bộ đề thi học kì toán lớp 9

I CHÖÙNG MINH HAI ÑOAÏN THAÚNG BAÈNG NHAU: 1 Chöùng minh hai tam giaùc baèng nhau => 2 caïnh baèng nhau 2 Cuøng baèng ñoaïn thaúng thöù 3 3 Laø 2 caïnh cuûa tam giaùc caân hay ñeàu. 4 Caùc caïnh ñoái cuûa hình bình haønh, hình chöõ nhaät; caïnh cuûa hình vuoâng, hình thoi 5 Lôïi duïng vaøo moät soá tính chaát cuûa trung ñieåm; ñöôøng cheùo caùc hình, hình thang caân; ñöôøng trung tröïc ñoaïn thaúng. 6 Tính chaát veà ñöôøng trung bình cuûa tam giaùc, hình thang. 7 Lôïi duïng caùc ñaïi löôïng baèng nhau trong ñöôøng troøn; tính chaát veà ñoái xöùng truïc, ñoái xöùng taâm. I CHÖÙNG MINH HAI GOÙC BAÈNG NHAU: 1 Chöùng minh hai tam giaùc baèng nhau => 2 goùc baèng nhau 2 Cuøng baèng goùc thöù 3 hoaëc cuøng coäng vaøo goùc thöù 3 thì baèng nhau 3 Laø 2 goùc ñaùy cuûa tam giaùc caân hay ñeàu. 4 Caùc goùc ñoái cuûa hình bình haønh, goùc ñaùy cuûa hình thang caân. 5 Hai tam giaùc ñoàng daïng coù caùc goùc töông öùng baèng nhau. 6 Tính chaát goùc noäi tieáp cuûa ñöôøng troøn, hay goùc ôû taâm. 7 Tính chaát veà ñoái xöùng truïc, ñoái xöùng taâm. 8 Tính chaát cuûa 2 ñöôøng thaúng song song. 9 Lôïi duïng vaøo caùc goùc baèng nhau roài bieán ñoåi. 10 Tính chaát goùc ñoái ñænh, goùc coù caïnh vuoâng goùc, goùc coù caïnh song song. III CHÖÙNG MINH HAI ÑÖÔØNG THAÚNG SONG SONG: 1 Chöùng minh caùc caëp goùc ñoàng vò, … baèng nhau hay caùc goùc trong cuøng phía buø nhau. 2 Cuøng song song vôùi ñoaïn thaúng thöù 3 3 Cuøng vuoâng goùc vôùi ñoaïn thaúng thöù 3 4 Laø caùc caïnh ñoái cuûa hình bình haønh, hình chöõ nhaät; hình vuoâng, hình thoi. 5 Ñöôøng trung bình cuûa tam giaùc IV CHÖÙNG MINH HAI ÑÖÔØNG THAÚNG VUOÂNG GOÙC: 1 Lôïi duïng hai goùc keà baèng nhau. 2 Lôïi duïng caùc goùc vuoâng cho tröôùc hoïc caùc goùc phuï nhau 3 Lôïi duïng ñoaïn thaúng thöù 3 laøm trung gian 4 Lôïi duïng tính chaát cuûa tam giaùc caân, tam giaùc ñeàu. 5 Lôïi duïng vaøo ñöôøng trung tröïc ñoaïn thaúng 6 Tính chaát ñöôøng cheùo cuûa hình thoi, hình vuoâng. V CHÖÙNG MINH CAÙC ÑIEÅM THAÚNG HAØNG: 1 Lôïi duïng goùc keà buø.

Trang 1

ĐỀ SỐ 1

LỚP DẠY KÈM TOÁN 9

№Bài 1: Cho đường tròn (O; R), dây AB = R 2 Tính số đo hai cung AB

№Bài 2: Hai tiếp tuyên AB của đường tròn (O; R) cắt nhau tại M Biết OM = 2R Tính số đo

của góc ở tâm AOB ?

