Tọa độ hóa phép Biến hình

http://violet.vn/toan_cap3 Mục lục Trang Mục lục .1 A. Đặt vấn đề .2 I. Lời nói đầu 2 II.Thực trạng của vấn đề .2 1. Thực trạng .2 2. Kết quả, hiệu quả của thực trạng trên .2 B. Giải quyết vấn đề 4 I. Các giải pháp thực hiện .4 Chơng 1: Đại cơng về phép biến hình .4 1. Đại cơng về phép biến hình 4 2. Phép chiếu theo phơng v lên đờng thẳng .5 3. Phép chiếu vuông góc lên đờng thẳng 7 Chơng 2: Các phép dời hình11 1.Khái niệm phép dời hình 11 2.Một số phép dời hình thờng gặp .11 2.1.Phép đối xứng trục.11 2.2.phép quay16 Phụ lục 20 C. kết luận .21 1. Kết quả nghiên cứu .21 2. Kiến nghị, đề xuất .24 Tài liệu tham khảo25 1 http://violet.vn/toan_cap3 A. đặt vấn đề I. lời nói đầu Chủ đề về các phép biến hình trong mặt phẳng là một chủ đề rộng của hình học, bao gồm: đại cơng về các phép biến hình, các phép dời hình (Phép tịnh tiến, đối xứng tâm, đối xứng trục, phép quay, phép dời hình), các phép đồng dạng(Phép vị tự, phép đồng dạng). Trong đề tài này tác giả chỉ giới hạn nghiên cứu sâu hơn về một số phép dời hình trong mặt phẳng (Không đề cập các phép đồng dạng) dới góc độ của hình học sơ cấp, đặc biệt là hình học giải tích, véc tơ và tọa độ trong mặt phẳng, phù hợp với đối tợng học sinh THPT, chúng ta không tiếp cận dới góc độ của hình học cao cấp hay toán học hiện đại. Nội dung tài này đợc chia thành hai chơng: - Chơng 1: Đại cơng về phép biến hình Trong chơng này chúng ta nghiên cứu sâu hơn về các phép biến hình: phép chiếu theo phơng v lên đờng thẳng ( Còn gọi là phép chiếu song song), phép chiếu vuông góc lên đờng thẳng ( Còn gọi là phép chiếu trực giao) - Chơng 2: Các phép dời hình Trong chơng này chúng ta nghiên cứu sâu hơn về các phép biến hình: phép đối xứng trục, phép quay. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chuyên môn đã tạo điều kiện thuận lợi nhất để tác giả hoàn thành đề tài này, cũng nh các đồng nghiệp nhiệt tình đóng góp ý kiến, giúp đỡ và động viên tác giả để đề tài hoàn thiện hơn. Mặc dù tác giả đã cố gắng rất nhiều trong quá trình nghiên cứu và trình bày, song không tránh khỏi khiếm khuyết. Rất mong đợc sự đóng góp ý kiến của độc giả! II. thực trạng của vấn đề 1. Thực trạng: Trong chơng trình Hình Học 10 (SGK chỉnh lí và hợp nhất năm 2000- NXBGD) đã trình bày đại cơng về các phép biến hình (Chơng III), sau này trong chơng trình Hình Học 11( Chơng trình chuẩn và nâng cao- NXBGD năm 2007) trong đó có trình bày về biểu thức tọa độ của các phép: tịnh tiến, đối xứng trục (Với trục đối xứng là Ox hoặc Oy), không trình bày biểu thức tọa độ của phép quay, trong SGV Hình Học nâng cao có nói đến biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục đi qua gốc tọa độ, nhng cha nói rõ cách xác định hay giá trị của cos và sin . Ngoài ra trong giáo trình Toán tập 7 của tác giả Jean Marie Monier (NXBGD-2000) có trình bày biểu thức tọa độ đầy đủ của phép đối