Biểu thức tọa độ của phép dời hình và ứng dụng (LV tốt nghiệp)

Biểu thức tọa độ của phép dời hình và ứng dụng (LV tốt nghiệp)Biểu thức tọa độ của phép dời hình và ứng dụng (LV tốt nghiệp)Biểu thức tọa độ của phép dời hình và ứng dụng (LV tốt nghiệp)Biểu thức tọa độ của phép dời hình và ứng dụng (LV tốt nghiệp)Biểu thức tọa độ của phép dời hình và ứng dụng (LV tốt nghiệp)Biểu thức tọa độ của phép dời hình và ứng dụng (LV tốt nghiệp)Biểu thức tọa độ của phép dời hình và ứng dụng (LV tốt nghiệp)Biểu thức tọa độ của phép dời hình và ứng dụng (LV tốt nghiệp)Biểu thức tọa độ của phép dời hình và ứng dụng (LV tốt nghiệp)Biểu thức tọa độ của phép dời hình và ứng dụng (LV tốt nghiệp)Biểu thức tọa độ của phép dời hình và ứng dụng (LV tốt nghiệp)Biểu thức tọa độ của phép dời hình và ứng dụng (LV tốt nghiệp)Biểu thức tọa độ của phép dời hình và ứng dụng (LV tốt nghiệp)Biểu thức tọa độ của phép dời hình và ứng dụng (LV tốt nghiệp)Biểu thức tọa độ của phép dời hình và ứng dụng (LV tốt nghiệp)

Trang 1

BO GIAO DUC VA DAO TAO

TRUONG DAI HOC SU PHAM HA NOI 2

KHOA TOAN

HOANG THI HANH

BIEU THUC TOA DO CUA PHÉP DỜI HÌNH VA UNG DUNG

KHOA LUAN TOT NGHIEP DAI HOC

Trang 2

BO GIAO DUC VA DAO TAO

TRUGNG DAI HOC SU PHAM HA NOI 2

KHOA TOAN

HOANG THI HANH

BIEU THUC TOA DO CUA PHEP DOI HiNH VA UNG DUNG

Chuyén nganh: Hinh hoc

KHOA LUAN TOT NGHIEP DAI HOC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN

PGS.TS Nguyễn Năng Tâm

Trang 3

Nhóa luận tốt nghiệp Dại học HOÀNG 'THỊ HẠNH

LỜI CẢM ƠN

Khóa luận tốt nghiệp của em được hoàn thành với sự giúp đỡ chỉ

bảo của các thầy cô trong tổ Hình học trong Khoa Toán của trường

Đại học Sư Phạm Hà Nội 2

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với thầy giáo Nguyễn Năng

Tâm, người đã tận tình hướng dẫn em trong suốt thời gian để em hoàn

thành được khóa luận này

Do trình độ và thời gian nghiên cứu còn hạn chế nên những vấn

đề mà em trình bày trong khóa luận sẽ không tránh khỏi những thiếu

sót Em kính mong nhận được sự chỉ bảo và đóng góp ý kiến của các

thầy giáo, cô giáo, các bạn sinh viên để khóa luận này được hoàn thiện

hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 19 tháng 04 năm 2017 Sinh viên

Trang 4

Nhóa luận tốt nghiệp Dại học HOÀNG “THỊ HẠNH

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận tốt nghiệp này là kết quả của quá trình học tập, nghiên

cứu của em dưới sự hướng dẫn chỉ bảo tận tình của các thầy cô giáo,

đặc biệt là sự hướng dẫn nhiệt tình của thầy Nguyễn Năng Tâm Trong khi nghiên cứu hoàn thành khóa luận này em đã tham khảo một số tài liệu đã được nêu ra ở phần tài liệu tham khảo

Vì vậy, khóa luận tốt nghiệp với đề tài: "Biểu Thức Tọa Độ Của

Trang 6

Nhóa luận tốt nghiệp Dại học HOÀNG THỊ HẠNH 2.2.1 3.3.2 2.2.3 2.2.4 Biểu thứctọa độ Phân loại phép dờihình Phép đối xứng qua m_— phẳng Phép quay quanh (œ—2)— phẳng 2.3 Các phép dời hình trong mặt phẳng 2.3.1 2.3.2 2.3.3 2.3.4 2.3.5 Phép dời hình và phản chiếu trong mặt phẳng Phép tịnh tiến Phép đối xứng trục Phép đối xứng tâm

Trang 7

Khéa luan tot nghiép Dai hoc HOÀNG THỊ HẠNH

1 Lí do chọn đề tài

Hình học là một môn học hấp dẫn thu hút nhiều học sinh yêu toán

Việc giải các bài tập, tìm ra nhiều cách giải trong đó có nhiều cách giải hay, độc đáo sẽ phát huy tính sáng tạo, niềm say mê đối với môn hình học Với mỗi bài tập có thể có nhiều phương pháp: phương pháp tổng hợp, phương pháp vectơ, phép biến hình

