Đề thi học kì toán lớp 8 Đề thi học kì toán lớp 8 Đề thi học kì toán lớp 8 Đề thi học kì toán lớp 8 Đề thi học kì toán lớp 8 Đề thi học kì toán lớp 8 Đề thi học kì toán lớp 8 Đề thi học kì toán lớp 8 Đề thi học kì toán lớp 8 Đề thi học kì toán lớp 8 Đề thi học kì toán lớp 8 Đề thi học kì toán lớp 8 Đề thi học kì toán lớp 8 Đề thi học kì toán lớp 8 Đề thi học kì toán lớp 8 Đề thi học kì toán lớp 8
ĐỀ 1: Câu1( đ): Phân tích đa thức sau thành nhân tử A a 1 a 3 a a 15 Câu 2( đ): Với giá trò a b đa thức: x a x 10 phân tích thành tích đa thức bậc có hệ số nguyên Câu 3( đ): tìm số nguyên a b để đa thức A(x) = x x ax b chia heát cho đa thức B( x) x x Câu 4( đ): Cho tam giác ABC, đường cao AH,vẽ phân giác Hx góc AHB phân giác Hy góc AHC Kẻ AD vuông góc với Hx, AE vuông góc Hy Chứng minh rằngtứ giác ADHE hình vuông Câu 5( đ): Chứng minh P Câu 1 1 1 2 1002 Đáp án A a 1 a 3 a a 15 a a a 0,5 ñ 0,5 ñ 0,5 ñ 0,5 ñ a 8a a 8a 15 15 8a 22 a 8a 120 8a 12 a a a a 8a 11 2 8a 10 8a 10 Giaû sử: x a x 10 x m x n ;(m, n Z ) x a 10 x 10a x m n x mn Biểu điểm m n a 10 m n 10 a 1 Khử a ta coù : mn = 10( m + n – 10) + mn 10m 10n 100 m(n 10) 10n 10) m,n nguyên ta có: m 10 1 n 10 1 v m 10 1 n 101 suy a = 12 hoaëc a =8 Ta coù: A(x) =B(x).(x2-1) + ( a – 3)x + b + 3 Để A( x) B( x) ba3400 ba 0,25 ñ 0,25 ñ 0,25 ñ 0,25 ñ 0,25 ñ 0,25 ñ 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,25 đ Tứ giác ADHE hình vuông ; Hy phân giác góc AHC mà Hx phân giác góc AHB AHC hai góc kề bù nên Hx Hy vuông góc AHB = 900 mặt khác ADH AEH = 900 Hay DHE Nên tứ giác ADHE hình chữ nhật ( 1) AHB 900 AHD 450 2 AHC 900 Do AHE 450 2 AHD AHE (2) Hay HA phân giác DHE 0,25 ñ 0,25 ñ 0,25 ñ 0,25 ñ 0,5 ñ 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ Từ (1) (2) ta có tứ giác ADHE hình vuông 1 1 P 1002 1 1 2.2 3.3 4.4 100.100 1 1 1.2 2.3 3.4 99.100 1 1 2 99 100 99 1 1 100 100 0,5 ñ 0,5 ñ 0,5 ñ 0,5 ñ ĐỀ 2: Bài 1: (2điểm) 2 a) Cho x 2xy 2y 2x 6y 13 Tính N 3x y 4xy b) Nếu a, b, c số dương đơi khác giá trị đa thức sau số dương: A a b3 c3 3abc Bài 2: (2 điểm) Chứng minh a + b + c = thì: a b a b b c c a c A 9 a b a b b c c a c Bài 3: (2 điểm) Một ô tô phải quãng đường AB dài 60 km thời gian định Nửa quãng đường đầu với vận tốc lớn vận tốc dự định 10km/h Nửa quãng đường sau với vận tốc vận tốc dự định km/h Tính thời gian tơ qng đường AB biết người đến B Bài 4: (3 điểm) Cho hình vng ABCD cạnh BC lấy điểm E Từ A kẻ đường thẳng vng góc vơi AE cắt đường thẳng CD F Gọi I trung điểm EF AI cắt CD M Qua E dựng đường thẳng song song với CD cắt AI N a) Chứng minh tứ giác MENF hình thoi b) Chứng minh chi vi tam giác CME không đổi E chuyển