xứng trục, nhng việc áp dụng nó vào trong chơng trình THPT không đơn giản. Cha đề cập đến biểu thức tọa độ của phép quay. 2. Kết quả, hiệu quả của thực trạng trên: Kết quả, hiệu quả của thực trạng trên cha đáp ứng đợc nhu cầu tìm tòi sáng tạo của học sinh và giáo viên, cha tiếp cận đợc với Hình Học cao cấp và Toán học hiện đại, một số chỗ còn cha nói lên rõ đợc bản chất (cốt lõi) của vấn đề (Định lí thì không đợc nêu, còn hệ quả của nó thì đợc phát biểu thành định 2 http://violet.vn/toan_cap3 lí), đặc biệt là cha tiếp cận đợc với xu hớng thi trắc nghiệm môn Toán. Chẳng hạn ta xét một tình huống ''Tìm ảnh d' của đờng thẳng d: 2x + y - 2 = 0 qua phép tịnh tiến theo véc tơ v = (3;-1)''. Thông thờng (theo phơng pháp cũ) để giải quyết tình huống này ta làm nh sau: +Lấy M(1;0) thuộc d và xác định ảnh M' = T v (M): = += 10' 31' y x M'(4;-1) +Vì d' // d (hoặc trùng d) và d' đi qua M' nên phơng trình d' là: 2.(x- 4) +1.(y+1) = 0 d': 2x + y - 7 = 0. Qua đó đòi hỏi học sinh phải nắm đợc biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến và tính chất ''Phép tịnh tiến biến đờng thẳng thành đờng thẳng song song hoặc trùng với nó''. ở đây tác giả đã giải quyết tình huống trên nh sau: +Lấy tích vô hớng của n = (2;1) và v = (3;-1): 513.2. == nv +Phơng trình d' là: 2x + y - 2 - 5 = 0 2x + y - 7 = 0. Vậy tình huống đợc giải quyết đơn giản hơn nhiều. Kết quả đợc trình bày dạng tổng quát ở định lí 1 nh sau: *định lí 1 Cho v = (a; b) và đờng thẳng : Ax + By +C = 0. Khi đó T v biến thành đờng thẳng ' có phơng trình : ' : ( ) - v . n = 0 ( ) - là vế trái của đờng thẳng . Về phép đối xứng tâm ta có định lí 2 *định lí 2 Cho I (a; b) và đờng thẳng : Ax + By +C = 0. Khi đó Đ I biến thành đờng thẳng ' có phơng trình là: ' : ( ) -2 0 = 0 trong đó 0 = aa + Bb + C. Một tình huống khác là " Ngoài các phơng pháp cộng đại số, (phơng pháp Gauss), phơng pháp định thức (phơng pháp Cramer), phơng pháp thế, ph- ơng pháp đồ thị, phơng pháp đoán nhận nghiệm Còn ph ơng pháp nào để giải hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn một cách tơng đối ngắn gọn hay không?". Trong chơng 1 chúng ta có một cách giải mới . Từ thực trạng trên tôi mạnh dạn tìm tòi, nghiên cứu và đa ra sáng kiến với mục tiêu nghiên cứu sâu hơn về các phép biến hình trong mặt phẳng dới góc độ của hình học sơ cấp, đặc biệt là hình học giải tích, véc tơ và tọa độ trong mặt phẳng, phù hợp với đối tợng học sinh THPT, chúng ta không tiếp cận dới góc độ của hình học cao cấp hay toán học hiện đại . Trong đề tài này chúng ta cung cấp một số kiến thức mới bổ xung về các phép biến hình trong mặt phẳng, đa ra một số phơng pháp giải toán, rèn luyện t duy lôgic, t duy trừu tợng, tiếp cận với ph- ơng pháp nghiên cứu khoa học, tìm tòi sáng tạo trong học tập, nghiên cứu của giáo viên và học sinh trong đó có các ví dụ, các bài tập vận dụng nhằm minh họa hay rèn luyện những