TÓM TẮT CHƯƠNG TRÌNH TOÁN 12 THI THPT QUỐC GIA 2017
I) Hàm s ố (11 câu)
1 Hàm số đồng biến, nghịch biến:
• Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng ( )a b; khi 'y ≥ ∀∈0 ( )a b;
• Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng ( )a b; khi 'y ≤ ∀∈0 ( )a b;
2 Cực trị hàm số
a) Hàm số y = f(x) đạt cực đại tại x=x0 ( )
( )
0 0
khi
f x
f x
=
<
Hàm số y = f(x) đạt cực tiểu tại x=x0 ( )
( )00
khi
f x
f x
=
y= +bx +cx+d a≠
Có cực trị (CĐ, CT) 2
'
y b ac
y= +bx +c a≠
• Có 3 điểm cực trị ⇔ y'=0 có 3 nghiệm phân biệt ⇔a b <0(a≠0)
• Có 1 điểm cực trị ⇔a b ≥0(a≠0)
4 GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên [a;b]
+ Tìm nghiệm phương trình f '( )x = ∀ ∈0 x ( )a b; giả sử có các nghiệm là x x1, 2
+ Tính f(a), f(b), f x( ) ( )1 , f x2 …
+ Kết luận: GTLN (GTNN) của hàm số là GTLN (GTNN) của các số ở dãy trên
5 Tiệm cận của đồ thị hàm số y = f(x)
• Đồ thị hàm số y = f(x) có tiệm cận đứng là x=a nếu lim ( )
x a f x
• Đồ thị hàm số y = f(x) có tiệm ngang là y=b nếu lim ( )
x f x b
6 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:
• Tập xác định
• Sự biến thiên của hàm số
+ Giới hạn và tiệm cận (nếu có)
+ Đạo hàm y’, giải PT y’=0
+ Bảng biến thiên
+ Cực trị
+ Tính đồng biến, nghịch biến
• Vẽ đồ thị
Trang 2+ Giao với Ox, Oy (nếu có)
+ Chọn các điểm mà đồ thị đi qua (Bảng giá trị)
Các dạng đồ thị hàm số bậc 3: y = ax 3
+ bx 2 + cx + d (a ≠ 0)
Dấu của a
Pt y’ = 0 có hai
nghiệm phân
biệt
Pt y’ = 0 có
nghiệm kép
Pt y’ = 0 vô
nghiệm
2
-2
O
2
-2
2
2
2
4
2
Trang 3Các dạng đồ thị hàm số trùng phương: y = ax4
+ bx 2 + c (a ≠ 0)
Dấu a
Pt y’ = 0 có
ba nghiệm
phân biệt
Pt y’ = 0 có
một nghiệm
Các dạng đồ thị hàm số: y = ( ≠ 0 , − ≠ 0 )
+
+
bc ad c
d cx
b ax
7 Tiếp tuyến của đồ thị
a, PTTT tại điểm M0(x y0; 0) của đồ thị y= f x( ) có dạng: y= f '( )(x0 x−x0)+y0, với
( )
y = f x
-2
2
2
-2
4
2
4
2
-2
Trang 4b, TT { } ( )0
1
a
−
⊥ = ⇒ = , TT / /{y=ax+b}⇒ f '( )x0 =a
II Mũ – Logarit (10 câu)
1 Công thức mũ-logarit:
a + =a a (2)
x
x y y
a a a
x x
x
=
a =a
(9) loga x = ⇔ = b x ab (10) loga x+loga y=loga x y
(11) loga x loga y loga x
y
1 (12) logaα x loga x
α
=
(13) loga xα =αloga x (14) loga x.logx y =loga y
log
log
a
b
b
a
2.Đạo hàm của hàm số mũ – logarit
( )a x ' =a xlna⇒( )a u ' =a uln 'a u
( )e x ' =e x⇒( )e u ' =e u u '
( ) 1 ( ) 1 ( ( ) ) '( ) ( )
u
3.Đồ thị hàm số mũ
Khảo sát hàm số x
y=a
• Tập xác định hàm số D=
