sang kien kinh nghiem 2015 nguyen dac tuan mới

sang kien kinh nghiem 2015 nguyen dac tuan mới sang kien kinh nghiem 2015 nguyen dac tuan mới sang kien kinh nghiem 2015 nguyen dac tuan mới sang kien kinh nghiem 2015 nguyen dac tuan mới sang kien kinh nghiem 2015 nguyen dac tuan mới sang kien kinh nghiem 2015 nguyen dac tuan mới sang kien kinh nghiem 2015 nguyen dac tuan mới sang kien kinh nghiem 2015 nguyen dac tuan mới sang kien kinh nghiem 2015 nguyen dac tuan mới sang kien kinh nghiem 2015 nguyen dac tuan mới sang kien kinh nghiem 2015 nguyen dac tuan mới sang kien kinh nghiem 2015 nguyen dac tuan mới

www.dayhoctoan.vn SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THỪA THIÊN HUẾ TRƯỜNG THPT VINH LỘC www.dayhoctoan.vn SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM BÀI TOÁN GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT QUA ĐỀ THI ĐẠI HỌC Lĩnh vực/Mơn: Tốn Tên tác giả: Nguyễn Đắc Tuấn GV mơn: Tốn Phú Lộc, tháng 02 năm 2015 www.dayhoctoan.vn www.dayhoctoan.vn MỤC LỤC Nội dung Trang Đặt vấn đề tài 1.1 Lí chọn đề tài a Cơ sở lí luận b Cơ sở thực tiễn 1.2 Phạm vi đề tài 2 Giải vấn đề (Nội dung sáng kiến kinh nghiệm) 2.1 Những vấn đề lí luận chung 2.1.1 Định nghĩa GTLN, GTNN hàm số (hay biểu thức) 2.1.2 Các dạng biểu diễn bất đẳng thức cô-si 2.2.Thực trạng vấn đề Kết luận 19 3.1 Tóm lược giải pháp 19 3.2 Phạm vi áp dụng 19 3.3 Kiến nghị 19 Tài liệu tham khảo 20 www.dayhoctoan.vn www.dayhoctoan.vn Đặt vấn đề: 1.1 Lý chọn đề tài a) Cơ sở lý luận: Đổi phương pháp dạy học thay đổi từ phương pháp dạy học tiêu cực (truyền thụ áp đặt, chiều từ thầy giáo đến học sinh) đến phương pháp tích cực, sáng tạo (tổ chức, định hướng nhận thức, phát huy tính sáng tạo, chủ động để học sinh tự chiếm lĩnh tri thức kĩ năng) Nhưng thay đổi phương pháp hoàn toàn lạ mà phải trình áp dụng phương pháp dạy học đại sở phát huy yếu tố tích cực phương pháp dạy học truyền thống nhằm thay đổi cách thức, phương pháp học tập học sinh chuyển từ thụ động sang chủ động Một yếu tố phát huy tính tích cực, sáng tạo dạy học có tham gia nhiệt tình, hưng phấn học sinh, giúp học sinh tìm cách học Như giáo viên người khơi nguồn tạo hưng phấn, khám phá học tập học sinh: sưu tầm, soạn thảo số cách giải khác lạ hay để học sinh trải nghiệm b) Cơ sở thực tiễn: Trong đề thi đại học thường xuyên xuất câu tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số hay biểu thức, câu khó đa số học sinh, phương pháp sử dụng để tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số hay biểu thức dùng bất đẳng thức Cô si (bất đẳng thức liên hệ trung bình cộng trung bình nhân (AMGM)) hay bất đẳng thức khác, kết hợp với đạo hàm nên chọn đề tài để nghiên cứu 1.2 Phạm vi đề tài: Đề tài đưa phương pháp để giải số toán giá trị lớn nhỏ hàm số hay biểu thức đề thi đại học: Chủ yếu sử dụng bất đẳng thức Cô si, bất đẳng thức quen thuộc khác, kết hợp với đạo hàm để