Một phương pháp tiệm cận hay để giải hoặc định hướng giải các bài toán hình học tọa độ phẳng. Đặc biệt, khi giải các bài toán giải tích phẳng khó dưới dạng trắc nghiệm thì phương pháp này nhiều lúc thể hiện được tính ưu việt của nó.
VẬN DỤNG PHÉP BIẾN HÌNH VÀO GIẢI TOÁN TỌA ĐỘ PHẲNG 1) Cho hình chữ nhật ABCD có B(1;1), điểm M N trung điểm DA DC Đường thẳng MN có phương trình x y , điểm D thuộc đường thẳng d : x y Tìm tọa độ đỉnh A C biết A có tung độ dương A M D B E C N d' - - biến E thành D Vì E thuộc MN nên D thuộc đường thẳng d’ ảnh MN qua phép vị tự Khi đó, D giao điểm d d’ Viết pt AC Đường tròn đường kính BD cắt AC hai điểm A C Gọi E trung điểm MN Phép vị tự tâm B tỉ số Tài liệu toán THPT Page VẬN DỤNG PHÉP BIẾN HÌNH VÀO GIẢI TOÁN TỌA ĐỘ PHẲNG 2) Cho hình vuông ABCD, E trung điểm AD, H ; 5 hình vuông CE, M 11 ; 5 hình chiếu B lên trung điểm BH Biết A có hoành độ âm, tìm tọa độ đỉnh d A B M E Tìm B Viết phương trình AM CE Phép quay tâm B góc quay -900 biến đường thẳng CE thành đường thẳng d (d qua A) Viết pt d A giao điểm d AM H D Tài liệu toán THPT C Page VẬN DỤNG PHÉP BIẾN HÌNH VÀO GIẢI TOÁN TỌA ĐỘ PHẲNG 3) Cho đường C : x y2 , đường thẳng d : x y 3 điểm A 3;0 M điểm thuộc đường tròn (C) B điểm cho tứ giác ABMO lập thành hình bình hành Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác ABM biết G thuộc đường thẳng d G có tung độ dương M - I B G O A - - Tài liệu toán THPT Gọi I trung điểm MB Phép tịnh tiến theo OA biến M thành I Phép vị tự tâm A tỉ số biến I thành G Do M thuộc đường tròn (C) nên G thuộc ảnh (C) qua tích phép vị tự phép tịnh tiến nói Mà G lại thuộc d nên G giao điểm d đường tròn (C’) Page VẬN DỤNG PHÉP BIẾN HÌNH VÀO GIẢI TOÁN TỌA ĐỘ PHẲNG hai đường thẳng d1 : x y 0, d : x y Viết phương trình đường thẳng qua O cắt d1 d2 hai điểm M, N cho AM//BN 4) Cho điểm A 0;2 , B 0; M d1 B O A N d2 d2' OB - Nhận thấy ba điểm O, A, B thẳng hàng ta tính OA - Ba điểm O, M, N thẳng hàng AM//BN nên phép vị tự tâm O tỉ số - biến N thành M Do N thuộc d2 nên M phải thuộc đường thẳng d2’ ảnh d2 qua phép vị tự Vậy ta tìm M giao điểm d2’ d1 Đường thẳng d đường thẳng OM Tài liệu toán THPT Page VẬN DỤNG PHÉP BIẾN HÌNH VÀO GIẢI TOÁN TỌA ĐỘ PHẲNG 5) Cho hai đường tròn C1 : x y 9, C2 : x 2 y 2 Lập phương trình đường thẳng qua A(1;0) cắt (C1), (C2) M N cho AM = 2AN 6) Cho điểm A(2;-1), B(2;-5) đường tròn C : x 2 y MN đường kính (C) cho đường thẳng AM AN cắt tiếp tuyến (C) B P Q Tìm tọa độ trực tâm H tam giác MPQ biết H thuộc đường thẳng d : x y P M H A I B Dễ thấy AB đường kính (C) H trực tâm tam giác MPQ nên HM//AB (vì vuông góc với PQ) HQ//BM (vì vuông góc với AP) Vậy nên ABMH hình bình hành Phép tịnh tiến theo vecto BA biến M thành H Mà M thuộc đường tròn (C) nên H thuộc đường tròn (C’)_ ảnh (C) qua phép tịnh tiến nói Vậy H giao (C’) d N Q Tài liệu toán THPT Page VẬN DỤNG PHÉP BIẾN HÌNH VÀO GIẢI TOÁN TỌA ĐỘ PHẲNG 7) Cho hình chữ nhật ABCD có tâm I(1;-3), đường phân giác góc DAC có phương trình x y 10 Đường thẳng AB qua M(-5;-5) Tìm tọa độ đỉnhcủa hình chữ nhật M B A d phân giác góc DAC nên trục đối xứng đường AD AC Gọi I’ điểm đối xứng với I qua d I’ thuộc AD Đường tròn đường kính I’M cắt d A I I' D C d Tài liệu toán THPT Page VẬN DỤNG PHÉP BIẾN HÌNH VÀO GIẢI TOÁN TỌA ĐỘ PHẲNG 8) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C ) : x y 2 x y 20 hai đường thẳng d1 : x y 0; d : x y Viết phương trình đường thẳng tiếp xúc với (C) A cắt d1 , d B, C cho B trung điểm AC I C d2 B d1 A l d2' Gọi d2’ đường thẳng đối xứng với d2 qua d1 Vì d1//d2 B trung điểm AC nên A thuộc d2’ Vậy A giao điểm d2’ đường tròn (C) Từ ta viết tiếp tuyến (C) A cách dễ dàng Tài liệu toán THPT Page VẬN DỤNG PHÉP BIẾN HÌNH VÀO GIẢI TOÁN TỌA ĐỘ PHẲNG 9) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A 5;1 đường thẳng d : x y Tìm điểm M đường thẳng d điểm N đường tròn C : x tam giác AMN vuông cân A N2 M2 N1 M1 Tài liệu toán THPT y 25 cho Tam giác AMN vuông cân A nên phép quay tâm A góc quay 900 biến M thành N Do M thuộc đường thẳng d nên N phải thuộc đường thẳng d’ - ảnh d qua phép quay nói Vậy N giao điểm d’ đường tròn (C) A d d' Ở lưu ý điểm A thuộc d nên d’ đường thẳng qua A vuông góc với d Page VẬN DỤNG PHÉP BIẾN HÌNH VÀO GIẢI TOÁN TỌA ĐỘ PHẲNG 10) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : x y 15 hai đường tròn C1 : x y 2 ; C2 : x y2 16 Tìm điểm M ( C1 ) N ( C ) cho MN nhận đường thẳng d làm trung trực N có hoành độ âm M1 I1 I2 N1 M2 I1' N2 d d trung trực MN nên phép đối xứng trục d biến M thành N Mà M thuộc đường tròn (C1) nên N phải thuộc đường tròn (C1’)- ảnh (C1) qua phép đối xứng trục d Vậy nên N giao điểm đường tròn (C2) (C1’) Tài liệu toán THPT Page VẬN DỤNG PHÉP BIẾN HÌNH VÀO GIẢI TOÁN TỌA ĐỘ PHẲNG 11) (Trích đại học khối A 2014)Trong mặt phăng tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD Gọi M trung điểm cạnh AB, N điểm AC cho AN=3NC Viết phương trình đường thẳng CD Biết M(1;2), N(2;-1) M A B Như vậy, ta thực phép quay tâm N, góc quay 900 điểm M biến thành điểm D (Khi thực hành giải toán ta viết phương trình đường ND qua N vuông góc với MN, sử dụng giả thiết ND = NM) I N D Tài liệu toán THPT E F Ta dễ thấy tam giác NCE NEI tam giác vuông cân N Do đó, phép quay tâm N góc quay -900 biến C thành E, biến E thành I, dĩ nhiên, theo tính chất phép quay biến D thành M C NM , CF tìm F, C… Ta lại có NF CD từ Page 10 VẬN DỤNG PHÉP BIẾN HÌNH VÀO GIẢI TOÁN TỌA ĐỘ PHẲNG 12) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm H(2;2) phương trình đường tròn qua chân đường cao tam giác ABC có phương trình C : x y x y Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC A G I P N H G C B M Đường tròn (C) đường tròn Euler, qua trung điểm M, N, P cạnh tam giác ABC Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, E tâm đường tròn (C) Phép vị tự tâm G, tỉ số -2 biến tam giác MNP thành tam giác ABC, đó, biến đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP (là đường tròn (C)) thành đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, tức ta có GI 2GE Ta dễ dàng chứng minh IH 3IG Từ ta có HI 2HE hay phép vị tự tâm H biến E thành I, biến đường tròn Euler (C) thành đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Tài liệu toán THPT Page 11 VẬN DỤNG PHÉP BIẾN HÌNH VÀO GIẢI TOÁN TỌA ĐỘ PHẲNG Bài tập rèn luyện: Bài 1: Trong mặt phẳng với tọa độ Oxy, cho tam giác ABC trọng tâm G(1;2) Phương trình đường tròn qua trung điểm hai cạnh AB, AC chân đường cao hạ từ đỉnh A đến 2 y 25 Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác cạnh BC C : x ABC Bài 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn C : x A(1;0) y 16 điểm a) Tìm ảnh đường tròn (C) qua phép quay tâm A, góc quay 900 ; 900 b) Tìm ảnh đường tròn (C) qua phép quay tâm A, góc quay 60 c) Tìm ảnh đường tròn (C) qua phép quay tâm A, góc quay 600 Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm H(2;1) đường tròn qua trung điểm cạnh tam giác có phương trình T : x y x y Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Bài 4:Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD, có C thuộc đường thẳng d:2x+y+5=0 điểm A(-4;8) Gọi M điểm đối xứng với B qua C, N hình chiếu B DM Tìm tọa độ B C biết N(5;-4) Công thức phép quay Tài liệu toán THPT x ' x0 x x0 cos y y0 sin y ' y0 x x0 cos y y0 sin Page 12 [...]... Euler, nó đi qua các trung điểm M, N, P của các cạnh tam giác ABC Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, E là tâm đường tròn (C) Phép vị tự tâm G, tỉ số -2 biến tam giác MNP thành tam giác ABC, do đó, nó biến đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP (là đường tròn (C)) thành đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, tức ta có GI 2GE Ta dễ dàng chứng minh được IH 3IG Từ đó ta có HI 2HE hay phép vị tự tâm