• Đạo hàm: = ⇒ >< ⇒⇒
y' a ln a
y' 0 nÕu 0 < a < 1 hµm sè gi¶m
(7)
> ⇔ < < <
Kí hiệu: loge x=ln , logx 10x=logx
Quy ước: loga a=1; log 1 0a =
8) Điều kiện của loga x là 0
x a
>
< ≠
Điều kiện của loga x là 0
x a
>
< ≠
Trang 5• Giới hạn: →−∞ =
+∞
0 nÕu a >1 lim
nÕu 0 < a <1
x
→+∞
+∞
=
nÕu a >1 lim
0 nÕu 0 < a <1
x
x a
⇒ = 0y là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
• Bảng biến thiên
• Giá trị đặc biệt: Cho x= ⇒ = 0 y 1; cho x= ⇒ = 1 y a
• Đồ thị
y=a tăng khi a> 1, giảm khi 0 < <a 1 Hàm số x
4.Đồ thị hàm số logarit
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y=loga x
• Tập xác định D=(0;+∞)
• Đạo hàm = ⇒ ><
y' 0 nÕu a>1 1
y'
x ln a y' 0 nÕu 0<a<1
• Giới hạn
→
−∞
= +∞
0
nÕu a>1 lim log
nÕu 0<a<1
a
→+∞
+∞
= −∞
nÕu a>1 lim log
nÕu 0<a<1
a
• Bảng biến thiên
Trang 6
• Điểm đặc biệt Cho x a= ⇒ = 1y , cho x= ⇒ = 1 y 0
• vẽ đồ thị
5 Phương trình mũ, phương trình logarit
a) Phương trình mũ:
f x g x f x g x
a
=
< ≠
• a f x( ) = ⇔b f x( )=loga b
A a +B a b +Cb = (lũy thừa x xuất hiện tất cả các số hạng
Chia 2 vế cho 2 x
b (b lớn nhất) 2
0
x a
b
A a +B a + =C , đặt t=a x,t>0
b) Phương trình logarit
Trang 7
• ( ) ( )
( )
0
b
f x
f x a
( ) ( ) ( ) ( )
0
f x
f x g x
(Chọn điều kiện đơn giản hơn)
A f x +B f x + =C , (Đk: f(x) >0)
Đặt t =loga f x( ) ta được phương trình 2
0
At +Bt+ =C
3) Bất phương trình mũ, logarit
Các dạng tương tự như phương trình mũ, logarit, chỉ cần ghi nhớ công thức (7) và (17) ở trên
III) Nguyên hàm -Tích phân- ứng dụng (7 câu)
1) Bảng đạo hàm, nguyên hàm các hàm số cơ bản
dx= +x C
∫
1
1
x
α
α
α
+
+
∫
ln
dx
x C
∫
e dx=e +C
∫
( )x ' 1=
xα+ = α+ xα
( ) 1
ln x '
x
= ( )e x '=e x
s inxdx= −c x Cos +
∫
cosxdx= sinx C+
∫
cos
dx
C
∫
2 =-cotx
sin
dx
C
∫
(cosx)'= −s inx
(sinx)'=cos x
tan '
cos
x
x
=
cot '
sin
x
x
= −
1
ln ax
dx
b C
ax b= a + +
+
∫
1
ax b ax b
a
kf x dx=k f x dx
f x ±g x dx= f x dx± g x dx
2) Tích phân
Trang 8• b ( ) ( ) b ( ) ( )
a a
f x =F x =F b −F a
∫
f x dx= − f x dx
f x dx= f x dx+ f x dx a< <c b
• Phương pháp đổi biến: ( ) '
b
a
f u u du
∫
Đặt t=u(x)
• Phương pháp tích phân từng phần
b a
udv=uv − vdu
Cách đặt: “trong mọi tích phân từng phần đều đặt u = hàm đa thức, nếu xuất hiện lnx thì đặt u=lnx
3) Ứng dụng:
* Gọi S H là diện tích hình H ={y= f x( ),y=g x( ),x=a x, =b}
Khi đó H b ( ) ( )
a
S =∫ f x −g x dx
* Gọi VOx là thể tích được tạo bởi khi quay H ={y= f x( ),y=0,x=a x, =b}quanh trục Ox
2
Ox