tìm GTLN, GTNN hàm số hay biểu thức qua tập cụ thể Nội dung sáng kiến kinh nghiệm www.dayhoctoan.vn www.dayhoctoan.vn 2.1 Những vấn đề lý luận chung: 2.1.1 Định nghĩa GTLN, GTNN hàm số (hay biểu thức): a) Cho hàm số y  f  x  xác định tập D Số M gọi GTLN hàm số y  f  x  D f  x   M , x  D có x0  D : f  x0   M Kí hiệu: M  Max f  x  D Số m gọi GTNN hàm số y  f  x  D f  x   m, x  D có x0  D : f  x0   m Kí hiệu: m  Min f  x  D b) Đối với biểu thức nhiều biến ta có định nghĩa hồn tồn tương tự 2.1.2 Các dạng biểu diễn bất đẳng thức cô-si (bất đẳng thức AM – GM): a) Dạng tổng quát: Giả sử a1, a2 , , an n số thực không âm, ta có: Dạng Dạng Dạng a1  a2   an n  a1a2 an n a1  a2   an  n n a1a2 an  a1  a2   an     a1a2 an n   n Đẳng thức xảy  a1  a2   an  b) Hệ quả: n S  Nếu a1  a2   an  S : số Max  a1a2 an     xảy n  a1  a2   an  S n  Nếu a1  a2   an  P : số Min  a1a2 an   n n P xảy  a1  a2   an  n P c) Các trường hợp đặc biệt: n Điều kiện Dạng Dạng Dạng n2 a, b  ab  ab a  b  ab n3 a, b, c  abc  abc a  b  c  3 abc n4 a, b, c, d  abcd  abcd a  b  c  d  4 abcd  ab    ab   ab  abc     abc   a bc  abcd     abcd   a bc d Dấu d) Các bất đẳng thức thường dùng:     a  b      4, a, b       , a, b  a b ab a b   1 1   x  y  z  xy  yz  zx; 1  a  b  c       9, a, b, c  a b c  u v   u  v   , u , v  0; a  b2   a  b  , a, b  2.2.Thực trạng vấn đề: www.dayhoctoan.vn www.dayhoctoan.vn Bất đẳng thức Cô si khơng xa lạ học sinh để vận dụng linh hoạt để làm tốn đặc biệt tốn tìm GTLN, GTNN vấn đề lớn em Trong học học sinh thường làm số tập bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhỏ dạng đơn giản quen thuộc Các tập dạng khó hai biến ba biến học sinh thường gặp nhiều khó khăn giải Bài tốn tìm GTLN, GTNN vấn đề khó em Một phương pháp thường hay sử dụng để giải vấn đề sử dụng bất đẳng thức Cô si, bất đẳng thức khác kết hợp với sử dụng đạo hàm cách phù hợp Ta xét ví dụ cụ thể sau để thấy cần thiết vấn đề này: Ví dụ Tìm GTNN biểu thức: f  x   3x  với x  2x Bài HS lớp 12 khơng có vấn đề HS dùng đạo hàm trực tiếp để suy kết sau: f ' x    x2 1   0, x  Do x2 x2 f  x   f 1  f  x  đồng biến 1;   Suy ra: 7 f  x   f 1  Vậy Min 1;  2 Nhưng với HS lớp 10 chưa có cơng cụ đạo hàm lại vấn đề lớn Một sai lầm thường gặp HS là: Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số dương, ta có: f  x   3x  1  x  2x 2x y  Vậy Min 1;   Lời giải sai đánh giá trên, dấu xảy 3x  không thuộc miền xác định toán Lời giải www.dayhoctoan.vn x 1 2x www.dayhoctoan.vn Dự đoán dấu xảy x  Để đảm bảo dấu “=” xảy áp dụng bất đẳng thức Cô si, ta chọn số  cho  x  1 Cho x  ta thu   Từ 2x ta có lời giải: Ta viết lại: f  x   3x  5x  x  5x x 5x      2  1  1  2x  2x  2 2x 2 Vậy Min f  x   f 1  1;  Ví dụ Tìm GTNN biểu thức (hàm số): x  3x  a) f  x    0;2 x 1 b) Cho a, b số dương thỏa a  b  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P   a  b4   2013 4ab Bài giải Đối với câu a) HS 12 dễ dàng giải cách sử dụng quy tắc tìm GTLN GTNN đoạn [a; b] sau:  x  2 f ' x      x  1 x  17 Ta lại có: f    3; f    Vậy Min f  x   f    Ta có: f '  x   2x2  4x ; 0;2 Tuy nhiên với câu b) hồn tồn khác, HS khơng thể dùng đạo hàm có nhiều biến Đây dạng tập mà học sinh thường gặp phải kì thi ĐH, CĐ năm trở lại Ta giải toán sau: Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si cho hai số dương, ta có: a  b  2a 2b 1  a  b  ab  ab  2013 2013 P   a  b4    16a 2b  4ab 4ab 2013  1 Đặt t  ab  Ta có: P  16t  , t   0;  4t  4 2013  1 Xét hàm số f  t   6t  , t   0;  4t  4 2013 2013 128t  2013  Ta có: f '  t   32t   ; f 't    t  128 4t 4t www.dayhoctoan.vn www.dayhoctoan.vn Bảng biến thiên: t f 't  - f t   2014 Suy ra: P  2014 Vậy Min P = 2014 t  1 hay a  b  Cách Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si cho hai số dương, ta có: a  b  2a b 4 ab 2013 2013 1 2011 P   a  b4    16a 2b   16a 2b    4ab 4ab 4ab 4ab 4ab  a  b  ab   3 16a 2b 1 2011   2014 4ab 4ab  a  b   Vậy Min P = 2014 a  b ab  2 16a b  4ab  Nhận xét Đối với cách 1, ta đánh giá để đưa biểu thức trung gian có chứa ab khảo sát hàm số f  t   6t  2013  1 , t   0;  với t  ab 4t  4 Đối với cách 2, ta dùng bất đẳng thức Cô si cách tách 2013 1 2011    4ab 4ab 4ab 4ab Vì ta tách Ta dự đoán dấu “=” xảy a  b  Ở ta 2013 khơng dấu 4ab  khơng xảy Do ta chọn số  cho 16a 2b  , cho a  b  ta có: ab  áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số dương 16a 2b2 ; Tiếp theo số tập vận dụng: Bài Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P a3 1  a   b3 1  b   c3 1  c  www.dayhoctoan.vn www.dayhoctoan.vn Phân tích Ở ta thấy số a, b, c vai trò nên dự đốn P đạt GTNN a  b  c  Mặt khác hạng tử P bậc nên ta cộng thêm hạng tử bậc áp dụng bất đẳng thức Cô si Ta áp dụng bất đẳng thức Cô si cho ba số dương a3 1  a  ,  1  a  ,  1  a   a3   1  a    1  a    Với  số thỏa mãn:   a   Bài giải Áp dụng bất đẳng thức Cơ si cho ba số dương, ta có: a3 1  a    a  a 3a   8  a3 1  a  a 1 b Tương tự, ta có: b3 1  b  c3 1  c  c  2  3 4 Cộng (1),(2) (3) vế theo vế, ta có: P  a  b  c   MinP  1 abc Nhận xét Đối với bất đẳng thức Cơ si, việc dự đốn dấu xảy giúp cho việc giải toán dễ dàng Bài Cho x, y, z ba số dương thỏa mãn điều kiện xyz  Tìm GTNN biểu thức: P x2 y2 z2   1 y 1 z 1 x Phân tích Dự đoán dấu “=” xảy x  y  z  Ta lại có: x  y  z  3 xyz  Nên ta đánh giá P theo x  y  z Vì số hạng P bậc nên ta cộng thêm số hạng bậc x2 ; 1  y  với  Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số dương 1 y x2   1  y  Cho x  y  ta có:   1 y www.dayhoctoan.vn thỏa www.dayhoctoan.vn Bài giải Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số dương, ta có: x 1  y  x2  y x2  y   x   1 y 1 y 4 1  y  Tương tự, ta có: 1 y2 1 z   y  2 1 z z2 1 x   z  3 1 x Cộng (1), (2), (3) vế theo vế, ta có:  x2  y   y  z   z  x         x y z   1 z   1 x   1 y x2 y2 z2 x yz       x y z 1 y 1 z 1 x 4 3 x  