Phương Pháp Sử Dụng Hàm Sinh Tìm Công Thức Tổng Quát Của Dãy Số

HÀM SINH VÀ MỘT ỨNG DỤNG ĐẶC BIỆT ỨNG DỤNG CỦA HÀM SINH VÀO TÌM CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ+LÝ THUYẾT VỀ HÀM SINH+PHƯƠNG PHÁP HÀM SINH ĐỂ TÌM CTTQ TỪ CÔNG THỨC TRUY HỒI+VÍ DỤ MINH HỌA+BÀI TẬP TỰ LUYỆN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TPHCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - TIN HỌC Nguyễn Khánh Linh 1411147 Hoàng Thanh Hải 1311083 Võ Phong Phú 1411232 Hạp Tiến Cây 1511025 Trần Ngọc Duy Khánh 1511135 PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG HÀM SINH TÌM CƠNG THỨC TỔNG QT CỦA DÃY SỐ MÔN ĐẠI SỐ SƠ CẤP Ngành: Sư Phạm Toán Người hướng dẫn: TPHCM - 2018 Mục lục I Cơ sở lý thuyết hàm sinh Định Nghĩa 2 Một số đẳng thức thường dùng hàm sinh II Sơ lược phương pháp hàm sinh để tìm cơng thức tổng qt dãy số III Ứng dụng hàm sinh vào tốn xác định cơng thức tổng qt Ví Dụ 1: Ví Dụ 2: Ví Dụ 3: Ví Dụ 4: Ví Dụ 5: Ví Dụ 6: Ví Dụ 7: Ví Dụ 8: 9 Ví dụ 9: 10 IV Một Số Bài Toán Tự Luyện: 11 Ứng dụng hàm sinh Đại Số Sơ Cấp I Cơ sở lý thuyết hàm sinh Định Nghĩa Hàm sinh dãy số vô hạn a0 , a1 , a2 , , an , chuỗi hình thức xác định G(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + + an xn + Một số đẳng thức thường dùng hàm sinh • = + x + x2 + x3 + 1−x • = + 2x + 3x2 + 4x3 + (1 − x)2 • II n(n + 1) n(n + 1)(n + 2) = + nx + x + x + = n (1 − x) 2! 3! ∞ i i i=0 Ci+n−1 x với n ∈ N • = − x + x2 − x3 + 1+x • = + 2ax + 3a2 x2 + 4a3 x3 + (1 − ax)2 • = + xr + x2r + x3r + − xr • = − xr + x2r − x3r + + xr Sơ lược phương pháp hàm sinh để tìm cơng thức tổng quát dãy số Tư tưởng sử dụng hàm sinh để tìm cơng thức tổng qt dãy số tóm tắt sau: Để tìm cơng thức tổng quát dãy số (an ) ta xét hàm sinh G(x) dãy số (an ) tính chất dãy (an ) nên G(x) phải thỏa mãn số hệ thức định.Giải hệ thức ta G(x) = f (x) f (x) hàm số chứa biểu thức số học (cộng,trừ,nhân,chia,lũy thừa ) ta tìm khai triển f (x) thành chuỗi so sánh hệ số xn ta tìm (an ) Qua ví dụ phần giúp ta hiểu rõ phương pháp Trang Ứng dụng hàm sinh III Đại Số Sơ Cấp Ứng dụng hàm sinh vào tốn xác định cơng thức tổng qt dãy số điển hình Thơng thường bạn biết đến phương pháp chứng minh quy nạp phương pháp sai phân để tìm cơng thức tổng qt dãy số Nay tìm hiểu phương pháp hay để tìm cơng thức tổng qt dãy số dựa sở hàm sinh Ví Dụ 1: Tìm cơng thức tổng qt dãy Fibonaci (Fn ) với :   F =F =1 n≥3  F =F +F n