Trong chương trình tốn phổ thơng, học sinh đã biết đến các phép

biến hình và việc vận dụng nó như một công cụ để giải một số lớp bài toán hình học nhanh gọn và hợp lí Tuy nhiên việc giải các bài tập về

phép biến hình không phải dễ dàng

Phép dời hình là một trong các phép biến hình cơ bản mà trong

chương trình phổ thông đề cập đến Dặc biệt biếu thức tọa độ của

phép đời hình có thể giúp chúng ta ứng dụng đại số vào hình học đế tìm được lời giải hay, ngắn gọn của bài toán hình học

Yêu thích hình học, yêu thích phép biến hình đặc biệt là phép dời hình nên em đã chọn đề tài: "Biểu thức tọa độ của phép đời hình và ứng dụng" để thực hiện khóa luận tốt nghiệp đại học này

2 Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu các kiến thức cơ bản của phép dời hình, biểu thức tọa độ của phép đời hình và ứng dụng của nó vào giải toán

- Xây dựng hệ thống ví dụ minh họa về ứng dụng biểu thức tọa độ

của phép dời hình

Trang 8

- Dối tượng nghiên cứu: biểu thức tọa độ của phép đời hình - Phạm vi nghiên cứu: ứng dụng biểu thức tọa độ của phép dời

hình vào giải toán

4 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu sách giáo trình, bài giảng chuyên đề, các tài liệu tham

khảo liên quan

5 Cau trúc khóa luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận này gồm 3 chương:

Chương 1: "Một số kiến thúc liên quan"

Chương 2: "Diểu thúc tọa độ của phép dời hành "

Chương 3: "Ứng dụng biểu thúc tọa độ của phép dời hành "

Trong suốt quá trình nghiên cứu em đã nhận được sự giúp đỡ tận

tình của thầy giáo Nguyễn Năng Tâm, các thầy cô trong tổ Hình học em đã hoàn thành khóa luận này Một lần nữa em xin bày tỏ lòng biết

ơn sâu sắc tới các thầy, các cô

Em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến quý báu của các thầy

cô và các bạn sinh viên để đề tài này được hoàn thiện hơn

Trang 9

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này trình bày một số kiến thức để chuẩn bị cho chương

sau Những kiến thức này chủ yếu lấy từ tài liệu Hình học An và

hình học Ởclit của Văn Như Cương- Tạ Mân, Hình học sơ cấp của Đùi Văn Bình - Nguyễn Văn Vạn

1.1 Không gian Euclide

+ Không gian Euelide là không gian alin liên kết với không gian vectơ

Euclide hitu han chiều

+ Không gian Euclide sé gọi là ø chiều nếu không gian vecto Euclide liên kết với nó có chiều bằng n

+ Không gian Euelide thường được kí hiệu là E, không gian vectơ

Euelide liên kết với nó được kí hiệu là Ví dụ

+ Không gian Oxy thông thường là không gian Euelide 2 chiều ( I2)

+ Mỗi không gian vectơ Euelide hữu hạn chiều với cấu trúc an chính

Trang 10

Nhóa luận tốt nghiệp Dại học HOÀNG 'THỊ HẠNH

-+ Các không gian an thực ø chiều đều có thế trở thành không gian

Euclide w chiều bằng cách trang bị một tích vô hướng cho không gian

vectơ liên kết với không gian an đã cho

+ Nếu E là không gian Euelide liên kết với không gian vectơ 8 thì

mỗi phẳng œ của nó cũng là không gian Euclide liên kết với a 1.2 Anh xạ đẳng cự

1.2.1 Dịnh nghĩa

Định nghĩa 1.1 Ánh zạ ƒ: lE —> RE của không gian Euclide RE oà

gọi là ánh xạ đẳng cự nếu ƒ là mét anh za afin ma anh va tuyến tính

liên kết fe # —> E/ là một ánh +ạ tuyến tính trực giao của # vd E Nhận xét: Từ định nghĩa đó dễ dàng suy ra được đối với mọi cặp 1, Ý thuộc E và ảnh của chúng M/ = ƒ(Mf),N' = ƒ(N) ta có d(M, N) = d(M, N9) Nói cách khác phép đẳng cự bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì 1.2.2 Dinh ly

Dinh ly 1.1 Moi anh xa f: E — E’ gitta céc không gian Euclide bảo

tồn khoảng cách giữa hai điểm bất là là một ánh xa đẳng cụ

Tức là với mọi Ä⁄, V € BE ta có d(M, N) = d(M, N) Chiing minh Lay Ie Eval’ e ƒ(1)

Trang 11

Giả sử ?” € F ta lay diém M € E sao cho TN = t và đặt —

y(t) = I'M’ véi M’ = f(M)

Ta chứng mình F;/ không thay đổi tích vô hướng của hai vectơ bất 4 Z Z 2 — ki Lay tham V bat ki thudc # và lấy điểm € l sao cho II = Tử, —> khi đó ¿() = FA với N' = ƒ(N) Vì ƒ bảo tồn khoảng cách giữa hai điểm nên d(M, ý) = d(M”, N9) Do đó oS 3, => > MN? = MN" & (IN — IM)? = (IN — I'M’? —, —+ >» -— > — > —>-—> & IN? +1M?-2INIM =I'N'4+1'M'—-2I'N' I'M Ta có: IN 2 TN ? TA = PM

