Phương Pháp Suy Luận Giải Toán Bằng Quy Tắc Tính Diện Tích Hình Chữ Nhật

Đến lớp 4 và 5 thì các em đã được làm quen với các bài toán điển hình và các cách giải các bài toán ấy, bằng cách biết tóm tắt nội dung của bài toán dưới nhiều dạng khác nhau như: bằng l

Phương pháp suy luận giải toán bằng quy tắc

“Tính diện tích hình chữ nhật”

I ĐẶT VẤN ĐỀ:

1 Cơ sở lí luận:

Bậc tiểu học được coi là bậc học nền tảng giáo dục phổ thông Vào học bậc tiểu học là học sinh thực sự bước vào quá trình rèn luyện, bước đầu hình thành vốn kiến thức cho mình Trong đó phải kể đến tầm quan trọng của việc lĩnh hội tri thức toán

học Đặc biệt dạy học giải toán có văn cho học sinh tiểu học là dạy cho các em biết

phân tích tính toán cụ thể các bài toán thực tế, không những thế còn giúp các em phát triển được tư duy và khả năng sáng tạo qua các bài toán có tính chất nâng cao Ngay

từ lớp 1 học sinh đã bắt đầu làm quen với dạng toán có văn dạng đơn giản Ở đây các

em đã được học tính toán với các con số không phải chỉ trong dãy tính (biểu thức) mà

còn ở các bài toán có văn Cụ thể các em đã làm quen với các lời giải cho mỗi phép

tính Đến lớp 4 và 5 thì các em đã được làm quen với các bài toán điển hình và các cách giải các bài toán ấy, bằng cách biết tóm tắt nội dung của bài toán dưới nhiều dạng khác nhau như: bằng lời, bằng sơ đồ đoạn thẳng,…

Để giúp học sinh phát triển được tư duy và khả năng sáng tạo qua các bài toán

có văn, trước khi lên lớp giáo viên phải biết thiết kế bài giảng để phát huy tính tích

cực, chủ động học tập của học sinh Ngoài các cách giải thông thường, giáo viên cần hướng dẫn thêm và yêu cầu học sinh tìm tòi thêm một số cách giải khác

Khi giải các bài toán bậc tiểu học chúng ta hay gặp những bài toán đề cập đến

ba đại lượng Trong đó giá trị của một đại lượng bằng tích của hai đại lượng kia, chẳng hạn đó là các bài toán về:

Bài toán về đại lượng tỉ lệ nghịch

Tính vận tốc, quãng đường, thời gian Ở đây quãng đường bằng tích của vận tốc và thời gian

Tính lưu lượng (sức chảy) của vòi nước, dung tích (thể tích) bể nước và thời gian nước chảy Ở đây thể tích nước chảy vào bể bằng tích của lưu lượng nước và thời gian mở nước

Tính năng suất, sản lượng, diện tích Ở đây sản lượng bằng tích của năng suất

và diện tích

Một số bài toán khác v.v…

2 Cơ sở thực tiễn:

Đối với các bài toán vừa nêu trên, ở các cách giải thông thường ta nhận thấy nhiều khi rất khó mô tả một cách trực quan qua các mối quan hệ giữa các đại lượng, để học sinh dễ hiểu, dễ suy luận, bởi vì nói chung các cách biểu thị trực quan ấy đều dựa vào quan điểm: coi phép nhân là phép cộng liên tiếp các số hạng bằng nhau Do đó đối với phép nhân mà cả hai thừa số đều biến đổi thì khó có thể biểu thị trực quan được

Để khắc phục triệt để khó khăn này, tôi đưa ra cánh hướng dẫn cho học sinh

“Cách biểu diễn tích của hai đại lượng bằng diện tích của một hình chữ nhật có hai cạnh lần lượt là giá trị biến thiên của hai đại lượng đó” Vì đây là một hình

thức hỗ trợ suy luận mới

Ta nhận thấy hầu hết các giáo viên chưa làm quen với phương pháp này Nên chưa mạnh dạn đưa ra áp dụng để dạy cho học sinh sử dụng, nhiều giáo viên còn bỡ ngỡ và lúng túng Nhưng khi đã quen ta sẽ thấy nó giúp ích khá nhiều trong việc cụ thể hoá các mối quan hệ toán học giữa ba đại lượng và do đó làm cho việc suy luận giải toán được dễ dàng hơn Sau đây tôi xin phép được trình bày một số ví dụ qua các bài toán mà tôi đã nêu trên

II.GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

Để học sinh giải được các bài toán có liên quan đến: bài toán về đại lượng tỉ lệ nghịch; Tính vận tốc, quãng đường, thời gian Tính lưu lượng (sức chảy) của vòi nước, dung tích (thể tích) bể nước và thời gian nước chảy Tính năng suất, sản lượng, diện tích và một số bài toán khác v.v…thì trước hết người giáo viên phải hướng dẫn cho học sinh xác định đúng các đại lượng của bài toán đã cho

Ở hệ thống các bài tập sau đây tôi đưa ra từ ba ví dụ cơ bản rồi từ đó phát triển thành hệ thống các bài tập cho học sinh tự luyện

Hệ thống các bài tập được thể hiện như sau:

Dạng 1: Toán chuyển động đều, với ba đại lượng:

Vận tốc, thời gian và quãng đường.

Bài toán 1: Một ô tô đi từ thành phố Vinh đến thành phố Huế, dự định đi với vận tốc 50km/h, nên đã đến thành phố Huế sớm hơn 2 giờ so với dự định Tính độ dài quãng đường từ thành phố Vinh đến thành phố Huế.

Phân tích:

*Bước 1: Cho học sinh tìm hiểu đề bài:

- Bài toán cho biết gì?

- Bài toán hỏi gì?

* Bước 2: Yêu cầu học sinh xác định các đại lượng và vẽ sơ đồ

(HS xác định được ba đại lượng đó là: Vận tốc; Thời gian; Quãng đường)

* Bước 3: Giúp các em tư duy để tìm lời giải của bài toán (GV đưa ra hệ thống câu hỏi gợi mở khi học sinh lúng túng?)

*Bước 4: HS trình bày bài giải

Bài giải:

Biểu thị vận tốc ô tô bằng cạnh nằm ngang và thời gian xe chạy bằng cạnh thẳng đứng của hình chữ nhật Khi đó quãng đường xe chạy chính là diện tích hình chữ nhật (vì S = v x t)

Ta có sơ đồ:

Biểu thị thời gian đi từ thành phố Vinh đến

thành phố Huế với vận tốc 40km/h là đoạn

ON, thì thời gian đi với vận tốc 50km/h là

đoạn OB Đoạn OB ngắn hơn đoạn ON một

đoạn BN ứng với 2 giờ

Ngoài ra đoạn MA biểu thị hiệu hai vận tốc,

ứng với 50 - 40 = 10(km/h)

Vì cùng biểu thị quãng đường từ thành phố Vinh đến thành phố Huế nên diện tích hình chữ nhật OACB và OMPN là bằng nhau, cùng bớt đi phần chung là OMQB

ta có:

S1 = S2 = BQ  BN = 40  2 = 80

Vậy MQ  MA = 80 km hay MQ  10 = 80

Suy ra MQ = 80 : 10 = 8 (giờ)

Vậy quãng đường từ thành phố Vinh đến thành phố Huế dài là:

50  8 = 400 (km)

Đáp số: 400 km

S1

S2

t

N

P

A

C

50km/h 40km/h 2giờ

v

Trong quá trình khai thác hệ thống bài tập để học sinh tìm ra lời giải tôi tiến hành các bước phân tích như phần phân tích của ví dụ 1 vì thế tôi không trình bày phần phân tích của từng bài tập tiếp theo nữa mà tập trung vào việc khai thác hệ thống bài tập trên cơ sở bài tập trước là nền tảng kiến thức của bài tập sau.

Bài toán 2: Một chiếc xe máy đi từ thành phố Vinh ra Hà Nội, dự định đi với vận tốc 30km/h Song thực tế ô tô đã đi với vận tốc 25km/h, nên đã đến thành phố Hà Nội muộn hơn 2 giờ so với dự định Tính độ dài quãng đường từ thành phố Vinh đến Hà Nội?

Bài giải:

Biểu thị vận tốc xe máy bằng cạnh nằm ngang và thời gian xe chạy bằng cạnh thẳng đứng của hình chữ nhật Khi đó quãng đường xe chạy chính là diện tích hình chữ nhật (vì S = v  t)

Ta có sơ đồ:

Biểu thị thời gian đi từ thành phố Vinh đến

Hà Nội với vận tốc 30km/h là đoạn OB, thì thời

gian đi với vận tốc 25 km/h là đoạn ON

Đoạn ON dài hơn đoạn OB một đoạn là BN

ứng với 2 giờ

Ngoài ra đoạn MA biểu thị hiệu hai vận tốc và ứng với 30 -25 = 5 (km/h)

Vì cùng biểu thị quãng đường từ thành phố Vinh ra Hà Nội nên diện tích hình chữ nhật OACB và OMPN là bằng nhau Cùng bớt đi diện tích hình chữ nhật chung là OMQB ta có:

SBQPN = SACQM =BQ  BN = 25  2 = 50

Vậy MQ  MA = 50 hay MQ  5 = 50

Suy ra MQ = 50 : 5 = 10 (giờ)

Vậy quãng đường từ thành phố Vinh ra Hà Nội dài là:

30  10 = 300 (km)

Đáp số: 300 km

S1

S2

t

N

P

A

C

30km/h 25km/h 2giờ

v

Bài toán 3: Một ô tô đi từ tỉnh A đến tỉnh B Nếu chạy mỗi giờ 60 km thì ô tô sẽ đến B lúc 15 giờ Nếu chạy mỗi giờ 40 km thì ô tô sẽ đi đến B lúc 17 giờ.

a) Hãy tính thời gian ô tô chạy hết quãng đường AB với vận tốc 60km/h?

b)Trung bình mỗi giờ ô tô phải chạy bao nhiêu km để đến B lúc 16 giờ?

Bài giải:

Biểu thị vận tốc ô tô bằng cạnh nằm ngang và thời gian xe chạy bằng cạnh thẳng đứng của hình chữ nhật Thì quãng đường xe chạy chính là diện tích hình chữ nhật (vì

S = v  t)

Thời gian xe chạy với vận tốc 60km/h ít hơn thời gian xe chạy với vận tốc 40 km/h là:

17 giờ - 15 giờ = 2 giờ

Ta có sơ đồ:

Biểu thị thời gian đi từ tỉnh A đến tỉnh B

với vận tốc 60 km/h là đoạn OB, thì thời gian

đi với vận tốc 40 km/h là đoạn ON Đoạn ON

dài hơn đoạn OB một đoạn là BN ứng với 2 giờ

Đoạn MA biểu thị hiệu hai vận tốc và ứng với

60 - 40 =20 (km/h)

a) Cũng lập luận như những bài toán trên ta có: S1 = S2, tức là

SBQPN = SACQM = BQ  BN = 40  2 = 80

Suy ra MQ = 80 : 2 = 4 (giờ)

Vậy thời gian ô tô đi từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc 60 km/h là 4 giờ

b) Chiều dài quãng đường AB là: 60  4 = 240 (km)

Hiệu số của thời gian mà ô tô đi đến B lúc 16 giờ và 15 giờ là: 16 - 15 = 1 (giờ) Thời gian để đến B lúc 16 giờ là: 4 + 1 = 5 (giờ)

Vận tốc trung bình ô tô đã đi là: 240 : 5 = 48 (km/h)

Đáp số: a) 4 giờ

b) 48 km/h

S1

S2

t

N

P

A

C

60km/h 40km/h 2giờ

v

Bài toán 4: Một đoàn tàu đi qua một chiếc cầu dài 450 m mất 45 giây và đi qua một cột điện hết 15 giây Tính chiều dài và vận tốc của đoàn tàu?