động BC Bài 5: (1 điểm) x 3x y Tìm nghiệm nguyên phương trình: ĐỀ 3: Bài 1: (2 điểm) a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a (b c ) (b c ) b (c a ) (c a ) c ( a b ) ( a b ) 1 b) Cho a, b, c khác nhau, khác a b c 1 Rút gọn biểu thức: N a 2bc b 2ca c 2ab Bài 2: (2điểm) a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M x y xy x y b) Giải phương trình: ( y 4,5) ( y 5,5) Bài 3: (2điểm) Một người xe máy từ A đến B với vận tốc 40 km/h Sau 15 phút, người gặp ô tô, từ B đến với vận tốc 50 km/h ô tô đến A nghỉ 15 phút trở lại B gặp người xe máy một địa điểm cách B 20 km Tính quãng đường AB Bài 4: (3điểm) Cho hình vng ABCD M điểm đường chéo BD Kẻ ME MF vng góc với AB AD a) Chứng minh hai đoạn thẳng DE CF vuông góc với b) Chứng minh ba đường thẳng DE, BF CM đồng quy c) Xác định vị trí điểm M để tứ giác AEMF có diện tích lớn Bài 5: (1điểm) 2 Tìm nghiệm nguyên phương trình: 3x y 345 ĐỀ 4: Câu1 a Phân tích đa thức sau thừa số: x4 x 2 x 3 x 4 x 5 24 x 30x 31x 30 a b c a2 b2 c2 c Cho Chứng minh rằng: 0 b c c a a b b c c a a b b Giải phương trình: Câu2 Cho biểu thức: 10 x x A :x 2 x2 x 2 x x 2 a Rút gọn biểu thức A b Tính giá trị A , Biết x = c Tìm giá trị x để A < d Tìm giá trị nguyên x để A có giá trị ngun Câu Cho hình vng ABCD, M điểm tuỳ ý đường chéo BD Kẻ ME AB, MF AD a Chứng minh: DE CF b Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy c Xác định vị trí điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn Câu a Cho số dương a, b, c có tổng Chứng minh rằng: 1 9 a b c b Cho a, b dương a2000 + b2000 = a2001 + b2001 = a2002 + b2002 Tinh: a2011 + b2011 Câu HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP Đáp án 4 2 a x + = x + 4x + - 4x = (x4 + 4x2 + 4) - (2x)2 = (x2 + + 2x)(x2 + - 2x) ( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) - 24 = (x2 + 7x + 11 - 1)( x2 + 7x + 11 + 1) - 24 = [(x2 + 7x + 11)2 - 1] - 24 = (x2 + 7x + 11)2 - 52 = (x2 + 7x + 6)( x2 + 7x + 16) = (x + 1)(x + 6) )( x2 + 7x + 16) Câu (6 điểm) Điểm (2 điểm) x 30x 31x 30 x x 1 x 5 x 6 (*) b Vì x2 - x + = (x - ) + >0 x (*) (x - 5)(x + 6) = x x x x a b c c Nhân vế của: 1 b c c a a b với a + b + c; rút gọn đpcm 10 x x Biểu thức: A :x 2 x2 x 2 x x 2 Câu (6 điểm) a Rút gọn kq: A 1 x2 (2 điểm) (2 điểm) (1.5 điểm) b x 1 1 x x 2 4 A c A x 1 d A Z Z x 1;3 x2 A HV + GT + KL (1.5 điểm) (1.5 điểm) (1.5 điểm) E A B (1 điểm) F M D Câu (6 điểm) Câu 4: (2 điểm) C AE FM DF AED DFC đpcm b DE, BF, CM ba đường cao EFC đpcm (2 điểm) (2 điểm) c Có Chu vi hình chữ nhật AEMF = 2a không đổi ME MF a không đổi SAEMF ME.MF lớn ME MF (AEMF hình vng) M trung điểm BD (1 điểm) a Chứng minh: b c 1 a a a a c 1 a Từ: a + b + c = 1 b b b a b 1 c 1 c c 1 a b a c b c a b c b a c a c b 3 2 2 29 Dấu xảy a = b = c = b (a2001 + b2001).