Suy ra INIM = NIM! tức là + = g().¿()

Vì ¿ bảo tồn tích vô hướng của hai vectơ Tờ, "ở bất kì nên y là ánh xạ tuyến tính trực giao và rõ ràng ¿ là liên kết của /

Vậy /ƒ là ánh xạ đẳng cự L]

Hệ quả 1.1 Ánh zạ đẳng cự bảo tồn số chiều của các phẳng, tính trực giao của các phẳng, khoảng cách giữa các phẳng, thể tích của hộp của đơn hành uùà góc giữa các phẳng

Ví dụ: Xét ánh xạ

ƒ:R.->R

Trang 12

Nhóa luận tốt nghiệp Dại học HOÀNG THỊ HẠNH Khi đó ƒ là ánh xạ đắng cự vi vi moi M(z,y), N(2’, y’) € R? thi d(M, N) = V((ø! — #)2 + (ự' — 9)? d(ƒ(M),ƒ(N)) = VÏ[/ +1) ~ (e + DỊP + [(w +2) — (y + 2)? nén d(M, N) = d(ƒ(M), /(N)) 1.2.3 Biến đổi đẳng cự

Nếu ƒ : E —> E là ánh xạ đẳng cự từ không gian Puelide vào

chính nó thì ƒ là đơn ánh nên nó là song ánh (do E hữu hạn chiều)

Khi đó ta gọi nó là một biến đổi đẳng cự của không gian Euelide E

Ánh xạ 7 liên kết với nó là một biến đổi tuyến tính trực giao của T

1.2.4 Diém bất động và vectơ bất động của phép biến đổi đẳng cự

Dinh nghia 1.2 Cho f : E” —> E” Diém M gọi là điểm bất động

Trang 13

Khéa luan tot nghiép Dai hoc HOÀNG 'THỊ HẠNH

1.3 Phép biến hình

1.3.1 Các khái niệm của phép biến hình

Dịnh nghĩa 1.3 Giả sử đã cho tập hợp bất kì 7' # Ú Một song ánh

từ 7' vào chính nó được gọi là một phép biến hình của tập T

Ví dụ: Ánh xạ đồng nhất trên tập 7 là phép biến hình

Dinh nghĩa 1.4 Giả sử ƒ và ø là hai phép biến hình của tập 7 đã cho, dé thay ánh xạ tích của ƒ và ø cũng là một song ánh của 7' vào T nên tích đó cũng là phép biến hình của 7' Ta gọi là phép biến hình đó là phép biến hình tích của ƒ và g

Dinh nghĩa 1.5 Phép biến hình ƒ của tập 7 được gọi là phép biến hình đối hợp nếu ƒ = 1d, dễ thấy lúc đó ta có ƒ và phép nghịch đảo

của / là /~1 là trùng nhau

Ví dụ: Phép quay quanh một điểm, phép quay quanh một trục Định nghĩa 1.6 Cho phép biến hình ƒ của tập 7 Điểm M của tập T được gọi là điểm bất động (điểm kép, điểm tự ứng) của phép biến

hình f néu f(M) = M

Định nghĩa 1.7 Cho phép biến hình ƒ của tập T Hinh H bo phan

của 7' được gọi là hình kép đối với phép biến hình ƒ nếu ta có

ƒ(H) =H Hình H được gọi là hình bất động đối với phép biến hình ƒ nếu ta có mọi điểm của ! bất động đối với ƒ

Dịnh nghĩa 1.8 Cho ƒ và ø là hai phép biến hình của tập 7 phép

Trang 14

Khéa luan tot nghiép Dai hoc HOÀNG 'THỊ HẠNH

1.3.2 Phép biến hình añn

Định nghĩa 1.9 Phép biến hình của không gian Euelide *(w = 2,3)

biến đường thẳng thành đường thẳng gọi là phép biến hình añn gọi tat IA phép afin

Dinh lý 1.2 Pháp biến hành của không gian E"{n = 2,3) là phép aJin khi uà chỉ khi nó biến ba điểm thằng hàng thành ba điểm thẳng hàng va ba diém không thẳng hàng thành ba điểm không thẳng hồng

Chúng minh Thật vậy nếu phép biến hình f cia E”(n = 2,3) là phép aln thì ƒ biến đường thẳng thành đường thẳng do vậy nó biến ba

điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng

Xét bộ ba điểm A, B,C khong thẳng hàng ctia E” va goi A’, B’, C" tương ứng là ảnh của 4,,C qua ƒ Ta phải chứng mình 4’, B’,C"’

thẳng hàng Ta chứng minh phản chứng

Giả stt A’, B’,C’ thang hang taco f 1A phép afin nén ƒ biến đường thang AB thanh dudng thang A’B’ Vay ton tại 2 nằm trên 4B để f(D) =C’ Do D,C phan biệt điều này vô lý do ƒ(D) = Œ' = f(C) và f la song ánh

