BÀI TIỂU LUẬN CHUYÊN ĐỀ HÌNH SƠ CẤP

Lời nói đầuTrong giảng dạy môn Toán ở trờng PT việc dự kiến các Hoạt động học tập của học sinh trong tiết học là một thành tố không thể thiếu đợc theo quan điểm dạy học ĐMPP.. Chính vì l

Lời nói đầu

Trong giảng dạy môn Toán ở trờng PT việc dự kiến các Hoạt động học tập của học sinh trong tiết học là một thành tố không thể thiếu đợc theo quan điểm dạy học ĐMPP Mỗi HĐ học tập là một tình huống gợi động cơ học tập Một HĐ học tập thờng gồm nhiều HĐ thành phần với mục đích riêng Thực hiện xong các HĐ thành phần thì mục đích chung của cả HĐ cũng đợc thực hiện

Giáo viên cần hình dung cách tổ chức HĐ học tập của học sinh nh thế nào (giao bài tập cho cá nhân hay theo nhóm, giảI quyết bài toán gắn với thực tế hay hớng dẫn học sinh suy lận từng bớc dẫn đến mục tiêu bài toán) Giáo viên phảI suy nghĩ công phu về các khả năng diễn biến các HĐ, dự kiến các giảI pháp điều chỉnh để đảm bảo thời gian

Về mặt kĩ thuật, cần coi trọng việc chuẩn bị các câu hỏi Với mỗi HĐ cần có một số câu hỏi then chốt, xoáy sâu vào trọng tâm, nhằm vào những mục đích nhận thức xác định,

đặc biệt là những phần trọng tâm, trên cơ sở đó khi lên lớp sẽ phát triển thêm những câu hỏi phụ, tuỳ theo diễn biến của đối tợng học sinh Tránh khuynh hớng hình thức dặt câu hỏi quá dễ hoặc quá khó đối với học sinh, câu hỏi phảI có yêu cầu cao về nhận thức

Để tổ chức các HĐ của học sinh đạt đợc theo yêu cầu bài giảng, một bớc quyết

định thành (bại) mục tiêu bài giảng đó là việc xác định động cơ và gợi động cơ cho các HĐ

Do đó giáo viên cần chuẩn bị công phu không những về nội dung bài giảng mà phảI đặt ra các tình huống gợi động cơ và các tình huống giải quyết vấn đề

Chính vì lý do đó, tôI đa ra một số tình huống xác định động cơ và gợi động cơ cho HĐ hình thành đinh lý và một số bài tập trong giảng dạy môn Toán ở tr ờng PT và đó cũng chính là nộ dung của bài tiểu luận này

Ví dụ 1

Xác định động cơ và gợi động cơ cho hoạt động khi dạy định lý cosin trong tam giác

HĐ1: Đặt vấn đề

Trong thực tế khi cần phảI đo khoảng cách giữa hai điểm B và C mà không thể đo trực tiếp

đợc vì giữa hai điểm đó có chớng ngại, nh: một đầm lầy, một cánh rừng,…(Hình 1.1)

Để có thể đo đợc khoảng cách BC trong những trờng

hợp đó, ngời ta thờng chon một điểm A sao cho từ A có

thể nhìn thấy B, C và ta có thể đo đợc các khoảng cách

AB = c, AC = b và góc BAC Làm đợc nh vậy tam giác

ABC hoàn toàn đợc xác định bởi hai cạnh và góc xen

giữa Khi đó khoảng cách AB sẽ đợc tính nh thế nào?

HĐ2: Gợi động cơ giảI quyết bài toán sau

Bài toán 1 Cho tam giác ABC biết AC = b, AB = c và

góc A Tính cạnh a = BC (hình 1.2)

GV Góc A là góc của hai vectơ nào?

HS A là góc của hai vectơ (  AB AC, )

GV Trong các phép tính vectơ phép tính nào liên quan

tới cos( AB AC, )?

HS Phép tính tích vô hớng                            AB AC                              AB AC cos AB AC                             ( , )

GV Có thể biểu diễn BC theo hai vectơ AB và AC nh thế nào?

HS BC AC AB                                           

(1)

GV Từ (1) hãy bình phơng vô hớng để đợc công thức tính a = BC.

HS (1)  (BC) 2  (AC) 2  (AB) 2  2AC AB.

 a2 b2 c2  2 cosbc A

GV Nh vậy chúng ta đã có công thức để tính cạnh cha biết của một tam giác theo hai

cạnh đã biết và cosin của góc xen giữa Ta gọi công thức này là định lý cosin trong tam giác

Định lý Với mọi tam giác ABC, ta có

Hình 1.1

C

B A

A

A

Hình 1.2

2 2 2

2 cos

2 cos

2 cos

GV Đặc biệt Khi tam giác ABC là tam giác vuông, chẳng hạn A = 900, định lý cosin trở thàh định lý quen thuộc nào?

