Tiếp Tuyến của đồ thị hàm số và đường tròn

các dạng bài toán liên quan đến tiếp tuyến gồm tiếp tuyến của đường trong mặt phẳng và không gian. tiếp tuyến của đồ thị hàm số , với các bài tập và các dạng bài đầy đủ về tiếp tuyến. Dạng 1. Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp điểm + Dạng 2. Viết phương trình tiếp tuyến khi biết phương (biết hệ số góc k) + Dạng 3. Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp tuyến đi qua một điểm cho trước + Dạng 4. Một số bài toán chứa tham số

PHẦN TIẾP TUYẾN PHẦN 1: TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN A TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG B TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRỊN TRONG KHƠNG GIAN PHẦN 2: TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Nhóm thực Nguyễn Nhật Hoàng Kim 1511142 Nguyễn thị Kim Loan 1511150 Hoàng Anh Thiện 1511289 Hoàng Ngọc Đoan Thùy 1511300 ****************………… ////////………….*************** PHẦN 1: TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRỊN Bài tốn viết phương trình tiếp tuyến đường tròn mảng kiến thức quen thuộc chương trình Tốn THPT Sau ta nghiên cứu số dạng tập lĩnh vực mặt phẳng lẫn không gian A TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG: 1) Phương trình tiếp tuyến đường tròn điểm đường tròn: Dấu hiệu nhận biết: M ∈( C ) , tồn tiếp tuyến qua M vng góc IM M ( xo , yo ) Gọi M ( C) điểm nằm đường tròn I ( a, b ) có tâm Gọi V ( C) tiếp tuyến Ta có M thuộc Do V V uuur IM = ( xo − a, yo − b ) vectơ vectơ pháp tuyến V có phương trình: ( xo − a ) ( x − xo ) + ( yo − b ) ( y − yo ) = ( C ) : ( x − a) + ( y − b ) = R2 Đây phương trình tiếp tuyến đường tròn nằm đường tròn ( C) Ví dụ : Viết phương trình tiếp tuyến với ( C ) : ( x − 1) điểm M M ( 1,1) thuộc đường tròn + ( y + 2) = Giải ( C) I ( 1, −2 ) có tâm , bán kính R = uuur IM = ( 0,3 ) uuur IM = ( 0,3) M ( 1,1) Phương trình tiếp tuyến điểm có vectơ pháp tuyến : ( x − 1) + ( y − 1) = ⇔ y −1 = y −1 = Vậy pttt M Ví dụ 2: Viết phương trình tiếp tuyến đường tròn (C) điểm M(3,4) , biết đường tròn có x2 + y − 2x − y − = phương trình là: Giải Ta xác định tâm bán kính (C) R = 12 + 2 − ( −3) = (C) Tâm I(1,2) , bán kính uuur IM = (2, 2) uuur IM = (2, 2) Phương trình tiếp tuyến điểm M(3,4) có vectơ pháp tuyến : 2( x − 3) + 2( y − 4) = ⇔ x + y − 14 = ⇔ x+ y−7 = x+ y −7 = Vậy pttt M Bài Tập: 1.Viết phương trình tiếp tuyến điểm A(3,4) thuộc đường tròn (C): (x – 1)2+(y – 2)2 = 2.Viết phương trình tiếp tuyến điểm B(2,1) thuộc đường tròn (C): x2 + y2 – 4x + 8y - = 2.Viết phương trình tiếp tuyến điểm B(1,2) thuộc đường tròn (C): 3x2 + 3y2 – 6x – 6y + = Phương trình tiếp tuyến có hệ số góc k Xác định tâm bán kính đường tròn V có hệ số góc k nên có dạng: y= kx + m Vì tiếp tuyến ⇔ d ( I , ∆) = R Dựa vào điều kiện tiếp xúc Giải phương trình ta tìm m => phương trình tiếp tuyến (C ) : x + y − x − y + = Ví dụ Cho đường tròn Viết phương trình tiếp tuyến đường tròn , biết hệ số góc tiếp tuyến -2 Giải Đường tròn (C) có tâm I(1,3) , bán kính R=√5 V Vì tiếp tuyến V có hệ số góc k = -2 , nên có dạng: y = −2 x + m ⇔ x + y − m = V Vì V tiếp tuyến đường tròn (C) nên tiếp xúc (C) , ta có : ⇔ d ( I , ∆) = R ⇔ 2.1 + − m 22 + 12 = 5 − m = m = ⇔ 5−m = ⇔  ⇔ 5 − m = −5  m = 10 Vậy có tiếp tuyến cần tìm là: ( V1 ) : x + y = ( V2 ) : x + y − 10 = Bài tập: 1.Viết phương trình tiếp tuyến đường tròn (C): x2 + y2 + 2x - 4y = Biết tiếp tuyến có hệ số góc 2.Viết phương trình tiếp tuyến đường tròn (C): x2 + y2 + 2x - 4y = Biết tiếp tuyến −1 có hệ số góc 3.Viết phương trình tiếp tuyến đường tròn (C): 2x2 + 2y2 - 8x - 4y - 40 = Biết tiếp 12 tuyến có hệ số góc Phương trình tiếp tuyến song song với đường thẳng cho trước ( C) Cho đường tròn viết tiếp tuyến V ( C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng ( d ) ax + by + c = : Cách làm: Giả sử phương trình đường thẳng ( ∆ ) :ax + by + m = V có dạng: (m ≠ c) (Lưu ý: m = c đường thẳng trùng với tiếp tuyến) Tính chất tiếp xúc : Khoảng cách từ tâm I đến R d ( I, ∆) = R ta tìm m ( ∆ ) :ax + by + m = Thay m vừa tìm vào phương trình cần tìm ta tìm phương trình tiếp tuyến ( C ) : x2 + y − x − y − = Ví dụ :Cho ( C) Viết phương trình tiếp tuyến với biết tiếp tuyến ( d ) : 3x + y + 20 = song song với đường thẳng Giải Ta có : ( C) I ( 1, ) có tâm bán kính ( C) Giả sử tiếp tuyến với V R=3 song song d V ≠ => có dạng: 3x + 4y + m =0 ( m 20) V ( C) ⇔ d ( I , ∆) = R tiếp tuyến ⇔ 3.1 + 4.2 + m 32 + =3 ⇔ m + 11 = 15  m + 11 = 15 ⇔  m + 11 = −15 m = ( N ) ⇔  m = −26 ( N ) ( V1 ) : 3x + y + = ( V2 ) : 3x + y − 26 = , Vậy ta có phương trình tiếp tuyến : Bài tập: 1.Viết phương trình tiếp tuyến đường tròn (C): x2 + y2 – 4x + 8y - = Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: x – y = 2.Viết phương trình tiếp tuyến đường tròn (C): x2 + y2 – 2x - 6y + = Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y= – x + 3.Viết phương trình tiếp tuyến đường tròn (C): x2 + y2 + 2x - 4y - = Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: 24x – 7y – 37= Phương trình tiếp tuyến vng góc với đường thẳng cho trước ( C) Cho đường tròn viết tiếp tuyến V ( C) biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng ( d ) ax + by + c = : Cách làm: Ta xác định tâm bán kính đường tròn Do V⊥ d Ta giả sử phương trình đường thẳng V có dạng: ( ∆ ) :bx − ay + m = ( ∆ ) : -bx + ay + m = (Hoặc ) ≠ (Lưu ý: ta không cần đặc đk m tiếp tuyến) c giả sử m = c đường thẳng khơng trùng với Tính chất tiếp xúc : Khoảng cách từ tâm I đến V R d ( I, ∆) = R ta tìm m ( ∆ ) :bx − ay + m = Thay m vừa tìm vào phương trình tuyến cần tìm ( C ) : ( x − 2) ta tìm phương trình tiếp + ( y − 1) = ( C) Ví dụ : Cho đường tròn Viết phương trình tiếp tuyến với biết ( d ) : 2x + y + = tiếp tuyến vng góc với đường thẳng Giải ( C) I ( 2,1) có tâm bán kính ( C) Giả sử tiếp tuyến với V R= vng góc với d Do V⊥ d V => có dạng: x – 2y + m = V ( C) ⇔ d ( I , ∆) = R tiếp tuyến ⇔ − 2.1 + m = m = ⇔  m = −5 ( V1 ) : x − y + = ( V2 ) : x − y − = Vậy ta có phương trình tiếp tuyến : , Bài tập: 1.Viết phương trình tiếp tuyến đường tròn (C): x2 + y2 – 2x – 6y + = Biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng d: 3x – 4y = Viết phương trình tiếp tuyến đường tròn (C): 3x2 + 3y2 – 6x – 6y + = Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d: x + y = Viết phương trình tiếp tuyến đường tròn (C): 