Ghi nhớ cực nhanh công thức toán 12 cho học sinh cho học sinh đạt điểm cao

Ths Lê Văn Tiến -Groups FB: Hỏi-đáp Toán 12 -https://www.facebook.com/groups/745126852336533/ TĨM TẮT CHƯƠNG TRÌNH TỐN 12 THI THPT QUỐC GIA 2017 I) Hàm số (11 câu) Hàm số đồng biến, nghịch biến: • Hàm số y = f(x) đồng biến khoảng ( a; b ) y ' ≥ ∀∈ ( a; b ) • Hàm số y = f(x) đồng biến khoảng ( a; b ) y ' ≤ ∀∈ ( a; b ) Cực trị hàm số a) Hàm số y = f(x) đạt cực đại x = x0 Hàm số y = f(x) đạt cực tiểu x = x0 b) Hàm số y = ax + bx + cx + d ( a ≠ )  f ' ( x0 ) =   f '' ( x0 ) <  f ' ( x0 ) =   f '' ( x0 ) > Có cực trị (CĐ, CT) ⇔ y=' 3ax + 2bx += c ⇔ ∆ ' y=' b − 3ac > c) Hàm số y = ax + bx + c ( a ≠ ) • Có điểm cực trị ⇔ y ' = có nghiệm phân biệt ⇔ a.b < ( a ≠ ) • Có điểm cực trị ⇔ a.b ≥ ( a ≠ ) GTLN, GTNN hàm số y = f(x) [a;b] + Tìm nghiệm phương trình f ' ( x ) = ∀x ∈ ( a; b ) giả sử có nghiệm x1 , x2 + Tính f(a), f(b), f ( x1 ) , f ( x2 ) … + Kết luận: GTLN (GTNN) hàm số GTLN (GTNN) số dãy Tiệm cận đồ thị hàm số y = f(x) • Đồ thị hàm số y = f(x) có tiệm cận đứng x = a lim f ( x) = ±∞ x→a • Đồ thị hàm số y = f(x) có tiệm ngang y = b lim f ( x) = b x →±∞ Khảo sát vẽ đồ thị hàm số: • Tập xác định • Sự biến thiên hàm số + Giới hạn tiệm cận (nếu có) + Đạo hàm y’, giải PT y’=0 + Bảng biến thiên + Cực trị + Tính đồng biến, nghịch biến • Vẽ đồ thị Ths Lê Văn Tiến -Groups FB: Hỏi-đáp Toán 12 -https://www.facebook.com/groups/745126852336533/ + Giao với Ox, Oy (nếu có) + Chọn điểm mà đồ thị qua (Bảng giá trị) Các dạng đồ thị hàm số bậc 3: y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0) Dấu a a>0 Dấu ∆ a0 a ax + b (c ≠ 0, ad − bc ≠ 0) cx + d D = ad – bc < 4 2 -2 Tiếp tuyến đồ thị a, PTTT điểm M ( x0 ; y0 ) đồ thị y = f ( x ) có dạng: = y f ' ( x0 )( x − x0 ) + y0 , với y0 = f ( x0 ) Ths Lê Văn Tiến -Groups FB: Hỏi-đáp Toán 12 -https://www.facebook.com/groups/745126852336533/ b, TT ⊥ {= y ax+b} ⇒ f ' ( x0= ) −1 , TT / / { y =ax+b} ⇒ f ' ( x0 ) =a a II Mũ – Logarit (10 câu) Công thức mũ-logarit: (1) a (4) x+ y = a a x (a ) x y y (2) a x− y ax  a  (3) x =   b b ax = y a (5) a x b x = ( a.b ) = a x y  x > y a > (7) a x > a y ⇔   x < y < a < x (6) 8) Điều kiện log a x = log e x ln= x, log10 x log x Kí hiệu: x a =a y  x>0  0 < a ≠  x>0 0 < a ≠ (9) log a x = b ⇔ x = a b (10) log a x + log a y = log a x y x (11) log a x − log a y = log a    y (12) log aα x = (13) log a xα = α log a x (14) log a x.log x y = log a y log a b = y x Điều kiện log a x  log a a 1;log = Quy ước: = a1 (15) x log b a (16) a logb c α log a x = c logb a  x > y a >  x < y < a < (17) log a x > log a y ⇔  2.Đạo hàm hàm số mũ – logarit ( a ) ' = a ln a ⇒ ( a ) ' = a e ⇒ (e ) ' = e u ' (e ) ' = x x x x u u u f '( x) 1 ⇒ ( ln u ) ' = u ' ⇒ ( ln f ( x ) ) ' = ( ln x ) ' = x u f ( x) ln a.u ' u u' ⇒ ( log a u ) ' = x ln a u ln a ( log a x ) ' = 3.