y  z  3 P      4 4 P (Do x  y  z  3 xyz  )  x2 1 y 1  y    y2 1 z   Dấu xảy 1  z  x  y  z    z  1 x 1  x  xyz   Vậy Min P  x  y  z  Bài Cho x, y, z ba số dương thỏa mãn điều kiện a  b  c  Tìm GTNN biểu thức: A  a  b2  c  1   a b c Cách Phân tích Ta có bất đẳng thức liên hệ a  b  c  a  b  c   1   là: a b c 1 1 1 18 nên ta đánh giá   9      a b c a bc 3 a b c 1 a  b2  c theo   a b c www.dayhoctoan.vn www.dayhoctoan.vn Ở ta dự đoán dấu “=” xảy a  b  c  Cho a   nên ta chọn số  cho a  a 1 suy ra:   Bài giải Ta có:  a  b  c   1 1 1 18   9      a b c a bc 3 a b c Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho ba số dương, ta có: 1 1   3 a  1 8a 8a 8a 8a 1 b2      8b 8b 1 c     3 8c 8c a2  1 1 Cộng vế theo vế (1), (2), (3) vế theo vế, ta có: a  b2  c       4 a b 1 1 18 27 Suy ra: A  a  b2  c             a b c 4 a b c  4   a  8a  b   8b  1 abc Dấu “=” xảy khi: c  8c  a  b  c  a  b  c    27 Vậy MinA   a  b  c  c Cách Ngồi cách ra, ta áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số dương với cặp số Cách dựa sở dấu “=” xảy Với để ý a  b  c  3   a  b  c   Do ta đánh giá A theo a  b  c sau 2 Áp dụng bất đẳng thức Cô si, ta có:  a 1 b2   b  2 c   c  3  4a    a a2  www.dayhoctoan.vn www.dayhoctoan.vn  4b    b  4c    c Cộng (1), (2), (3), (4), (5), (6), ta có:  2 1 1  a  b  c        a  b  c   a  b  c  12 a b c  45  A  3 a  b  c  45 27 Mà a  b  c   3  a  b  c     A    2 4 27 Vậy MinA   a  b  c  Nhận xét Qua phân tích gợi ý HS dễ dàng tiếp cận giải tập tương tự cách nhanh chóng dễ dàng Bài Cho số thực x, y, z x  y  z  Tìm giá trị nhỏ nhất: P   4x   y   4z Phân tích Dự đốn P nhỏ x  y  z  Ở ta áp dụng Cô si cho hai số x dấu không xảy nên ta chọn số  cho x   Cho x  , ta có:   Do ta viết lại:    Bài giải Ta có:  4x     4x  4 4x   x  x 1 Tương tự, ta có:  y  y    z  z 3 Cộng (1), (2), (3) vế theo vế, ta có: P2   x  y  y  x.4 y.4 z  P  6.24 x y  z  P  4 x   y 4  Dấu “=” xảy 4 z   x  y  z  x  y  z    4x  y  4z  Vậy P nhỏ x  y  z  Bài Cho số dương x, y, z thỏa mãn: xyz  Tìm GTNN của: P  x3  y  y3  z3  z  x3   xy yz zx Phân tích Dự đốn dấu “=” xảy x  y  z  Do ta áp dụng bất đẳng thức Cơ si cho ba số dương 1, y , x3 10 www.dayhoctoan.vn www.dayhoctoan.vn Bài giải Cách Áp dụng bất đẳng thức Cơ si cho ba số dương, ta có:  x3  y  3 1.x3 y  3xy   x3  y  xy  x3  y   xy Tương tự:  y3  z3  yz (2) yz  z  x3  zx  3 zx 1 xy Cộng (1), (2) (3) vế theo vế, ta có:  1  1 P  3    3  3   3.3  xy xyz yz zx  xy yz zx  1  x  y  3 1  y  z  x  y  z  Dấu “=” xảy  3 1  x  z  xyz   Vậy MinP  3 x  y  z  Cách Do xyz  nên ta viết lại: P  z  x3  y  x  y  z  y  z  x3 Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho ba số dương, ta có:  x3  y  3 x3 y  3xy Suy ra:  x3  y3  xy  z  x3  y  xy z  z 1 Tương tự, ta có: x  y3  z  x   y  z  x3  y  3 Cộng (1), (2) (3) vế theo vế, ta có: P  3. x  y  z   3 xyz  3 1  x  y  3 1  y  z  x  y  z  Dấu “=” xảy  3 1  x  z  xyz   Vậy MinP  3 x  y  z  Nhận xét Với cách 2, ta thấy toán trở nên nhẹ nhàng Bài Cho a, b, c  a  b  c  Tìm GTNN biểu thức: 11 www.dayhoctoan.vn www.dayhoctoan.vn A 1 3 3 a  3b b  3c c  3a Phân tích Dấu “=” xảy a  b  c  Áp dụng Cô si cho ba số dương a  3b; ; với  số cho a  3b      với a  b  Bài giải Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho ba số dương, ta có:    a  3b   3 8.8  a  3b   a  3b  Tương tự, ta có: 16  a  3b 1 12 16  b  3c  2 12 16  c  3a c  3a   3 12 b  3c  Cộng (1), (2) (3), ta có: 1 a  3b  b  3c  c  3a  48   a  b  c   12 1 Ta có:  x  y  z       9, x, y, z  x y z   Nên ta có:   1   a  3b  b  3c  c  3a  3 3 9 b  3c c  3a   a  3b 1 9  A 3 3    3 a  3b b  3c c  3a a  3b  b  3c  c  3a 3  A 8  a  3b 8  b  3c   a  b  c   Dấu “=” xảy 8  c  3a a  b  c  Bài Cho a, b, c  a  b  c  Tìm giá trị lớn Vậy MinA   a  b  c  P  a  b  c  b  c  a  c  a  b Phân tích Dự đốn P lớn a  b  c  Ta đánh giá P bé số dấu xảy Để ý a  b  c  dụng bất đẳng thức Cô si cho ba số dương 1;1;1  b  c 12 www.dayhoctoan.vn  b  c  nên ta áp www.dayhoctoan.vn Bài giải Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho ba số dương, ta có:   1  b  c  bc ab  ac  1 b  c  1 b  c  1  a 1 b  c  a  1 3 bc  ba b  c  a  b  Tương tự, ta có:  2 ca  cb c  a  b  c   3 Cộng (1), (2) (3) vế theo vế ta có: P  a  b  c  b  c  a  c  a  b  a  b  c  1 P lớn a  b  c  Ngoài tốn dùng bất đẳng thức Cơ si ra, ta gặp tốn sử dụng bất đẳng thức Cô si, bất đẳng thức quen thuộc để đánh giá biểu thức sau đặt ẩn phụ, tìm điều kiện ẩn phụ xét hàm số khảo sát biến thiên tập Ta xét tập sau: Bài Cho x, y số thực dương thỏa mãn điều kiện xy  y  Tìm giá trị lớn biểu thức: P  x y x  xy  y 2  x  2y 6 x  y Phân tích Trước hết ta thấy chia tử mẫu số hạng P cho y viết x y P theo t  Vấn đề lại cần tìm điều kiện x từ giả thiết Do y ta dùng đạo hàm để khảo sát hàm số Bài giải Ta có: P  x 1 y x 2 x y x  2y y    x  x  xy  y  x  y  x x   1  y   y 3 y    x x y 1 1  1  Đặt t  , Do x  0, y  0, xy  y  nên           y y y y y  y 2 t 1 t2  suy ra:  t  Khi đó: P  t  t   t  1 t 1 t2  , với  t  Xét hàm số f  t   t  t   t  1  3t Ta có: f '  t   Với  t  t  t  3   t  1 ta có: t  t   t  t  1   3;7  3t  t   13 www.dayhoctoan.vn www.dayhoctoan.vn  3t Do đó: t  t  3  1 1  3t      Suy ra: f '  t    2 3  t  1 Suy ra: P  f  t   f       30 Khi x  7 y  2, ta có: P   Vậy giá trị lớn P  30 30 Nhận xét Trong toán điều kiện t ta phải tìm thật xác  1   với x, y dương x khác y    x  y 2 x y    x2  y x y     Do Q Phân tích Trước hết ta biến đổi Q  2 x y x  y  xy xy  2 y x y x xy x y theo t   y x Bài Tìm GTNN Q  xy   Bài giải Ta có: Q  Q(t )  x2  y x y     2 x y x  y  xy xy  2 y x y x xy x y y x Đặt t   , theo t ta có: t t 2 Hơn dễ thấy x y   (với x, y dương x khác y) nên ta có t > y x Vì quy tốn quen thuộc: Tìm GTNN hàm số Q(t )  khoảng 2 ;    Ta có Q'' (t )  t  4t  , Q'' (t )   (t  2)  t t 2 t  t   Bảng biến