Diéu nay vo ly nén ta két luan A’, B’, C’ khong thẳng hang

Ngược lai, néu f bién ba diém thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và ba điểm không thẳng hàng thành ba điểm không thẳng hàng là phép an được chứng minh dễ dàng gần như hiển nhiên L] Tính chất

+Tinh chat 1: Phép afin trong E3 biến mặt phẳng thành mặt phẳng

Trang 15

Nhóa luận tốt nghiệp Dại học HOÀNG THỊ HẠNH thẳng + Tính chất 3: Phép aln bảo tồn sự bằng nhau của các đoạn thẳng định hướng + Tính chất 4: Phép añn biến vectơ tổng thành tổng các vectơ tương ứng + Tính chất ã: Phép an bảo tồn tỷ số đơn của ba điểm thang hàng 1.3.3 Phép biến hình đẳng cự

Dinh nghĩa 1.10 Phép biến hình của không gian IÊ” (n = 2,3) bảo

tồn khoảng cách giữa hai điểm gọi là phép đẳng cự Tính chất + Tính chất 1: Phép đẳng cự là phép an + Tính chất 2: Phép đẳng cự bảo tồn độ lớn của góc phẳng + Tính chất 3: Phép đẳng cự biến vòng tròn thành vòng tròn và trong không gian J? biến mặt cầu thành mặt cầu Diều kiện xác định phép đẳng cự

+ Trong E2 phép đẳng cự xác định bởi hai tam giác bằng nhau + Trong E phép đắng cự xác định bởi hai tứ diện bằng nhau(ai

tứ điện được gọi là bằng nhau nếu chúng có các cạnh tương ứng bằng

nhau

Kết luận: Chương này đã trình bày một số kiến thức về không gian

Trang 16

Chương 2

Biểu thức tọa độ của phép dời

hình

6 chương này trình bày một số nội dung về phép đời hình, biểu thức tọa độ của phép dời hình, phân loại phép dời hình Những kiến thức trong chương này chủ yếu lấy trong tài liệu hình học An và hình học Olit cia Van Nhu Cuong - Ta Man

2.1 Phép dời hình

2.1.1 Định nghĩa

Định nghĩa 2.1 Ánh xạ đẳng cự ƒ : E —> E được gọi là một phép

dời hình của không gian Euelide E

Ánh xạ ¿ (nền của ƒ) là một biến đổi tuyến tính trực giao của không gian vecto E

Trang 17

Nhóa luận tốt nghiệp Dại học HOÀNG THỊ HẠNH 2.1.2 Tính chất Phép dời hình có đầy đủ các tính chất của phép alin Hơn nữa còn có một số tính chất khác Qua phép dời hình ø— phẳng biến thành mz— phẳng (điểm, đường thẳng, siêu phẳng )

+ Phép dời hình bảo tồn tính song song

+ Phép dời hình bảo tồn tính thẳng hàng và tỷ số đơn

+ Phép dời hình bảo tồn khoảng cách, phép dời hình bảo tồn độ dài

đoạn thẳng nên biến một tam giác thành một tam giác bằng nó + Phép đời hình bảo tồn góc

2.2_ Biểu thức tọa độ của phép dời hình

2.2.1 Biểu thức tọa độ

Biểu thức tọa độ của phép dời hình trong IE" đối với mục tiêu trực

chuẩn cho trước có dạng:

trong đó 44 là ma trận trực giao cấp n

Ngược lại, nếu ánh xạ alin mà phương trình đối với mục tiêu trực chuẩn có ma trận là ma trận trực giao thì ánh xạ đó biến cơ sở trực

chuẩn thành cơ sở trực chuẩn, do đó nó bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì, cho nên nó là một phép dời hình

Trang 18

Nhóa luận tốt nghiệp Dại học HOÀNG THỊ HẠNH

2.2.2 Phân loại phép dời hình

Cho phép biến đổi añn ƒ : E” —> IE“ biểu thức tọa độ đối với mục

tiêu trực chuẩn {0,@, Oyo, er} có dang:

[2’] = Ala] + [0]

Khi đó A cũng là ma trân của phép đẳng cấu tuyến tính Ỷ đối với cơ sở trực chuẩn {O,£}, £}, , 62 }

Bởi vậy phép biến đổi añn ƒ là biến đổi đẳng cự khi và chỉ khi 4

là ma trân trực giao, tức là 4! = lạ

Vi A la ma tran trực giao nên detA = +1

Néu A 1& ma trn truc giao va detA = 1 thì ƒ gọi là một phép dời

hình (hoặc phép đời)

Nếu 4 là ma trận trực giao và det.4 = —1 thì ƒ gọi là một phép phản chiếu ( hoặc phản dời hình)

2.2.3 Phép đối xứng qua m— phẳng

Mọi phép bién déi afin f : E” —> E” nếu có tính chất đối hợp (tức ƒ2 = 1¿E) là phép biến đối đẳng cự thì ƒ là biến đối tuyến tính trực giao, do đó nếu lấy t € ÿ và € ở thì F(z) = t,ư B thi f (7) = — # nên do tính trực giao của 7 ta CÓ:

.ở = /(0)f(0)=_—W =t.0=0=> L2

Vay B ở

Phép biến đổi đẳng cự như thế gọi là phép đối xứng qua phẳng a

Mọi phép biến đổi đẳng cự đối hợp của E" nếu không phải một

phép đồng nhất thì là phép đối xứng qua m — phẳng

Trang 19

Nhóa luận tốt nghiệp Dại học HOÀNG THỊ HẠNH Phép đối xứng qua me— phẳng (0 < mm < n— 1) của E" là phép dời hình nếu ø — m chan Phép đối xứng qua m— phẳng (0< m < nœ — 1) của ” là phép phản chiếu nếu m — ?n lẻ

Ví dụ 1: Mọi biến đối dang cự ƒ của IE" giữ bất động mọi điểm của siêu phẳng œ phải là biến đổi đồng nhất hay phép đối xứng qua siêu

phẳng ơ

Ví dụ 2: Mọi phản dời hình ƒ của E* giữ bất động mọi điểm của (n— 2)— phẳng 8 (n > 2) phải là một phép đối xứng qua một siêu phẳng œø chứa siêu phẳng Ø

2.2.4 Phép quay quanh (n—2)— phẳng

Một phép dời hinh f : E” —> E” goi la phép quay quanh (n— 2) — phẳng Ø nếu ƒ biến các điểm của Ø thành chính nó

Mọi phép quay quanh ( — 2)— phẳng đều có thể xem là tích của hai phép đối xứng qua hai siêu phẳng (có thể chọn hai siêu phẳng

đó bằng nhiều cách khác nhau)

Ngươc lại tích của hai phép đối xứng qua hai siêu phẳng cắt nhau theo (n — 2) — phẳng Ø là một phép quay quanh ổ

Định lý 2.1 Cho ƒ : E" —> E" là một biến đổi đẳng cự của không

gian Euclide E" Khi đó

(i) Néu Inv(f) 4 thi né la cdi phaing c6 phuong la Inv(f) (ii) Néu mu? ={0} thì Ƒ có điểm bắt động duy nhất

(ii) Nếu Inv(f) có số chiều bằng q thà Ƒ là phép dời hình hay phản chiếu tùy theo n — q

Trang 20

Chứng mình (0 Nếu Tno(ƒ) # Ú thì € E” sao cho ƒ(1) = T Gọi ø là cái phẳng qua J va cé phuong & = J nu Ÿ Khi đó với mọi M € !m%(ƒ)

tạ có: ƒ(M) = M œ 1ƒ(MÌ = TM e ƒ((MÌ = TỶ e 0h = 1h

= IM E Inv(f)

Khi va chi khi M thuéc a

Vay Inv(f) =a

(ii) Gia sit déi vdi muc tiéu truc chuadn nao dé, bién ddi dang cu

ƒ:E—> E cé biéu thie toa do x! = Ax + b Tim diém bat dong cia ƒ là giải phương trình ma trận

(A— T„ạ)*=b

Ta chỉ cần chứng minh det (A — [,,)2 4 0 That vay we Ino(f) nếu 7(® = tt hay (f — 1d3)(È) = Nếu Fool) = {0 thì det (7 — Idx) 4 0 tite det(A — I,,) A0

Vi Ỷ là biến đổi trực giao nên có thể tìm được một mục tiêu trực

chuẩn sao cho ma trận của ƒ ( tức là 7) có dạng:

Trang 21

Nhóa luận tốt nghiệp Dại học HOÀNG THỊ HẠNH cosy, —sing, sing, cos01 COSYE —SINYE SINDE COSY

Khi do det A = (—1)"-9-?* = (—1)"-4 Tw do suy ra:

+ Néu n—q la chan thi det A = 1, suy ra f 1A phép dời

+ Néu n—q 1a lé thi det A= —1 , f 1A phép phần chiếu Oo

Dinh ly 2.2 Moi phép dời hình của E? hoặc là một phép tịnh tiến

hoặc là một phép quay

Chứng mình Giả sử ƒ : RE? —> RE? là một phép dời hình, khi đó số

chiều của 7 nu(ƒ) phải bằng 2 hoặc bằng 0 Ta có

Ƒƒ =tg

Nếu Inv( Tf) có số chiều bằng 2 thi g = Idg Vay ƒ là một phép tịnh tiến

Nếu 1 HH có số chiều bắng 0 thì ø có điểm bất động duy nhất 7 và Tử =0 Suy ra ƒ là một phép quay quanh 7 L]

Trang 22

Dinh ly 2.3 Moi phép phản chiếu của R2 đều là pháp đỗi xứng trượt

(hoặc đặc biệt là phép đối xứng)

Chứng mình Nếu ƒ : R2 —>y E2 là phép phản chiếu thì số chiều của

Inv( f) phải bằng 1, nên trong cách phân tích f = t+.g thi g phải là

phép đẳng cự mà điểm bất động nằm trên đường thẳng ơ Vậy ø là phép đối xứng qua ơ

Khi đó ø là phép đối xứng trượt L]