(a+ b) - (a2000 + b2000).ab = a2002 + b2002 (a+ b) – ab = (a – 1).(b – 1) = a = hc b = Víi a = => b2000 = b2001 => b = hc b = (lo¹i) Víi b = => a2000 = a2001 => a = hc a = (lo¹i) VËy a = 1; b = => a2011 + b2011 = ĐỀ 5: (1 điểm) (1 điểm) Câu : (2 điểm) a 4a a P= a a 14a Cho a) Rút gọn P b) Tìm giá trị nguyên a để P nhận giá trị nguyên Câu : (2 điểm) a) Chứng minh tổng hai số nguyên chia hết cho tổng lập phương chúng chia hết cho b) Tìm giá trị x để biểu thức : P=(x-1)(x+2)(x+3)(x+6) có giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ Câu : (2 điểm) a) Giải phương trình : 1 1 x x 20 x 11x 30 x 13x 42 18 b) Cho a , b , c cạnh tam giác Chứng minh : A= a b c 3 bca acb abc Câu : (3 điểm) Cho tam giác ABC , gọi M trung điểm BC Một góc xMy 600 quay quanh điểm M cho cạnh Mx , My cắt cạnh AB AC D E Chứng minh : BC a) BD.CE= b) DM,EM tia phân giác góc BDE CED c) Chu vi tam giác ADE khơng đổi Câu : (1 điểm) Tìm tất tam giác vng có số đo cạnh số nguyên dương số đo diện tích số đo chu vi ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Câu : (2 đ) a) (1,5) a3 - 4a2 - a + = a( a2 - ) - 4(a2 - ) =( a2 - 1)(a-4) =(a-1)(a+1)(a-4) 3 0,5 a -7a + 14a - =( a -8 ) - 7a( a-2 ) =( a -2 )(a + 2a + 4) - 7a( a-2 ) =( a -2 )(a2 - 5a + 4) = (a-2)(a-1)(a-4) Nêu ĐKXĐ : a 1; a 2; a Rút gọn P= b) (0,5đ) P= a 1 a2 a23 1 ; ta thấy P nguyên a-2 ước 3, a2 a2 0,5 0,25 0,25 mà Ư(3)= 1;1;3;3 0,25 Từ tìm a 1;3;5 0,25 Câu : (2đ) a)(1đ) Gọi số phải tìm a b , ta có a+b chia hết cho 0,25 Ta có a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b) (a 2ab b ) 3ab = =(a+b) (a b) 3ab 0,5 Vì a+b chia hết (a+b)2-3ab chia hết cho ; Do (a+b) (a b) 3ab chia hết cho b) (1đ) P=(x-1)(x+6)(x+2)(x+3)=(x2+5x-6)(x2+5x+6)=(x2+5x)2-36 Ta thấy (x2+5x)2 nên P=(x2+5x)2-36 -36 0,25 0,5 0,25 Do Min P=-36 (x2+5x)2=0 Từ ta tìm x=0 x=-5 Min P=-36 0,25 Câu : (2đ) a) (1đ) x2+9x+20 =(x+4)(x+5) ; x2+11x+30 =(x+6)(x+5) ; x2+13x+42 =(x+6)(x+7) ; 0,25 ĐKXĐ : x 4; x 5; x 6; x 7 0,25 Phương trình trở thành : 1 1 ( x 4)( x 5) ( x 5)( x 6) ( x 6)( x 7) 18 1 1 1 x x x x x x 18 1 x x 18 0,25 18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4) (x+13)(x-2)=0 Từ tìm x=-13; x=2; 0,25 b) (1đ) Đặt b+c-a=x >0; c+a-b=y >0; a+b-c=z >0 yz xz x y ;b ;c ; 0,5 2 yz xz x y 1 y x x z y z Thay vào ta A= ( ) ( ) ( ) 0,25 2x 2y 2z 2 x y z x z y Từ suy A ( 2) hay A 0,25 Câu : (3 đ) Từ suy a= a) (1đ) Trong tam giác BDM ta có : Dˆ 120 Mˆ Vì Mˆ =600 nên ta có : Mˆ 120 Mˆ y A Suy Dˆ Mˆ x E Chứng minh BMD ∾ CEM (1) Suy D BD CM , từ BD.CE=BM.CM BM CE Vì BM=CM= BC , nên ta có b) (1đ) Từ (1) suy BD.CE= 0,5 B C M BC 0,5 BD MD mà BM=CM nên ta có CM EM BD MD BM EM Chứng minh BMD ∾ MED 0,5 Từ suy Dˆ Dˆ , DM tia phân giác góc BDE Chứng minh tương tự ta có EM tia phân giác góc CED 0,5 c) (1đ) Gọi H, I, K hình chiếu M AB, DE, AC Chứng minh DH = DI, EI = EK 0,5 Tính chu vi tam giác 2AH; Kết luận 0,5 Câu : (1đ) Gọi cạnh tam giác vuông x , y , z ; cạnh huyền z (x, y, z số nguyên dương ) Ta có xy = 2(x+y+z) (1) x2 + y2 = z2 (2) 0,25 Từ (2) suy z2 = (x+y)2 -2xy , thay (1) vào ta có : z2 = (x+y)2 - 4(x+y+z) z2 +4z =(x+y)2 - 4(x+y) z2 +4z +4=(x+y)2 - 4(x+y)+4 (z+2)2=(x+y-2)2 , suy z+2 = x+y-2 0,25 z=x+y-4 ; thay vào (1) ta : xy=2(x+y+x+y-4) xy-4x-4y=-8 (x-4)(y-4)=8=1.8=2.4 0,25 Từ ta tìm giá trị x , y , z : (x=5,y=12,z=13) ; (x=12,y=5,z=13) ; (x=6,y=8,z=10) ; (x=8,y=6,z=10) 0,25 ĐỀ 6: Bài 1: (2 điểm) 1 x : x x 2x x x x Cho biểu thức: A a/ Thu gọn A b/ Tìm giá trị x để A 0, CMR: + a b ab b, Cho a,b,c,d > a d d b bc ca CMR: + + + d b bc ca a d Bài 4: x xy y a, Tìm giá trị lớn nhất: E = với x,y > x xy y b, Tìm giá trị lớn nhất: M = x với x > ( x 1995) Bài 5: a, Tìm nghiệm Z PT: xy – 4x = 35 – 5y b, Tìm nghiệm Z PT: x2 + x + = y2 Bài 6: Cho ABC M điểm miền ABC D, E, F trung điểm AB, AC, BC; A’, B’, C’ điểm đối xứng M qua F, E, D a, CMR: AB’A’B hình bình hành b, CMR: CC’ qua trung điểm AA’ ĐỀ 10: Bài 1: (3đ) a) Phân tích đa thức x3 – 5x2 + 8x – thành nhân tử b) Tìm giá trị nguyên x để A B biết A = 10x2 – 7x – B = 2x – c) Cho x + y = x y Chứng minh 2x y x y 0 y x3 x y Bài 2: (3đ) Giải phương trình sau: a) (x2 + x)2 + 4(x2 + x) = 12 x 1 x x x x x b) 2008 2007 2006 2005 2004 2003 Bài 3: (2đ) Cho hình vuông ABCD; Trên tia đối tia BA lấy E, tia đối tia CB lấy F cho AE = CF a) Chứng minh EDF vuông cân b) Gọi O giao điểm đường chéo AC BD Gọi I trung điểm EF Chứng minh O, C, I thẳng hàng Bài 4: (2)Cho tam giác ABC vuông cân A Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển AB, AC cho BD = AE Xác địnhvị trí điểm D, E cho: a/ DE có độ dài nhỏ b/ Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ HD CHẤM Bài 1: (3 điểm) a) ( 0,75đ) b) (0,75đ) Xét x3 - 5x2 + 8x - = x3 - 4x2 + 4x – x2 + 4x – = x( x2 – 4x + 4) – ( x2 – 4x + 4) =(x–1)(x–2)2 A 10x x 5x B 2x 2x Với x Z A B (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) Z ( 2x – 3) 2x Mà Ư(7) = 1;1; 7;7 x = 5; - 2; ; A B (0,25đ) (0,25đ) x y = x x y4 y y x (y3 1)(x 1) x y (x y) ( x + y = y - 1= -x x - 1= - y) (0,25đ) = xy(y2 y 1)(x x 1) x y x y x y2 (x y) = (0,25đ) xy(x y y x y yx xy y x x 1) c) (1,5đ) Biến đổi = x y (x y 1) xy x y xy(x y) x y xy = x y (x 2 x y y) xy