Đồ thị hàm số mũ Khảo sát hàm số y = a x • Tập xác định hàm số D =  nÕu a > ⇒ hàm số tăng y ' > y ' < nÕu < a < ⇒ hµm số giảm o hm: = y ' a x ln a ⇒  Ths Lê Văn Tiến -Groups FB: Hỏi-đáp Toán 12 -https://www.facebook.com/groups/745126852336533/ nÕu a >1   +∞ nÕu < a 1  +∞ lim a x =   nÕu < a , giảm < a < Hàm số y = a x dương với x 4.Đồ thị hàm số logarit Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y = log a x • Tập xác định D = ( 0; +∞ ) • Đạo hàm = y' • Giới hạn  y ' > nÕu a>1 ⇒ x ln a  y ' < nÕu 0   log a f ( x )= log a g ( x ) ⇔  g ( x ) >   f ( x ) = g ( x ) (Chọn điều kiện đơn giản hơn) A.log 2a f ( x ) + B log a f ( x ) + C = , (Đk: f(x) >0) Đặt t = log a f ( x ) ta phương trình At + Bt + C = 3) Bất phương trình mũ, logarit Các dạng tương tự phương trình mũ, logarit, cần ghi nhớ công thức (7) (17) III) Nguyên hàm -Tích phân- ứng dụng (7 câu) 1) Bảng đạo hàm, nguyên hàm hàm số Nguyên hàm Đạo hàm ∫ dx= x+C xα +1 x = dx +C ∫ α +1 dx ln x + C ∫= x x x ∫ e dx= e + C α −cosx + C ∫ s inxdx = dx sin x + C ∫ cosx= ( x) ' = (x = ) ' (α + 1) x α +1 ( ln x ) ' = 1x (e ) ' = e x x ( cosx ) ' = − s inx ( sinx ) ' = co s x dx ∫ cos2 x =tanx + C ( tanx ) ' = cos x dx ∫ sin x =-cotx + C dx ln ax + b + C ∫ ax= +b a ax +b ax + b dx e +C ; ∫ e= a ∫ kf ( x )dx = k ∫ f ( x )dx ( cotx ) ' = − ∫  f ( x ) ± g ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx ± ∫ g ( x ) dx 2) Tích phân sin x α Ths Lê Văn Tiến -Groups FB: Hỏi-đáp Tốn 12 -https://www.facebook.com/groups/745126852336533/ • • b ( x) ∫ f= a b a ∫ f ( x )dx = − ∫ f ( x )dx b c a • F (= x ) ba F ( b ) − F ( a ) ∫ b f= ( x )dx ∫ a a b f ( x )dx + ∫ f ( x )dx (a < c < b) c • Phương pháp đổi biến: b ∫ f ( u ) u 'du a Đặt t=u(x) • Phương pháp tích phân phần b b a a = uv ba − ∫ vdu ∫ udv Cách đặt: “trong tích phân phần đặt u = hàm đa thức, xuất lnx đặt u=lnx 3) Ứng dụng: * Gọi S H diện tích hình H= {= y f ( x ) ,= y g ( x ) ,= x a,= x b} Khi = SH b ∫ f ( x ) − g ( x ) dx a * Gọi VOx thể tích tạo quay H= {=y f ( x ) ,= y 0,= x a,= x b} quanh trục Ox {=y f ( x ) ,= x 0,= y a,= y b} quanh trục Oy b VOx = π ∫ y dx với y = f ( x ) a * Gọi VOy thể tích tạo quay H= b VOy = π ∫ x dy với x rút từ y = f ( x ) a IV) Số phức (6 câu) 1) Tập số phức kí hiệu  2) Mỗi số phức z ∈  viết z= a + bi, a, b ∈  i = −1 • a phần thực, b phần ảo • Nếu b = gọi z = a số thực • Nếu a = gọi z = bi số ảo a1 = a2 b1 = b2 3) Hai số phức a1 + b1i = a2 + b2i ⇔  4) z= a + bi có số phức liên hợp z= a − bi 5) Mỗi số phức z= x + yi biểu diễn lên mặt phẳng Oxy điểm M(x;y) Ths Lê Văn Tiến -Groups FB: Hỏi-đáp Toán 12 -https://www.facebook.com/groups/745126852336533/ 6) Moodun số phức z= a + bi z = a + bi = a + b 7) Phép toán tập số phức a) Phép cộng, phép trừ: ( a1 + b1i ) ± ( a2 + b2i ) = ( a1 ± a2 ) + ( b1 ± b2 ) i b) Phép nhân ( a1 + b1i ) ( a2 + b2i ) = ( a1a2 − b1b2 ) + ( a1b2 + a2b1 ) i (nhân phá ngoặc, ý c) Phép chia ( a + b i )( a2 − b2i ) a1 + b1i = 1= a2 + b2i ( a2 + b2i ) ( a2 − b2i ) i = −1 ) ( a1a2 + b1b2 ) + ( b1a2 − a1b2 ) i a22 + b22 a12 + b12 8) a) Căn bậc hai số thực âm ( a > 0) −a =±i a b) Phương trình bậc hai với hệ số thực ax + bx + c = Nếu ∆ < ⇒ ∆ = ±i −∆ −b ± i −∆ Vậy nghiệm x1,2 = 2a 9) a) Căn bậc hai số phức a + bi x + yi ( x + yi ) = a + bi b) Dạng lượng giác số phức  a b z =a + bi = a + b  + 2 a + b2  a +b =  i  a + b ( cosϕ +isinϕ ) a b a +b a +b (Với = c= osϕ , sinϕ ) 2 2 ( c) Công thức Moa – Vrơ: ( a + bi ) = r  r ( cosϕ +isinϕ )  = r n ( cosnϕ + sin nϕ )= n n V) KHỐI ĐA DIỆN –Hình khơng gian(8 câu) 1)Các cơng thức thể tích khối đa diện: THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ: B : diện tích đáy V=B.h với   h : chiều cao a + b2 ) Ths Lê Văn Tiến -Groups FB: Hỏi-đáp Tốn 12 -https://www.facebook.com/groups/745126852336533/ a) Thể tích khối hộp chữ nhật: V= a.b.c với a,b,c ba kích thước b) Thể tích khối lập phương: V=a3 với a độ dài cạnh a c b a a a THỂ TÍCH KHỐI CHĨP: B : diện tích đáy V= Bh với   h : chieàu cao TỈ SỐ THỂ TÍCH TỨ DIỆN: Cho khối tứ diện SABC A’, B’, C’ điểm tùy ý thuộc SA, SB, SC ta có: VSABC SA SB SC = VSA ' B' C ' SA ' SB' SC' S A' B' A C' B C THỂ TÍCH KHỐI CHĨP CỤT: h V= B + B'+ BB' B, B' : diện tích hai đáy với   h : chiều cao ( A' ) B' C' A B C 2)Cơng thức tính diện tích thể tích khối trụ-khối nón-khối cầu Hình trụR : bán kính đáy S Rl vớ i = π R  xq Khối trụ: l : đườngsinh  R : bán kính đáy Vtrụ = πR h với   h : đường cao 10 l h Ths Lê Văn Tiến -Groups FB: Hỏi-đáp Toán 12 -https://www.facebook.com/groups/745126852336533/ Hình nón R : bán kính đáy = π S Rl vớ i  xq – Khối nón l : đườngsinh Vnón= R : bán kính đáy πR h với   h : đường cao h l R 3.Hình nón Sxq = π(R + R ')l cụt – Khối Vnóncụt = π(R + R '2 + RR ')h nón cụt: R,R ' : bán kính đáy  với l : đườngsinh  h : đường cao  R' h l R Mặt cầu – S= 4πR với R : bán kính mặt cầu Khối cầu: Vcầu= πR với R : bán kính khối cầu R VI) Hình học Oxyz (8 câu) 1) Hệ tọa độ Oxyz gồm trục Ox, Oy, Oz đôi vuông góc với gắn    vecto đơn vị i (1;0;0 ) , j ( 0;1;0 ) , k ( 0;0;1) 2) Tọa độ vecto      u ( a; b; c ) ⇔ u = + b j + ck 3) Tọa độ củađiểm     A ( x; y; z ) ⇔ OA =xi + y j + zk   4) Tính chất: Trên Oxyz cho u1 ( a1 ; b1 ; c1 ) , u2 ( a2 ; b2 ; c2 ) điểm A, B, C, D có tọa độ tương ứng   (1) u1 ± u2 = ( a1 ± a2 , b1 ± b2 , c1 ± c2 )  (2) ku1 = ( ka1 ; k b1 ; k c1 )   ( 3) u1 = u2 ⇔ a1 = a2 ; b1 = b2 ; c1 = c2      a b c (4) u1 phương với u2 ⇔ = = ⇔ u1 , u2  = a2 b2 c2   ( 5) u1.u2 = a1a2 + b1b2 + c1c2 11 Ths Lê Văn Tiến -Groups FB: Hỏi-đáp Toán 12 -https://www.facebook.com/groups/745126852336533/ ( 6)  u1 = a12 + b12 + c12     u1.u2 ( ) cos u1 , u2 =   u1 u2 ( = ) a1a2 + b1b2 + c1c2 a12 + b12 + c12 a22 + b22 + c22     (8) u1 ⊥ u2 ⇔ u1.u2 =0 ⇔ a1a2 + b1b2 + c1c2 =0   (9) điểm A, B, C lập thành tam giác ⇔ AB AC không phương    ⇔  AB, AC  ≠  x A + xB y A + y B z A + z B  ; ;  2   (10) I trung điểm AB, I  (11) G trọng tâm tam giác ABC  x + x + x y + yB + yC z A + z B + zC  G A B C ; A ;  2      (12) S ABC =  AB, AC     (13) Bốn điểm A, B, C, D lập thành tứ diện ⇔  AB, AC  AD ≠ (14) VABCD =     AB, AC  AD  6 (15) Phương trình mặt cầu (S) có tâm I ( a; b; c ) bán kính R : D1 : ( x − a) + ( y − b) + ( z − c) 2 = R2 D2 : x + y + z − 2ax − 2by − 2cz + d = (với R= a + b2 + c2 − d ; a + b2 + c2 − d > )  5) Phương trình mặt phẳng (α ) biết (α ) qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) có n ( a; b; c ) vecto pháp tuyến có dạng: a ( x − x0 ) + b ( y − y0 ) + c ( z − z0 ) = 6) Khoảng cách từ điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) đến mặt phẳng (α ) : ax + by + cz + d = d ( M ; (α ) ) = ax + by0 + cz0 + d a + b2 + c2 7) Phương trình tham số đường thẳng ∆ qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) nhận  u∆ ( a; b; c ) VTCP có phương trình x x2 + a2t2 =  x= x1 + a1t1  x1 + a1t1 =x2 + a2t2    y2 + b2t2 Xét hệ ( I ) :  y1 + b1t1 = y2 + b2t2 y1 + b1t1 ∆ :  y = 8) Cho ∆1 :  y = =  z= z + c t  z + c t =z + c t 11 2  z z2 + c2t2   11 12 Ths Lê Văn Tiến -Groups FB: Hỏi-đáp Tốn 12 -https://www.facebook.com/groups/745126852336533/ Vị trí tương đối ∆1 ∆ sau: • Hệ (I) có nghiệm ⇔ ∆1 cắt ∆ • Hệ (I) vô số nghiệm ⇔ ∆1 trùng ∆   • Hệ (I) vô nghiệm, u∆ ≠ ku∆ ⇔ ∆1 ∆ chéo • 1 2 Hệ (I) vô nghiệm, u∆1 = ku∆2 ⇔ ∆1 // ∆  9) Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ có VTCP u∆ M ∈ ∆    M M , u∆    d (M ; ∆) =  u∆     u∆ , u∆  M M 2 10) d ( ∆1 ; ∆ ) =   u∆ , u∆   2  ∆1 có VTCP u∆1 qua M  ∆ có VTCP u∆2 qua M 11) Cho mặt cầu (S) mặt phẳng (α ) :ax+by+cz+d=0 Mặt cầu (S) có tâm I, bán kính R • ( S ) ∩ (α ) = {M } (M tiếp điểm) R (α ) tiếp xúc với (S) M ⇔ d ( I ; (α ) ) = • ( S ) ∩ (α ) = {∅} ⇔ d ( I ; (α ) ) > R • ( S ) ∩ (α )= {(C )} ⇔ d ( I ; (α ) ) < R Tâm I đường tròn (C) hình chiếu I lên (α ) r bán kính (C)= r R − d ( I ; (α ) ) 13 ... Hỏi-đáp Toán 12 -https://www.facebook.com/groups/74 5126 852336533/ ( 6)  u1 = a12 + b12 + c12     u1.u2 ( ) cos u1 , u2 =   u1 u2 ( = ) a1a2 + b1b2 + c1c2 a12 + b12 + c12 a22... Pt y’ = có hai nghiệm phân biệt O -2 -2 2 Pt y’ = có nghiệm kép Pt y’ = vô nghiệm 2 Ths Lê Văn Tiến -Groups FB: Hỏi-đáp Toán 12 -https://www.facebook.com/groups/74 5126 852336533/ Các dạng đồ thị... -Groups FB: Hỏi-đáp Toán 12 -https://www.facebook.com/groups/74 5126 852336533/ b, TT ⊥ {= y ax+b} ⇒ f ' ( x0= ) −1 , TT / / { y =ax+b} ⇒ f ' ( x0 ) =a a II Mũ – Logarit (10 câu) Công thức mũ-logarit: