Phương Pháp Sử Dụng Hàm Sinh Tìm Công Thức Tổng Quát Của Dãy Số

HÀM SINH VÀ MỘT ỨNG DỤNG ĐẶC BIỆT ỨNG DỤNG CỦA HÀM SINH VÀO TÌM CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ+LÝ THUYẾT VỀ HÀM SINH+PHƯƠNG PHÁP HÀM SINH ĐỂ TÌM CTTQ TỪ CÔNG THỨC TRUY HỒI+VÍ DỤ MINH HỌA+BÀI TẬP TỰ LUYỆN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

KHOA TOÁN - TIN HỌC

Nguyễn Khánh Linh 1411147 Hoàng Thanh Hải 1311083

Võ Phong Phú 1411232 Hạp Tiến Cây 1511025 Trần Ngọc Duy Khánh 1511135

PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG HÀM SINH TÌM CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ

MÔN ĐẠI SỐ SƠ CẤP Ngành: Sư Phạm Toán

Người hướng dẫn:

TPHCM - 2018

I Cơ sở lý thuyết hàm sinh 2

1 Định Nghĩa 2

2 Một số đẳng thức thường dùng trong hàm sinh 2

II Sơ lược về phương pháp hàm sinh để tìm công thức tổng quát của dãy số 2 III Ứng dụng hàm sinh vào các bài toán xác định công thức tổng quát 3 1 Ví Dụ 1: 3

2 Ví Dụ 2: 4

3 Ví Dụ 3: 5

4 Ví Dụ 4: 6

5 Ví Dụ 5: 7

6 Ví Dụ 6: 8

7 Ví Dụ 7: 9

8 Ví Dụ 8: 9

9 Ví dụ 9: 10

I Cơ sở lý thuyết hàm sinh

1 Định Nghĩa

Hàm sinh của dãy số vô hạn a0, a1, a2, , an, là một chuỗi hình thức được xác định bởi G(x) = a0+ a1x + a2x2+ + anxn+

2 Một số đẳng thức thường dùng trong hàm sinh

1 − x = 1 + x + x

2+ x3 +

(1 − x)2 = 1 + 2x + 3x2+ 4x3+

(1 − x)n = 1 + nx + n(n + 1)

2! x

2+n(n + 1)(n + 2)

3+ =

P∞

i=0Ci

i+n−1xi

với n ∈ N

1 + x = 1 − x + x

2− x3+

(1 − ax)2 = 1 + 2ax + 3a2x2+ 4a3x3+

1 − xr = 1 + xr+ x2r + x3r+

1 + xr = 1 − xr+ x2r − x3r+

thức tổng quát của dãy số

Tư tưởng sử dụng hàm sinh để tìm công thức tổng quát của dãy số có thể tóm tắt như sau:

Để tìm công thức tổng quát của dãy số (an) ta xét hàm sinh G(x) của dãy số (an) khi

đó do tính chất của dãy (an) nên G(x) phải thỏa mãn một số hệ thức nhất định.Giải các hệ thức đó ta được G(x) = f (x) trong đó f (x) là một hàm số chứa các biểu thức

số học (cộng,trừ,nhân,chia,lũy thừa ) ta tìm khai triển f (x) thành chuỗi và so sánh

hệ số của xn ta tìm được (an) Qua các ví dụ ở phần tiếp theo sẽ giúp ta hiểu rõ hơn

về phương pháp này

III Ứng dụng hàm sinh vào các bài toán xác định

công thức tổng quát của dãy số điển hình

Thông thường các bạn biết đến phương pháp chứng minh quy nạp hoặc phương pháp sai phân để tìm công thức tổng quát của dãy số Nay chúng ta cùng tìm hiểu một phương pháp nữa cũng khá hay để tìm công thức tổng quát của dãy số dựa trên

cơ sở hàm sinh

1 Ví Dụ 1:

Tìm công thức tổng quát của dãy Fibonaci (Fn) với :







F1 = F2 = 1

Fn= Fn−1+ Fn−2

n ≥ 3

Giải

Đặt G(x) là hàm sinh cho dãy (Fn), và giả sử F0 = 0 chúng ta có:

G(x) = F0+ F1x + F2x2+ F3x3+ (1)

−xG(x) = −F0x − F1x2− F2x3− F3x4− (2)

−x2G(x) = −F0x2− F1x3− F2x4− (3)

Từ (1),(2) và(3) ta có:

(1 − x − x2)G(x) = F0+ (F1 − F0)x + (F2− F1− F0)x2+ = x

⇔ G(x) = x

1 − x − x2

Phân tích G(x) = x

1 − x − x2 = A

1 − αx +

B

1 − βx Với α = 1 +

√

5

2 ; β =

1 −√ 5

2 là 2 nghiệm của phương trình 1 − x − x

2 = 0 Quy đồng và đồng nhất hệ số chúng ta được A = √1

5, B = −

1

√

5. Vậy G(x) = x

1 − x − x2 = √1

5

 1

1 − αx − 1

1 − βx



⇔√5G(x) =

 1

1 − αx− 1

1 − βx



=

∞

P

k=0

(αx)n−

∞

P

k=0

(βx)n=

∞

P

k=0

(αn− βn)xn Vậy G(x) =

∞

P

k=0

αn− βn

√

5 x

n

Hệ số trong khai triển là : Fn = α

n− βn

√

1

√ 5

"

1 +√ 5 2

!n

− 1 −

√ 5 2

!n#

Vậy dãy số cần tìm có công thức tổng quát dạng : Fn= √1

5

"

1 +√ 5 2

!n

− 1 −

√ 5 2

!n#

Nhận xét:Vậy với cách sử dụng hàm sinh chúng ta cũng đã tìm ra công thức tổng quát của dãy số Fibonacci nổi tiếng.Bây giờ chúng ta cùng tìm hiểu thêm một vài ví

dụ tương tự như dãy trên để thấy rõ tính hiểu quả của phương pháp hàm sinh

2 Ví Dụ 2:

Tìm công thức tổng quát của dãy số (an) với:







a0 = 1; a1 = 2

an+2= 5an+1− 4an

n ≥ 0(∗)

Giải:

Đặt G(x) là hàm sinh cho dãy (an), chúng ta có:

G(x) = a0+ a1x + a2x2+ (4)

−5xG(x) = −5a0− 5a1x − 5a2x2− (5)

4x2G(x) = 4a0x2+ 4a1x3+ (6) cộng 3 đẳng thức trên và kết hợp (∗) ta có:

G(x) − 5xG(x) + 4x2G(x) = a0+ (a1− 5a0)x + (a2− 5a1+ 4a0)x2+ = 1 + 3x

⇔ (1 − 5x + 4x2)G(x) = 1 − 3x

Do đó G(x) = 1 − 3x

1 − 5x + 4x2 = 2

3

 1

1 − x

 +1 3

 1

1 − 4x



= 2

3(1 + x + x

2+ ) +1

31 + (4x) + (4x)2+ 

Do đó hệ số của xn trong khai triển của G(x) là 2

3+

1

34

n nên an= 2

3+

1

34

n, n ≥ 0 Vậy dãy số cần tìm có công thức tổng quát dạng: an= 2

3+

1

34

n, n ≥ 0

Nhận Xét:Như vậy hàm sinh đã giải quyết tốt bài toán xác định công thức tổng

quát của dãy số cho bởi công thức truy hồi :







a0 = a; a1 = b

an+2= pan+1+ qan

n ≥ 0 Bài toán

ở ví dụ 1 và ví dụ 2 chúng ta thấy hàm G(x) là tam thức bậc 2, chẳng hạn ở ví dụ 2 chúng ta có mẫu số của hàm sinh là f (x) = 1 − 5x + 4x2 có 2 nghiệm phân biệt Vậy trong trường hợp mẫu số của G(x) là phương trình bậc 2 có nghiệm kép thì chúng ta làm như thế nào ? ví dụ sau đây sẽ giúp chúng ta xử lý tình huống đó

