d = a = −8c + d = − 16 b = c = c = ⇔ ⇔ ⇔ −4a+d=-4 a =1 2a + b − c + a = c = 2 ( + b − + )= (12 + b + 22 − ) =R d = 5b − 10b + = +1+1 Vậy (S): ( x − 1) + ( y − 1) + ( z − ) = 2 Câu 50 Cho mặt phẳng ( P ) : x + y − z + = điểm A ( 2; −3;0 ) Gọi B điểm thuộc tia Oy cho mặt cầu tâm B , tiếp xúc với mặt phẳng ( P ) có bán kính Tọa độ điểm B là: B ( 0; −4;0 ) A ( 0;1;0 ) C ( 0; 2;0 ) ( 0; −4;0 ) D ( 0; 2;0 ) Hướng dẫn giải Vì B thuộc tia Oy nên B ( 0; b;0 ) (với b > ) Bán kính mặt cầu tâm B , tiếp xúc với (= P ) R d= ( B, ( P ) ) 2b + b+2 = 2b + 2= b Theo giả thiết R = ⇔ = ⇔ 2b + = ⇔ ⇔ 2b + =−6 b =−4 Do b > ⇒ b = Vậy B ( 0; 2;0 ) Lựa chọn đáp án D Câu 51 Cho hai mặt phẳng ( P ) : x + y − z + = 0, (Q) : x − y − z + = Phương trình mặt cầu ( S ) tiếp xúc với mặt phẳng ( P) tại điểm A(1; −1;1 ) và có tâm thuộc mặt phẳng (Q) là: A ( S ) : ( x + 3) + ( y + ) + ( z − 3) = 56 B ( S ) : ( x − 3) + ( y − ) + ( z + 3) = 56 C ( S ) : ( x + 3) + ( y + ) + ( z − 3) = 14 D ( S ) : ( x − 3) + ( y − ) + ( z + 3) = 14 2 2 Tài liệu KYS Nuôi dưỡng ước mơ 2 2 2 2 17 Hướng dẫn giải: x = + 2t Gọi d đường thẳng qua A vng góc với ( P) , ta có : d : y =−1 + 3t z = 1− t Tâm I ∈ d ⇒ I ( + 2t ; −1 + 3t ;1 − t ) I ∈ ( Q ) ⇒ (1 + 2t ) − ( −1 + 3t ) − (1 − t ) + = 0⇔t = −2 ⇒ I ( −3; −7;3) Bán kính mặt cầu R = IA = 14 Phương trình mặt cầu ( S ) : ( x + 3) + ( y + ) + ( z − 3) = 56 2 Lựa chọn đáp án A x =−1 + t Câu 52 Cho điểm I (0;0;3) đường thẳng d : y = 2t Phương trình mặt cầu (S) có tâm I cắt z= + t đường thẳng d hai điểm A, B cho tam giác IAB vuông là: 2 A x + y + ( z − 3) = B x + y + ( z − 3) = 2 C x + y + ( z − 3) = D x + y + ( z − 3) = 3 Hướng dẫn giải: Gọi H ( −1 + t ; 2t ; + t ) ∈ d hình chiếu vng góc I lên đường thẳng d ⇒ IH = ( −1 + t ; 2t ; −1 + t ) Ta có vectơ phương d : ad = (1; 2;1) IH ⊥ d 2 7 ⇒ IH ad = ⇔ −1 + t + 4t − + t = ⇔ −2 + 6t = ⇔ t = ⇒ H − ; ; 3 3 2 2 2 2 2 + + = 3 3 3 Vì tam giác IAB vng I IA = IB = R Suy tam giác IAB vuông cân I , bán kính: ⇒ IH = R = IA = AB cos 45= IH = 2 = 3 Vậy phương trình mặt cầu ( S ) : x + y + ( z − 3) = Lựa chọn đáp án B x+ y z −3 Câu 53 Cho đường thẳng ∆ : = = và mặt cầu (S): x + y + z + x − y − 21 = Số giao −1 −1 điểm ( ∆ ) ( S ) là: A Hướng dẫn giải: IH= B.1 Đường thẳng ( ∆ ) qua M = Mặt cầu ( S ) có tâm= I Ta có = MI ( 3; 2; −6 ) 18 C.0 D.3 ( −2;0;3) có VTCP u =( −1;1; − 1) (1; 2; − 3) bán kính R=9 u , MI =( −4; −9; −5 ) Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ ⇒ d= ( I; ∆) u , MI = u 366 Vì d ( I , ∆ ) < R nên ( ∆ ) cắt mặt cầu ( S ) hai điểm phân biệt Lựa chọn đáp án A x+2 y−2 z +3 mặt cầu (S) : x + y + ( z + ) = Câu 54 Cho đường thẳng d : = = Tọa độ giao điểm ( ∆ ) ( S ) là: A A ( 0;0; ) , B ( −2; 2; −3) B A ( 2;3; ) C A ( −2; 2; −3) D ( ∆ ) (S) không cắt Hướng dẫn giải: Tọa độ giao điểm nghiệm hệ phương trình: x =−2 + 2t y= + 3t ⇒ t = ⇒ A ( −2; 2; −3) z =−3 + 2t x + y + ( z + )2 = Lựa chọn đáp án C x= 1+ t mặt cầu ( S ) : x + y + z − x − y + z − 67 = Câu 55 Cho đường thẳng ( ∆ ) : y = Giao z =−4 + 7t điểm ( ∆ ) ( S ) điểm có tọa độ: A ( ∆ ) (S) không cắt B A (1; 2;5 ) , B ( −2;0; ) C A ( 2; −2;5 ) , B ( 4;0;3) D A (1; 2; −4 ) , B ( 2; 2;3) Hướng dẫn giải: Tọa độ giao điểm nghiệm hệ phương trình: x= 1+ t y = t = ⇒ A (1; 2; −4 ) ⇒ t = ⇒ B ( 2; 2;3) z =−4 + 7t x + y + z − x − y + z − 67 = Lựa chọn đáp án D x −1 y −1 z + Câu 56 Cho điểm I (1;0;0 ) đường thẳng d : = = Phương trình mặt cầu ( S ) có tâm I cắt đường thẳng d hai điểm A, B cho AB = là: A ( x − 1) + y + z = B ( x − 1) + y + z = C ( x + 1) + y + z = D ( x + 1) + y + z = 2 2 Hướng dẫn giải: Đường thẳng ( d ) qua M (1; 1; −2 ) có vectơ phương u = (1; 2;1) u , MI Gọi H hình chiếu I (d) Ta= có: IH d= ( I ; AB ) = u Tài liệu KYS Nuôi dưỡng ước mơ 19 AB ⇒ R = IH + = 2 Vậy phương trình mặt cầu: ( x − 1) + y + z = Lựa chọn đáp án A x +1 y − z − Câu 57 Cho điểm I (1;1; −2 ) đường thẳng d : = = Phương trình mặt cầu ( S ) có tâm I cắt đường thẳng d hai điểm A, B cho AB = là: A ( x − 1) + ( y − 1) + ( z + ) = 27 B ( x + 1) + ( y + 1) + ( z − ) = 27 C ( x − 1) + ( y − 1) + ( z + ) = 24 D ( x − 1) + ( y − 1) + ( z + ) = 54 2 2 2 2 2 2 Hướng dẫn giải: Đường thẳng ( d ) qua M ( −1; 3; ) có vectơ phương u = (1; 2;1) u , MI Gọi H hình chiếu I (d) Ta = có : IH d= 18 ( I ; AB ) = u AB ⇒ R = IH + = 27 Vậy phương trình mặt cầu: ( x − 1) + ( y − 1) + ( z + ) = 27 2 Lựa chọn đáp án A x −1 y −1 z + Câu 58 Cho điểm I (1;0;0 ) đường thẳng d : = = Phương trình mặt cầu ( S ) có tâm I cắt đường thẳng d hai điểm A, B cho tam giác IAB vuông là: A ( x − 1) + y + z = 12 B ( x − 1) + y + z = 10 C ( x + 1) + y + z = D ( x − 1) + y + z = 16 2 2 Hướng dẫn giải: Đường thẳng d qua M (1; 1; −2 ) có vectơ phương u = (1; 2;1) u , MI Gọi H hình chiếu I D Ta = có : IH d= ( I ; AB ) = u AB ⇒ R = IH + = 