kĩ năng nhất định. Đặc biệt có thể đáp ứng với nhu cầu đổi mới phơng pháp dạy và học trong xu hớng tiếp cận với hình thức thi trắc nghiệm môn Toán, đòi hỏi phải giải nhanh, đúng đắn và chính xác các bài toán với thời gian mỗi câu rất ngắn. 3 http://violet.vn/toan_cap3 b. Giải quyết vấn đề I. Các giải pháp thực hiện Để giải quyết các vấn đề đặt ra chúng ta cần nắm đợc các kiến thức cơ bản, tơng đối thành thạo những kĩ năng nhất định trong chơng trình Hình Học 10 (Chơng trình chuẩn và nâng cao- NXBGD 2006). Từ đó chúng ta đa ra các bài toán nhỏ hay các ví dụ minh họa hay dẫn dắt tới các khái niệm, định nghĩa, định lí đ ợc trình bày trong các chơng 1 và chơng 2. Trong mỗi chơng có các bài tập tự giải theo các phơng pháp đã nêu trong đề tài (có thể giải theo phơng pháp cũ để kiểm chứng). chơng 1: đại cơng về phép biến hình 1.đại cơng về phép biến hình 1.1.Ví dụ mở đầu Trong mặt phẳng cho một đờng thẳng cố định và một véc tơ v 0 sao cho v không là véc tơ chỉ phơng của .Với mỗi điểm M , ta xác định M nh sau: vẽ d đi qua M nhận v làm véc tơ chỉ phơng và M = d Nh vậy theo cách trên với bất kì điểm M đều xác định đợc M duy nhất. 1.2.Định nghĩa 1 Phép biến hình trong mặt phẳng là qui tắc cho tơng ứng mỗi điểm M xác định điểm M duy nhất thuộc mặt phẳng đó . Điểm M trong định nghĩa gọi là điểm tạo ảnh (Gọi tắt là: tạo ảnh) Điểm M trong định nghĩa gọi là điểm ảnh (Gọi tắt là: ảnh) của M. Ta còn nói phép biến hình biến M thành M. Nếu ký hiệu phép biến hình là F thì ta viết: F(M) = M hoặc M = F(M) hoặc F: M M. Ví dụ 1 Trong ví dụ mở đầu, ta gọi phép biến hình đó là: phép chiếu theo phơng v lên đờng thẳng .Ta có thể kí hiệu là: v F (M) = M. Ví dụ 2 Đặc biệt trong ví dụ mở đầu, nếu v là véc tơ pháp tuyến của thì ta gọi phép biến hình này là: phép chiếu vuông góc lên đờng thẳng ( Còn gọi là phép chiếu trực giao). Kí hiệu là: F M M' *Chú ý: Phép biến hình biến mỗi điểm M thành M gọi là phép đồng nhất. 1.3.ảnh của một hình qua một phép biến hình Cho một hình H. Tập hợp các điểm {M=F(M) với M H} gọi là ảnh của hình H qua phép biến hình F. Kí hiệu F(H) = H. 1.4.Tích của hai phép biến hình 4 http://violet.vn/toan_cap3 Cho hai phép biến hình f và g, g(M) = M và f(M) = M. Khi đó phép biến hình biến M thàmh M là kết quả của việc thực hiện liên tiếp hai phép biến hình g và f đợc gọi là tích (hay: hợp thành) của f và g.Ký hiệu là f g. *Định nghĩa 2 Tích (hay: hợp thành) của hai phép biến hình f và g là phép biến hình h có đợc bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép biến hình g và f.Ký hiệu là:H = f g. Nh vậy, theo định nghĩa:H(M) = f g(M) = F(G(M)). (Có thể mở rộng cho tích của một số phép biến hình). Sau đây chúng ta nghiên cứu kĩ hơn về phép chiếu theo phơng v lên đ- ờng thẳng và phép chiếu vuông góc lên đờng thẳng 2.phép chiếu theo phơng v lên đờng thẳng Trong ví dụ mở đầu ta mô tả về phép chiếu theo phơng v 0 lên đờng thẳng . Sau đây ta định nghĩa chính xác về phép biến hình này. 2.1.