n−1 n−2 Giải Đặt G(x) hàm sinh cho dãy (Fn ), giả sử F0 = có: G(x) = F0 + F1 x + F2 x2 + F3 x3 + (1) −xG(x) = −F0 x − F1 x2 − F2 x3 − F3 x4 − (2) −x2 G(x) = −F0 x2 − F1 x3 − F2 x4 − (3) Từ (1),(2) và(3) ta có: (1 − x − x2 )G(x) = F0 + (F1 − F0 )x + (F2 − F1 − F0 )x2 + = x x ⇔ G(x) = − x − x2 x A B Phân tích G(x) = = + − x −√x − αx − βx √ 1+ 1− Với α = ;β = nghiệm phương trình − x − x2 = 2 1 Quy đồng đồng hệ số A = √ , B = − √ 5 1 x Vậy G(x) = =√ − − x − x2 − αx − βx Trang Ứng dụng hàm sinh √ Đại Số Sơ Cấp ∞ ∞ ∞ 1 (αn − β n )xn (βx)n = − = (αx)n − − αx − βx k=0 k=0 k=0 ∞ αn − β n √ Vậy G(x) = xn k=0 √ n √ n 1+ αn − β n 1− =√ Hệ số khai triển : Fn = √ − 2 5 √ n √ 1+ 1− Vậy dãy số cần tìm có công thức tổng quát dạng : Fn = √ − 2 ⇔ 5G(x) = Nhận xét:Vậy với cách sử dụng hàm sinh tìm công thức tổng quát dãy số Fibonacci tiếng.Bây tìm hiểu thêm vài ví dụ tương tự dãy để thấy rõ tính hiểu phương pháp hàm sinh Ví Dụ 2: Tìm cơng thức tổng qt dãy số (an ) với:   a = 1; a = n ≥ 0(∗)  a n+2 = 5an+1 − 4an Giải: Đặt G(x) hàm sinh cho dãy (an ), có: G(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + (4) −5xG(x) = −5a0 − 5a1 x − 5a2 x2 − (5) 4x2 G(x) = 4a0 x2 + 4a1 x3 + (6) cộng đẳng thức kết hợp (∗) ta có: G(x) − 5xG(x) + 4x2 G(x) = a0 + (a1 − 5a0 )x + (a2 − 5a1 + 4a0 )x2 + = + 3x ⇔ (1 − 5x + 4x2 )G(x) = − 3x Do G(x) = − 3x = − 5x + 4x 1−x + 1 − 4x = (1 + x + x2 + ) + + (4x) + (4x)2 + 3 n + nên an = + 4n , n ≥ 3 3 n Vậy dãy số cần tìm có cơng thức tổng qt dạng: an = + , n ≥ 3 Nhận Xét:Như hàm sinh giải tốt toán xác định cơng thức tổng Do hệ số xn khai triển G(x) Trang n Ứng dụng hàm sinh Đại Số Sơ Cấp   a = a; a = b quát dãy số cho công thức truy hồi : n ≥ Bài toán  a = pa + qa n+2 n+1 n ví dụ ví dụ thấy hàm G(x) tam thức bậc 2, chẳng hạn ví dụ có mẫu số hàm sinh f (x) = − 5x + 4x2 có nghiệm phân biệt Vậy trường hợp mẫu số G(x) phương trình bậc có nghiệm kép làm ? ví dụ sau giúp xử lý tình Ví Dụ 3: Tìm cơng thức tổng qt dãy (an ) với:   a =a =1 n≥0  a n+2 = 4an+1 − 4an Giải: Đặt G(x) hàm sinh dãy (an ), có: G(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + (7) −4xG(x) = −4a0 x − 4a1 x2 − 4a2 x3 − (8) 4x2 G(x) = 4a0 x2 + 4a1 x3 + (9) Cộng đẳng thức ta có: G(x) − 4xG(x) + 4x2 G(x) = a0 + (a1 − 4a0 )x = − 3x ⇔ (1 − 4x + 4x2 )G(x) = − 3x − 3x − 3x x Do G(x) = = = − 2 − 4x + 4x (1 − 2x) − 2x (1 − 2x)2 ∞ ∞ n (2x) − x = n=1 ∞ n−1 (2x) n=1 (2n − n2n−1 )xn = n=1 