Tiếp Tuyến của đồ thị hàm số và đường tròn

các dạng bài toán liên quan đến tiếp tuyến gồm tiếp tuyến của đường trong mặt phẳng và không gian. tiếp tuyến của đồ thị hàm số , với các bài tập và các dạng bài đầy đủ về tiếp tuyến. Dạng 1. Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp điểm + Dạng 2. Viết phương trình tiếp tuyến khi biết phương (biết hệ số góc k) + Dạng 3. Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp tuyến đi qua một điểm cho trước + Dạng 4. Một số bài toán chứa tham số

PHẦN TIẾP TUYẾN

A. TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG

B. TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN TRONG KHÔNG GIAN

PHẦN 2: TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Nhóm thực hiện

1 Nguyễn Nhật Hoàng Kim 1511142

2 Nguyễn thị Kim Loan 1511150

3 Hoàng Anh Thiện 1511289

4 Hoàng Ngọc Đoan Thùy 1511300

****************………… ////////………….***************

PHẦN 1: TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN

Bài toán viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn là một mảng kiến thức khá quen thuộc trong chương trình Toán THPT Sau đây ta sẽ đi nghiên cứu một số dạng bài tập về lĩnh vực này trong mặt phẳng lẫn trong không gian

A. TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG:

1) Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại một điểm trên đường tròn:

Dấu hiệu nhận biết:

Ví dụ 1 : Viết phương trình tiếp tuyến với

2. Phương trình tiếp tuyến có hệ số góc k

Xác định tâm và bán kính của đường tròn

1.Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C): x2 + y2 + 2x - 4y = 0 Biết tiếp tuyến

có hệ số góc bằng 2

2.Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C): x2 + y2 + 2x - 4y = 0 Biết tiếp tuyến

có hệ số góc bằng

12

−

3.Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C): 2x2 + 2y2 - 8x - 4y - 40 = 0 Biết tiếp

tuyến có hệ số góc bằng

512

3. Phương trình tiếp tuyến song song với đường thẳng cho trước

(Lưu ý: nếu m = c thì đường thẳng sẽ trùng với tiếp tuyến)

Tính chất tiếp xúc : Khoảng cách từ tâm I đến bằng R

biết tiếp tuyến

đó song song với đường thẳng

( )d : 3x+4y+20 0=

.Giải

Vậy ta có 2 phương trình tiếp tuyến :

( )d : 2x y+ + =3 0

.Giải

5. Phương trình tiếp tuyến hợp với đường thẳng 1 góc cho trước:

Kết hợp điều kiện tiếp xúc và công thức góc tạo bởi 2 đường thẳng

Ví dụ: Trong mặt phẳng Oxy , cho đường tròn

2 2

( ) : (C x−1) + +(y 1) =10

Viết phương trình tiếp tuyến của (C) , biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng

( ) : 2d x y+ − =4 0

một góc 45o

nên:

6( 3 )

12(3 )

1.Trong mặt phẳng Oxy , cho đường tròn

Vì tiếp tuyến đi qua điểm M(xM,yM) và có vecto pháp tuyến

Sau đó chọn a , b thích hợp rồi suy ra phương trình tiếp tuyến

**Chú ý: Khi giái bằng cách này , không được chia 2 vế cho a hoặc b mà chuyển tất cả các hạng

tử về 1 vế , vế còn lại bằng 0 Sau đó chọn a ( hoặc b) rồi tìm giá trị còn lại b (hoặc a) tương ứng

Cách 1:

(C) có tâm I(-1,2) bán kính R=

95

Vì tiếp tuyến đi qua điểm M(1,1) và có vecto pháp tuyến

(C) có tâm I(-1,2) bán kính R=

95

Giả sử tiếp tuyến

Ví dụ 2: Cho đường tròn (C) có phương trình: x2+ y2- 4x + 8y +18= 0

a.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua A(1,-3)

b Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua B(1,1)

3 Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C): 2x2 + 2y2 + 4x - 8y - 8 = 0 Biết tiếp tuyến

đi qua điểm M(3,5)

7.Phương trình tiếp tuyến chung của 2 đường tròn:

Vị trí tương đối của hai đường tròn :

1) Định lý

Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) ta nói hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau thì R - r < OO’

< R + r

Hai đường tròn tiếp xúc ngoài thì OO’ = R+r.Nếu hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc trong thìOO’= R - r.

a, Nếu hai đường tròn cắt nhau thì hai giao điểm đối xứng với nhau qua đường nối tâm, tức làđường nối tâm là đường trung trực của dây cung chung

b, Nếu hai đường tròn tiếp xúc với nhau thì tiếp điểm nắm trên đường nối tâm

(Bảng tóm tắt vị trí tương đối giữa 2 đường tròn)

2) Bài tập vận dụng:

OA Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn

Gọi O’ là tâm đường tròn đường kính OA Ta có O’ là trung điểm của OA và bán kính đườngtròn(O’) là

R' = OA/2 = R/2.

Độ dài đoạn nối tâm: d= OO' = OA/2 = R/2

Ta có: R - R' = R/2 = d nên (O) và (O’) tiếp xúc trong tại A

(B;r’)

Khi r=3 và r’=1, hãy xác định vị trí tương đối của hai đường tròn

Độ dài đoạn nối tâm d = AB = √(3+1)2 + 1 = √17 (1)

=> OO' ⊥ MN tại điểm I là trung điểm của mỗi đoạn OO’ và MN.

Do đó: IM = MN/2 = 5cm ; IO = OO'/2 = 12cm

Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác MIO ta có:

R = OM = √(IM2 + IO2) = 13

Vậy R = 13(cm)

với M thuộc (O), N thuộc (O’) Biết R=9cm, R’= 4cm Tính độ dài đoạn MN

Ta có: OO’= OA + O’A = 9 + 4 =13(cm)

Kẻ OH ⊥ OM tại H

Suy ra tứ giác O’NMH là hình chữ nhật

Suy ra MH=O’N=4cm; MN=O’H

Suy ra OH=OM-MH=9-4=5(cm)

Áp dụng đình lí py-ta-go vào tam giác OO’H, ta có:

MN = O'H = √(OO'2 - OH2) = 12 (cm)

Vậy MN = 12cm

Phương trình tiếp tuyến chung của 2 đường tròn:

Cho hai đường tròn (C1) có tâm I1(a1,b1), bán kính R1 và (C2) có tâm I2(a2,b2), bán kinh R2

Có 2 cách giải bài toán viết pttt chung cùa 2 đường tròn (C1) và (C2)

Cách 1: Gọi (∆) : Ax + By + C = 0

Ta được A,B,C suy ra phương trình các tiếp tuyến.

Cách 2: Viết phương trình ∆ tiếp xúc (C1) tại điểm Mo(xo ; yo)

1

( )C

∈(ẩn số là xo , yo)

Từ điều kiện để ∆ tiếp xúc (C2) ta suy ra xo, yo và được phương trình ∆

Cách 3:

(1) Nếu I1I2 > R1 + R2 thì (C1), (C2) có 2 tiếp tuyến chung ngoài, 2 tiếp tuyến chung trong

-Tiếp tuyến chung ngoài đi qua I (I chia I1I2 theo tỉ số

1 2

R R

, gọi là tâm vị tự ngoài) và tiếp xúc với 1 trong 2 đường tròn

- Tiếp tuyến chung trong đi qua J (J chia I1I2 theo tỉ số

-1 2

R R

, gọi là tâm vị trí trong) và tiếp xúc với 1 trong 2 đường tròn

(2) Nếu I1I2 = R1 + R2 thì (C1) , (C2) tiếp xúc ngoài => (C1) , (C2) có 2 tiếp tuyến ngoài và 1 tiếp tuyến trong

- Tiếp tuyến chung ngoài đi qua I (tâm vị tự ngoài) và tiếp xúc với 1trong 2 đường tròn

- 1 tiếp tuyến chung trong chính là trục đẳng phương của 2 đường tròn

thì (C1) , (C2) chỉ có 1 tiếp tuyến chung

Tiếp tuyến chung đi qua tiếp điểm và vuông với đường nối tâm (tức trục đẳng phương)

Ví dụ :Viết phương trình tiếp tuyến chung của 2 đường tròn :

2

2 1

(4A + B) Tương tự ta thấy hệ vô nghiệm.

Cách 2 : Giả sử tiếp điểm của tiếp tuyến (∆) với (C1 ) là M(xo; yo)

- Tiếp tuyến của (C1 ) tại M có vtpt

Giai (2) với (4) ta được M1(0;1) hoặc M2(8/5; 9/5)

+ Với M1(0;1) thay vào (1) ta có tiếp tuyến x = 0

+ Với M2(8/5; 9/5) thay vào (1) ta có tiếp tuyến 3x + 4y – 12 = 0

Cách 3 : Gọi I là tâm vị tự ngoài Ta có :

R

R

y y y

Đường thẳng ∆ qua I có vtpt (A;B) có phương trình:

d I R

A B B

Tương tự như trên ta cũng có các tiếp tuyến x = 0 và 3x + 4y – 12 = 0

B. TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN TRONG KHÔNG GIAN:

Trong không gian Oxyz, cho đường tròn (C) có tâm I(a,b,c) , bán kính R nằm trong mặt phẳng (P) , viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C)

Mỗi tiếp tuyến (C) có thể xem như giao tuyến của 2 mặt phẳng (P) và (Q) , (Q) là mặt phẳng vuông góc (P) và cách I một khoảng bằng R

Ta dễ thấy A thuộc (C) Tiếp tuyến của (C) tại A là giao tuyến của 2 mặt phẳng (P) và (Q).

(P): x = 0 , (Q) là mặt phẳng qua A có vecto pháp tuyến là vecto IA

(0, 0,3)

IA=

uur



 − =



Dạng 2:Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) đi qua điểm A

Phương pháp: Có thể dùng một trong hai cách sau đây:

a.Tìm tâm và bán kính của (C)

b.Từ điểm A(3 , 1 ,-1) thuộc mặt phẳng chứa đường tròn , viết phương trình đường thẳng tiếp xúc (C)

Vậy có 2 tiếp tuyến của (C) xuất phát từ A là ∆ và ∆’

Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng thuộc mặt phẳng (P) chứa (C) , cùng phương với (d) cho trước và tiếp xúc với (C):

Phương pháp: Tiếp tuyến Tiếp tuyến:

Tọa độ tâm H cùa đường tròn (C) là nghiệm của hệ phương trình:

109

d H Q r

C

C C

BÀI TẬP TỰ KIỂM TRA

Bài 1.Cho đường tròn (C)

b Viết phương trình đường thẳng ∆ tiếp xúc (C) tại A(1, 2 ,√11)

c Viết phương trình đường thẳng ∆’ tiếp xúc (C) tại B(1, 3 , 3 )

Bài 2 Cho đường tròn (C)

a.Viết phương trình đường thẳng ∆ tiếp xúc (C) tại A(0 , 0, 3)

b Viết phương trình đường thẳng đi qua B (0 ,2 ,3 ) tiếp xúc (C)

Bài 3 Cho đường tròn (C)

Bài toán 1: Cho biết tiếp điểm( hoặc hành độ tiếp điểm) của tiếp tuyến.

Cách giải:

+ Tìm các đại lượng theo

0

xtrong công thức (1) ở phần kiến thức cơ bản nêu trên

+ Áp dụng công thức (1) nêu trên

Ví dụ 1: Cho đồ thị (C) của hàm số y = x2 - 4x +3 Viết Phương trình tiếp tuyến với (C) tại các giao điểm của (C) với trục hoành

'' 0

M(x ;f (x ))

.Cách giải 2: (Dùng biểu diễn hình học để diễn tả tiếp tuyến).( không cần tìm 0

x)+ Tiếp tuyến cần tìm có phương trình dạng:

Cả hai tiếp tuyến tìm được thỏa mãn điều kiện song song với (d).

Vậy có hai phương trình tiếp tuyến với (C) cần tìm là: y = -3x -1 ; y = -3x +11

Bài toán 3: Cho biết tiếp tuyến đi qua điểm

A( , )α β

cho trước.(hoặc A là điểm phải tìm)

+ Tiếp tuyến qua

(C m)với Oy Tìm M để tiếp tuyến đó tạo với Ox, Oy một tam giác có diện tích bằng 8.

Dự đoán rằng không có điểm nào trên

( )C

để tiếp tuyến tại M tạo với Ox góc 45°

Chứng minh điều dự đoán là đúng

(vô nghệm)Vậy không có điểm M nào thỏa yêu cầu bài toán

0 0

đạt được khi

2

0 0 0