3 Ví Dụ 3:

Tìm công thức tổng quát của dãy (an) với:







a0 = a1 = 1

an+2 = 4an+1− 4an

n ≥ 0

Giải:

Đặt G(x) là hàm sinh của dãy (an), chúng ta có:

G(x) = a0 + a1x + a2x2 + (7)

−4xG(x) = −4a0x − 4a1x2− 4a2x3− (8)

4x2G(x) = 4a0x2+ 4a1x3 + (9) Cộng 3 đẳng thức trên ta có:

G(x) − 4xG(x) + 4x2G(x) = a0+ (a1− 4a0)x = 1 − 3x ⇔ (1 − 4x + 4x2)G(x) = 1 − 3x

Do đó G(x) = 1 − 3x

1 − 4x + 4x2 = 1 − 3x

(1 − 2x)2 = 1

1 − 2x − x

(1 − 2x)2

=

∞

X

n=1

(2x)n− x

∞

X

n=1

(2x)n−1=

∞

X

n=1

(2n− n2n−1)xn

Vậy dãy số cần tìm có công thức tổng quát dạng an = 2n− n2n−1, n ≥ 0

Nhận Xét : Trong ví dụ 2 và ví dụ 3, mẫu số hàm sinh G(x) đều có nghiệm thực Câu hỏi đặt ra nếu mẫu số của G(x) vô nghiệm thì chúng ta sẽ giải quyết như thế nào?.Dựa vào ý tưởng số phức của phương pháp sai phân tìm công thức tổng quát của dãy số thật thú vị là vẫn với ý tưởng số phức , chúng ta áp dụng vào hàm sinh

và thấy rằng hàm sinh cũng giải quyết tốt Ví dụ sau thông qua cách giải toán sẽ nói lên ý tưởng làm bài

4 Ví Dụ 4:

Tìm công thức tổng quát của dãy số (an) với :







a0 = 1; a1 = 12

an+2= an+1− an

n ≥ 0

Giải:

Đặt G(x) là hàm sinh cho dãy (an) chúng ta có:

G(x) = a0+ a1x + a2x2+ (10)

−xG(x) = −a0x − a1x2− a2x3− (11)

x2G(x) = a0x2 + a1x3 (12) Cộng 3 đẳng thức trên ta có:

G(x) − xG(x) + x2G(x) = a0 + (a1− a0)x + (a2− a1− a0)x2+ = 1 − 1

2x

⇔ (1 − x + x2)G(x) = 1 − 1

2x =

2 − x 2

Do đó G(x) = 2 − x

2(1 − x + x2) =

2 − x

21 −1−i√3

2 x 1 − 1+i√3

2 x =

A

1 −1−i

√ 3

2 x+

B

1 −1−i

√ 3

2 x Đem quy đồng và đồng nhất hệ số ta được A = B = 1

2 Vậy ta có:

G(x) = 1

2

1

1 − 1−i

√ 3

2 x +

1

1 − 1−i

√ 3

2 x

!

= 1 2

∞

P

k=0





1 − i√

3 2

!k

+ 1 + i

√ 3 2

!k

xk

= 1

2

∞

P

k=0

"

 cos(−π

3 ) + i sin(

−π

3 )

k

+cos(π

3) + i sin(

π

3)

k#

xk

= 1 2

∞

P

k=0

 cos(−kπ

3 ) + i sin(

−kπ

3 ) + cos(

kπ

3 + i sin(

kπ

3 )



xk

= 1 2

∞

P

k=0

2 coskπ

3 x

k =

∞

P

k=0

coskπ

3 x

k

Vậy hệ số an của hàm sinh G(x) là : an= cos(nπ

3 ) Bây giờ ta đi xét trường hợp bài toán xác định công thức tổng quát của dãy số mà

vế phải còn có thêm hàm f (n) trước tiên ta xét dãy số có dạng:







a0 = a; a1 = b

an+2= pann + 1 + qan

n ≥ 0 ví dụ 5 và 6 sau đây sẽ minh họa cho cách làm sử

dụng hàm sinh để tìm công thức tổng quát của dãy số có dạng đã cho:

5 Ví Dụ 5:

Tìm công thức tổng quát của dãy số (an)với :







a0 = 0; a1 = 1

an+ 5an−1+ 6an−2= 3n

n ≥ 2(∗)

Giải

Đặt G(x) là hàm sinh cho dãy (an) chúng ta có:

G(x) = a0+ a1x + a2x2+ a3x3+ (13) 5xG(x) = 5a0x + 5a1x2+ 5a2x3+ 5a3x4 (14) 6x2G(x) = 6a0x2+ 6a1x3 + 6a2x4+ 6a3x5+ (15) Cộng các đẳng thức trên ta có:

(1 + 5x + 6x2)G(x) = a0+ (a1+ 5a0)x + (a2+ 5a1+ 6a0)x2+ (a3+ 5a2+ 6a1)x3+

= x + 3(2x2+ 3x3+ 4x4+ )

= x + 3x(2x + 3x2+ 4x3+ )

= −2x + 3x(1 + 2x + 3x2+ 4x3+ )

= −2x + 3x

(1 − x)2 = −2x3+ 4x2+ x

(1 − x)2

Vậy G(x) = −2x3+ 4x2+ x

(1 + 5x + 6x2)(1 − x)2 = −2x3+ 4x2+ x

(3x + 1)(2x + 1)(1 − x)2

Phân tích G(x) = −2x3+ 4x2+ x

(3x + 1)(2x + 1)(1 − x)2 = A

3x + 1 +

B 2x + 1 +

C

1 − x+

D (1 − x)2

Đồng nhất hệ số chúng ta tìm được : A = 5

16; B =

−2

3 ; C =

5

48; D =

1 4 Vậy G(x) = −2x3+ 4x2+ x

(3x + 1)(2x + 1)(1 − x)2 = 5

16.

1

1 + 3x−2

3.

1

1 + 2x+

5

48.

1

1 − x+

1

4.

1 (1 − x)2

= 5

16

∞

P

i=0

(−1)i(3x)i− 2

3

∞

P

i=0

(−1)i(2x)i+ 5

48

∞

P

i=0

xi+ 1 4

∞

P

i=0

(i + 1)xi

Hệ số của xn trong khai triển của G(x) là:

= 5

16(−1)

n3n− 2

3(−1)

n2n+ 5

48+

1

4(n + 1) =

5

16(−1)

n3n−2

3(−1)

n2n+ n

4 +

17 48 Vậy : an= 5

16(−1)

n3n− 2

3(−1)

n2n+n

4 + 17

48, n ≥ 0

6 Ví Dụ 6:

Tìm công thức tổng quát của dãy số (an)với :







a0 = 0; a1 = 1

an = 5an−1− 6an−2+ 5n

n ≥ 2(∗)

Đặt G(x) là hàm sinh cho dãy (an) chúng ta có:

G(x) = a0+ a1x + a2x2 + a3x3 + (16)

−5xG(x) = −5a0x − 5a1x2− 5a2x3− 5a3x4− (17) 6x2G(x) = 6a0x2+ 6a1x3+ 6a2x4+ 6a3x5 + (18) Cộng các đẳng thức trên ta có:

(1 − 5x + 6x2)G(x) = x +

∞

P

i=2

(ai− 5ai−1+ 6ai−2)xi = x +

∞

P

i=2

5ixi

= x + 52x2+ 53x3+ 54x4+

= x + (5x)2[1 + (5x) + (5x)2+ ]

= x + (5x)

2

1 − 5x =

25x2+ x − 5x2

1 − 5x =

20x2 + x

1 − 5x

Do đó G(x) = 20x

2+ x (1 − 5x)(1 − 5x + 6x2) =

20x2+ x (1 − 5x)(1 − 2x)(1 − 3x)

Ta có : G(x) = 20x

2+ x (1 − 5x)(1 − 2x)(1 − 3x) =

A

1 − 5x +

B

1 − 2x +

C

1 − 3x Đồng nhất hệ số chúng ta được:

G(x) = 25

6 .