Dinh ly 2.4 Mọi phép dời trong ” là một phép xoắn ốc (hoặc đặc biệt phép tịnh tiến hoặc phép quay quanh đường thẳng)

Chứng mình Gọi f : E? —> E3 là một phép đời khi đó mu ƒ7 có số chiều bằng 3 hoặc bằng 1 Ta có ƒ =f>.g

a) Nếu Inv(f) có số chiều bằng 3 tức là 7? = Tản Khi đó ƒ là một phép tịnh tiến

b) Nếu Inv( 7 có số chiều bằng 1, thì ø là phép phản dời hình có điểm

bất động nằm trên đường thẳng đ đi qua 7 và có phương a = Inv( f) Vậy ø là phép quay quanh đường thẳng và do đó ƒ là phép xoắn ốc L]

Hình 2.1: Phép xoắn ốc

Trang 23

Dinh ly 2.5 Moi phép phan chiéu đều hoặc là phép đối xứng trượt hoặc là phép đối xứng quay

Chứng minh Nếu ƒ : E3 —>y E3 là phép phản chiếu thì 7no( f) có số chiều bằng 2 hoặc bằng 0 Ta xét ƒ = t>.g

a) Néu Inv( f) c6 so chiéu bang 2 thi g 1a phép phan chiếu có các điểm bất động nằm trên cái phẳng œ, do đó ƒ là phép đối xứng trượt b) Nếu Inv( f) có số chiều bằng 0, khi đó ƒ có một điểm bất động

duy nhất I Goi đà không gian riêng của 7? ứng với giá trị riêng

À=-I

Nếu dim đ = 1, ta gọi đ là đường thẳng đi qua Ï có phương # =a thì ƒ|¿ là phép đối xứng qua J Gọi đ là mặt phẳng đi qua J va vuéng góc với d thì ƒ[s là phép quay quanh J

Vậy ƒ là phép đối xứng quay

Nếu điểm @ = 3 thì ƒ hiển nhiên là phép đối xứng qua J, nhu ta

biết có thể xem như là phép đối xứng quay Oo

2.3 Các phép dời hình trong mặt phẳng

2.3.1 Phép dời hình và phản chiếu trong mặt phẳng

Giả sử ƒ là một phép đẳng cự trong mặt phẳng và biểu thức tọa độ

đối với mục tiêu trực chuẩn (Ó, £?, €3) 1a [a’] = Ala] + [0]

Trong đó 4 = (a¡;) là ma trận chuyển cơ sở trực chuẩn ( a, @)

ae ke

sang cơ sở ảnh (e‡, e¿), ta có A la ma tran truc giao

Trang 24

Nhóa luận tốt nghiệp Dại học HOÀNG THỊ HẠNH Do I2) = |eš| và eÌ.eŸ = 0 nên : dân + a, =1 (1) Gig + Ady = 1 (2) 441-412 + 21.d22 = 0 (3)

Tw (1) suy ra tén tai g6c y sao cho ay, = cosy; ay, = siny

Tw (2) suy ra tén tai g6c 0 sao cho ay = sind; ag = cos0

Tw (3) suy ra cosy.sin@ + siny.cosb = 0 nén sin(y +0) =0

Suy ra p +0 = kz(k € Z) Tương đương với Ø = — + k7

Trang 25

Khi đó trong mặt phẳng định hướng (quy ước hướng dương là hướng ngược chiều kim đông hồ, hướng ngược lại gọi là hướng âm)

Các góc định hướng hợp bởi (£, #Ÿ) và hợp bởi ( xi ef) là giống nhau

(ta nói hai cơ sở có cùng hướng) Như vậy có thể nói, trong trường

hợp này phép dời hình bảo toàn khoảng cách và bảo toàn hướng của mặt phẳng Trường hợp : A= cosp = siny sing —cosy Ta có de# = —1 Suy ra f la phép phản dời hình

Khi d6é các góc định hướng hợp bởi (e, @) và hợp bởi (2,2) là ngược nhau (ta nói hai cơ sở khác hướng ) Như vậy có thể nói rằng, trong trường hợp này phép đẳng cự bảo toàn khoảng cách nhưng không

Trang 26

Nhóa luận tốt nghiệp Dai hoc HOÀNG THỊ HẠNH Định nghĩa 2.2 Trong mặt phẳng K cho vectơ ® Phép biến mỗi > ———> Z diém M thanh M’ sao cho MM’ = ¥ dugc goi 1a phép tinh tién theo vectd V Kí hiêu : 7„ — Khi đó 7+(M) = M' © MM = Biểu thức tọa độ

Cho WY (a,b) và phép tinh tién T Xét mot muc tiéu true chuan (O, aq, 3) trong mặt phẳng và giả sử vectơ Y có tọa độ đối với mục tiéu 1a (by, bạ) Giả sử A⁄/ là điểm bất kì có tọa độ là (z,) có ảnh là 4 có tọa độ — la (2’,y') Ta c6 MM! = Tv —> 2 Suy ra |MM"| = || Thay tọa độ vectơ vào đẳng thức ta có: zc—z' =a y-y=b z'=z+da (2.1) y=ytb Biểu thức (2.1) được gọi là biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến T2 Phép tịnh tiến là một phép dời hình 2.3.3 Phép đối xứng trục