№Bài 3: Trên một đường tròn, có cung AB bằng 1400, cung AD nhận B làm điểm chính giữa, cung CB nhận A làm điểm chính giữa Tính số đo cung nhỏ CD và cung lớn CD

№Bài 4: Cho hai đường tròn (O), (O’) cắt nhau tại A, B Đường phân giác của góc OBO’

cắt các đường tròn (O), (O’) tương ứng tại C và D

Hãy so sánh các góc ở tâm BOC và BO’D

Hướng dẫn: Sử dụng các tam giác cân OBC, O’BD

C A

D

O 1 2 O’

B

KIẾN THỨC CƠ BẢN

YÊU CẦU HỌC THUỘC *** TRƯỚC KHI ĐẾN LỚP

BÀI 1*GÓC Ở TÂM – SỐ ĐO CUNG

1 GÓC Ở TÂM :

Định nghĩa

KHÔNG CHUYÊN TÂM HỌC HÀNH *** THÌ KHÔNG THỂ HỌC THÀNH

Góc có đỉnh trùng với tâm của đường tròn được gọi là góc ở tâm

Trang 2

Nhận xét: Mỗi góc ở tâm cắt đường tròn tại hai điểm, do đó xác định hai cung Với các góc

α (00 < α < 1800) thì cung nằm bên trong góc được gọi là “cung nhỏ” và cung nằm bên ngoài góc được gọi là “cung lớn”

Định nghĩa

3 – SO SÁNH HAI CUNG :

4– KHI NÀO sđ»AB = sđ»AC + sđ»CB :

Cho C là một điểm nằm trên cung AB (Hình 3, 4 – tr68 – SGK) khi đó ta nói :

Điểm C chia cung AB thành hai cung AC và CB

Định lí

LIÊN HỆ GIỮA CUNG VÀ DÂY

ĐỀ SỐ 2

№Bài 1: Cho đường tròn (O), dây AB Gọi M là điểm chính giữa cung AB Vẽ dây MC cắt dây

AB tại D Vẽ đường vuông góc với AB tại D, cắt OC ở K Chứng minh rằng tam giác KCD là tam giác cân

Hướng dẫn: Sử dụng tính chất “đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông

góc với dây căng cung ấy”

№Bài 2: Cho đường tròn (O) bán kính R Vẽ góc ở tâm AOB

= 800, vẽ góc ở tâm

BOC = 1200 kề với AOB

So sánh và sắp xếp độ dài AB theo thứ tự tăng dần

Hướng dẫn: Sử dụng tính chất : Số đo của góc ở tâm bằng số đo của cung bị chắn.

Cung lớn hơn căng dây lớn hơn

Hướng dẫn: Sử dụng kết quả của các định lí 1 và định lí 2.

Nếu điểm C nằm trên cung AB thì:

sđ»AB = sđ»AC + sđ»CB

Số đo của cung AB (kí hiệu sđ »AB) được xác định như sau:

 Số đo (độ) của cung nhỏ AB bằng số đo (độ) của góc ở tâm chắn cung đó

 Số đo (độ) của cung lớn AB bằng 3600 trừ đi số đo (độ) cung nhỏ AB

 Số đo (độ) của nửa đường tròn bằng 1800

Ta chỉ so sánh hai cung trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau Khi đó :

 Hai cung được gọi là bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau

 Trong hai cung, cung nào có số đo lớn hơn được gọi là cung lớn hơn

Hai cung AB và CD bằng nhau được kí hiệu »AB = »CD

Trang 3

Vẽ đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác DBC Từ O lần lượt hạ các đường vuông góc OH, OK xuống BC và BD (H BC, K BD)

a) Chứng minh rằng OH < OK

b) So sánh hai cung nhỏ BD và BC

Hướng dẫn: Sử dụng bất đẳng thức tam giác và định lí dây cung và khoảng cách đến tâm.

№Bài 4: Cho đường tròn (O) Gọi I là điểm chính giữa của cung AB(không phải là cung nửa

đường tròn) và H là trung điểm của dây AB Chứng minh rằng đường thẳng IH đi qua tâm của đường tròn

Hướng dẫn: Sử dụng định lí 1 và tính chất đường trung trực.

BÀI 2 * LIÊN HỆ GIỮA CUNG VÀ DÂY

1 CUNG VÀ DÂY :

Cho hai điểm A, B trên một đường tròn tâm O

Phần đường tròn nằm trong một nửa mặt phẳng

bờ AB là một cung của đường tròn (O) .O

Đoạn thẳng AB là dây cung căng cung AB Ta A

cũng nói cung AB căng dây AB

Định lí 1

D Trong hình : »AB = »CD  AB = CD

O C

AB = CD  »AB = »CD

Định lí 2

A B

Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau:

a) Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau

b) Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau

Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau:

a) Cung lớn hơn căng dây lớn hơn

b) Dây lớn hơn căng cung lớn hơn

Trang 4

Chú ý

GÓC NỘI TIẾP

ĐỀ SỐ 3

№Bài 1: Cho đường tròn (O) và hai đường kính AB, CD vuông góc với nhau Lấy một điểm M

trên cung AC rồi vẽ tiếp tuyến với đường tròn (O) tại M Tiếp tuyến này cắt đường thẳng CD

tại S Chứng minh rằng MSD

= 2.MBA

№Bài 2: Cho đường tròn (O) và hai dây AB, AC bằng nhau Qua A vẽ một cát tuyến cắt dây