5x2 + 5y2 + 10x – 10y - 75 = Biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng d: 2x + y - = Phương trình tiếp tuyến hợp với đường thẳng góc cho trước: Kết hợp điều kiện tiếp xúc cơng thức góc tạo đường thẳng 10  x2 + y2 + z = x = ( C) :  a.Viết phương trình đường thẳng ∆ tiếp xúc (C) A(0 , 0, 3) b Viết phương trình đường thẳng qua B (0 ,2 ,3 ) tiếp xúc (C) Bài Cho đường tròn (C)  x2 + y2 + z = C : ( )  x + y + z − = Viết phương trình đường thẳng ∆ tiếp xúc (C) a Đi qua M( , , -1) b Cùng phương đường thẳng : x = - t ,y = + t ,z = TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Kiến thức bản: Cho điểm M M ( x0 , f ( x0 )) ∈ (C) y = f ( x) (C ) đồ thị hàm số điểm (C ) Tiếp tuyến y − f ( x0 ) = f '( x0 )( x − x0 ) có phương trình: (1) Chú ý: x0 Phương trình (1) tiếp tuyến phụ thuộc hoành độ tiếp điểm Điểm M gọi tiếp điểm Các dạng toán: 35 Bài toán 1: Cho biết tiếp điểm( hành độ tiếp điểm) tiếp tuyến Cách giải: x0 + Tìm đại lượng theo công thức (1) phần kiến thức nêu + Áp dụng công thức (1) nêu Ví dụ 1: Cho đồ thị (C) hàm số y = x2 - 4x +3 Viết Phương trình tiếp tuyến với (C) giao điểm (C) với trục hoành Giải: (y = 0) : x − 4x + = ⇔ x = 1, x = (C) + PTHĐGĐ với trục hồnh ( Hồnh độ tiếp điểm) Vậy có hai tiếp điểm M(1;0) N(3;0) y ' = 2x − ⇒ y' (1) = −2; y ' (3) = + Ta có: y − = −2(x − 1) ⇔ y = −2x + (C) Tiếp tuyến với điểm M(1;0) có phương trình : y − = 2(x − 3) ⇔ y = 2x − (C) Tiếp tuyến với điểm N(3;0) có phương trình : y = −2x + y = 2x − Vậy phương trình hai tiếp tuyến cần tìm là: ; y = x − 2x + 2x − (C) Ví dụ 2: Cho đồ thị hàm số (C) a) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) giao điểm (C) với trục hồnh (C) b) Viết phương trình tiếp tuyến với giao điểm với trục tung x0 y '' (x ) = (C) c) Viết phương trình tiếp tuyến với giao điểm thỏa mãn Giải: y' = 3x − 4x + Ta có: M(x ; y ) Gọi tiếp điểm tiếp tuyến có phương trình: y − y = y ' (x )(x − x ) ⇔ y = y ' (x )(x − x ) + y (1) 36 M = (C) ∩ Ox y0 = x0 a) Khi nghiệm phương trình: x − 2x + 2x − = ⇔ x = 2; y' (2) = ,thay giá trị biết vào (1) ta y = 6(x − 2) phương trình tiếp tuyến: x = ⇒ y = y(0) = −4 y ' (x ) = y ' (0) = M = (C) ∩ Oy b) Khi ,thay giá trị y = 2x − biết vào (1) ta tđược phương trình tiếp tuyến: x0 y'' = y '' = 6x − c) Khi nghiệm phương trình Ta có: 2 88 2 y'' = ⇔ 6x − = ⇔ x = = x ⇒ y = y( ) = − y '' (x ) = y ' ( ) = 3 27 3 ; y= Thay giá trị biết vào (1) ta phương trình tiếp tuyến: 100 x− 27 Bài toán 2: Cho biết hệ số góc k tiếp tuyến (C) : y = f (x) (C) Cho đồ thị Viết phương trình tiếp tuyến với có hệ số góc k Cách giải 1: (Dùng ý nghĩa hình học đạo hàm) x0 f ' (x) = k + Giải phương trình để tìm hoành độ tiếp điểm M(x ;f (x )) + Viết phương trình tiếp tuyến điểm x0 Cách giải 2: (Dùng biểu diễn hình học để diễn tả tiếp tuyến).( khơng cần tìm ) y = kx + b + Tiếp tuyến cần tìm có phương trình dạng: (T): (K biết; ta phải tìm b) (C) + Lý luận (T) tiếp xúc với để tìm b 37 Cả hai tiếp tuyến tìm thỏa mãn điều kiện song song với (d) Vậy có hai phương trình tiếp tuyến với (C) cần tìm là: y = -3x -1 ; y = -3x +11 Bài toán 3: Cho biết tiếp tuyến qua điểm A(α, β) cho trước.