thiên Q(t) khoảng 2 ;    sau: t  ' Q (t) + Q(t) Từ bảng biến thiên suy GTNN Q(t) khoảng 2 ;    Q(3) = Vậy MinP = đạt x2 + y2 – 3xy = Bài 10 Cho số thực a, b, c  1;2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức  a  b P c   ab  bc  ca  14 www.dayhoctoan.vn www.dayhoctoan.vn Phân tích Với ta chưa thể chia tử mẫu cho biểu thức Ta có: ab  bc  ca  c  a  b   ab  c  a  b   c 2  a  b  a  b    4c  a  b   4ab c  4c  a  b    a  b 2 P  a  b  nên ta viết lại: đặt t  c 4c 1   a  b a  b Như đên ta c , tìm điều kiện t, xét hàm số xong ab Bài giải Ta có: Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số dương a b, ta có: a  b  ab   a  b   4ab  a  b  a  b P   c  4c  a  b   4ab c  4c  a  b    a  b 2 2 c 4c 1   a  b a  b c Suy ra: P  ab t  4t  1 1 c 1   Do đó:   Suy ra: t   ;1 Ta có:  c  2;2  a  b    ab ab 4  1 Xét hàm số f  t    ;1 t  4t  4  2  t   1  1  Ta có: f '  t    0, t   ;1 Suy ra: f '  t  nghịch biến  ;1 4  4   t  4t  1 Đặt t  a   Đẳng thức xảy t   b  c   Vậy Min P  a  1; b  1; c  Do đó: t   f  t   f 1  Bài 11 Cho số thực không âm x, y, z thỏa mãn x  y  z  Tìm GTLN biểu thức: A  xy  yz  zx  x yz Phân tích Trước hết ta thấy biểu thức x  y  z; xy  yz  zx x2  y  z có mối liên hệ với Cụ thể:  x  y  z   x  y  z   xy  yz  zx     xy  yz  zx  Chính ta nghĩ tới cách đặt t  x  y  z 2 Ta lại có:  x  y    y  z    z  x    x  y  z  xy  yz  zx nên ta có điều kiện t Đến ta có lời giải sau: Bài giải t2  Đặt t  x  y  z  t    xy  yz  zx   xy  yz  zx  2 15 www.dayhoctoan.vn www.dayhoctoan.vn Ta có:  xy  yz  zx  x  y  z  nên  t    t  (vì t > 0) t2  t2     t t t2 5 t3  Xét hàm số f  t     ,  t  Ta có: f '  t   t    (vì t  3) t t t 14 Suy f  t  đồng biến  3;3 Do f  t   f  3  Dấu đẳng thức xảy  t   x  y  z  14 Vậy GTLN A , đạt x  y  z  Khi đó: A  Bài 12 Cho số thực dương a, b, c Tìm GTLN biểu thức: P a  b2  c2   a  1 b  1 c  1  abc3  ;   1 2 a  b  c    a  b    c  1   a  b    c  1   a  b  c  1 2 Do ta nghĩ tới đặt t  a  b  c  1,  t  1 rối xét hàm số lập BBT để Phân tích Ta có:  a  1 b  1 c  1   kết luận Bài giải abc3    1 2 2 Ta lại có: a  b   a  b  ; c    c  1 ;  a  b    c  1   a  b  c  1 2 1 2 Suy ra: a  b  c    a  b    c  1   a  b  c  1 ; 2 54 Suy ra: P  Đặt t  a  b  c  1,  t  1 Khi đó:  a  b  c   a  b  c  33 Áp dụng bất đẳng thức Cơ si, ta có:  a  1 b  1 c  1   P 54  t  t  3 t Xét hàm số f  t    f 't   54 t  2 1;   t  2 162  ; f '  t    9t   t     t t  2 t  f '  t     t  Bảng biến thiên: x f ' x  + f  x   16 www.dayhoctoan.vn www.dayhoctoan.vn 0 Dựa vào bảng biến thiên ta có: P  Dấu đẳng thức xảy t   a  b  c  1 Vậy Max P   a  b  c  Bài 13 Với số thực x, y thỏa mãn điều kiện  x  y   xy  Tìm GTLN x4  y4 GTNN biểu thức P  xy   xy     xy  2   x  y  x y    Phân tích Ta viết lại: P   xy  xy  Do ta đặt t  xy Từ giả thiết ta tìm điều kiện t, xét hàm số 2 Bài giải  xy   x  y   x y     xy   7  xy   xy  P    Ta có: xy  xy   xy  1 2 7t  2t   2t  1 