BC ở D và cắt đường tròn (O) ở E Chứng minh rằng AB2 = AD.AE

A

O D

B C

E

№Bài 3: Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O) và M là một điểm trên cung nhỏ BC

Trên MA lấy điểm D sao cho MD = MB

a) Hỏi tam giác MBD là tam giác gì ?

b) So sánh hai tam giác BDA và BMC

c) Chứng minh rằng MA = MB + MC

A

O D

B C

M

* Giữa đường kính với dây và cung căng dây có sự liên hệ như : “ Đường kính vuông góc với dây thì :

 Đường kính đi qua trung điểm của dây

 Đường kính đi qua điểm chính giữa của cung”

 Hai cung chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau

Trang 5

1 ĐỊNH NGHĨA :

A Trong hình minh họa bên, ta thấy :

* ABC

là góc nội tiếp chắn cung AbC¼ (viết tắc là »AC và được hiểu

b c là cung »AC không chứa điểm B)

là góc nội tiếp chắn cung »BA

a * CAB

là góc nội tiếp chắn cung »CB

C

2 ĐỊNH LÍ :

A

Ta minh họa định lí bằng hình vẽ bên:

O ABC

= 1

2 sđ»AC = 1

2 AOC



B C

3.HỆ QUẢ :

GÓC TẠO BỞI TIA TIẾP TUYẾN VÀ DÂY CUNG

ĐỀ SỐ 4

Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của

đường tròn đó

Cung nằm bên trong góc được gọi là cung bị chắn

Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn

Trong một đường tròn

Hệ quả 1 : Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau.

Hệ quả 2 : Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.

Hệ quả 3 : Góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng 900) có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm

Hệ quả 4 : Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.

Trang 6

№Bài 1: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B Trên đường thẳng AB lấy một

điểm M (điểm M không thuộc đoạn thẳng AB) Vẽ tiếp tuyến MT của đường tròn (O) và cát tuyến MCD của đường tròn (O’)

Chứng minh rằng MT2 = MC.MD

№Bài 2: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB Trên tia đối của tia AB lấy một điểm M Vẽ

tiếp tuyến MC với nửa đường tròn Gọi H là hình chiếu của C trên AB

a) Chứng minh rằng tia CA là tia phân giác của góc MCH

b) Giả sử MA = a, MC = 2a, tính AB

№Bài 3: Hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B Qua A vẽ cát tuyến CAD với hai

đường tròn (C (O), D (O’))

a) Chứng minh rằng khi cát tuyến quay xung quanh điểm A thì CBD

có số đo không đổi

b) Từ C và D vẽ hai tiếp tuyến với đường tròn Chứng minh rằng hai tiếp tuyến này hợp với nhau một góc có số đo không đổi khi cát tuyến CAD quay xung quanh điểm A

Hướng dẫn: Vì A, B là hai điểm cố định nên sđ»AB nhỏ của cả hai đường tròn không đổi Dựa vào định lí “Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn” Ta đi chứng minh các góc liên quan đến sđ»AB nhỏ

Bài giải : M

C

A

O m n O’ D

B

BÀI 4 * GÓC TẠO BỞI TIA TIẾP TUYẾN VÀ DÂY CUNG

1 KHÁI NIỆM GÓC TẠO BỞI TIA TIẾP TUYẾN VÀ DÂY CUNG :

Trong hình vẽ bên :

 xy là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A Tiếp điểm A là gốc chung của hai tia đối nhau Ax, Ay

Góc BAx có đỉnh A nằm trên đường tròn, cạnh Ax B O

là một tia tiếp tuyến còn cạnh kia chứa cung AB

Ta gọi một góc như vậy là “ Góc tạo bởi tia tiếp

 Dây AB căng hai cung Cung nằm bên trong góc A

là cung bị chắn

* BAx

có cung bị chắn là cung nhỏ AB

* BAy

có cung bị chắn là cung lớn AB

2 ĐỊNH LÍ

Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của cung bị chắn

Trang 7

 BAx =

2sđ »AB nhỏ

 BAy = 1

2sđ »AB lớn

3 HỆ QUẢ

GÓC CÓ ĐỈNH Ở BÊN TRONG ĐƯỜNG TRÒN

GÓC CÓ ĐỈNH Ở BÊN NGOÀI ĐƯỜNG TRÒN

ĐỀ SỐ 5

№Bài 1: Cho tam giác ABC vuông A Đường tròn đường kính AB cắt BC ở D Tiếp tuyến ở D