Định nghĩa 3 Trong mặt phẳng cho đờng thẳng và véc tơ v 0 không là véc tơ chỉ phơng của đờng thẳng . Phép biến hình biến mỗi điểm M thành M sao cho: = ' ' M vkMM (I) gọi là phép chiếu theo phơng v lên đờng thẳng . Kí hiệu là: v F . Ký hiệu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho : Ax + By + C = 0. Ký hiệu n = (A;B) là véc tơ pháp tuyến của và u = (B;-A) là véc tơ chỉ phơng của . -Với mỗi điểm M(x M ; y M ), ta ký hiệu (M) = Ax M + By M + C là số thực khi thay tọa độ của M vào vế trái ; -Nếu M 0 (x 0 ;y 0 ) thì 0 = Ax 0 + By 0 + C; -Nếu M(x; y) bất kì thì ( ): = (M): = Ax + By + C . Bài toán 1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đờng thẳng d: x = x 0 + at , y = y 0 + bt và đ- ờng thẳng : Ax + By +C = 0. Hãy xác định tọa độ giao điểm d và biết rằng aa +Bb 0. Giải Đặt v = (a;b) là véc tơ chỉ phơng của d, tacó v . n = aa +Bb 0.Ta cần xác định giá trị t 0 thỏa mãn : A(x 0 + at) +B(y 0 + bt) + C =0 (aa +Bb)t 0 + (Ax 0 + By 0 + C) = 0 t 0 = - bBaA CByAx + ++ 00 = - nv. 0 . Thay giá trị t 0 vào phơng trình d ta xác định đợc tọa độ giao điểm: x 0 = x 0 + at 0 , y 0 = y 0 + bt 0 . 2.2.Biểu thức véc tơ của phép chiếu theo phơng v Bài toán trên cho phép ta chứng minh định lí sau 5 http://violet.vn/toan_cap3 *Định lí 3 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho : Ax + By +C = 0 và v = (a;b) sao cho v . n = aa +Bb 0. Khi đó v F có biểu thức véc tơ là: vkMM = ' (Ia) trong đó k = - ( ) nv. , ( ) = Ax + By +C. *Chú ý: Ta xác định n = (A;B) theo phơng trình của và giữ nguyên nó trong mệnh đề 1. Chẳng hạn : : 6x 9y +2 = 0 thì ta lấy n =(6; - 9) mà không lấy n =(2; - 3). Muốn lấy n =(2; - 3) ta phải biến đổi về dạng : 0 3 2 32 =+ yx . 2.3.Biểu thức tọa độ của phép chiếu theo phơng v Từ biểu thức véc tơ ta suy ra biểu thức tọa độ sau *hệ quả : Nếu v F biến M(x;y) thành M (x ;y ) thì : += += kbyy kaxx ' ' (Ib) trong đó k = - ( ) nv. , ( ) = Ax + By +C và v = (a;b). Ví dụ 1 Hãy tìm tọa độ giao điểm của hai đờng thẳng có phơng trình : d: 2x + y - 1 = 0 và : 2x y + 3 = 0. Giải Kí hiệu v = d u =(1;-2) và n =(2; - 1) ta có: v . n =4 0. Lấy M 0 (0;1) trên d 0 = 2.0 -1.1 +3 = 2. Khi đó k 0 =- nv. 0 = - 2 1 Vậy == == 2)2( 2 1 1' 2 1 1. 2 1 0' 0 0 y x hay d = (- 2 1 ; 2). *ý nghĩa Từ nay ta có thêm một phơng pháp mới để giải hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn. Nó khác với các phơng pháp đã biết nh: phơng pháp cộng đại số, (phơng pháp Gauss), phơng pháp định thức (phơng pháp Cramer), phơng pháp thế, phơng pháp đồ thị Hiển nhiên mỗi ph ơng pháp có u điểm và nhợc điểm riêng và đều phải cho cùng một kết quả, vì về bản chất chúng phải tơng đơng nhau. Ưu điểm của phép chiếu theo phơng v là: Ta có thể chọn điểm M 0 (x 0 ;y 0 ) bất kì d sao cho việc tính toán 0 = Ax 0 + By 0 + C là thuận tiện và dễ dàng nhất: Nếu v . n = aa +Bb = 0 và 0 0 thì hai đờng thẳng song song tức là hệ vô nghiệm ; Nếu v . n = aa +Bb = 0 và 0 = 0 thì hai đờng thẳng trùng nhau, tức là hệ có vô số nghiệm. Ngoài ra phần sau ta sẽ có một ứng dụng quan trọng của phép chiếu theo phơng v . 