x y (x y) (0,25đ) = x y x(x 1) y(y 1) (0,25đ) xy(x y 3) = x y x( y) y( x) = x y ( 2xy) xy(x y 3) xy(x y 3) y) Suy điều cần chứng minh = 2(x 2 x y 3 (0,25đ) (0,25đ) Bài 2: (3 đ)a) (1,25đ) (x2 + x )2 + 4(x2 + x) = 12 đặt y = x2 + x y2 + 4y - 12 = y2 + 6y - 2y -12 = (y + 6)(y - 2) = y = - 6; y = * x2 + x = - vơ nghiệm x2 + x + > với x * x2 + x = x2 + x - = x2 + 2x - x - = x(x + 2) – (x + 2) = (x + 2)(x - 1) = x = - 2; x = Vậy nghiệm phương trình x = - ; x =1 (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) x 1 x x x x x x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 2008 2007 2006 2005 2004 2003 2008 2007 2006 2005 2004 2003 b) (1,75đ) (0,25đ) x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 2008 2007 2006 2005 2004 2003 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 2008 2007 2006 2005 2004 2003 (0,25đ) ( x 2009)( 1 1 1 ) (0,5đ) 2008 2007 2006 2005 2004 2003 Vì Do : 2008 2007 2006 2005 2004 E B EDF = 90 Vậy C F O Mà Eˆ Eˆ Fˆ1 = 900 Fˆ Eˆ Fˆ1 = 900 I ADE = CDF (c.g.c) EDF cân D Mặt khác: ADE = CDF (c.g.c) Eˆ Fˆ 1 2006 2003 (0,25đ) Vậy x + 2009 = x = -2009 2003 Bài 3: (2 điểm) a) (1đ) Chứng minh EDF vuông cân Ta có 1 ; ; 2008 2005 2007 2004 A D EDF vuông cân b) (1đ) Chứng minh O, C, I thẳng Theo tính chất đường chéo hình vng CO trung trực BD Mà EDF vuông cân DI = EF Tương tự BI = EF DI = BI I thuộc dường trung trực DB I thuộc đường thẳng CO Hay O, C, I thẳng hàng Bài 4: (2 điểm) a) (1đ) DE có độ dài nhỏ Đặt AB = AC = a không đổi; AE = BD = x (0 < x < a) B D A C E Áp dụng định lý Pitago với ADE vuông A có: DE2 = AD2 + AE2 = (a – x)2 + x2 = 2x2 – 2ax + a2 = 2(x2 – ax) – a2 (0,25đ) 2 a a a = 2(x – )2 + (0,25đ) 2 a Ta có DE nhỏ DE2 nhỏ x = (0,25đ) a (0,25đ) BD = AE = D, E trung điểm AB, AC b) (1đ) Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ 1 1 Ta có: SADE = AD.AE = AD.BD = AD(AB – AD)= (AD2 – AB.AD) (0,25đ) 2 2 2 AB AB AB2 AB AB AB = – (AD – AD + )+ = – (AD – ) + (0,25đ) 2 8 AB2 AB2 Vậy SBDEC = SABC – SADE – = AB2 không đổi (0,25đ) 8 Do SBDEC = AB2 D, E trung điểm AB, AC (0,25đ) ... ta : xy=2(x+y+x+y-4) xy-4x-4y= -8 (x-4)(y-4) =8= 1 .8= 2.4 0,25 Từ ta tìm giá trị x , y , z : (x=5,y=12,z=13) ; (x=12,y=5,z=13) ; (x=6,y =8, z=10) ; (x =8, y=6,z=10) 0,25 ĐỀ 6: Bài 1: (2 điểm) 1 ... ( x 4)( x 5) ( x 5)( x 6) ( x 6)( x 7) 18 1 1 1 x x x x x x 18 1 x x 18 0,25 18( x+7)- 18( x+4)=(x+7)(x+4) (x+13)(x-2)=0 Từ tìm x=-13; x=2; 0,25 b)... tích số đo chu vi ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Câu : (2 đ) a) (1,5) a3 - 4a2 - a + = a( a2 - ) - 4(a2 - ) =( a2 - 1)(a-4) =(a-1)(a+1)(a-4) 3 0,5 a -7a + 14a - =( a -8 ) - 7a( a-2 ) =( a -2 )(a