Biểu thức tọa độ của phép dời hình và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TỐN HỒNG THỊ HẠNH BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA PHÉP DỜI HÌNH VÀ ỨNG DỤNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – Năm 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TỐN HỒNG THỊ HẠNH BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA PHÉP DỜI HÌNH VÀ ỨNG DỤNG Chun ngành: Hình học KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN PGS.TS Nguyễn Năng Tâm Hà Nội – Năm 2017 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hồng Thị Hạnh LỜI CẢM ƠN Khóa luận tốt nghiệp em hoàn thành với giúp đỡ bảo thầy tổ Hình học Khoa Toán trường Đại học Sư Phạm Hà Nội Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc thầy giáo Nguyễn Năng Tâm, người tận tình hướng dẫn em suốt thời gian để em hoàn thành khóa luận Do trình độ thời gian nghiên cứu hạn chế nên vấn đề mà em trình bày khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót Em kính mong nhận bảo đóng góp ý kiến thầy giáo, giáo, bạn sinh viên để khóa luận hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 19 tháng 04 năm 2017 Sinh viên Hồng Thị Hạnh i Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hồng Thị Hạnh LỜI CAM ĐOAN Khóa luận tốt nghiệp kết trình học tập, nghiên cứu em hướng dẫn bảo tận tình thầy giáo, đặc biệt hướng dẫn nhiệt tình thầy Nguyễn Năng Tâm Trong nghiên cứu hồn thành khóa luận em tham khảo số tài liệu nêu phần tài liệu tham khảo Vì vậy, khóa luận tốt nghiệp với đề tài: "Biểu Thức Tọa Độ Của Phép Dời Hình Và Ứng Dụng" khơng có trùng lặp với khóa luận khác Hà Nội, ngày 19 tháng 04 năm 2017 Sinh viên Hoàng Thị Hạnh ii Mục lục Lời mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Euclide 1.2 Ánh xạ đẳng cự 1.2.1 Định nghĩa 1.2.2 Định lý 1.2.3 Biến đổi đẳng cự 1.2.4 Điểm bất động vectơ bất động phép biến 1.3 đổi đẳng cự Phép biến hình 1.3.1 Các khái niệm phép biến hình 1.3.2 Phép biến hình afin 1.3.3 Phép biến hình đẳng cự Biểu thức tọa độ phép dời hình 2.1 2.2 10 Phép dời hình 10 2.1.1 Định nghĩa 10 2.1.2 Tính chất 11 Biểu thức tọa độ phép dời hình 11 iii Khóa luận tốt nghiệp Đại học 2.3 Hoàng Thị Hạnh 2.2.1 Biểu thức tọa độ 11 2.2.2 Phân loại phép dời hình 12 2.2.3 Phép đối xứng qua m − phẳng 12 2.2.4 Phép quay quanh (n − 2) − phẳng 13 Các phép dời hình mặt phẳng 17 2.3.1 Phép dời hình phản chiếu mặt phẳng 17 2.3.2 Phép tịnh tiến 19 2.3.3 Phép đối xứng trục 20 2.3.4 Phép đối xứng tâm 22 2.3.5 Phép quay 23 Ứng dụng biểu thức tọa độ phép dời hình 26 3.1 Xác định loại phép dời hình mặt phẳng 26 3.2 Xác định yếu tố phép dời hình 38 3.3 Tìm điểm bất động 42 KẾT LUẬN 45 Tài liệu tham khảo 46 iv Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hồng Thị Hạnh Lời mở đầu Lí chọn đề tài Hình học mơn học hấp dẫn