Vậy dãy số cần tìm có cơng thức tổng qt dạng an = 2n − n2n−1 , n ≥ Nhận Xét : Trong ví dụ ví dụ 3, mẫu số hàm sinh G(x) có nghiệm thực Câu hỏi đặt mẫu số G(x) vơ nghiệm giải nào?.Dựa vào ý tưởng số phức phương pháp sai phân tìm cơng thức tổng quát dãy số thật thú vị với ý tưởng số phức , áp dụng vào hàm sinh thấy hàm sinh giải tốt Ví dụ sau thơng qua cách giải tốn nói lên ý tưởng làm Trang Ứng dụng hàm sinh Đại Số Sơ Cấp Ví Dụ 4: Tìm cơng thức tổng qt dãy số (an ) với :   a = 1; a = 1 n≥0  a n+2 = an+1 − an Giải: Đặt G(x) hàm sinh cho dãy (an ) có: G(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + (10) −xG(x) = −a0 x − a1 x2 − a2 x3 − (11) x2 G(x) = a0 x2 + a1 x3 (12) Cộng đẳng thức ta có: G(x) − xG(x) + x2 G(x) = a0 + (a1 − a0 )x + (a2 − a1 − a0 )x2 + = − x 2−x ⇔ (1 − x + x )G(x) = − x = 2 2−x A 2−x B √ √ Do G(x) = = = + √ √ 2(1 − x + x ) − 1−i x − 1−i x − 1−i x − 1+i x 2 2 Đem quy đồng đồng hệ số ta A = B = Vậy ta có: √ ∞  1−i = k=0  G(x) = 1− √ 1−i x + 1− √ 1−i x k + √ 1+i k   xk k −π −π π π k k ∞ cos( ) + i sin( ) + cos( ) + i sin( ) x = k=0 3 3 ∞ −kπ −kπ kπ kπ = cos( ) + i sin( ) + cos( + i sin( ) xk k=0 3 3 ∞ ∞ kπ k kπ k = cos x = cos x k=0 3 k=0 nπ Vậy hệ số an hàm sinh G(x) : an = cos( ) Bây ta xét trường hợp toán xác định công thức tổng quát dãy số mà vế phải có thêm hàm f (n) trước tiên ta xét dãy số có dạng:   a = a; a = b n ≥ ví dụ sau minh họa cho cách làm sử  a = pa n + + qa n+2 n n Trang Ứng dụng hàm sinh Đại Số Sơ Cấp dụng hàm sinh để tìm cơng thức tổng qt dãy số có dạng cho: Ví Dụ 5: Tìm cơng thức tổng quát dãy số (an )với :   a = 0; a = 1 n ≥ 2(∗)  a + 5a n n−1 + 6an−2 = 3n Giải Đặt G(x) hàm sinh cho dãy (an ) có: G(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + (13) 5xG(x) = 5a0 x + 5a1 x2 + 5a2 x3 + 5a3 x4 (14) 6x2 G(x) = 6a0 x2 + 6a1 x3 + 6a2 x4 + 6a3 x5 + (15) Cộng đẳng thức ta có: (1 + 5x + 6x2 )G(x) = a0 + (a1 + 5a0 )x + (a2 + 5a1 + 6a0 )x2 + (a3 + 5a2 + 6a1 )x3 + = x + 3(2x2 + 3x3 + 4x4 + ) = x + 3x(2x + 3x2 + 4x3 + ) = −2x + 3x(1 + 2x + 3x2 + 4x3 + ) 3x −2x3 + 4x2 + x = −2x + = (1 − x)2 (1 − x)2 −2x3 + 4x2 + x −2x3 + 4x2 + x = (1 + 5x + 6x2 )(1 − x)2 (3x + 1)(2x + 1)(1 − x)2 −2x + 4x + x A B C D Phân tích G(x) = = + + + (3x + 1)(2x + 1)(1 − x)2 3x + 2x + 1 − x (1 − x)2 −2 Đồng hệ số tìm : A = ; B = ;C = ;D = 16 48 −2x3 + 4x2 + x 5 1 Vậy G(x) = = − + + (3x + 1)(2x + 1)(1 − x) 16 + 3x + 2x 48 − x (1 − x)2 ∞ ∞ ∞ i ∞ = (−1)i (3x)i − (−1)i (2x)i + x + (i + 1)xi 16 i=0 i=0 48 i=0 i=0 Vậy G(x) = Hệ số xn khai triển G(x) là: 5 n 17 (−1)n 3n − (−1)n 2n + + (n + 1) = (−1)n 3n − (−1)n 2n + + 16 48 16 48 n 17 Vậy : an = (−1)n 3n − (−1)n 2n + + , n ≥ 16 48 = Trang Ứng dụng hàm sinh Đại Số Sơ Cấp Ví Dụ 6: Tìm cơng thức tổng quát dãy số (an )với :   a = 0; a = 1 n ≥ 2(∗)  a = 5a n n n−1 − 6an−2 + Đặt G(x) hàm sinh cho dãy (an ) có: G(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + (16) −5xG(x) = −5a0 x − 5a1 x2 − 5a2 x3 − 5a3 x4 − (17) 6x2 G(x) = 6a0 x2 + 6a1 x3 + 6a2 x4 + 6a3 x5 + (18) Cộng đẳng thức ta có: (1 − 5x + 6x2 )G(x) = x + ∞ (ai − 5ai−1 + 6ai−2 )xi = x + i=2 ∞ 5i xi i=2 = x + 52 x2 + 53 x3 + 54 x4 + = x + (5x)2 [1 + (5x) + (5x)2 + ] (5x)2 25x2 + x − 5x2 20x2 + x = = =x+ − 5x − 5x − 5x 20x2 + x 20x2 + x = (1 − 5x)(1 − 5x + 6x2 ) (1 − 5x)(1 − 2x)(1 − 3x) A B C 20x2 + x = + + Ta có : G(x) = (1 − 5x)(1 − 2x)(1 − 3x) − 5x − 2x − 3x Đồng hệ số được: Do G(x) = G(x) = 25 22 23 + − − 5x − 2x − 3x G(x) = 22 ∞ 23 ∞ 25 ∞ (5x)i + (2x)i − (3x)i i=0 i=0 i=0 25 n 22 n 23 n Hệ số xn khai triển G(x) là: + − nên 25 n 22 n 23 n an = + − , n ≥ Nhận Xét:Thơng qua ví dụ thấy hàm sinh công cụ hữu hiệu giải tốn xác định cơng thức tổng qt dãy số có dạng :   a = a; a = b n≥0  a n+2 = pan+1 + qan + f (n) Trang Ứng dụng hàm sinh Đại Số Sơ Cấp Câu hỏi đặt dãy số có cơng thức truy hồi tổng quát phức tạp làm ? ví dụ sau minh họa cách sử dụng hàm sinh cho trường hợp Ví Dụ 7: Tìm cơng thức tổng quát dãy số (an )với :   a = 2; a = 4; a = 31 n ≥ 2(∗)  a n+1 = 4an + 3an−1 − 18an−2 Đặt G(x) hàm sinh cho dãy (an ) có: G(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + (19) −4xG(x) = −4a0 x − 4a1 x2 − 4a2 x3 − 4a3 x4 − (20) −3x2 G(x) = −3a0 x2 − 3a1 x3 − 3a2 x4 − 3a3 x5 − (21) 18x3 G(x) = 18a0 x3 + 18a1 x4 + 18a2 x5 + 18a3 x6 + (22) Cộng đẳng thức ta có: (1 − 4x − 3x2 + 18x3 )G(x) = − 4x + 9x2 Do G(x) = − 4x + 9x2 − 4x + 9x2 = − 4x − 3x2 + 18x3 (1 + 2x)(1 − 3x)2 1 + = = + 2x (1 − 3x)2 ∞ ∞ i (i + 1)(3x)i (−2x) + i=0 i=0 Hệ số xn khai triển G(x) là: (−2)n + (n + 1)3n Vậy an = (−2)n + (n + 1)3n , n ≥ Ví Dụ 8: Tìm công thức tổng quát dãy số an với:   a = 2; a = −8; a = 4; a = −42 n ≥ 4(∗)  a = −a n n−1 + 3an−2 + 5an−3 + 2an−4 Trang Ứng dụng hàm sinh Đại Số Sơ Cấp Đặt G(x) hàm sinh cho dãy (an ) có: G(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + (23) xG(x) = a0 x + a1 x2 + a2 x3 + a3 x4 − (24) −3x2 G(x) = −3a0 x2 − 3a1 x3 − 3a2 x4 − 3a3 x5 − (25) −5x3 G(x) = −5a0 x3 − 5a1 x4 − 5a2 x5 − 5a3 x6 − (26) −2x4 G(x) = −2a0 x4 − 2a1 x5 − 2a2 x6 − 2a3 x67 − (27) Cộng đẳng thức ta có: (1 + x − 3x2 − 5x3 − 2x4 )G(x) = −8x − 4x2 − 14x3 −8x − 4x2 − 14x3 8x + 4x2 + 14x3 ⇔ G(x) = = + x − 3x2 − 5x3 − 2x4 (x + 1)3 (2x − 1) 8x + 4x2 + 14x3 A B C D = + + + 3 (x + 1) (2x − 1) x + (x + 1) (x + 1) 2x − Quy đồng đồng thức hệ số ta được:A = 6; B = −10; C = 6; D = 10 6 − + + Vậy G(x) = x + (x + 1) (x + 1) 2x − Phân tích G(x) = k k k (−1) x − 10 G(x) = k=0 ∞ ∞ ∞ ∞ k k (−1) (−1) (k + 1)x + k Ck+2 xk k=0 k=0 (2x)k −2 k=0 Hệ số xn khai triển G(x) là: an = 6(−1)n − 10(−1)n (n + 1) + 6(−1)n n2 + 3n + − 2n+1 = (3n2 − n + 2)(1−)n − 2n+1 , n ≥ Một câu hỏi đặt xây dựng cơng thức truy hồi tìm cơng thức tổng qt để làm gì? ví dụ cho ta biết ứng dụng thực tế mà phương pháp tìm cơng thức tổng quát đời, hàm sinh phương pháp hiệu để giải Ví dụ 9: Một người gửi 1000 đô la vào tài khoản tiết kiệm với lãi suất 5% năm Bắt đầu năm người lại chuyển vào tài khoản 500 la Hỏi Trang 10 Ứng dụng hàm sinh Đại Số Sơ Cấp số tiền tài khoản tiết kiệm người sau n năm bao nhiêu? Giải Gọi an số dư tài khoản tiết kiệm sau n năm Ta thấy a0 = 1000, an+1 = 1.05an + 500.Gọi G(x) = n≥0 an xn hàm sinh dãy {an }n≥0 G(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + (28) −1.05xG(x) = −1.05(a0 x + a1 x2 + a2 x3 + a3 x4 + ) (29) cộng đẳng thức ta có: 500x 1−x 500x 1000 + ⇔ G(x) = − 1.05x (1 − x)(1 − 1.05x) (1 − 1.05x)G(x) = 1000 + 1000 A B + + − 1.05x − 1.05x − x Quy đồng đồng thức hệ số ta được: A = 10000, B = −10000 1000 10000 10000 Vậy G(x) = + − − 1.05x − 1.05x 1−x Phân tích G(x) = ∞ ∞ xk k (1.05x) − 10000 G(x) = 11000 k=1 k=1 Hệ số xn khai triển G(x) là: an = 11000 · 1.05xn − 10000 thử lại ta kết IV Một Số Bài Toán Tự Luyện: Bài 1:   a = 0; a = 1 Tìm cơng thức tổng quát (an ) với : n≥2  a − 4a n n−2 = Bài 2:   a = 2; a = Tìm cơng thức tổng quát (an ) với : n≥2  a − 7a n n n−1 + 10an−2 = Bài 3: Hết Ứng dụng hàm sinh Đại Số Sơ Cấp   a = 3; a = 1 Tìm công thức tổng quát (an ) với : n≥2  a − 2a − 3a = n n−1 n−2 Bài 4:   a = 3; a = 1; a = 2 Tìm cơng thức tổng quát (an ) với : n≥3  2a = a + 2a − a n n−1 n−2 n−3 Bài 5:   a =a =1 Tìm cơng thức tổng quát (an ) với : n≥2  a = 3a − 2a + n n−1 n−2 Bài 6:   a = −4; a = −5 Tìm cơng thức tổng qt (an ) với : n≥2  a −a − 2a = 4n n n−1 n−2 Hết