10 2 Vậy phương trình mặt cầu : ( x − 1) + y + z = 10 Lựa chọn đáp án B x= 1+ t Câu 59 Cho điểm I (1;0;0 ) đường thẳng d : y = + 2t Phương trình mặt cầu ( S ) có tâm I cắt z =−2 + t đường thẳng d hai điểm A, B cho tam giác IAB là: 20 20 2 A ( x + 1) + y + z = B ( x − 1) + y + z = 3 16 2 C ( x − 1) + y + z = D ( x − 1) + y + z = 20 Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Hướng dẫn giải: Đường thẳng ∆ qua = M (1;1; − ) có vectơ phương u = (1; 2;1) Ta có MI = ( 0; −1; ) u , MI = ( 5; −2; −1) u , MI Gọi H hình chiếu I D Ta = có : IH d= ( I ; AB ) = u IH 15 ⇒ R= = 3 20 Vậy phương trình mặt cầu là: ( x − 1) + y + z = Lựa chọn đáp án B x =−1 + t Câu 60 Cho điểm I (1;1; −2 ) đường thẳng d : y= + 2t Phương trình mặt cầu ( S ) có tâm I z= + t Xét tam giác IAB, có IH= R cắt đường thẳng d hai điểm A, B cho tam giác IAB vuông là: A ( x − 1) + ( y − 1) + ( z + ) = B ( x + 1) + ( y + 1) + ( z − ) = C ( x − 1) + ( y − 1) + ( z + ) = D ( x − 1) + ( y − 1) + ( z + ) = 36 2 2 2 2 2 2 Hướng dẫn giải: Đường thẳng d qua M ( −1; 3; ) có vectơ phương u = (1; 2;1) u , MI Gọi H hình chiếu I D Ta = có : IH d= 18 ( I ; AB ) = u AB ⇒ R = IH + = 36 2 Vậy phương trình mặt cầu là: ( x − 1) + ( y − 1) + ( z + ) = 36 2 Lựa chọn đáp án D x +1 y − z − Câu 61 Cho điểm I (1;1; −2 ) đường thẳng d : = = Phương trình mặt cầu ( S ) có tâm I cắt đường thẳng d hai điểm A, B cho tam giác IAB là: A ( x − 1) + ( y − 1) + ( z + ) = 24 B ( x + 1) + ( y + 1) + ( z − ) = 24 C ( x − 1) + ( y − 1) + ( z + ) = 18 D ( x + 1) + ( y + 1) + ( z − ) = 18 2 2 2 2 2 2 Hướng dẫn giải: Đường thẳng d qua M ( −1; 3; ) có vectơ phương u = (1; 2;1) u , MI Gọi H hình chiếu I D Ta = có : IH d= 18 ( I ; AB ) = u ⇒ IH= R IH ⇒ R= = Vậy phương trình mặt cầu : ( x − 1) + ( y − 1) + ( z + ) = 24 2 Lựa chọn đáp án A Tài liệu KYS Nuôi dưỡng ước mơ 21 x +1 y − z − Câu 62 Cho điểm I (1;1; −2 ) đường thẳng d : = = Phương trình mặt cầu ( S ) có tâm I = 30o là: cắt đường thẳng d hai điểm A, B cho IAB A ( x − 1) + ( y − 1) + ( z + ) = 72 B ( x + 1) + ( y + 1) + ( z − ) = 36 C ( x − 1) + ( y − 1) + ( z + ) = 66 D ( x + 1) + ( y + 1) + ( z − ) = 46 2 2 2 2 2 2 Hướng dẫn giải: Đường thẳng d qua M ( −1; 3; ) có vectơ phương u = (1; 2;1) u , MI Gọi H hình chiếu I D Ta= có: IH d= 18 ( I ; AB ) = u ⇒ R = IA = 18 Vậy phương trình mặt cầu là: ( x − 1) + ( y − 1) + ( z + ) = 72 Lựa chọn đáp án A ( ) Câu 