6 http://violet.vn/toan_cap3 Ví dụ 2 Tìm giao điểm của hai đờng thẳng : d: 2x +3 y +1 = 0 và : 4x+5 y -6 = 0. Giải Xét v = d u =(3;-2) và n =(4; 5) v . n =2 0. Lấy M 0 (1;-1) d 0 = -7. Khi đó k 0 =- nv. 0 = 2 7 .Vậy =+= =+= 8)2( 2 7 1' 2 23 3. 2 7 1' 0 0 y x hay d = ( 2 23 ;-8). *nhận xét Từ phép chiếu theo phơng v lên đờng thẳng , chúng ta có thể mở rộng nghiên cứu phép đối xứng trợt với trục đối xứng . 3.phép chiếu vuông góc lên đờng thẳng 3.1.Định nghĩa 4 Trong mặt phẳng cho đờng thẳng và véc tơ pháp tuyến n . Phép biến hình biến mỗi điểm M thành M sao cho: = ' ' M nkMM (II) gọi là phép chiếu vuông góc lên đờng thẳng . Kí hiệu là: F . *Lu ý : ta thờng vẫn sử dụng H thay cho M 3.2.Biểu thức véc tơ *Định lí 4 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho : Ax + By +C = 0. Khi đó F biến M(x;y) thành H có biểu thức véc tơ xác định bởi: nkMH = (IIa) trong đó k = - ( ) 2 n , ( ) = Ax + By +C. Chứng minh Ta cần chứng minh hai điều: MH cùng phơng với n (1), và H (2).Thật vậy: Xét hai trờng hợp - Nếu M nghĩa là (M) = 0 suy ra k = 0.Khi đó từ (IIa) dễ dàng suy ra H M. - Nếu M . Khi đó hiển nhiên (IIa) suy ra (1). Từ k = - ( ) 2 n k 2 n = - ( ) (3). Nhân vô hớng hai vế của (IIa) với n và so sánh với (3) ta có : MH . n = - ( ) A(x H - x) +B(y H - y) = - ( Ax + By +C) Ax H + By H +C=0 suy ra (2) đúng (đpcm). *Chú ý : Trong định lí 3 chọn v = n ta có ngay định lí 4. 3.3.Biểu thức tọa độ Từ biểu thức véc tơ dễ dàng suy ra biểu thức tọa độ sau *hệ quả 1: 7 http://violet.vn/toan_cap3 Nếu F biến M(x;y) thành H(x H ;y H ) thì : += += kByy kAxx H H (IIb) trong đó k = - ( ) 2 n , ( ) = Ax + By +C. Ví dụ 1 Cho điểm M(1;2) và : 3x + 4y -1 =0. Hãy tìm tọa độ hình chiếu vuông góc H của M trên . Giải: Tính giá trị k 0 =- ( ) 2 0 n =- 22 43 12.41.3 + + =- 5 2 . F biến M(x;y) thành H(x H ;y H ) == == 5 2 4. 5 2 2 5 1 3. 5 2 1 H H y x H(- 5 1 ; 5 2 ). Ví dụ 2 Cho tam giác ABC có A(0;1), B(-2;5), C(4;9). Hãy xác định tọa độ chân đờng cao AH của tam giác. Giải Phơng trình đờng thẳng BC: 59 5 24 2 = + + yx : 2x-3y+19 =0. M 0 A(0;1) suy ra k 0 =- ( ) 2 0 n =- ( ) 2 2 32 193 + + =- 13 16 . Suy ra tọa độ của H : == == 13 61 )3.( 13 16 1 13 32 2. 13 16 0 H H y x H( 13 61 ; 13 32 ). 