Bài giải:

Biểu thị vận tốc đoàn tàu bằng cạnh nằm ngang và thời gian tàu chạy bằng cạnh thẳng đứng của hình chữ nhật Thì quãng đường tàu chạy chính là diện tích hình chữ nhật (vì S = v x t)

Đoạn OC là thời gian tàu đi được

quãng đường 450m

Thời gian tàu đi qua cột điện chính

bằng thời gian tàu đi được quãng

đường bằng chiều dài của đoàn tàu

Thời gian để tàu đi được quãng đường dài 450m là:

45 - 15 = 30 (giây)

Vận tốc của tàu là: 450 : 30 = 15 (m/giây)

Chiều dài của đoàn tàu là: 15  15 = 225 (m)

Đáp số: 15 m/giây; 225 m

Bài tập tự luyện Bài 1: Anh Ba đi xe đạp từ nhà lên huyện với vận tốc 12km/giờ Biết rằng nếu anh đi

với vận tốc 15km/giờ thì đến huyện sớm hơn 1 giờ Tính quãng đường từ nhà anh Ba đến trung tâm huyện

Bài 2: Nhân dịp sinh nhật Bác, học sinh giỏi Thị xã Thái Hoà đi thăm quan quê Bác,

xe du lịch dự kiến đi từ thị xã với vận tốc 45km/giờ để đến quê Bác lúc 8giờ sáng Để đám bảo an toàn nên mỗi giờ xe chỉ đi 35km và đến quê Bác chậm mất 40 phút so với

dự kiến Tính quãng đường từ thị xã A đến quê Bác

Bài 3: Một người đi xe máy từ thành phố A đến thành phố B Nếu chạy với vận tốc 25km/giờ thì sẽ đến nơi lúc 12 giờ trưa Nếu chạy với vận tốc 30km/giờ thì sẽ đến sớm hơn 1giờ Hỏi:

a) Hai thành phố A và B cách nhau bao nhiêu ki-lô-mét?

b) Xe máy phải chạy với vận tốc bao nhiêu để đến thành phố B lúc 10giờ trưa?

v

B

M

C N t

450m

? m 45giây

15giây

Bài 4: Một xe du lịch dự tính đi từ nơi nghỉ đến điểm tham quan du lịch Phong Nha

kẻ Bàng lúc 16giờ12phút, nếu đi với vận tốc 50km/giờ Vì đường tốt nên xe đã chạy với vận tốc 60km/giờ nên đã đến nơi sớm hơn dự định 42phút Tính quãng đường từ nơi nghỉ của đoàn đến điểm tham quan du lịch Phong Nha Kẻ Bàng?

Bài 5: Hai xe ô tô cùng xuất phát từ A để đến B Xe thứ nhất đi với vận tốc 40km/giờ

Xe thứ hai đi với vận tốc 30km/giờ Khi xe thứ nhất về tới B thì xe thứ hai còn phải đi thêm 1giờ nữa mới tới B Tính quãng đường AB?

Dạng 2: Một số bài toán về đại lượng tỉ lệ nghịch

Bài toán 1: Một người làm một số dụng cụ sản xuất của nhà máy Nếu mỗi giờ người đó làm được 6 dụng cụ thì đến 11 giờ sẽ xong số dụng cụ đó Nhưng thực tế người đó chỉ đạt được mức 4 dụng cụ/1 giờ Nên đến 13 giờ mới hoàn thành số dụng cụ quy định a)Hãy tính thời gian thực tế mà người đó đã làm?

b)Tính số dụng cụ nhà máy giao cho người đó phải làm?

c)Tính trung bình mỗi giờ người đó phải làm bao nhiêu dụng cụ để hoàn thành số dụng cụ đó để đúng 12 giờ nhà máy giao cho khách hàng?

Phân tích: Học sinh xác định ba đại lượng đó là:

* Số dụng cụ làm được trong 1 giờ

* Số giờ làm hết dụng cụ quy định

* Số dụng cụ nhà máy đã giao

Số dụng cụ = Số dụng cụ làm được trong 1 giờ  Số giờ làm việc

Từ đó học sinh biểu thị các đại lượng đó trên sơ đồ

Biểu thị số dụng cụ trung bình 1 giờ của người công nhân đó bằng cạnh nằm ngang, và thời gian người đó làm là cạnh thẳng đứng của hình chữ nhật Thì tổng số dụng cụ của người đó làm được chính là diện tích hình chữ nhật (Vì tổng số dụng cụ

= Số giờ x Trung bình số dụng cụ làm được của 1 giờ)

Thời gian thực tế nhiều hơn thời gian dự định là: 13-11 = 2 giờ

Ta có sơ đồ:

Biểu thị thời gian dự định bằng đoạn OB thì thời

gian thực tế là đoạn ON, ON hơn đoạn OB là đoạn

BN ứng với 2 giờ

Đoạn MA biểu thị số dụng cụ làm trong 1 giờ

dự định và thực tế đã làm ứng với 6 - 4 = 2 (dụng cụ)

Vì cùng biểu thị số dụng cụ làm được của người đó nên diện tích hai hình chữ nhật:

SOMPN = SOACB cùng trừ đi diện tích phần chung là SOMQB

Ta có: SBQPN = SAMQC = BQ  BN = 4  2 = 8 MQ  MA = MQ  2 = 8

Vậy MQ = 8 : 2 = 4 (giờ)

a) Thời gian thực tế người đó đã làm là 4 + 2 = 6 (giờ)

b) Số dụng cụ nhà máy đã giao cho người đó phải hoàn thành là:

4  6 = 24 (dụng cụ)

c) Thời gian đến 12 giờ nhiều hơn thời gian đến 11 giờ để làm xong số dụng cụ đó là: 12 -11 = 1 (giờ)

Để đến 12 giờ làm xong số dụng cụ đó thì người đó phải làm số thời gian là:

4 + 1 = 5 (giờ)

Vậy trung bình mỗi giờ người công nhân phải làm được:

24 : 5 = 4,8(dụng cụ)

Đáp số: a) 6 giờ

b) 24 dụng cụ

c) 4,8 dụng cụ

Bài toán 2: Sáu người đào trong 3 giờ thì xong một đoạn mương Hỏi nếu có 9 người cùng đào đoạn mương đó thì hết bao nhiêu ngày? (năng suất của mỗi người là như nhau)

M

t

C Q

P

S1

S2

B

4 dụng cụ/h

6 dụng cụ/h N

2giờ

Phân tích

Học sinh xác định ba đại lượng:

* Số người làm việc

* Số ngày làm việc của nhóm

* Số ngày công làm việc cần thiết

Số ngày công = Số người x Số ngày

Từ đó học sinh biểu thị các đại lượng đó trên biểu đồ

Bài giải:

Vì tích của số ngày làm việc và số người làm việc của nhóm thì bằng tổng số ngày

công lao động để làm xong đoạn mương đó (Một người làm việc trọn một ngày được gọi là một ngày công)

Nên ta biểu thị số người bằng cạnh nằm ngang, và số ngày làm việc tương ứng bằng cạnh thẳng đứng của hình chữ nhật Thì số ngày công cần thiết để làm xong

đoạn mương đó chính là diện tích hình chữ nhật

Ta có sơ đồ:

Biểu thị số ngày làm việc của 6 người là đoạn OC, thì số ngày làm việc của 9 người

là đoạn OQ

Vì cùng biểu thị số ngày công làm việc cần thiết để xong đoạn mương đó nên diện tích hai hình chữ nhật: SOABC = SOMNQ

Ta có: OA  OC = 6  3 = 18

Vậy : OQ  OM = OQ  9 = 18

A

Q Ngày

Người M

N P

B C

O

9 người

6 người

3 ngày

Thời gan cần thiết để 9 người đào xong đoạn mương đó là:

OQ = 18 : 9 = 2 (ngày)

Đáp số: 2 ngày

Bài toán 3: Một số giấy đủ in 6000 quyển sách, với mỗi quyển có 200 trang Hỏi nếu

số giấy đó dùng đủ in sách , mỗi quyển có 150 trang thì sẽ in được bao nhiêu quyển?

Phân tích:

Học sinh xác định ba đại lượng là:

*Số trang sách của một quyển

*Số quyển sách

*Số giấy để in sách

Số giấy để in = Số trang sách x Số quyển sách

Từ đó học sinh biết cách biểu thị các đại lượng trên biểu đồ

Bài giải:

Biểu thị số trang sách của một quyển sách bằng cạnh nằm ngang và số quyển sách

là cạnh thẳng đứng của hình chữ nhật Thì số giấy dùng để in sách chính là diện tích hình chữ nhật

Ta có sơ đồ:

Quyển

B

A

M

E P

C

O

S1

S2

150 trang

200 trang

600 quyển

Biểu thị số trang của một quyển dày 150 trang là đoạn OK Thì số trang của một quyển dày 200 trang là đoạn OA, đoạn OA dài hơn OK một đoạn KA tương ứng là :

200 - 150 = 50 (trang)

Đoạn OC biểu thị số quyển sách mối quyển dày 200 trang thì đoạn OP biểu thị số quyển sách mỗi quyển dày 150 trang và hơn số quyển biểu thị là đoạn CP

Vì biểu thị cùng một số lượng giấy để in sách nên diện tích hai hình chữ nhật:

SOABC = SOKEP cùng bớt đi diện tích chung là hình chữ nhật OKMC ta có:

SKABM =SCMEP = KA  KM = 50  6000 = 300000

Vậy CM  CP = 300000 hay CP  150 = 300000

CP = 300000 : 150 = 2000(quyển)

Vậy số quyển sách mà mỗi quyển dày 150 trang là:

6000 + 2000 = 8000 (quyển)

Đáp số: 8000 quyển

Bài tập tự luyện:

Bài 1: Ba người thợ mộc cùng làm chung một bộ bàn ghế thì sau 6 ngày sẽ xong Hỏi nếu 9 người cùng làm một bộ bàn ghế như thế thì hết bao nhiêu ngày? (năng suất của mỗi người là như nhau)

Bài 2: Bốn người đào 3 ngày thì được 22,8m mương Hỏi cũng số mét mương đó nếu muốn đào xong trong 2 ngày thì cần bao nhiêu người? (năng suất của mỗi người làm là như nhau)

Bài 3: Năm người thợ xây trong 9 ngày thì xây được 450m2 tường Hỏi nếu cũng số mét vuông tường đó cần xây trong 3 ngày thì cần điều thêm bao nhiêu người nữa? Biết rằng mỗi người họ làm số giờ như nhau và năng suất làm việc mọi người như nhau

Bài 4: Chị Lan là thợ may nhận may một số mũ ca lô cho học sinh của trường Nếu mỗi giờ chị may được 8 chiếc thì đến 15 giờ sẽ xong nhưng thực tế chị chỉ may được mỗi giờ 5 chiếc nên mãi đến 18 giờ chị mới hoàn thành số mũ ca lô đó

a) Hãy tính thời gian thực tế mà chị Lan đã may?

b) Tính số mũ ca lô học sinh của trường mà chị đã nhận may?