63 Phương trình mặt cầu có tâm I 3; 3; −7 tiếp xúc trục tung là: ( ) + ( y + 3) ( ) + ( z + 7) + ( y − ) + ( z + 7) A ( x − 3) + y − + ( z + 7) = 61 B ( x − 3) + y − 2 = 58 C ( x + 3) + ( z − 7) = 58 D ( x − 3) 2 = 12 2 2 Hướng dẫn giải: ( ( ) ) Gọi H hình chiếu I 3; 3; −7 Oy ⇒ H 0; 3;0 ⇒ R = IH = ( Vậy phương trình mặt cầu là: ( x − 3) + y − Lựa chọn đáp án B Câu 64 Phương trình mặt cầu có tâm I ( ) C ( x − ) A x + ( + ( y − 3) + ( z − ) = 90 14 ( ) + ( y − 3) + ( z − ) = D ( x + ) + ( y + 3) + ( z + ) = 90 B x − Hướng dẫn giải: Gọi H hình chiếu I ( ) + ( y + 3) + ( z + ) = 86 + ( z + 7) = 58 5;3;9 tiếp xúc trục hoành là: 2 ) ( ) 5;3;9 Ox ⇒ H ( Vậy phương trình mặt cầu là: x − Lựa chọn đáp án C 58 ) 2 2 2 ) 5;0;0 ⇒ R = IH = 90 + ( y − 3) + ( z − ) = 90 ( ) Câu 65 Phương trình mặt cầu có tâm I − 6; − 3; − tiếp xúc trục Oz là: ( ) + ( y + 3) + (z − C ( x + ) + ( y + ) + ( z − A x + 2 Hướng dẫn giải: 2 ) − 1) 2 ( ( ) + ( y + 3) + (z − D ( x + ) + ( y + ) + ( z − B x + +1 = = 2 ) ) + 1) 2 −1 = = ) ( Gọi H hình chiếu I − 6; − 3; − Oz ⇒ H 0;0; − ⇒ R = IH = ( Vậy phương trình mặt cầu là: x + 22 ) + ( y + 3) + (z − 2 ) 2 +1 = Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Lựa chọn đáp án A Câu 66 Phương trình mặt cầu có tâm I ( 4;6; −1) cắt trục Ox hai điểm A, B cho tam giác IAB vuông là: A ( x − ) + ( y − ) + ( z + 1) = 26 B ( x − ) + ( y − ) + ( z + 1) = 74 C ( x − ) + ( y − ) + ( z + 1) = 34 D ( x − ) + ( y − ) + ( z + 1) = 104 2 2 2 2 2 2 Hướng dẫn giải: Gọi H hình chiếu I ( 4;6; −1) Ox ⇒ H ( 4;0;0 ) ⇒= IH d ( I ; Ox = ) 37 AB ⇒ R = IH + = 37 + 37 = 74 2 Vậy phương trình mặt cầu : ( x − ) + ( y − ) + ( z + 1) = 74 Lựa chọn đáp án B Câu 67 Phương trình mặt cầu có tâm I ( ) 3; − 3;0 cắt trục Oz hai điểm A, B cho tam giác IAB là: ( ) + ( y − 3) + z = C ( x + ) + ( y − ) + z = A x + 2 Hướng dẫn giải: Gọi H hình chiếu I ⇒ IH= R ( ) + ( y + 3) + z = D ( x − ) + ( y + ) + z = B x − 2 2 2 ( 2 2 ) IH d ( I ; Ox = 3; − 3;0 Oz ⇒ H ( 0;0;0 ) ⇒= ) IH ⇒ R= = 2 ( Vậy phương trình mặt cầu : x − ) + ( y + 3) 2 + z2 = Lựa chọn đáp án D Câu 68 Phương trình mặt cầu có tâm I ( 3;6; −4 ) cắt trục Oz hai điểm A, B cho diện tích tam giác IAB là: A ( x − 3) + ( y − ) + ( z + ) = 49 B ( x − 3) + ( y − ) + ( z + ) = 45 C ( x − 3) + ( y − ) + ( z + ) = 36 D ( x − 3) + ( y − ) + ( z + ) = 54 2 2 2 2 2 2 Hướng dẫn giải: Gọi H hình chiếu I ( 3;6; −4 ) Oz ⇒ H ( 0;0; −4 ) ⇒= IH d ( I ; Ox = ) 45 S ∆AIB= S ∆AIB IH AB AB ⇒ AB= = ⇒ R = IH + = 49 IH Vậy phương trình mặt cầu : ( x − 3) + ( y − ) + ( z + ) = 49 2 Lựa chọn đáp án A Câu 69 Mặt cầu (S) có tâm I ( 2;1; −1) cắt trục Ox hai điểm A, B cho tam giác IAB vuông Điểm sau thuộc mặt cầu (S): A ( 2;1;1) B ( 2;1;0 ) C ( 2;0;0 ) D (1;0;0 ) Hướng dẫn giải: Gọi H hình chiếu I ( 2;1; −1) Ox ⇒ H ( 2;0;0 ) ⇒= IH d ( I , Ox = ) Tài liệu KYS Nuôi dưỡng ước mơ 23 AB ⇒ R = IH + = 2 Vậy phương trình mặt cầu : ( x − ) + ( y − 1) + ( z + 1) = 2 ⇒ ( 2;1;1) ∈ ( S ) Lựa chọn đáp án A Câu 70 Gọi (S) mặt cầu có tâm I (1; −3;0 ) cắt trục Ox hai điểm A, B cho tam giác IAB Điểm sau không thuộc mặt cầu (S): ) ( ( A −1; −3; ) ( B 3; −3; 2 ) D ( 2; −1;1) C 3; −3; −2 Hướng dẫn giải: Gọi H hình chiếu I (1; −3;0 ) Ox ⇒ H (1;0;0 ) ⇒= IH d ( I ; Ox = ) ⇒ IH= R IH ⇒ R= = 3 Vậy phương trình mặt cầu là: ( x − 1) + ( y + 3) + z = 12 ⇒ ( 2; −1;1) ∉ ( S ) 2 Lựa chọn đáp án D x − y −1 z −1 Câu 71 Cho điểm I ( −1;0;0 ) đường thẳng d : = = Phương trình mặt cầu ( S ) có tâm I tiếp xúc d là: A ( x + 1) + y + z = B ( x − 1) + y + z = C ( x + 1) + y + z = 10 D ( x − 1) + y + z = 10 2 2 Hướng dẫn giải: Đường thẳng d qua I ( 2;1;1) có vectơ phương : u , MI u = (1; 2;1) ⇒ d ( I ; d ) = = u Phương trình mặt cầu là: ( x + 1) + y + z = Lựa chọn đáp án A x −1 y − z Câu 72 Cho điểm I (1;7;5 ) đường thẳng d : = = Phương trình mặt cầu có tâm I cắt −1 đường thẳng d hai điểm A, B cho tam giác diện tích tam giác IAB 6015 là: A ( x − 1) + ( y − ) + ( z − ) = 2018 B ( x − 1) + ( y − ) + ( z − ) = 2017 C ( x − 1) + ( y − ) + ( z − ) = 2016 D ( x − 1) + ( y − ) + ( z − ) = 2019 2 2 2 2 2 2 Hướng dẫn giải: Gọi H hình chiếu I (1;7;5 ) d ⇒ H ( 0;0; −4 ) ⇒ IH = d ( I ; d= ) S ∆AIB= S ∆AIB IH AB ⇒ AB= = IH AB 8020 ⇒ R = IH + = 2017 Vậy phương trình mặt cầu là: ( x − 1) + ( y − ) + ( z − ) = 2017 2 Lựa chọn đáp án B 24 Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Câu 73 Cho điểm A (1;3;1) B ( 3; 2; ) Mặt cầu qua hai điểm A, B tâm thuộc trục Oz có đường kính là: A 14 B 14 C 10 Hướng dẫn giải: Gọi I ( 0;0; t ) Oz IA = IB ⇒ t = ⇒ I ( 0;0;3) D ⇒ R = IA = 14 ⇒ đường kính là: 14 Lựa chọn đáp án B Câu 74 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (1; 2;1) B ( 0;1;1) Mặt cầu qua hai điểm A, B tâm thuộc trục hồnh có đường kính là: A B C Hướng dẫn giải: Gọi I ( t ;0;0 ) Ox Vì IA = IB ⇒ t = ⇒ I ( 2;0;0 ) D 12 ⇒ R = IA = ⇒ đường kính Lựa chọn đáp án A Câu 75 Cho điểm A ( 2;1; −1) B (1;0;1) Mặt cầu qua hai điểm A, B tâm thuộc trục Oy có đường kính là: A 2 B C Hướng dẫn giải: Gọi I ( 0; t ;0 ) Oy IA = IB ⇒ t = ⇒ I ( 0; 2;0 ) D ⇒ R = IA = ⇒ đường kính Lựa chọn đáp án A x −1 y − z − Câu 76 Cho điểm A ( 0;1;3) B ( 2; 2;1) đường thẳng d : = = Mặt cầu qua −1 −2 hai điểm A, B tâm thuộc đường thẳng d tọa độ tâm là: 13 17 12 4 7 13 3 A ; ; B ; ; C ; ; D ; ; 10 10 3 3 5 5 2 Hướng dẫn giải: 13 17 12 Gọi I (1 + t ; − t ;3 − 2t ) d IA = IB ⇒ t = ⇒ I ; ; 10 10 10 Lựa chọn đáp án A x y −3 z Câu 77 Cho điểm A (1;3;0 ) B ( 2;1;1) đường thẳng d= Mặt cầu S qua hai : = 1 điểm A, B tâm thuộc đường thẳng d tọa độ tâm S là: A ( 4;5; ) B ( 6;6;3) C ( 8;7; ) D ( −4;1; −2 ) Hướng dẫn giải: Gọi I ( 2t ;3 + t ; t ) d IA = IB ⇒ t = ⇒ I ( 8;7; ) Lựa chọn đáp án C x y −2 z −3 Câu 78 Cho điểm A (1;1;3) B ( 2; 2;0 ) đường thẳng d= Mặt cầu S qua : = 1 −1 hai điểm A, B tâm thuộc đường thẳng d tọa độ tâm S là: Tài liệu KYS Nuôi dưỡng ước mơ 25 −11 23 A ; ; 6 6 Hướng dẫn giải: 23 B ; ; 6 6 19 D ; ; 6 6 25 C ; ; 6 6 Gọi I ( t ; − t ;3 + t ) d IA = IB ⇒ t =− 11 −11 23 ⇒I ; ; 6 6 Lựa chọn đáp án A x = t Câu 79 Cho đường thẳng d : y =−1 + 3t Phương trình mặt cầu có đường kính đoạn thẳng vng góc z = chung đường thẳng d trục Ox là: 2 A ( x − 1) + y + ( z − ) = 2 B ( x + 1) + y + ( z + ) = 2 1 1 D x − + y + z − = 3 2 C ( x − 1) + y + z = Hướng dẫn giải: 2 Gọi A ( t ; −1 + 3t ;1) ∈ d ; B ( t ';0;0 ) ∈ Ox ⇒ AB = ( t '− t ;1 − 3t ;= −1) , ud (1;3;0 = ), i 2 AB.ud = 1 1 1 Ta có: R = ⇒ x − + y + z − = ⇒t = t'= 3 2 AB.i = (1;0;0 ) Lựa chọn đáp án C x = t' x = 2t Câu 80 Cho hai đường thẳng d : y = t d ' : y= − t ' Phương trình mặt cầu có đường kính đoạn z = z = thẳng vng góc chung đường thẳng d d’ là: A ( x − ) + ( y − 1) + ( z − ) = B ( x − ) + y + z = C ( x − ) + ( y − 1) + ( z − ) = D ( x + ) + ( y + 1) + z = 2 2 2 2 Hướng dẫn giải: Gọi A ( 2t ; t ; ) ∈ d ; B ( t ';3 − t ';0 ) ∈ d ' ⇒ AB = AB.ud = t = ⇒ A ( 2;1; ) Ta có: ⇒ AB.ud ' = t '= ⇒ B ( 2;1;0 ) ( t '− 2t;3 − t '− t; −4 ) , u= ( 2;1;0 ) , d ud=' (1; −1;0 ) ⇒ I ( 2;1; ) R =2 ⇒ ( x − ) + ( y − 1) + ( z − ) =4 2 Lựa chọn đáp án A x −1 y + z − Câu 81 Cho điểm A ( −2; 4;1) B ( 2;0;3) đường thẳng d : = = Gọi ( S ) mặt −1 −2 cầu qua A, B có tâm thuộc đường thẳng D Bán kính mặt cầu (S) bằng: 1169 Hướng dẫn