3.4.Các hệ quả khác *hệ quả 2 Hai điểm M 1 và M 2 cùng phía đối với đờng thẳng : (M 1 ). (M 2 ) > 0. *hệ quả 3 Với mỗi điểm M(x; y) ta có : d(M, ) =MH = ( ) n = 22 BA CByAx + ++ . Từ các hệ quả trên và phép chiếu theo phơng v lên đờng thẳng ta chứng minh đợc định lí 5 sau đây. Nội dung và ý nghĩa của định lí 5 là : khi biết phơng trình ba cạnh của tam giác, ta dựa vào véc tơ pháp tuyến để viết đợc phơng trình đờng phân giác trong của một góc trong tam giác mà không cần giải tìm tọa độ ba đỉnh để xét dấu. ký hiệu Với a = (a 1 , a 2 ) và b = (b 1 , b 2 ) ta ký hiệu T = b a = 21 21 bb aa = a 1 b 2 - a 2 b 1 là định thức cấp hai tạo bởi a và b . *Định lí 5 Cho một tam giác mà ba cạnh có phơng trình : 8 http://violet.vn/toan_cap3 D 1 : A 1 x +B 1 y+C 1 =0; D 2 : A 2 x +B 2 y +C 2 =0; D 3 : A 3 x +B 3 y +C 3 =0. Gọi d 1 là đ- ờng phân giác trong của góc đối diện cạnh 1 . Khi đó a)Nếu T 1 = 2 1 n n . 3 1 n n < 0 thì phơng trình d 1 là : ( ) ( ) 3 3 2 2 n D n D += ; b) Nếu T 1 = 2 1 n n . 3 1 n n > 0 thì phơng trình d 1 là : ( ) ( ) 3 3 2 2 n D n D = . Chẳng hạn ta xét ví dụ 3 sau đây: Cho D 1 : 3x + 4y 6 = 0 ; D 2 : 4x +3y 1 = 0 ; D 3 : y = 0 . Gọi A = D 1 D 2 ; B = D 2 D 3 ; C = D 3 D 1 . Hãy viết phơng trình đờng phân giác trong của góc A. (Đề 16 Bộ đề thi tuyển sinh) Ta sẽ giải ví dụ 3 trớc và chứng minh định lí 5 sau: Giải : Do A đối diện với D 3 nên ta xét T 3 = 2 3 n n . 1 3 n n = 43 10 . 34 10 = 12 > 0. Do đó phơng trình đờng phân giác trong của góc A là d 3 : 2222 43 643 34 134 + + = + + yxyx d 3 : x + y 1 = 0. (Ta có thể giải tìm tọa độ của B, C rồi viết phơng trình d 3 theo phơng pháp cũ). Bây giờ ta chứng minh định lí 5 Gọi A, B, C lần lợt là các đỉnh của tam giác đối diện với các cạnh D 1 , D 2 , D 3 và d 1 là đờng phân giác trong của góc A. - Phép chiếu theo phơng );( 333 ABu = lên D 2 biến B thành A, ta có: = = )( . )( . )( 3 23 2 3 23 2 A nu BD yy B nu BD xx BA BA nhân các vế lần lợt với A 1 , B 1 cộng lại và cộng thêm C 1 , và do B thuộc D 1 ta có: D 1 (A) = - )( . 2 23 1331 BD nu BABA = - )( . . 2 32 31 BD un un (a) - Tơng tự (đối với C): D 1 (A) = - )( . . 3 23 21 CD un un (b) - Với chú ý rằng 2332 unun = thì khi nhân các vế (a) và (b) ta có: (D 1 (A)) 2 = - )()( ).( ).).(.( 32 2 32 2131 CDBD un unun > 0 T 1 .D 2 (B)D 3 (C) < 0. (c) - Ta giả thiết M thuộc d 1 và khác A (M trùng A thì hiển nhiên mệnh đề đúng), khi đó: d(M, D 2 ) = d(M, D 3 ) (d) đồng thời 9 http://violet.vn/toan_cap3 > > 0)().( 0)().( 33 22 CDMD BDMD hoặc < < 0)().( 0)().( 33 22 CDMD BDMD D 2 (M)D 3 (M)D 2 (B)D 3 (C) > 0 (e) - Nhân hai vế của (c) và (e) suy ra T 1 .(D 2 (M).D 3 (M)) < 0 (f) Cuối cùng tùy theo dấu của T 1 mà từ (f) và (d) khẳng định của định lí 5. (Dựa vào định thức cấp ba và việc tìm tọa độ giao điểm của các đờng thẳng , ta cũng có thể chứng minh đợc định lí 5)(Xem[6]). Chúng ta sẽ mở rộng nghiên cứu về phép chiếu theo phơng v lên mặt phẳng ( Còn gọi là phép chiếu song song), phép chiếu vuông góc lên đờng thẳng, mặt phẳng ( Còn gọi là phép chiếu trực giao) trong không gian trong đề tài khác. Chơng 2: Các phép dời hình 1.khái niệm phép dời hình Ví dụ về phép dời hình Cắt một mảnh giấy theo một hình tùy ý (Chẳng hạn: hình trái tim), đặt hình này lên trang giấy rồi di chuyển hình đó trên trang giấy một cách tùy ý. Kết quả là: hình đó chỉ thay đổi vị trí còn tất cả các yếu tố khác của hình đều không thay đổi.Tính chất này có đợc là do khoảng cách giữa hai điểm bất kì không thay đổi khi di chuyển. ở vị trí (1) ta di chuyển đến vị trí (2) ta đã thực hiện một phép dời hình. 1.1.