1

1 − 5x +

22

3 .

1

1 − 2x − 23

2 .

1

1 − 3x

G(x) = 25

6

∞

P

i=0

(5x)i+22

3

∞

P

i=0

(2x)i− 23

2

∞

P

i=0

(3x)i

Hệ số của xn trong khai triển của G(x) là: 25

6 5

n+ 22

3 2

n− 23

2 3

n nên

an = 25

6 5

n+22

3 2

n−23

2 3

n, n ≥ 0

Nhận Xét:Thông qua các ví dụ trên chúng ta thấy hàm sinh là một công cụ hữu hiệu giải quyết các bài toán xác định công thức tổng quát của dãy số có dạng :







a0 = a; a1 = b

an+2 = pan+1+ qan+ f (n)

n ≥ 0

Câu hỏi đặt ra đối với dãy số có công thức truy hồi tổng quát phức tạp hơn thì chúng

ta làm như thế nào ? 2 ví dụ sau đây sẽ minh họa cách sử dụng hàm sinh cho các trường hợp như thế

7 Ví Dụ 7:

Tìm công thức tổng quát của dãy số (an)với :







a0 = 2; a1 = 4; a2 = 31

an+1 = 4an+ 3an−1− 18an−2

n ≥ 2(∗)

Đặt G(x) là hàm sinh cho dãy (an) chúng ta có:

G(x) = a0+ a1x + a2x2+ a3x3+ (19)

−4xG(x) = −4a0x − 4a1x2− 4a2x3− 4a3x4− (20)

−3x2G(x) = −3a0x2 − 3a1x3− 3a2x4− 3a3x5− (21) 18x3G(x) = 18a0x3+ 18a1x4+ 18a2x5+ 18a3x6+ (22) Cộng các đẳng thức trên ta có:

(1 − 4x − 3x2+ 18x3)G(x) = 2 − 4x + 9x2

Do đó G(x) = 2 − 4x + 9x

2

1 − 4x − 3x2 + 18x3 = 2 − 4x + 9x

2

(1 + 2x)(1 − 3x)2

1 + 2x +

1 (1 − 3x)2 =

∞

X

i=0

(−2x)i+

∞

X

i=0

(i + 1)(3x)i

Hệ số của xn trong khai triển G(x) là: (−2)n+ (n + 1)3n

Vậy an = (−2)n+ (n + 1)3n, n ≥ 0

8 Ví Dụ 8:

Tìm công thức tổng quát của dãy số an với:







a0 = 2; a1 = −8; a2 = 4; a3 = −42

an= −an−1+ 3an−2+ 5an−3+ 2an−4

n ≥ 4(∗)

Đặt G(x) là hàm sinh cho dãy (an) chúng ta có:

G(x) = a0+ a1x + a2x2+ a3x3+ (23) xG(x) = a0x + a1x2 + a2x3 + a3x4− (24)

−3x2G(x) = −3a0x2− 3a1x3− 3a2x4− 3a3x5− (25)

−5x3G(x) = −5a0x3− 5a1x4− 5a2x5− 5a3x6− (26)

−2x4G(x) = −2a0x4− 2a1x5− 2a2x6− 2a3x67 − (27) Cộng các đẳng thức trên ta có:

(1 + x − 3x2− 5x3− 2x4)G(x) = −8x − 4x2− 14x3

⇔ G(x) = −8x − 4x

2− 14x3

1 + x − 3x2 − 5x3− 2x4 = 8x + 4x

2+ 14x3

(x + 1)3(2x − 1) Phân tích G(x) = 8x + 4x

2+ 14x3

(x + 1)3(2x − 1) =

A

x + 1 +

B (x + 1)2 + C

(x + 1)3 + D

2x − 1 Quy đồng và đồng nhất thức hệ số ta được:A = 6; B = −10; C = 6; D = 2

Vậy G(x) = 6

x + 1 − 10

(x + 1)2 + 6

(x + 1)3 + 2

2x − 1

G(x) = 6

∞

X

k=0

(−1)kxk− 10

∞

X

k=0

(−1)k(k + 1)xk+ 6

∞

X

k=0

(−1)kCk+2k xk− 2

∞

X

k=0

(2x)k

Hệ số của xn trong khai triển G(x) là:

an= 6(−1)n− 10(−1)n(n + 1) + 6(−1)nn

2+ 3n + 2

2 − 2n+1

= (3n2− n + 2)(1−)n− 2n+1, n ≥ 0

Một câu hỏi đặt ra vậy xây dựng công thức truy hồi và tìm công thức tổng quát để làm gì? thì ví dụ tiếp theo sẽ cho ta biết ứng dụng của nó trong thực tế và chính vì vậy mà các phương pháp tìm công thức tổng quát ra đời, trong đó hàm sinh là một phương pháp hiệu quả để giải quyết

9 Ví dụ 9:

Một người gửi 1000 đô la vào trong một tài khoản tiết kiệm với lãi suất là 5% một năm Bắt đầu mỗi năm người đó lại chuyển vào tài khoản đó 500 đô la nữa Hỏi

số tiền trong tài khoản tiết kiệm của người đó sau n năm là bao nhiêu?

Giải

Gọi an là số dư trong tài khoản tiết kiệm sau n năm Ta thấy a0 = 1000, an+1 = 1.05an+ 500.Gọi G(x) =P

n≥0anxn là hàm sinh của dãy {an}n≥0

G(x) = a0+ a1x + a2x2+ a3x3+ (28)

−1.05xG(x) = −1.05(a0x + a1x2+ a2x3+ a3x4+ ) (29) cộng các đẳng thức trên ta có:

(1 − 1.05x)G(x) = 1000 + 500x

1 − x

⇔ G(x) = 1000

1 − 1.05x+

500x (1 − x)(1 − 1.05x) Phân tích G(x) = 1000

1 − 1.05x+

A

1 − 1.05x+

B

1 − x Quy đồng và đồng nhất thức hệ số ta được: A = 10000, B = −10000

Vậy G(x) = 1000

1 − 1.05x +

10000

1 − 1.05x − 10000

1 − x G(x) = 11000

∞

X

k=1

(1.05x)k− 10000

∞

X

k=1

xk

Hệ số của xn trong khai triển G(x) là:

an = 11000 · 1.05xn− 10000 thử lại ta được kết quả đúng

Bài 1:

Tìm công thức tổng quát (an) với :







a0 = 0; a1 = 1

an− 4an−2= 0

n ≥ 2 Bài 2:

Tìm công thức tổng quát (an) với :







a0 = 2; a1 = 6

an− 7an−1+ 10an−2= 2n n ≥ 2 Bài 3:

Tìm công thức tổng quát (an) với :







a0 = 3; a1 = 1

an− 2an−1− 3an−2 = 0

n ≥ 2 Bài 4:

Tìm công thức tổng quát (an) với :







a0 = 3; a1 = 1; a2 = 2 2an= an−1+ 2an−2− an−3

n ≥ 3 Bài 5:

Tìm công thức tổng quát (an) với :







a0 = a1 = 1

an = 3an−1− 2an−2+ 2

n ≥ 2 Bài 6:

Tìm công thức tổng quát (an) với :







a0 = −4; a1 = −5

an− an−1− 2an−2 = 4n

n ≥ 2