cắt AC ở P Chứng minh PD = PC

A

O

B D C x

№Bài 2: Hai dây cung AB và CD kéo dài cắt nhau tại điểm E ở ngoài đường tròn (O) (B nằm

giữa A và E, C nằm giữa D và E) Cho biết CBE

= 750, CEB

= 220, AOD

= 1440 Chứng minh AOB

= BAC

Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau

Trang 8

№Bài 3: A, B, C là ba điểm thuộc đường tròn (O) sao cho tiếp tuyến tại A cắt tia BC tại D Tia

phân giác của BAC

cắt đường tròn ở M, tia phân giác của D

cắt AM ở I

Chứng minh DI  AM

A

1 2 1 D

I 2

N C

B M

BÀI 5 * GÓC CÓ ĐỈNH Ở BÊN TRONG ĐƯỜNG TRÒN

GÓC CÓ ĐỈNH Ở BÊN NGOÀI ĐƯỜNG TRÒN

Trong hình 31, góc BEC có đỉnh E nằm bên trong A

đường tròn (O) được gọi là: Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn

Ta quy ước rằng mỗi góc có đỉnh bên trong đường tròn chắn hai O

cung, một cung nằm bên trong góc và cung kia nằm bên trong góc E

đối đỉnh của nó

Trên hình 31, hai cung bị chắn của góc BEC là BnC¼ và AmD¼ C

2 GÓC CÓ ĐỈNH Ở BÊN NGOÀI ĐƯỜNG TRÒN :

Các góc trên các hình dưới đây có đặc điểm chung là : Đỉnh nằm ngoài đường tròn, các cạnh đều có điểm chung với đường tròn Mỗi góc đó được gọi là góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn Mỗi góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn có hai cung bị chắn Đó là hai cung nằm bên trong góc

C

E D C

A O A O O

B

B B

Hình 33 Hình 34 Hình 35

Góc BEC có hai cạnh cắt đường Góc BEC có một cạnh là Góc BEC có hai cạnh là tròn, hai cung bị chắn là hai cung tiếp tuyến tại C và cạnh kia hai tiếp tuyến tại B và C nhỏ AD và BC là cát tuyến, hai cung bị chắn hai cung bị chắn là cung

là hai cung nhỏ AC và CB nhỏ BC và cung lớn BC

Định lí

Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn

Số đo của góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn

Trang 9

ĐỀ SỐ 6

№Bài 1: Cho tam giác ABC có cạnh BC cố định và Â =  không đổi Tìm quỹ tích giao điểm của ba đường phân giác trong của tam giác đó

№Bài 2 Cho nửa đường tròn đường kính AB cố định C là một điểm trên nửa đường tròn,

trên dây AC kéo dài lấy điểm D sao cho CD = CB

a) Tìm quỹ tích các điểm D khi C chạy trên nửa đường tròn đã cho

b) Trên tia CA lấy điểm E sao cho CE = CB Tìm quỹ tích các điểm E khi C chạy trên nửa đường tròn đã cho

№Bài 3 Cho nửa đường tròn đường kính AB và C là một điểm cố định trên nửa đường tròn

Trên bán kính OC lấy điểm D sao cho OD bằng khoảng cách CH từ C đến AB

Tìm quỹ tích các điểm D khi C chạy trên nửa đường tròn đã cho

BÀI 6 * CUNG CHỨA GÓC

1*BÀI TOÁN QUỸ TÍCH “ CUNG CHỨA GÓC”

Trang 10

Bài toán: Cho đoạn thẳng AB và góc (00 <  < 1800) Tìm quỹ tích (tập hợp) các điểm M thỏa mãn AMB

=  (Ta cũng nói quỹ tích các điểm M nhìn đoạn thẳng AB cho trước dưới góc )

Chú ý:

 Hai cung chứa góc  nói trên là hai cung tròn đối xứng với nhau qua AB

 Hai điểm A, B được coi là thuộc quỹ tích

 Khi  = 900 thì hai cung AmB và Am’B là hai nửa đường tròn đường kính AB Như vậy

ta có: Quỹ tích các điểm nhìn đoạn thẳng AB cho trước dưới một góc vuông là đường tròn đường kính AB

* Cách dựng cung chứa góc  (00 <  < 1800) trên đoạn AB = a cho trước

Phương pháp:

 Dựng đoạn thẳng AB = a và đường trung trực d của đoạn thẳng AB

 Dựng tia Ax tạo với AB góc  (xAB

= )