b
a
V =π∫y dx với y= f x( )
* Gọi VOy là thể tích được tạo bởi khi quay H ={y= f x( ), x=0, y=a, y=b}quanh trục Oy
2
Oy
b
a
V =π∫x dy với x được rút từ y= f x( )
IV) Số phức (6 câu)
1) Tập số phức kí hiệu là
2) Mỗi số phức z∈ được viết là
z= +a bi a b∈ và 2
1
i = −
• a là phần thực, b là phần ảo
• Nếu b = 0 được gọi z = a là số thực
• Nếu a = 0 gọi z = bi là số thuần ảo
1 2
a a
a b i a b i
b b
=
4) z= +a bicó số phức liên hợp là z = −a bi
5) Mỗi số phức z= +x yiđược biểu diễn lên mặt phẳng Oxy là điểm M(x;y)
Trang 96) Moodun của số phức z= +a bi là 2 2
z = +a bi = a +b
7) Phép tốn trên tập số phức
a) Phép cộng, phép trừ:
(a1+b i1 ) (± a2+b i2 ) (= a1±a2) (+ b1±b i2)
b) Phép nhân
(a1+b i1 ) ( a2+b i2 ) (= a a1 2−b b1 2) (+ a b1 2+a b i2 1) (nhân phá ngoặc, chú ý 2
1
i = − ) c) Phép chia
( 1 1 ) ( 2 2 )
1 1
a b i a b i
a b i
a b i a b i a b i
+
=
( 1 2 1 2) ( 1 2 1 2)
a a b b b a a b i
8)
a) Căn bậc hai của số thực âm
( 0)
b) Phương trình bậc hai với hệ số thực
2
ax +bx+ =c 0
Nếu ∆ < ⇒ ∆ = ± −∆0 i
Vậy nghiệm là 1,2
2
b i x
a
− ± −∆
=
9) a) Căn bậc hai của số phức a bi+ là x+yi nếu ( )2
x+yi = +a bi
b) Dạng lượng giác của số phức
2 2
2 2
cos +is
(Với 2a 2 cos , 2b 2 sin
c) Cơng thức Moa – Vrơ: ( )n
a bi+ = r(cos +isϕ inϕ)n =r n(cosn + sinϕ nϕ) ( 2 2)
r= a +b
V) KHỐI ĐA DIỆN –Hình khơng gian(8 câu)
1) Các cơng thức thể tích của khối đa diện:
1 THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ:
V=B.h với B : diện tích đáy
h : chiều cao
Trang 10
a) Thể tích khối hộp chữ nhật:
V= a.b.c với a,b,c là ba kích thước
b) Thể tích khối lập phương:
V=a3với a là độ dài cạnh
2 THỂ TÍCH KHỐI CHĨP:
V=1
3Bh với
B : diện tích đáy
h : chiều cao
3 TỈ SỐ THỂ TÍCH TỨ DIỆN:
Cho khối tứ diện SABC và A’, B’, C’
là các điểm tùy ý lần lượt thuộc SA,
SB, SC ta cĩ:
SABC
SA ' B'C'
3 THỂ TÍCH KHỐI CHĨP CỤT:
h
3
với B, B' : diện tích hai đáy
h : chiều cao
2)Cơng thức tính diện tích và thể tích khối trụ-khối nĩn-khối cầu
1 Hình trụ-
2 trụ
R : bán kính đáy
S 2 Rl với
l : đườngsinh
R : bán kính đáy
h : đường cao
a b c
a a a
B A
C
S
C'
B A
C
C'
R
Trang 112 Hình nĩn
– Khối nĩn xq
2 nón
R : bán kính đáy
S Rl với
l : đườngsinh
R : bán kính đáy 1
3.Hình nĩn
cụt – Khối
nĩn cụt:
xq
nóncụt
1
3 R,R' : bán kính 2 đáy với l : đườngsinh
h : đường cao
= π +
4 Mặt cầu –
Khối cầu:
2
3 cầu
S 4 R với R : bán kính mặt cầu
4
V R với R : bán kính khối cầu
3
= π
= π