HS Ta có định lý Pitago a2 b2 c2

Do đó ta có thể nói định lý Pitago chỉ là một trờng hợp riêng của định lý cosin

Ví dụ 2:

Xác định động cơ và gợi động cơ cho hoạt động giảI quyết bài toán sau và hình thành bài toán tổng quát

Bài toán 2.1 : Cho ABC vài M là điểm bất kỳ thuộc miền trong tam giác; AM, BM, CM lần lợt cắt BC, CA, AB tại A’, B’, C’

Chứng minh rằng: MA MB MC 1

   (1)

HĐ1: Gợi động giảI quyết bài toán 2.1

HĐTP1 Phân tích bài toán, xét các trờng hợp riêng

GV Hãy xét bài toán trên với đoạn thẳng AB (hình 2.1)

HS Khi đó M là điểm bất kỳ trên đoạn AB và ta có: B  A’ , B’

 A, C’  M

GV Hãy kiểm tra đẳng thức (1) có đúng không?

HS Ta có:

1

GV Điều này chứng tỏ bài toán trên vẫn đúng khi ABC chỉ là đoạn thẳng

HĐTP2 Gợi động cơ hình thành lời giảI bài toán 2.1

GV Bài toán đã cho thuộc dạng nào?

HS Chứng minh đẳng thức hình học.

GV Ta có thể sử dụng phơng pháp nào?

HS Ta có thể sử dụng một trong các PP sau:

Biến đổi vế này thành vế kia, biến đổi tơng đơng, xuát phát từ một đẳng thức đúng biến

đổi tơng đơng với đẳng thức cần chứng minh…

M

B A

Hình 2.1

K H A'

M

C B

A

Hình 2.2

GV Hãy xuất phát từ đẳng thức đúng chứng minh bài toán?

HS Ta có: MBC

ABC

S





Hoàn toàn tơng tự, ta có: MAC ; MAB

ABC ABC

Do đó VT(1) = MA MB MC

ABC

S

MAC MAB ABC ABC

HĐTP3: Gợi động cơ hình thành bài toán tổng quát.

GV Ta có tam giác, tứ diện lần lợt là các đơn hình trong mặt phẳng và trong không gian,

do đó ta có bài toán tơng tự trong không gian

Bài toán tổng quát Bài toán 2.2: Cho tứ diện ABCD và M là điểm bất kỳ thuộc miền trong của tứ diện Gọi A’,

B’, C’, D’, lần lợt là giao điểm của AM, BM, CM, DM với các mặt phẳng (BCD), (ACD),

(ABD), (ABC)

Chứng minh rằng: MA MB MC MD 1

    (2)

HĐTP4: Gợi động cơ giảI quyết bài toán tổng quát.

Gọi K, H lần lợt là hình chiếu của M, A trên

mp(BCD) Hoàn toàn tơng tự ta có:

;

;

MBCD MACD ABCD ABCD

MABC MBAD

ABCD ABCD

V V

Do đó:

= MBCD MACD MBAD MABC 1

ABCD ABCD ABCD ABCD

Nh vậy bài toán đợc giảI quyết

Ví dụ 3

K H A'

M

D

C B

A

Hình 2.3

K H A'

M

D

C B

A

Hình 2.3 C

Xác định động cơ và gợi động cơ cho hoạt động giảI quyết bài toán sau và hình thành bài toán tổng quát

Bài toán 3.1: Cho tam giác ABC và M là một điểm bất kì thuộc miền trong tam giác.

Đặt SA = SMBC, SB = SMAC, SC = SMAB

Chứng minh rằng: S MA S MB S MC A  B  C  0

HĐ1: Gợi động giảI quyết bài toán 3.1

HĐTP1: Định hớng phân tích, xét các trờng hợp riêng của bài toán.

* Khi tam giác ABC là đoạn thẳng AB, lúc đó

M là điểm bất kỳ thuộc đoạn AB

* Khi đó SÂ = MB, SB = MA và ta có:

.

MA

MB



ĐPCM

Nh vậy khi tam giác ABC là đoạn thẳng AB thì bài toán 3.1 vẫn đúng

HĐTP2 Gợi động cơ giảI quyết bài toán 3.1 (hình 3.2 )

* Dựng hình bình hành ANMP

* Gọi H, K lần lợt là hình chiếu của A, B lên

đ-ờng thảng MC

GV Hãy biểu diến vectơ MA qua hai vectơ

MB và MC

HS Ta có:

MA MN MP x MB y MC   

(*) Trong đó:

MBC A

x

Hoàn toàn tơng tự ta có: C

A

S y S



Thay x và y vào (*) ta đợc:

S S

 ĐPCM

Vậy bài toán 3.1 đợc chứng minh

HĐTP3 Khai thác các trờng hợp riêng.

GV Từ bài toán 3.1 ta có lớp các bài toán tơng tự, cụ thể nh sau:

Bài toán 3.1.1: Khi M  G (trọng tâm tam giác ABC) Khi đó 1

3

A B C ABC

Và do đó ta có: GA GB GC   0

   

Bài toán 3.1.2: Khi M  O, tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Ta có:

* (tanB tan ).C OA (tanC tan ).A OB (tanA tan ).C OC 0

B M

A

Hình 3.1

H

K

N P

M

C B

A

Hình 3.2

* sin 2 A OA              sin 2 B OB sin C OC                            2               0

Bài toán 3.1.3: Khi M  I, tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ABC

Ta có:

* sin A IA               sin B IB               sin              C IC               0

* BC IA AC IB AB IC    0

Bài toán 3.1.3: Khi M  H, trực tâm tam giác ABC

Ta có:

* tan A HAtan B HBtan C HC0

Nh vậy từ bài toán 3.1 ta có một lớp các bài toán tơng tự

Việc chứng minh các bài toán trên là hoàn toàn tơng tự nh bài toán 3.1

GV Hãy xét khi M thuộc miền ngoài tram giác ABC?

HS

* Dựng hình bình hành APMN (hình 3.3)

Gọi K, H lần lợt là hình chiếu A, B trên MC

Ta có:

MA xMB yMC 

(2) Trong đó:

B A

S

x

Hoàn toàn tơng tự ta có: C

A

S y S



Thay x và y vào (2) ta có:

S MA S MB S MC

(3)

Nh vậy khi M thuộc miền ngoài tam giác ABC ta có đẳng

thức (3)

Tóm lại ta có thể phát biểu bài toán tổng quát nh sau:

Bài toán 3.1’: Cho tam giác ABC và M là điểm bất kỳ trong mặt phảng (M A B C, , và

không nằm trên các đờng thẳng chứa các cạnh tam giác)

Ký hiệu: S A S MBC,S B S MAC,S C S MAB

Sng M( A)



Sng M( B)



Sng M( C)



Chứng minh rằng: Sng M( A) .S MA Sng M S MB Sng M S MC A  ( B) B  ( C) C  0

HĐ2 Gợi động cơ hình thành bài toán tổng quát trong không gian.

GV Ta có tam giác, tứ diện lần lợt là các đơn hình trong mặt phẳng và trong không gian,

do đó ta có bài toán tơng tự trong không gian

K

H

N

C

M

B P

A

Hình 3.3

-1 nếu M thuộc miền ngoài tam giác ABC và thuộc miền trong góc BAC

1 các trờng hợp còn lại -1 nếu M thuộc miền ngoài tam giác ABC và thuộc miền trong góc ABC

1 các trờng hợp còn lại -1 nếu M thuộc miền ngoài tam giác ABC và thuộc miền trong góc ACB

1 các trờng hợp còn lại

Bài toán tổng quát Bài toán 3.2: Cho tứ diện ABCD và M là điểm bất kỳ trong không gian (MA, B, C, D và không thuộc các mặt của tứ diiện)

Ký hiệu: V A V MBCD,V B V MACD,V C V MABD,V D V MABC

Sng M 



Sng M 



Sng M 



Sng M 



Chứng minh rằng:

Sng M V MA Sng M V MB Sng M V MC Sng M   V MD

(3.2)

GV: Gợi động cơ giảI quyết bài toán 3.2.

HĐTP1: Xét khi M thuộc miền trong của khối tứ diện.

Khi đó đẳng thức cần chứng minh (3.2) trở thành đẳng thức sau:

V MA V MB V MC V MD   

(3.2.1)

GV Hoàn toàn tơng tự nh trong mặt phẳng ta dựng hình hộp APTS.EQMR (hình 3.2.1)

Gọi H, K lần lợt là hình chiếu của A, B lên mặt phẳng (MCD)

GV Hãy biểu diễn vectơ MA

qua các vectơ MB MC MD  , ,

HS Ta có:

MA MR MT MQ x MB y MC z MD     

(*)

A

V

x

Hoàn toàn tơng tự ta có: C , D

Thay x, y, z vào (*) ta đợc: B. C. D.

V

V MA V MB V MC V MD

Nh vậy trong trờng hợp M thuộc miền trong khối tứ diện thì bài toán đợc chứng minh

7

-1 nếu M thuộc miền ngoài của khối tứ diện và thuộc miền trong của phần không gian giới hạn bởi ba mặt phẳng (ABC), (ABD), (ACD)

1 các trờng hợp còn lại của điểm M

-1 nếu M thuộc miền ngoài của khối tứ diện và thuộc miền trong của phần không gian giới hạn bởi ba mặt phẳng (BAC), (BAD), (BCD)

1 các trờng hợp còn lại của điểm M

-1 nếu M thuộc miền ngoài của khối tứ diện và thuộc miền trong của phần không gian giới hạn bởi ba mặt phẳng (CAB), (CBD), (CAD)

1 các trờng hợp còn lại của điểm M

-1 nếu M thuộc miền ngoài của khối tứ diện và thuộc miền trong của phần không gian giới hạn bởi ba mặt phẳng (DAC), (DAB), (DBC)

1 các trờng hợp còn lại của điểm M

K

H

T

S

R Q

P

D

C B

A

M

E

HĐTP2: Khi M thuộc miền ngoài khối tứ diện làm tơng tự nh bài toán trong mặt phẳng.

Nh vậy bài toán 3.2 đợc chứng minh

………Hết………