thu hút nhiều học sinh yêu toán Việc giải tập, tìm nhiều cách giải có nhiều cách giải hay, độc đáo phát huy tính sáng tạo, niềm say mê mơn hình học Với tập có nhiều phương pháp: phương pháp tổng hợp, phương pháp vectơ, phép biến hình Trong chương trình tốn phổ thơng, học sinh biết đến phép biến hình việc vận dụng cơng cụ để giải số lớp tốn hình học nhanh gọn hợp lí Tuy nhiên việc giải tập phép biến hình khơng phải dễ dàng Phép dời hình phép biến hình mà chương trình phổ thơng đề cập đến Đặc biệt biểu thức tọa độ phép dời hình giúp ứng dụng đại số vào hình học để tìm lời giải hay, ngắn gọn tốn hình học u thích hình học, u thích phép biến hình đặc biệt phép dời hình nên em chọn đề tài: "Biểu thức tọa độ phép dời hình ứng dụng" để thực khóa luận tốt nghiệp đại học Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu kiến thức phép dời hình, biểu thức tọa độ phép dời hình ứng dụng vào giải tốn - Xây dựng hệ thống ví dụ minh họa ứng dụng biểu thức tọa độ phép dời hình Đối tượng phạm vi nghiên cứu Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hoàng Thị Hạnh - Đối tượng nghiên cứu: biểu thức tọa độ phép dời hình - Phạm vi nghiên cứu: ứng dụng biểu thức tọa độ phép dời hình vào giải tốn Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu sách giáo trình, giảng chuyên đề, tài liệu tham khảo liên quan Cấu trúc khóa luận Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận gồm chương: Chương 1: "Một số kiến thức liên quan" Chương 2: "Biểu thức tọa độ phép dời hình " Chương 3: "Ứng dụng biểu thức tọa độ phép dời hình." Trong suốt trình nghiên cứu em nhận giúp đỡ tận tình thầy giáo Nguyễn Năng Tâm, thầy tổ Hình học em hồn thành khóa luận Một lần em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, cô Em mong nhận đóng góp ý kiến quý báu thầy cô bạn sinh viên để đề tài hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương trình bày số kiến thức để chuẩn bị cho chương sau Những kiến thức chủ yếu lấy từ tài liệu Hình học Afin hình học Ơclit Văn Như Cương- Tạ Mân, Hình học sơ cấp Bùi Văn Bình - Nguyễn Văn Vạn 1.1 Không gian Euclide + Không gian Euclide không gian afin liên kết với không gian vectơ Euclide hữu hạn chiều + Không gian Euclide gọi n chiều không gian vectơ Euclide liên kết với có chiều n + Khơng gian Euclide thường kí hiệu E, khơng gian vectơ → − Euclide liên kết với kí hiệu E Ví dụ + Khơng gian Oxy thơng thường không gian Euclide chiều ( E2 ) + Mỗi không gian vectơ Euclide hữu hạn chiều với cấu trúc afin tắc khơng gian Euclide, chẳng hạn Rn Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hồng Thị Hạnh + Các khơng gian afin thực n chiều trở thành khơng gian Euclide n chiều cách trang bị tích vơ hướng cho không gian vectơ liên kết với không gian afin cho → − + Nếu E không gian Euclide liên kết với khơng gian