VI ) Hình học Oxyz (8 câu) 1)Hệ tọa độ Oxyz gồm các trục Ox, Oy, Oz đơi một vuơng gĩc với nhau và lần lượt gắn các vecto đơn vị i(1; 0; 0 ,) j(0;1; 0 ,) k(0; 0;1)
2) Tọa độ của vecto
( ; ; )
u a b c ⇔ = +u ai b j +ck
3) Tọa độ của điểm
(x; y; z)
A ⇔OA= +xi y j+zk
4) Tính chất: Trên Oxyz cho u a b c1( 1; ;1 1), u2(a b c2; 2; 2)
và các điểm A, B, C, D cĩ tọa độ tương ứng
( )1 u 1±u2 =(a1±a b2, 1±b c2, 1±c2)
(2) ku= ka; k ; kb c
( )3 u 1=u2 ⇔a1=a b2; 1=b c2; 1=c2
1
(4) u
cùng phương với u2 1 1 1
⇔ = = ⇔u u 1, 2=0
( )5 u u 1 2 =a a1 2+b b1 2+c c1 2
R
R'
R
R
Trang 12( ) 2 2 2
6 u = a +b +c
1 2
1 2
1 2 1 2 1 2
u u
c u u
u u
a a b b c c
=
=
( )8 u 1⊥u2 ⇔u u 1 2 = ⇔0 a a1 2+b b1 2+c c1 2 =0
(9) 3 điểm A, B, C lập thành tam giác ⇔AB
và AC
không cùng phương
AB AC
⇔ ≠
(10) I là trung điểm của AB, ; ;
(11) G là trọng tâm của tam giác ABC
2
ABC
S = AB AC
(13) Bốn điểm A, B, C, D lập thành tứ diện ⇔ AB AC AD, ≠0
1
6
ABCD
V = AB AC AD
(15) Phương trình mặt cầu (S) có tâm I a b c( ; ; ) bán kính R là :
( ) (2 ) (2 )2 2
1 :
D x−a + y b− + −z c =R
5) Phương trình mặt phẳng ( )α biết ( )α đi qua điểm M x y z( 0; 0; 0) có n a b c( ; ; )
là vecto pháp tuyến có dạng: a x( −x0) (+b y−y0) (+c z−z0)=0
6) Khoảng cách từ điểm M0(x y z0; 0; 0) đến mặt phẳng ( )α : ax +by+ + =cz d 0 là
( )
( ) 0 0 0
ax
d M
7) Phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm M0(x y z0; 0; 0) và nhận
( ; ; )
u∆ a b c
là VTCP có phương trình là
8) Cho
1 1 1
1 1 1
:
x x a t
y y b t
z z c t
= +
= +
và
2 2 2
2 2 2
:
x x a t
y y b t
z z c t
= +
Xét hệ
1 1 1 2 2 2
1 1 1 2 2 2
1 1 1 2 2 2
( ) :
x a t x a t
I y b t y b t
z c t z c t
+ = +
+ = +
Trang 13Vị trí tương đối của ∆1 và ∆2 như sau:
• Hệ (I) có 1 nghiệm ⇔ ∆1 cắt ∆2
• Hệ (I) vô số nghiệm ⇔ ∆1 trùng ∆2
• Hệ (I) vô nghiệm, u∆1 ≠ku∆2
1
⇔ ∆ và ∆2 chéo nhau
• Hệ (I) vô nghiệm, u∆1 =ku∆2
1
⇔ ∆ // ∆2
9) Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ có VTCP u∆
và M0∈ ∆ là
;
M M u
d M
u
∆
∆
∆ =
1 2
1 2
1 2
;
,
d
u u
∆ ∆
∆ ∆
∆ ∆ =
1
∆ có VTCP là
1
u∆
và đi qua M1 2
∆ có VTCP là
2
u∆
và đi qua M2
11) Cho mặt cầu (S) và mặt phẳng ( )α :ax+by+cz+d=0
Mặt cầu (S) có tâm I, bán kính R
• ( ) ( ) { }S ∩ α = M (M là tiếp điểm)
( )α tiếp xúc với (S) tại M ⇔d I( ;( )α )=R
• ( ) ( ) { }S ∩ α = ∅ ⇔d I( ;( )α )>R
• ( ) ( ) { }S ∩ α = ( )C ⇔d I( ;( )α )<R
Tâm I của đường tròn (C) là hình chiếu của I lên ( )α
r là bán kính của (C) 2 2( ( ) )
;
r= R −d I α