 Dựng tia Ay vuông góc với Ax cắt d tại O

 Dựng cung AmB, tâm O, bán kính OA sao cho cung này nằm ở nửa mặt phẳng bờ

AB không chứa tia Ax AmB¼ được dựng như trên là một cung chứa góc 

2 CÁCH GIẢI BÀI TOÁN QUỸ TÍCH

Muốn chứng minh quỹ tích (tập hợp) các điểm M thỏa mãn tính chất T là một hình H nào

đó, ta phải chứng minh hai phần:

Phần thuận: Mọi điểm có tính chất T đều thuộc hình H Gọi M là một điểm bất kì có tính chất T, ta đi chứng minh M thuộc H

Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình H đều có tính chất T Gọi M là một điểm bất kì thuộc hình

H, ta đi chứng minh điểm M có tính chất T

Kết luận: Quỹ tích (hay tập hợp) các điểm M có tính chất T là hình H

3 CÁC BÀI TOÁN QUỸ TÍCH ĐÃ HỌC.

 Quỹ tích các điểm cách điểm O cố định một khoảng R không đổi là đường tròn (O; R)

 Quỹ tích các điểm nằm trong một góc cố định và cách đều hai cạnh của góc là tia phân giác của góc ấy

 Quỹ tích các điểm cách đều hai điểm A, B cố định là đường trung trực của AB

 Quỹ tích các điểm cách đều đường thẳng xy cố định một khoảng h không đổi là hai

đường thẳng song song với xy và có khoảng cách đến xy bằng h

TỨ GIÁC NỘI TIẾP

ĐỀ SỐ 7

№Bài 1: Trên đường tròn tâm O có một cung AB và một điểm S chính giữa của cung đó Trên

dây AB lấy hai điểm E và H Các đường thẳng SH và SE cắt đường tròn theo thứ tự tại C và D

Chứng minh EHCD là một tứ giác nội tiếp

C

D O

B

E H A

S

Trang 11

B C

phân giác trong của B

vàC

cắt nhau tại E Chứng minh BSCE là một tứ giác nội tiếp

№Bài 3: Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tại E Biết AE EC = BE.ED Chứng minh

bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn

№Bài 4: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Vẽ các đường cao AI, BK, CL của tam giác ấy

Gọi H là giao điểm của các đường cao vừa vẽ

a) Chỉ ra các tứ giác nội tiếp có đỉnh lấy trong số các điểm A, B, C, H, I, K, L

b) Chứng minh LBH

, LIH

,KIH

và KCH

là 4 góc bằng nhau

c) Chứng minh KB là tia phân giác của LKI

BÀI 7 * TỨ GIÁC NỘI TIẾP

1 KHÁI NIỆM TỨ GIÁC NỘI TIẾP :

Định nghĩa

Ví dụ: Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp

Tứ giác MNPQ, MNP’Q không là tứ giác nội tiếp

2 ĐịNH LÍ:

Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn (gọi tắc là tứ giác nội tiếp)

Trong một tứ giác nội tiếp tổng số đo hai góc đối nhau bằng 1800

Trang 12

Chứng minh: Â + C = 1800; B + D = 1800

Hướng dẫn: Cộng số đo hai cung cùng căng một dây

Chứng minh: Â + C

= 1

2sđBCD¼ + 1

2 sđBAD¼ = 1

2(sđBCD¼ + sđBAD¼ ) = 1800

3 ĐịNH LÍ ĐẢO:

ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP***ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP

ĐỀ SỐ 8

№Bài 1: a) Tính cạnh của một ngũ giác đều nội tiếp đường tròn bán kính 3cm.

b) Tính cạnh của một ngũ giác đều ngoại tiếp đường tròn bán kính 3cm

№Bài 2: Tính cạnh của hình tám cạnh đều theo bán kính R của đường tròn ngoại tiếp.

a = 2Rsin 1800

n A B Cách 2: Tính trực tiếp

Vẽ dây AB là cạnh của một hình vuông

nội tiếp đường tròn (O), gọi C là điểm

chính giữa của cung nhỏ AB Khi đó O

CA là cạnh của hình tám cạnh đều

nội tiếp

Hãy tính CA trong tam giác vuông CAC’

C’

№Bài 3: Trong đường tròn (O ; R) cho một dây AB bằng cạnh hình vuông nội tiếp và dây BC

bằng cạnh tam giác đều nội tiếp (điểm C và điểm A ở cùng một phía đối với BO)

Tính các cạnh AB, BC của tam giác ABC và đường cao AH của nó theo R

Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 1800 thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn

Định dạng
Số trang	15
Dung lượng	377 KB