vectơ E − phẳng α khơng gian Euclide liên kết với → α 1.2 1.2.1 Ánh xạ đẳng cự Định nghĩa Định nghĩa 1.1 Ánh xạ f: E −→ E không gian Euclide E E gọi ánh xạ đẳng cự f ánh xạ afin mà ánh xạ tuyến tính → − → − → − → − liên kết f : E −→ E ánh xạ tuyến tính trực giao E → − E Nhận xét: Từ định nghĩa dễ dàng suy cặp M, N thuộc E ảnh chúng M = f (M ), N = f (N ) ta có d(M, N ) = d(M , N ) Nói cách khác phép đẳng cự bảo toàn khoảng cách hai điểm 1.2.2 Định lý Định lý 1.1 Mọi ánh xạ f: E −→ E không gian Euclide bảo tồn khoảng cách hai điểm ánh xạ đẳng cự Tức với M, N ∈ E ta có d(M, N ) = d(M , N ) Chứng minh Lấy I ∈ E I ∈ f (I) Xét ánh xạ ϕ: E −→ E xác định sau: Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hoàng Thị Hạnh Thật vậy, giả sử T1 =   x = x + x0 T2  y = y + y0   x = x + x1  y = y + y1 Khi T = T1 T2 có biểu thức tọa độ là:   x = x + (x0 + x1 ) (3.3)  y = y + (y0 + y1 ) mà công thức (3.3) công thức phép tịnh tiến T phép − − − tịnh tiến với vectơ tịnh tiến → v =→ v +→ v Bài tập 3.1.4 Tích phép tịnh tiến phép quay với góc quay ϕ khác phép quay góc quay ϕ Lời giải Trường hợp Giả sử phép tịnh tiến có biểu thức tọa độ là: T =   x = x + a  y = y + b phép quay có biểu thức tọa độ là:   x = x cosϕ − y sinϕ + x0  y = y sinϕ + y cosϕ + y0 32 (ϕ = 0) Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hồng Thị Hạnh Khi tích Q.T có phương trình   x = (x + a)cosϕ − (y + b)sinϕ + x0  y = (x + a)sinϕ + (y + b)cosϕ + y0 ⇔   x = xcosϕ − ysinϕ + x0 + acosϕ − bsinϕ (3.4)  y = xsinϕ + ycosϕ + y0 + bcosϕ − asinϕ Biểu thức (3.4) biểu thức phép quay tích (Q.T ) phép quay với góc quay ϕ Trường hợp Giả sử phép quay có biểu thức tọa độ :   x = xcosϕ − ysinϕ + x0 (ϕ = 0)  y = ysinϕ + ycosϕ + y0 phép tịnh tiến có biểu thức tọa độ :   x = x + a  y = y + b ta có phương trình biểu thức tọa độ tích (T.Q) là:   x = xcosϕ − ysinϕ + x0 + a (ϕ = 0) (3.5)  y = ysinϕ + ycosϕ + y0 + b biểu thức (3.5) biểu thức phép quay phép (T.Q) phép quay với góc quay góc ϕ 33 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hồng Thị Hạnh Bài tập 3.1.5 Tích hai phép quay phép tịnh tiến phép quay Lời giải Giả sử hai phép quay Q1 , Q2 có biểu thức tọa độ là: Q1 =   x = xcosϕ − ysinϕ + x0 (ϕ = 0)  y = xsinϕ + ycosϕ + y0 Q2 =   x = x cosθ − y sinθ + x0 (θ = 0)  y = x sinθ + y cosθ + y0 Khi tích hai phép quay có biểu thức tọa độ :   x = xcos(ϕ + θ) − ysin(ϕ + θ) + x0 cosθ − y0 sinθ + x1 (ϕ = 0, θ = 0)  y = xsin(ϕ + θ) + ycos(ϕ + θ) + x0 sinθ − y0 cosθ + y1 Nếu ta có ϕ + θ = tích hai phép quay có biểu thức tọa độ có dạng biểu thức phép tịnh tiến (Q1 Q2 ) phép tịnh tiến Nếu ta có ϕ + θ = tích hai phép quay có biểu thức tọa độ có dạng biểu thức quay (Q1 Q2 ) phép quay với góc quay (ϕ + θ) Bài tập 3.1.6 Tích hai phép đối xứng trục phép tịnh tiến phép quay Lời giải 34 