Một số phương pháp hàm để giải phương trình và bất phương trình

Header Page of 27 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - - - - - - - - - - - -      ĐẶNG THỊ TOAN         MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP HÀM ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – 2015  Footer Page of 27 Header Page of 27 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - - - - - - - - - - - -      ĐẶNG THỊ TOAN         MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP HÀM ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Giảng viên hướng dẫn PGS.TS NGUYỄN ĐÌNH SANG Hà Nội – 2015  Footer Page of 27 Header Page of 27 MỤC LỤC  LỜI NÓI ĐẦU  1  CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ  3  1.1 Các định lý về hàm khả vi  3  1.1.1. Định nghĩa  .3  1.1.2.  Định lý Fermat  .3  1.1.3.  Định lý Rolle  3  1.1.4. Định lý Lagrange  3  1.1.5. Định lý Cauchy  .4  1.1.6. Công thức Taylor  4  1.2. Số phức, nghiệm liên hợp  7  1.2.1. Số phức  7  1.2.2 . Nghiệm liên hợp .7  1.3. Hàm đơn điệu. Giá trị lớn nhất, giá trị  nhỏ nhất  7  1.3.1. Hàm đơn điệu  7  1.3.2. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhât của hàm số.  7  1.3.3. Tính chất hàm đơn điệu  8  CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP HÀM GIẢI PHƯƠNG TRÌNH  .9  2.1.Phương pháp dùng khai triển Taylor  9  2.1.1 Phương trình bậc 3  9  2.1.2  Phương trình bậc 4  . 13         2.1.3. Bài tập giới thiệu   16  2.2  Phương pháp dùng tính đơn điệu của hàm số   17  2.2.1. Ứng dụng giải phương trình   17  2.2.2. Ứng dụng vào hệ phương trình   23  2.2.3. Bài tập giới thiệu   29  2.3.  Ứng dụng tính khả vi để giải phương trình, hệ phương trình   30  2.3.1. Dùng định lý Rolle để giải phương trình  . 30  Footer Page of 27 Header Page of 27 2.3.2. Dùng định lý Lagrange để giải phương trình   34  2.3.3. Dùng định lý Cauchy để giải phương trình hệ phương trình  . 40  2.3.4. Bài tập giới thiệu   46  2.4. Phương pháp cực trị hàm số-Phương pháp đánh giá   47  2.4.1 Cơ sở phương pháp  . 47  2.4.2. Các ví dụ   49  4.3. Bài tập giới thiệu   57  CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP HÀM GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH, BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH   59  3.1. Phương pháp hàm liên tục giải bất phương trình  . 59  3.1.1. Cơ sở phương pháp   59  3.1.2. Các ví dụ   59  3.1.3. Bài tập giới thiệu   62  3.2.  Phương  pháp  cực  trị  hàm  số  -  Phương  pháp  đánh  giá  để  giải  bất  phương trình   63  3.2.1. Các ví dụ   63  3.2.2. Bài tập giới thiệu   67  3.3. Biện luận phương trình – Bất phương trình  . 67  3.3.1. Cơ sở phương pháp   67  3.3.2. Các ví dụ   68  3.3.3. Bài tập giới thiệu   75  3.4. Phương pháp hàm chứng minh bất đẳng thức   76  3.4.1. Các ví dụ   76  3.4.2. Bài tập giới thiệu   80  KẾT LUẬN   81  TÀI LIỆU THAM KHẢO   82    Footer Page of 27 Header Page of 27 BẢNG CÁC KÝ HIỆU VIẾT TẮT N    Tập các số tự nhiên  N*    Tập các số tự nhiên khác 0  Z    Tập các số nguyên  Z+    Tập các số nguyên dương  Z-    Tập các số nguyên âm  R    Tập các số thực  R*    Tập các số thực khác 0  R+    Tập các số thực dương  R-     Tập các số thực âm  i    Đơn vị ảo  C    Tập các số phức  TXĐ    Tập xác định  (a;b)= {x  R:a m,   x 0, b>0.    