Định nghĩa 2.3 Cho đường thẳng d Phép biến hình biến mỗi điểm 4 thuộc đường thẳng đ thành chính nó, biến mỗi điểm A⁄ không thuộc

Trang 27

đường thẳng đ thành Ä⁄” sao cho ở là trung trực của đoạn thắng A1" được gọi là phép đối xứng qua đường thẳng đ hay phép đối xứng trục d Hinh 2.3: Đường thẳng d được gọi là trục của phép đối xứng hoặc đơn giản là trục đối xứng Ki hiéu : Dg Biểu thức tọa độ

Giả sử ƒ là phép đối xứng trục đ Xét mục tiêu trực chuẩn (Ó, c, })

Trang 28

Nhóa luận tốt nghiệp Dại học HOÀNG THỊ HẠNH d = Oy hay (2.3) Biểu thức (2.2) và (2.3) được gọi là biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục Phép đối xứng trục qua đường thẳng là một phép phản đời hình 2.3.4 Phép đối xứng tâm

Định nghĩa 2.4 Cho điểm 7 Phép biến hình biến điểm 7 thành chính nó, biến mỗi điểm M khác 7 thành Ä⁄“ sao cho 7 là trung điểm

Trang 29

Nhóa luận tốt nghiệp Dại học HOÀNG THỊ HẠNH thì ta có: + = 280 — # (2.4) y! =2y0-y Biểu thức (2.4) được gọi là biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm Phép đối xứng tâm là một phép dời hình 2.3.5 Phép quay

Định nghĩa 2.5 Cho điểm Ó và góc lượng giác œ Một phép biến hình biến Ó thành chính nó, biến mỗi điểm ⁄ khác Ó thành A⁄ sao

Trang 30

Biểu thức tọa độ

Giả sử Q(Ó, ø) là phép quay tâm Ó góc quay a Xét mục tiêu trực chuẩn (Ó, a, @) Goi (O, a, ef) là ảnh của mục tiêu qua phép quay 'Ta có a = @ cosa + @ sina tỳ = —e sina + @& cosa ae) > 3:2 _ = 2 a AZ :A => Gia st M 1a diém trong mat phang toa do cé muc tiéu (O, ef, 3) la (x,y) Khi đó tọa độ của điểm Ä⁄“ đối với mục tiêu ảnh (O, €1, e¿) cũng la (a, y) Khi dé toa do cia diém M’ déi v6i muc tiéu ban dau (O, ef, &) la (x’,y’) ta cé: — OIM! = ze} + (1) ——>

OAM = #(6Ÿ cos œ + £Š sin œ) + (SŸ cos œ + £Š sỉn œ)

Trang 31

Trang 32

Chương 3 Ứng dụng biểu thức tọa độ của phép dời hình Trong chương này trình bày một số ứng dụng của biểu thức tọa độ của phép dời hình 3.1 Xác định các loại phép dời hình trong mặt phẳng

Dựa vào các biểu thức tọa độ đã nêu ở trên ta có thể chứng minh

và phân loại các phép dời hình Xét bài toán

Giả sử ƒ là phép dời hình và có biểu thức tọa độ đối với mục tiêu trực chuẩn là [+] = Ala] +b

Nếu ta chọn một mục tiêu thích hợp thì ma trận 44 của phép dời hình trong mặt phẳng sẽ có một trong ba dạng sau đây:

Trang 33

Nhóa luận tốt nghiệp Dại học HOÀNG THỊ HẠNH (1) 1 0 Ú 1 (2) cosp —siny sinp cosy (3) 1 0 0 -1 Trường hợp 1: Ma trận 4 có dạng (1) tức là khi biểu thức phép đời hình có dạng: vy =a2,+b #9 —= øa+Ù 2 =>

Đó chính là phương trình của phép tinh tién theo vectd b = (by, bạ)

Trang 34

Trong trường hợp này phép dời hình có một điểm kép duy nhất muốn tìm điểm kép ta giải hệ phương trình:

1 —= #1CO0SW — #ssIn¿@ + Ù #¿ —= # siIn + #2 cos + b

Ss bo eosp sing = (1—cosy)? + sin? y = 2(1 — cosy)

—sinp l1—cosy

Vì 0 < ¿ <z nên cosự < 1, do đó 2(1 — cosự) # 0 và hệ phương

trình trên có một nghiệm duy nhất là tọa độ điểm kép

Nếu ta tịnh tiến mục tiêu sao cho gốc của nó trùng với điểm kép

thì đối với mục tiêu này biểu thức của phép dời hình có dạng:

Xi =Xicosự T— X¿singø@ +b

Xã = Xising + Xa cosự + b Đó là phép quay điểm kép O và góc quay ý

Trang 35

Nhóa luận tốt nghiệp Dại học HOÀNG THỊ HẠNH Mặt khác cos(OM,OM ) = JOMIJOM XIXi+X;X? ~ XP 4X2 (X? + X?) cosự X?+4 =cosy (0<y<n),