(hoặc A điểm phải tìm) 38 Cho đồ thị A(α, β) (C) : y = f (x) (C) Viết phương trình tiếp tuyến với biết tiếp tuyến qua điểm Cách giải 1: + Tiếp tuyến có phương trình dạng: điểm) + Tiếp tuyến qua A(α, β) nên β − f (x ) = f ' (x )(α − x ) + Giải phương trình (*) để tìm Cách giải 2: + Tiếp tuyến qua A(α, β) y − f (x ) = f ' (x )(x − x ) x0 ,( với x0 hoành độ tiếp (*) suy phương trình tiếp tuyến nên có phương trình dạng: y − β = k(x − α) (T); (tìm k) (C) + Lý luận (T) tiếp xúc với để tìm k suy phương trình tiếp tuyến (C) Ví dụ 5: Cho đồ thị hàm số biết tiếp tuyến qua điểm y = x − 3x + A(−2, −1) (C) , viết phương trình tiếp tuyến với Giải cách 1: 39 40 41 42 43 Ví dụ 11: (Đề TNTHPT-2016) (C) : y = x − 6x + 9x Cho hàm số (C) Hãy viết phương trình tiếp tuyến điểm uốn đồ thị Giải: y ' = 3x − 12x + 9; y '' = 6x − 12; y '' = ⇒ x = Ta có: y ' (2) = −3 x =2⇒ y=2 Với: (C) Phương trình tiếp tuyến với đồ thị điểm uốn có dạng: 44 y = −3(x − 2) + y = −3x + hay y = f ( x ) = x + − m( x + 1)(Cm ) Ví dụ 12: Cho hàm số (Cm ) Viết phương trình tiếp tuyến (Cm ) giao điểm với Oy Tìm M để tiếp tuyến tạo với Ox, Oy tam giác có diện tích Giải: A = (Cm ) I Oy => A(0,1 − m) Gọi A(0,1m) : ( d m ) : y = f '(0) x + (1 − m) Suy tiếp tuyến f '(x) = x − m Với f '(0) = −m suy ( d m ) : y = − mx + − m Vậy tiếp tuyến: Gọi 1− m B = (d m ) I Ox => B (0, m ) 1 1− m S ∆OAB = OA.OB = |1 − m | | |= 2 m => (1 − m) = 16 | m | Có  (1 − m) = 16m, m ≥  (1 − m) = −16m, m <  m =9±4   m = −7 ± y= Ví dụ 13: Cho hàm số x2 + x + (C ) x +1 tuyến M tạo với Ox góc 45° (C ) Dự đốn khơng có điểm để tiếp Chứng minh điều dự đoán 45 Cách giải: M ( x0 , y0 ) Giả sử (C ) thuộc k = y '( x0 ) = x0 + x0 ( x0 + 1) Suy tiếp tuyến M có hệ số góc Do tiếp tuyến tạo với Ox góc 45° suy hệ số góc k=tan 45° =1 x0 + x0 = x0 + x0 = ( x0 + 1) ( x0 + 1)2 Do đó: (vơ nghệm) Vậy khơng có điểm M thỏa u cầu tốn y= x2 (C) x −1 (C) Ví dụ 14: Cho hàm số Tìm điểm thuộc có hồnh độ lớn cho tiếp tuyến M tạo với đường tiệm cận tam giác có chu vi bé Cách giải: y = x +1+ ⇒ ⇒ x −1 tiệm cận đứng x =1 ;tiệm cận xiên y = x +1 I(1; 2) giao điểm hai tiệm cận điểm M(x; y) ∈ (C) ⇒ y = Gỉa sử x 02 ⇒ x0 −1 tiếp tuyến M(x ; y0 ) ∈ (C) x 02 − 2x x 02 (d) : y = (x − x ) + (x − 1) x0 −1 46 A = d ∩ x = ⇒ A(1; 2x ) x0 −1 B = d ∩ y = x + ⇒ B(2x − 1; 2x ) IA = y A − y I = Có 2x −2 = x0 −1 x −1 IB = (x B − x I ) + (y B − y I )2 = 2(x − 1) AB2 = AI + BI − 2AI.BI.cos450 Với BĐT Cosi ⇒ a + b ≥ ab Chu vi bé C = 4 + 32 − đạt = 2(x − 1) ⇔ (x − 1) = x0 −1 x0 > ⇒ x0 = 1+ Vì M(1 + nên 1 ; + + 2) 2 47 48 49 ... + ( y − 1) = 1.Trong mặt phẳng Oxy , cho đường tròn Viết phương trình tiếp (d ) : 3x − y + = góc 60o tuyến (C) , biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng (C ) : x + y + x − y = 2.Trong mặt phẳng... gọi tâm vị trí trong) tiếp 23 (2) Nếu I1I2 = R1 + R2 (C1) , (C2) tiếp xúc ngồi => (C1) , (C2) có tiếp tuyến ngồi tiếp tuyến - Tiếp tuyến chung qua I (tâm vị tự ngoài) tiếp xúc với 1trong đường tròn... ⇔   A = 3B Tương tự ta có tiếp tuyến x = 3x + 4y – 12 = B TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRỊN TRONG KHƠNG GIAN: Trong khơng gian Oxyz, cho đường tròn (C) có tâm I(a,b,c) , bán kính R nằm mặt phẳng (P)