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hồng Thị Hạnh Cho hai phép đối xứng trục sau: Đ1 có trục đối xứng d1 có phương trình ax + by + cz = ( a2 + b2 = 0) Đ2 có trục đối xứng d2 có phương trình a x + b y + c z = ( a + b = 0) Trường hợp Nếu b = b đó, ta có biểu thức phép đối xứng Đ1 Đ2 là:   x = −x − 2c a Đ1 =  y = y   x = −x − 2c a Đ2 =  y = y Suy Đ1 Đ2 có biểu thức tọa độ là:   x = x + 2c − 2c a a  y = y (3.6) Biểu thức tọa độ (3.6) phép tịnh tiến trường hợp Đ1 Đ2 phép tịnh tiến Trường hợp Nếu b = b = Khi biểu thức tọa độ phép đối xứng Đ1 Đ2 là:   x = −x − 2c a Đ1 =  y = y 35 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hồng Thị Hạnh   x = x cosθ + y sinθ + c sinθ b 2c θ  y = x sinθ − y cosθ − cos2 b Khi tích hai phép đối xứng có biểu thức tọa độ   x” = xcosϕ − ysinϕ + 2c cosϕ − c sinθ a b 2c 2c ϕ  y” = xsinϕ + ycosϕ + sinϕ − sin2 b b (3.7) Biểu thức (3.7) biểu thức tọa độ phép quay trường hợp tích hai phép đối xứng Đ2 Đ1 phép quay góc ϕ Trường hợp Nếu b = 0, b = biểu thức tọa độ hai phép đối xứng cho đầu là:   x = xcosθ + ysinθ + c sinθ b Đ1 2c  y = xsinθ − ycosθ − cos2 θ b   x = −x − 2c a Đ2 =  y = y Khi tích hai phép đối xứng có biểu thức tọa độ   x = xcosϕ − ysinϕ + c sinϕ − 2c sinθ a a 2c  y = xsinϕ + ycosϕ − sin2 ϕ b (3.8) biểu thức tọa độ phép quay với góc quay ϕ 36 (3.8) Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hoàng Thị Hạnh Cho nên trường hợp tích hai phép đối xứng Đ2 Đ1 phép quay góc ϕ Trường hợp Nếu b.b = Khi biểu thức tọa độ tích hai phép đối xứng Đ1 Đ2 là:   x = xcosϕ + ysinϕ + c sinϕ b Đ1 = 2c  y = xsinϕ − ycosϕ − cos2 ϕ b   x = x cosθ + y sinθ + c sinθ b Đ2 = θ 2c  y = x sinθ − y cosθ − cos2 b Khi biểu thức tọa độ tích hai phép đối xứng Đ2 Đ1 có biểu thức tọa độ là:  ϕ ϕ  2ccos sin( − θ) c   2 x = xcos(θ − ϕ) − ysin(θ − ϕ) + + sinθ b b ϕ ϕ  2ccos cos( − θ) 2c   2 y = xsin(θ − ϕ) + ycos(θ − ϕ) + − cos2 θ b b Ta có θ − ϕ = tích hai phép đối xứng Đ1 Đ2 phép tịnh tiến Nếu θ − ϕ = tích hai phép đối xứng Đ1 Đ2 phép quay với góc quay θ − ϕ Như trường hợp tích hai phép đối xứng phép quay phép tịnh tiến 37 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 3.2 Hoàng Thị Hạnh Xác định yếu tố phép dời hình Phép dời hình gồm yếu tố chính: ảnh, tạo ảnh quy tắc f Bài tốn cho yếu tố tìm yếu tố lại Đây dạng bài học sinh phổ thơng Giải tốn cách sử dụng định nghĩa biểu thức tọa độ phép dời hình Sau xét số Bài tập 3.2.1 Trong mặt phẳng Oxy, cho đường trịn tâm I(3;-2) bán kính R=3 − a) Viết phương trình ảnh đường trịn (I,R) qua phép tịnh tiến T→ v − với → v =(-2;1) b) Viết phương trình ảnh đường trịn (I,R) qua phép đối xứng qua trục Oy c) Viết phương trình ảnh đường tròn qua phép đối xứng tâm O Lời giải − a) Ta có phép tịnh tiến T→ v : I → I1 với I(x , y ) Theo biểu thức tọa độ phép tịnh tiến ta được:   x = x + a  y = y + b ⇔   x = + (−2) =  y = −2 + = −1 Suy tâm đường tròn ảnh đường trịn I(3; 2) I (1; −1) 38 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hoàng Thị Hạnh − Qua phép tịnh tiến T→ v đường tròn (I; 3) biến thành đường trịn (I ; 3) có phương trình là: (x − 1)2 + (y + 1)2 = b) Ta có phép đối xứng ĐO X : (I; 3) −→ (I ; 3) Tọa độ I   xI = xI = ⇒ I (3; 2)  yI = −yI = Phương trình ảnh đường tròn (I, 3) qua phép đối xứng trục Ox là: (x − 3)2 + (y − 2)2 = c) Ta có phép đối xứng tâm O ĐO : (I; 3) −→ (I0 ; 3) Tọa độ I0   xI = −xI = −3 ⇒ I0 (−3; 2)  yI = −yI = Phương trình ảnh đường tròn (I; 3) qua phép đối xứng tâm O là: (x + 3)2 + (y − 2)2 = Khai thác: Bài tốn thay trục đối xứng Ox đường thẳng Vì hệ tọa độ chuyển sang hệ trục tọa độ khác phép quay phép tịnh tiến Bài tập 3.2.2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng a a’ có phương trình: 39 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Ax+ By + C=0 Hoàng Thị Hạnh Ax +By +C’=0 − a) Xác định phép tịnh tiến T→ v : a → a’ b) Xác định phép đối xứng trục Đd a →a’ Lời giải a) Giả sử M (x, y) ∈ a : Ax + By + C = ( 1) có ảnh M (x , y ) − qua phép tịnh tiến theo vecto → v (a,b) ta có:   x = x + a  y = y + b Vì M ∈ a nên thay tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng a ta được: A(x + a) + B(y + b) + C = Ax + By + Aa + Bb + C = Ax + By + C + Aa + Bb + C − C = (2) Từ (1) (2) ta có Aa + Bb + C + C = − Vậy phép tịnh tiến theo vecto → v thỏa mãn Aa + Bb + C + C = b) Vì a//a nên Đd : a → a ’ d//a Do d có phương trình : Ax + By + C” = d trục đối xứng nên d cách a a Suy C” = (C + C ) Vậy trục đối xứng d có phương trình Ax + By + (C + C ) = Bài tập 3.2.3 Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương 40 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hồng Thị Hạnh trình 2x-3y+6=0 Viết phương trình đường thẳng d’ ảnh d qua phép quay tâm O, góc quay -90◦ Lời giải Gọi M (x, y) điểm thuộc đường thẳng d M (x , y ) ảnh điểm M qua phép quay tâm O góc quay −90◦ Khi M thuộc đường thẳng d Theo biểu thức tọa độ phép quay tâm O, góc quay −90◦ ta có:   x = x cos ϕ − y sin ϕ  y = x sin ϕ + y cos ϕ ⇔   x = x cos(−90◦ ) − y sin(−90◦ )  y = x sin(−90◦ ) + y cos(−90◦ ) ⇔   x = y  y = −x ⇔   x = −y (1)  y = x Thay (1) vào phương trình đường thẳng d ta có: 2(−y ) − 3x + = ⇔ 3x + 2y − = Vậy phương trình đường thẳng d : 3x + 2y − = 41 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 3.3 Hồng Thị Hạnh Tìm điểm bất động Phương pháp: Cho phép dời hình F : M −→ M Tọa độ điểm M (x, y), M (x , y ) M điểm bất động M ≡M ⇒   x = x   x = f (x, y) (1)  y = y  y = g(x, y) (2) Giải hệ phương trình (1) (2) ta tìm tọa độ điểm bất động Bài tập 3.3.1 Trong mặt phẳng Oxy cho phép biến hình F biến M (x, y) thành M (x , y ) xác định biểu thức tọa độ sau:   x = 3x −  y = 4y − Tìm điểm bất động phép dời hình Lời giải Do M điểm biết động nên tọa độ điểm bất động nghiệm hệ phương trình:   x = 3x −  y = 4y − ⇔   2x =  3y = ⇔   x =  y = Vậy tọa độ điểm bất động (2;1) Bài tập 3.3.2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho phép quay tâm O góc quay ϕ biến điểm M (x, y) thành M (x , y ) xác định biểu thức tọa 42 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hồng Thị Hạnh độ sau:   x = xcosϕ − ysinϕ +  y = xsinϕ − ysinϕ + Tìm điểm bất động phép dời hình trường hợp ϕ = 90◦ ϕ = 45◦ Lời giải Với ϕ = 90◦ cosϕ = sinϕ = Tọa độ điểm bất động nghiệm hệ phương trình:   x = −y +  y = x + −1 , ) 3√ Với ϕ = 45◦ cosϕ = sinϕ = Tọa độ điểm bất động nghiệm hệ phương trình: Vậy tọa độ điểm bất động ( √ √  2  x = x− y+1 √2 √2  y = x − y + 2 √ √ − 2   x− y = −1 √ ⇔ √   x − + y = −2 2 43 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hồng Thị Hạnh ⇔   x = −1  y = Vậy tọa độ điểm bất động (-1; 1) Kết luận: Trong chương nêu số dạng tập biểu thức tọa độ phép dời hình từ làm cở để áp dụng tốn phức tạp 44 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hồng Thị Hạnh Kết luận Khi nghiên cứu tốn học nói chung hình học nói riêng, sâu ta thấy hút, hấp dẫn Việc lựa chọn vận dụng cơng cụ thích hợp cho loại toán học khác việc làm cần thiết, giúp tiết kiệm thời gian cơng sức để giải tốn cách hiệu Qua số lớp tập cho thấy tính ưu việt biểu thức tọa độ phép dời hình ứng dụng vào giải tốn Ngồi việc nghiên cứu ứng dụng biểu thức thức tọa độ phép dời hình vào giải tập hình học cịn mở hướng nghiên cứu phát triển thêm toán từ toán sở ban đầu Do bước đầu làm quen việc nghiên cứu nên khóa luận khó tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận nhứng ý kiến đóng góp thầy bạn sinh viên để khóa luận em hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! 45 Tài liệu tham khảo [1] Văn Như Cương- Tạ Mân," Hình học Afin hình học Ơclit, NXBĐHQG, 1998 [2] Bùi Văn Bình- Nguyễn Văn Vạn," Giáo trình hình học sơ cấp tập 2", ĐHSPHN2, 1993 [3] Đặng Thị Bình- Nguyễn Đặng Trí Tín,"Hình học 11", NXBGDVN, 2014 [4] Nguyễn Mộng Hy, "Các phép biến hình mặt phẳng", NXBGD, 1997 [5] Hà Trầm, "Bài tập hình học Afin Hình học Ơclit", NXBĐHSP 46 ... Hạnh phép dời hình để từ phân loại, xác định phép dời hình ứng dụng chúng 25 Chương Ứng dụng biểu thức tọa độ phép dời hình Trong chương trình bày số ứng dụng biểu thức tọa độ phép dời hình 3.1... nghiên cứu - Nghiên cứu kiến thức phép dời hình, biểu thức tọa độ phép dời hình ứng dụng vào giải tốn - Xây dựng hệ thống ví dụ minh họa ứng dụng biểu thức tọa độ phép dời hình Đối tượng phạm vi nghiên... lớp tập cho thấy tính ưu việt biểu thức tọa độ phép dời hình ứng dụng vào giải tốn Ngồi việc nghiên cứu ứng dụng biểu thức thức tọa độ phép dời hình vào giải tập hình học cịn mở hướng nghiên cứu