Vay (OM , OM ) = y Diéu đó chứng tỏ phép dời hình là phép quay

tâm Ó với góc quay ý

Như vậy phép dời hình này là tích của phép tịnh tiến với một phép

quay

Trường hợp 3 Ma trận 4 của phép đời hình có dạng (3) khi đó

Trang 36

Nhóa luận tốt nghiệp Dại học HOÀNG THỊ HẠNH Ta đưa phương trình phép đời hình về dạng: xX, =X) G = —X2 2 b,

Đây là phép đối xứng với đường thăng có phường trình z› “5 =0 Phép thứ hai là phép tịnh tiến theo veeto có tọa độ là (b;, 0) vectơ

2 b

này cùng phuong vdi duéng thang zr — 7 =0

Vậy trường hợp 1, 2 là phép dời hình, trường hợp 3 là phép phản đời hình Chứng minh các bài toán sau bằng cách sử dụng biểu thức tọa độ của phép dời hình Bài tập 3.1.1 Chứng minh mọi phép dời hành đều là phép qua) hoặc phép tịnh tiến Lời giải

Ta có công thức biểu thị chính tắc của phép đời hình là:

#1 —= #ị COs @ + đa sim @ + Ủị

Trang 37

=> >>

b= (bị, ba)

Nếu ¿ # 2kz công thức trở thành biểu thức tọa độ của phép quay Bài tập 3.1.2 Mọi phép phản dời hành đều là phép đối xứng qua đường thẳng hoặc là hợp của phép đối xứng qua đường thẳng uà phép tịnh tiến theo uectơ chỉ phương đường thẳng đó

Lời giải

Biểu thức tọa độ của phép phản chiếu là: 4 =đị +Ùi Xb = —2 + de

Ta có thể phân tích phép phản chiếu này thành hợp của hai phép

biến đối có biếu thức tọa độ như sau: v= 2} vy =a, td (3.2) 4 = —#a + bạ Ly = XQ Phép thứ nhất trong hai phép trên là phép đối xứng qua đường 3 At = 4 4 x 2 z as 2 by thắng song song với trục tọa độ thứ nhất và cách nó một khoảng 2" £ =>

còn phép thứ hai là phép tịnh tiên theo vectơ (bị, 0)

Nếu bị = b; thì phép phản chiếu là phép đối xứng qua đường thẳng Bài tập 3.1.3 Tích của hai phép tịnh tiến là phép tính tiễn

Lời giải

Trang 38

Nhóa luận tốt nghiệp Dại học HOÀNG THỊ HẠNH Thật vậy, giả sử x =x4+29 ##—=#+Z T= va 1à y =ytyo yay tn Khi đó 7T = 71.7; có biểu thức tọa độ là: #⁄ = ø + (#o + #1) (3.3) y" =y t+ (to +)

mà công thức (3.3) là công thức của phép tịnh tiến cho nên T là phép

tịnh tiến với vectơ tịnh tiến là = Đ + Đề

Trang 39

†Khi đó tích của Q.7 có phương trình

x" = (œ + a)cosự — (ụ + b)sing + #ụ y” = (x +a)sing + (y + b)cosp + yo 4 = xcosp — ysiny + x9 + acosy — bsiny

Ss (3.4)

y" = xsinp + ycosp + yo + beosp — asiny

Biểu thức (3.4) là biểu thức của phép quay cho nên tích (Q.7) là một phép quay với góc quay là ý

Trường hợp 2 Giả sử phép quay có biểu thức tọa độ là :

x’ = xcosp — ysiny + x9

(¿ # 0) y’ = ysiny + ycosy + yo

và phép tịnh tiến có biếu thức tọa độ là : ve’ =aut+a y’ =y+b thì ta có phương trình biểu thức tọa độ của tích (7.Q) là: x" = xcosp — ysingp +4) +a (y # 0) (3.5)

y” = ysiny + ycosp + yo +b

biểu thức (3.5) là biểu thức của một phép quay cho nên phép (T.Q) là một phép quay với góc quay là góc y

Trang 40

Nhóa luận tốt nghiệp Dại học HOÀNG THỊ HẠNH Bài tập 3.1.5 Tích của hai phép quay hoặc phép tịnh tiến hoặc là phép quay Lời giải Giả sử hai phép quay Qj, Q› lần lượt có biểu thức tọa độ là: + = G080 — tsửng@ + #0 đì = (¿ # 0) ' = #sing + ycosp + yo và #⁄ = #'cos8 — 'sin8 + #ụ Qo = (0 z 0)

y" = 2'sind + y'cosd + yo

Khi đó tích của hai phép quay sẽ có biểu thức tọa độ là :

x" = xcos(p + 9) — ysin(y + 0) + xpcosO — yosind + 21

(py £0,040) y" = xsin(p + 0) + cos(¿@ + 0) + #osin0 — ocos0 + 1ì

Nếu ta có ¿+Ø = 0 thì tích của hai phép quay có biểu thức tọa độ có dạng của biểu thức phép tịnh tiến cho nên (Q¡@; ) sẽ là phép tịnh tiến