giải: A B 873 C Gọi I (1 + 2t ; −2 − t ;3 − 2t ) d IA = IB ⇒= t 1169 16 −11 ⇒ IA = D 967 1169 Lựa chọn đáp án A 26 Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ x = + 2t Câu 82 Cho điểm A ( 2; 4; −1) B ( 0; −2;1) đường thẳng d : y= − t Gọi ( S ) mặt cầu z = 1+ t qua A, B có tâm thuộc đường thẳng D Đường kính mặt cầu ( S ) bằng: B 17 A 19 Hướng dẫn giải: C 19 D 17 Gọi I (1 + 2t ; − t ;1 + t ) d IA = IB ⇒ t = ⇒ R = IA = 19 đường kính 19 Lựa chọn đáp án A Câu 83 Mặt cầu tâm I ( 2; 4;6 ) tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy) có phương trình: A ( x − ) + ( y − ) + ( z − ) = 16 B ( x − ) + ( y − ) + ( z − ) = 36 C ( x − ) + ( y − ) + ( z − ) = D ( x − ) + ( y − ) + ( z − ) = 56 2 2 2 2 2 2 Hướng dẫn giải: Mặt cầu tâm I ( 2; 4;6 ) , bán kính R tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy): z = ⇔ R = d ( I ; ( Oxy ) ) ⇔R= 36 = Vậy ( S ) : ( x − ) + ( y − ) + ( z − ) = 2 Lựa chọn đáp án B Câu 84 Mặt cầu tâm I ( 2; 4;6 ) tiếp xúc với mặt phẳng (Oxz) có phương trình: A ( x − ) + ( y − ) + ( z − ) = 16 B ( x − ) + ( y − ) + ( z − ) = C ( x − ) + ( y − ) + ( z − ) = 36 D ( x − ) + ( y − ) + ( z − ) = 56 2 2 2 2 2 2 Hướng dẫn giải: Mặt cầu tâm I ( 2; 4;6 ) , bán kính R tiếp xúc với mặt phẳng (Oxz) : y = ⇔ R = d ( I ; ( Oxz ) ) ⇔R= 16 = Vậy ( S ) : ( x − ) + ( y − ) + ( z − ) = 2 Lựa chọn đáp án A Câu 85 Phương trình mặt cầu tâm I ( 2; 4;6 ) sau tiếp xúc với trục Ox: A ( x − ) + ( y − ) + ( z − ) = 20 B ( x − ) + ( y − ) + ( z − ) = 40 C ( x − ) + ( y − ) + ( z − ) = 52 D ( x − ) + ( y − ) + ( z − ) = 56 2 2 2 2 2 2 Hướng dẫn giải: Mặt cầu tâm I ( 2; 4;6 ) , bán kính R tiếp xúc trục Ox ⇔ R = d ( I ; Ox ) ⇔ R= yI2 + z I2 = 52 Vậy ( S ) : ( x − ) + ( y − ) + ( z − ) = 52 2 Lựa chọn đáp án C Lưu ý : Học sinh hồn tồn sử dụng cơng thức khoảng cách từ điểm đến đường thẳng để giải Câu 86 Mặt cầu tâm I ( 2; 4;6 ) tiếp xúc với trục Oz có phương trình: A ( x − ) + ( y − ) + ( z − ) = 20 B ( x − ) + ( y − ) + ( z − ) = 40 C ( x − ) + ( y − ) + ( z − ) = 52 D ( x − ) + ( y − ) + ( z − ) = 56 2 2 2 2 2 2 Hướng dẫn giải : Tài liệu KYS Nuôi dưỡng ước mơ 27 Mặt cầu tâm I ( 2; 4;6 ) , bán kính R tiếp xúc trục Ox ⇔ R = d ( I ; Oz ) ⇔ R= 20 Vậy ( S ) : ( x − ) + ( y − ) + ( z − ) = 20 xI2 + yI2 = 2 Lựa chọn đáp án A Lưu ý : Học sinh hồn tồn sử dụng công thức khoảng cách từ điểm đến đường thẳng để giải Câu 87 Cho mặt cầu ( S ) : ( x − 1) + ( y − ) + ( z − 3) = Phương trình mặt cầu sau 2 phương trình mặt cầu đối xứng với mặt cầu (S) qua mặt phẳng (Oxy): A ( x + 1) + ( y + ) + ( z + 3) = B ( x + 1) + ( y − ) + ( z + 3) = C ( x − 1) + ( y + ) + ( z + 3) = D ( x − 1) + ( y − ) + ( z + 3) = 2 2 2 2 2 2 Hướng dẫn giải: Mặt cầu ( S ) tâm I (1; 2;3) , bán kính R = Do mặt cầu ( S ') đối xứng với ( S ) qua mặt phẳng (Oxy) nên tâm I' ( S ') đối xứng với I qua (Oxy), bán kính R=' R= Ta có : I ' (1; 2; −3) Vậy ( S ) : ( x − 1) + ( y + ) + ( z − 3) = 2 Lựa chọn đáp án D Lưu ý: Để ý thấy trung điểm II ′ thuộc mặt phẳng ( Oxy ) II ′ ⊥ ( Oxy ) Cả đáp án dễ dàng tìm tọa độ I ′ nên tinh ý ta tiết kiệm thời gian việc tìm đáp án Câu 88 Cho mặt cầu ( S ) : ( x + 1) + ( y − 1) + ( z − ) = Phương trình mặt cầu sau phương 2 trình mặt cầu đối xứng với mặt cầu (S) qua trục Oz: A ( x − 1) + ( y + 1) + ( z − ) = B ( x + 1) + ( y + 1) + ( z − ) = C ( x − 1) + ( y − 1) + ( z − ) = D ( x + 1) + ( y − 1) + ( z + ) = 2 2 2 2 2 2 Hướng dẫn giải: Mặt cầu ( S ) tâm I ( −1;1; ) , bán kính R = Do mặt cầu ( S ') đối xứng với ( S ) qua trục Oz nên tâm I' ( S ') đối xứng với I qua trục Oz, bán kính R=' R= Ta có : I ' (1; −1; ) Vậy ( S ) : ( x − 1) + ( y + 1) + ( z − ) = 2 Lựa chọn đáp án A Lưu ý: Sẽ vất vả nhiều học sinh không nhớ tính chất đối xứng, tọa độ điểm đối xứng qua trục tọa độ Câu 89 Đường tròn giao tuyến ( S ) : ( x − 1) + ( y − ) + ( z − 3) = 16 cắt mặt phẳng (Oxy) có 2 chu vi : A 7π Hướng dẫn giải: B 7π C 7π D 14π Mặt cầu ( S ) tâm I (1; 2;3) , bán kính R = Ta có : d ( I ; ( Oxy= ) ) z= I Gọi r bán kính đường tròn (C) giao tuyến mặt cầu ( S ) mặt phẳng (Oxy), ta suy : r= R − d ( I ; ( Oxy ) ) = Vậy chu vi (C) : 7π Lựa chọn đáp án B 28 Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ ... điểm đến đường thẳng để giải Câu 87 Cho mặt cầu ( S ) : ( x − 1) + ( y − ) + ( z − 3) = Phương trình mặt cầu sau 2 phương trình mặt cầu đối xứng với mặt cầu (S) qua mặt phẳng (Oxy): A ( x +... dẫn giải: Lần lượt thay tọa độ điểm vào phương trình mặt cầu Tọa độ điểm thỏa mãn phương trình điểm thuộc mặt cầu Lựa chọn đáp án A Câu 16 Mặt cầu tâm I ( −1; 2; −3) qua điểm A ( 2;0;0 ) có phương. .. kính mặt cầu là: R = IA = Tài liệu KYS Nuôi dưỡng ước mơ 22 + 12 + 02 = 5 Vậy phương trình mặt cầu là: ( S ) : ( x − 3) + ( y + 3) + ( z − 1) = 2 Lựa chọn đáp án A Câu 24 Phương trình mặt trình