Định nghĩa 1 Phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì gọi là phép dời hình. *Cho F là phép biến hình biến mỗi cặp điểm M, N lần lợt thành M, N.Để chứng minh F là phép dời hình ta chứng minh: MN = MN. *Nhận xét -Theo định nghĩa dễ dàng suy ra: tích của hai phép dời hình là một phép dời hình. -Hiển nhiên: Phép đồng nhất là một phép dời hình. 1.2.Tính chất *Định lí Phép dời hình biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự thẳng hàng của ba điểm đó. Chứng minh Giả sử phép dời hình F biến ba điểm thẳng hàng A, B, C với B giữa A và C lần lợt thành A, B, C(1) .Ta phải chứng minh A, B, C thẳng hàng với B giữa A và C(2).Thật vậy: (2) AB +BC = AC AB + BC = AC (1) (Vì theo định nghĩa và (1) ta có: AB = AB, BC = BC, AC = AC)(đpcm). 1.3.Định nghĩa 2 Hai hình gọi là bằng nhau nếu có phép dời hình biến hình này thành hình kia. *Nhận biết hai hình bằng nhau trong thực tế: đó là hai hình chỉ khác nhau về vị trí (Nếu có). 10 [...]... quả Phép dời hình biến đờng thẳng thành đờng thẳng , tia tành tia, góc, đa giác, đờng tròn thành hình bằng nó 2.một số phép dời hình thờng gặp 2.1 .phép đối xứng trục (phép đối xứng qua đờng thẳng) 2.1.1.Định nghĩa 5 Trong mặt phẳng cho đờng thẳng Phép biến hình biến mỗi điểm M thuộc thành M, mỗi điểmM không thuộc thành M sao cho là trung trực của MM gọi là phép đối xứng qua đờng thẳng (gọi tắt phép. .. ABC Khi đó: Q(A, 60 ) biến: A thành A, B thành C 0 Nhng Q(A, - 60 ) biến: A thành A, C thành B B 2.2.2.Biểu thức tọa độ Từ nhận xét 1b ta sẽ có biểu thức tọa độ sau A C *định lí 9 u Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Q(I, ) Khi đó Q(I, =(A; B) thành u ' =(A; B) xác định bởi: A' = A cos B sin B ' = A sin + B cos ) biến véc tơ (IVa) Chứng minh Ta chứng minh ba điều: Q(I, ) biến I thành I (1), u... vận dụng phép quay trong giải toán ta phải xác định đợc tâm quay, góc quay, bán kính quay (Đặc điểm là: có sự xuất hiện hoặc tạo ra điểm cố định, một góc không đổi) Trong mặt phẳng tọa độ -Viết đợc biểu thức tọa độ và biểu diễn tọa độ x; y theo x; y -Thay tọa độ x, y vào phơng trình đờng (C) ta có tập hợp x, y chính là ảnh (C) của (C) (ở đây (C) có thể là đờng thẳng , đờng tròn, parabol) Giả sử phép quay... giảm tải về nội dung nên ở mức độ cao hơn, nếu có thể thì đề tài đợc in trong các sách tham khảo hay cao hơn nữa là đợc in trong trong SGK phần phụ lục hoặc bài đọc thêm C kết luận 1 Kết quả nghiên cứu: Đề tài đề cập đến một số vấn đề về biểu thức tọa độ của một số phép biến hình trong mặt phẳng Kết quả chính đợc tóm tắt nh sau: 1.1 Về biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến và phép đối xứng tâm nh SGK ta... n3 1.4 Định nghĩa và một số kết quả về phép đối xứng trục Định nghĩa Trong mặt phẳng cho đờng thẳng Phép biến hình biến mỗi điểm M thuộc thành M, mỗi điểmM không thuộc thành M sao cho là trung trực của MM gọi là phép đối xứng qua đờng thẳng (gọi tắt phép đối xứng trục) Kí hiệu là: Đ *định lí 6 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho : Ax + By +C = 0 Khi đó Đ biến M(x;y) thành M(x; y) có biểu thức véc... Định nghĩa và một số kết quả về phép quay Định nghĩa Trong mặt phẳng cho điểm I và góc lợng giác Phép biến hình biến I thành I, biến mỗi điểm M thành M sao cho IM = IM và (IM, IM) = gọi là phép quay tâm I, góc quay Kí hiệu là: Q(I, ) 22 http://violet.vn/toan_cap3 *định lí 9 u Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Q(I, ) Khi đó Q(I, =(A; B) thành u ' =(A; B) xác định bởi: ) biến véc tơ A' = A cos B sin... *************************** 2.2 .phép quay 2.2.1.Định nghĩa 6 Trong mặt phẳng cho điểm I và góc lợng giác Phép biến hình biến I thành I, biến mỗi điểm M thành M sao cho IM = IM và (IM, IM) = gọi là phép quay tâm I, góc quay Kí hiệu là: Q(I, ) M *Chú ý Ta gọi I là tâm quay, là góc quay và IM là bán kính quay *Nhận xét 1: a.Các phép quay tâm I với các góc quay và + k2 M cùng biến M thành M Bởi vậy ta... Định nghĩa và một số kết quả về phép chiếu vuông góc lên đờng thẳng Định nghĩa Trong mặt phẳng cho đờng thẳng có véc tơ pháp tuyến n Phép biến hình biến mỗi điểm M thành M sao cho: MM ' = k n M ' (II) gọi là phép chiếu vuông góc lên đờng thẳng Kí hiệu là: F *Lu ý : ta thờng vẫn sử dụng H thay cho M *Định lí 4 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho : Ax + By +C = 0 Khi đó F biến M(x;y) thành H có biểu... (đpcm) 2 2 2.1.3.Biểu thức tọa độ Từ biểu thức véc tơ dễ dàng suy ra biểu thức tọa độ sau *hệ quả 1 x ' = x + 2kA Nếu Đ biến M(x;y) thành M(x; y) thì : y ' = y + 2kB trong đó k = - ( ) n 2 , ( )= (M) = Ax + By +C 11 (IIIb) http://violet.vn/toan_cap3 *Nhận xét 2 -Nếu Ox có phơng trình : y = 0 thì A = 0, B = 1 và k = - y nên từ (IIIb) x = x, y = - y Đây là biểu thức tọa độ của phép đối xứng ĐOx -Nếu... trình AB: x y + 1 = 0 +Với phép quay tâm A, góc quay A biến AB thành AC; Với phép quay tâm B, góc quay - B biến BA thành BC nên theo nhận xét (4c) phơng trình AC và BC là: AC: (1 + 1/2)(x - 1) + (1/2 - 1)(y - 2) = 0 3x y 1 = 0; BC: (1 - 1/3)(x - 3) + (- 1/3 - 1)(y - 4) = 0 x 2y + 5 = 0 +Với phép quay tâm A, góc quay - A biến AB thành AC; Với phép quay tâm B, góc quay B biến BA thành BC nên phơng . hiện một phép dời hình. 1.1.Định nghĩa 1 Phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì gọi là phép dời hình. *Cho F là phép biến hình biến mỗi. là phép đồng nhất. 1.3.ảnh của một hình qua một phép biến hình Cho một hình H. Tập hợp các điểm {M=F(M) với M H} gọi là ảnh của hình H qua phép biến hình