2 35 a  18 Pa  P   2   P  2a  (P  3a)   '  140 P  24 P    P    Khi  P  35    35 9P  ; b   thỏa mãn điều kiện:  2a  3b    , có nghiệm  a  35 Vậy P = 3a+2b   35  ta có điều phải chứng minh.  Ví dụ 3.4.1.2: Cho a,b,c  0: a  b2  c     Chứng minh rằng:  ab  bc  ca  14     abc Lời giải:  Đặt t=a+b+c, suy ra: ab+bc+ca= t2     Xuất phát từ:      ab  bc  ca   t      Ta có:   Bài tốn đưa về tìm   t2 3 2  a  b  c     max[ [ 3;3] t2 3  ]    t Xét   77  Footer Page 82 of 27 Header Page 83 of 27   f (t )  Có  f '(t )  t  t2   ; t [ 3;3]   t  0;  với  t    t2   max f (t )  f (3)  [ 3;3] a  b  c  14  Dấu = xảy ra khi    a  b  c     a  b  c Ta có điều phải chứng minh.   Ví dụ 3.4.1.3: cho a,b,c>0. Chứng minh:    P      a  b2  c  (a  1)(b 1)(c 1) Lời giải: Xuất phát từ:  A2  B  (A  B)2    1  Ta có:  a  b2  c   (a  b)2  (c 1)2  (a  b c 1)2    2  (a  1)(b 1)(c 1)  ( abc3 )   Đặt t=a+b+c+1>1,  54  P; t  (1; ) ,   Khi đó:  f (t )   t (t  2)3 162  ,   (t  2) t   f '(t)    t     f '(t )    t       x  1  4  t’  +  0                -              t                     78  Footer Page 83 of 27       Header Page 84 of 27 1 P    max f (t )  , P  khia  b  c  1.  [1;+ ] 4 Ta có điều phải chứng minh.  Ví dụ 3.4.1.4: Cho số dương x. Chứng minh rằng:  x  x      x Lời giải:  0  x  y0 Đặt   y0 x  x    có nghiệm.  x   y0  xy0 x Phương trình       y0 x  y02 x    có nghiệm khi    y0   y0       y0  y0    Khi đó có nghiệm   y0  y0  y0 x       Vậy với mọi số dương x thì:  x  x  Ví dụ 3.4.1.5: Cho   a  b   1  , dấu bằng xảy ra khi x=   x  Chứng minh rằng: asina- bsinb>2(cosb-cosa).   Lời giải:   Xét  f  x    xsinx  2cosx   với  x  (0; )    Có f ‘(x)=xcosx- sinx= (x-tanx)cosx0; tanx>x   với mọi  x  (0; ) ).    2 Vậy f(x) nghịch biến  với mọi x x  (0; )  Do đó, với   a  b  ta có: f(a)> f(b).  Suy ra: asina+ 2cosa>bsinb+ 2cosb   asina- bsinb>2(cosb-cosa).  Nhận xét: Đối với các bất đẳng thức chứa nhiều biến số ta có thể:  79  Footer Page 84 of 27 Header Page 85 of 27  Hoặc đặt một bộ phận làm ẩn phụ t, với điểu kiện (*) thích hợp rồi xét hàm  số f(t) thu được trên miền (*).   Hoặc  xét  hàm  số  với  đối  số  là  một  trong  các  biến  số  có  mặt  trong  miền  biến thiên của biến số đó.   Hoặc xét một hàm số phụ có tính chất nào đó và sử dụng các bất đẳng thức  tổng qt đổi với hàm số đó.  3.4.2 Bài tập giới thiệu 1. Cho x,y,z>0: x+y+z   Chứng minh rằng:  1 27   x y z     xy yz zx   (Hướng dẫn: Dùng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số  1 ; ;  và 3 số x,y,z.  xy yz zx Đặt t= xyz  . bải tốn tương đương với tìm GTNN của f(t)= ).    3t ; t  (0; ] t 2 Chứng minh rằng với mọi x>0, ta ln có:   a) x  x3  sin x  x x  ln(1  x)  x    1 x c)1  2ln x  x   b) 3.  Chứng minh rằng x > a > 3 thì:  a x  x a   4. Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta ln có:      4(1-cosA)( 1-cosB)( 1-cosC)+7(cosA+cosB+cosC)  11   A B (Hướng dẫn: đặt t= sin sin sin C , suy ra 0