Đặt t  xy Suy ra: P  Ta có: xy    x  y   xy    x  y   xy  4 xy  xy   2 Và xy    x  y   xy    x  y   xy  xy  xy  Do đó:   xy  2 Hay t   ;   3 1   1 t  0  ;    t  t  7t  2t   3 ; f 't     Xét hàm số f  t   ta có: f '  t     2t  1  2t  1  1 t  1   ;   3  2 2 Ta lại có: f     ; f    ; f      15   15 Vậy Min P  Min f  t   f    ;  1  ;   3  1 1 Max P  Max f  t   f     f     1  5   15  5;    Nhận xét Qua ví dụ ta thấy để sử dụng bất đẳng thức Cô si việc dự đốn dấu xảy giúp ta đưa lời giải toán thuận lợi Nếu kết hợp với đạo hàm để tìm GTLN GTNN biểu thức ta thực theo bước sau: -Biến đổi số hạng chứa biểu thức đại lượng giống -Đưa vào biến t, cách đặt t đại lượng biến đổi 17 www.dayhoctoan.vn www.dayhoctoan.vn -Lúc ta sử dụng đạo hàm để tìm GTLN, GTNN hàm số với t  D Trong trường hợp xây dựng trực tiếp hàm số f  t  , ta đánh giá P  f  t  , t  D (hoặc P  f  t  , t  D ) Kết luận Trên số tập chọn lọc tìm GTLN GTNN biểu thức Qua giúp HS có cách nhìn khái qt phương pháp thường dùng để tìm GTLN GTNN biểu thức kì thi đại học, cao đẳng Trong trình giảng dạy cho học sinh khối 10 12, đem đề tài áp dụng thấy học sinh tiếp cận nhanh biết vận dụng để giải tập đề thi đại học, cao đẳng năm trước 3.1 Tóm lược giải pháp Đề tài đưa phương pháp tìm GTLN, GTNN biểu thức cách sử dụng bất đẳng thức Cô si bất đẳng thức quen thuộc kết hợp với sử dụng đạo hàm qua tập cụ thể đề đại học, cao đẳng 3.2 Phạm vi áp dụng Đề tài áp dụng cho học sinh lớp 10A3, 12B1, 12B2 năm học 20142015 lớp 12B3, 12B5 năm học 2013 – 2014 việc ôn thi đại học, cao đẳng 3.3 Kiến nghị Tôi mong hội đồng chun mơn nhà trường góp ý, bổ sung để đề tài hồn thiện triển khai rộng rãi để giảng dạy cho học sinh khối 10 khối 12 nhà trường Hy vọng, với đề tài giúp em học sinh có thêm phương pháp, có tài liệu hữu ích để ơn tập giải tốn tìm GTLN, 18 www.dayhoctoan.vn www.dayhoctoan.vn GTNN chứng minh bất đẳng thức kỳ thi tuyển sinh đại học, cao đẳng đạt kết cao Trong q trình biên soạn đề tài tơi có nhiều cố gắng, nhiên khơng tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận góp ý chân thành thầy cô giáo đồng nghiệp Hội đồng chuyên môn nhà trường để đề tài tơi hồn thiện Tài liệu tham khảo Những viên kim cương bất đẳng thức toán học, Trần Phương, Nhà xuất tri thức, 2012 Các trang web: http://mathvn.com http://vnmath.com 19 www.dayhoctoan.vn ... b Cơ sở thực tiễn 1.2 Phạm vi đề tài 2 Giải vấn đề (Nội dung sáng kiến kinh nghiệm) 2.1 Những vấn đề lí luận chung 2.1.1 Định nghĩa GTLN, GTNN hàm số (hay... pháp dạy học truyền thống nhằm thay đổi cách thức, phương pháp học tập học sinh chuyển từ thụ động sang chủ động Một yếu tố phát huy tính tích cực, sáng tạo dạy học có tham gia nhiệt tình, hưng phấn... khác, kết hợp với đạo hàm để tìm GTLN, GTNN hàm số hay biểu thức qua tập cụ thể Nội dung sáng kiến kinh nghiệm www.dayhoctoan.vn www.dayhoctoan.vn 2.1 Những vấn đề lý luận chung: 2.1.1 Định nghĩa