Nhúng chìm nửa nhóm vào nhóm

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ====== ĐỖ THỊ HƢỜNG NHÚNG CHÌM NỬA NHĨM VÀO NHĨM KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Đại số Ngƣời hƣớng dẫn khoa học ThS NGUYỄN HUY HƢNG HÀ NỘI - 2014 Khóa luận tốt nghiệp LỜI CẢM ƠN Trong thời gian thực khóa luận, hướng dẫn tận tình giáo viên hướng dẫn, giáo viên khoa Tốn phía nhà trường tạo điều kiện thuận lợi, tơi có q trình nghiên cứu tìm hiểu học tập nghiêm túc để hồn thành khóa luận Kết đạt khơng nỗ lực cá nhân tơi mà có giúp đỡ q thầy cơ, gia đình bạn bè Tôi xin chân thành gửi lời cảm ơn tới thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Đặc biệt thầy giáo Thạc sĩ Nguyễn Huy Hưng tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tơi hồn thành khóa luận tốt nghiệp Trong q trình thực trình bày khóa luận khơng thể tránh khỏi sai sót hạn chế Do vậy, tơi mong nhận đóng góp ý kiến, nhận xét quý thầy cô bạn để đề tài tơi hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! Khóa luận tốt nghiệp LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Đề tài chưa công bố chương trình nghiên cứu khoa học Hà Nội, ngày… tháng… năm …… Sinh viên Đỗ Thị Hƣờng Khóa luận tốt nghiệp MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN LỜI CAM ĐOAN LỜI MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu 3.Đối tượng nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu CHƢƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Nửa nhóm giao hốn giản ước 1.2 Nửa nhóm giao hốn thứ tự 1.3 Tương đẳng nửa nhóm giao hốn 1.4 Nửa nhóm thuận nghịch 14 1.5 Nửa nhóm tự 14 CHƢƠNG NHÚNG CHÌM NỬA NHĨM VÀO NHĨM 17 2.1 Tính nhúng nửa nhóm giản ước giao hốn nhóm 17 2.2 Tính nhúng nửa nhóm nhóm 20 2.2.1 Nhóm tự nửa nhóm 20 2.2.2 Bài tốn tổng qt nhúng chìm nửa nhóm vào nhóm 23 2.2.3 Các điều kiện Ptắc 26 2.2.4.Xây dựng nhóm thương 29 KẾT LUẬN 36 TÀI LIỆU THAM KHẢO 37 Khóa luận tốt nghiệp LỜI MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết nửa nhóm phần tương đối trẻ toán học Như hướng tách biệt đại số với mục tiêu riêng Việc xác định rõ toán phương pháp nghiên cứu lý thuyết nửa nhóm hình thành cách khoảng 70 năm Một động tồn lý thuyết tốn học ví dụ thú vị tự nhiên Khi nghiên cứu lý thuyết nửa nhóm giúp ta tìm hiểu thơng tin cần thiết tính chất nhóm chứa nửa nhóm Ngày lý thuyết nửa nhóm có vai trò quan trọng việc nghiên cứu số ngành như: tốn học, vật lý… Lý thuyết nhóm lý thuyết nhóm có liên hệ tương phản với thú vị, vấn đề nhiều nhà khoa học nghiên cứu Xuất phát từ điều này, tơi định chọn đề tài: “Nhúng chìm nửa nhóm vào nhóm” để nghiên cứu Nó phần liên hệ tương phản nhóm nửa nhóm Tơi hi vọng đưa số kết làm phong phú thêm kết lĩnh vực Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu kết nhúng chìm nửa nhóm vào nhóm 3.Đối tƣợng nghiên cứu - Tính nhúng nửa nhóm giản ước giao hốn nhóm - Tính nhúng nửa nhóm nhóm Phạm vi nghiên cứu Tính nhúng nửa nhóm nhóm Đỗ Thị Hường – K36 CN Tốn Khóa luận tốt nghiệp Nhiệm vụ nghiên cứu - Các khái niệm định lý có liên quan - Tính nhúng nửa nhóm giản ước giao hốn nhóm - Nhóm tự nửa nhóm - Bài tốn tổng qt nhúng chìm nửa nhóm vào nhóm - Các điều kiện Ptắc - Xây dựng nhóm thương Phƣơng pháp nghiên cứu Nghiên cứu lí luận: tài liệu lý thuyết nửa nhóm đại cương, tài liệu dịch, luận văn Đỗ Thị Hường – K36 CN Toán Khóa luận tốt nghiệp CHƢƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Nửa nhóm giao hốn giản ƣớc đƣợc 1.1.1 Định nghĩa Nửa nhóm S gọi nửa nhóm giao hốn phép tốn S có tính chất giao hốn Khi phép tốn S thường ký hiệu theo lối cộng Nếu S vị nhóm với phép tốn cộng đơn vị S thường gọi phần tử không ký hiệu Giả sử S,+ nửa nhóm khơng có đơn vị, S nhúng vị nhóm S0 = S t t ký hiệu không thuộc S thoả mãn điều kiện x + t = t + x = x với x S0 Khi đó, t trở thành phần tử đơn vị S Giả sử S nhóm A,B tập khác rỗng S Ký hiệu A + B = a + b a A,b B Tập khác rỗng T nửa nhóm S nửa nhóm S , thân T nửa nhóm với phép tốn Scảm sinh T , nghĩa a,b T kéo theo a +b T Giả sử Sα α  I họ nửa nhóm nửa nhóm S cho αI Sα khác rỗng.Thế T := αI Sα nửa nhóm S nửa nhóm nhỏ S chứa Sα ,α  I Giả sử B tập khác rỗng nửa nhóm S Khi giao tất nửa nhóm S chứa B gọi nửa nhóm nhỏ Đỗ Thị Hường – K36 CN Tốn Khóa luận tốt nghiệp S sinh B ký hiệu B Rõ ràng B chứa tất phần tử dạng n bi = b1 + b2 +  i=1 + bn bi  B, i =1,2, ,n Tập khác rỗng I nửa nhóm S gọi iđêan S I  s + I, s S , s + I:= s +a a I Giao họ tuỳ ý iđêan nửa nhóm S iđêan S, giao khác rỗng Giả sử B tập khác rỗng nửa nhóm S Thế B   B+S iđêan S iđêan nhỏ S chứa B Nếu S vị nhóm B   B+S nên B+S iđêan S sinh B Giả sử I iđêan S cho I  S , I gọi iđêan nguyên tố S x + y  I kéo theo x  I y I,  x,y S Như iđêan thực I nửa nhóm S iđêan nguyên tố phần bù S\ I I S nửa nhóm S 1.1.2 Định nghĩa Giả sử S,+ vị nhóm giao hốn có đơn vị Khi đó, phần tử s S gọi khả nghịch tồn x S cho s + x = Tập hợp G tất phần tử khả nghịch S tạo thành nhóm S nhóm lớn S chứa Một tổng hữu hạn n si  i=1 phần tử thuộc S khả nghịch phần tử si khả nghịch Như S\ G iđêan nguyên tố S G  S Đỗ Thị Hường – K36 CN Tốn Khóa luận tốt nghiệp Nếu H nhóm tuỳ ý S chứa 0, trường hợp nhóm H cảm sinh phân hoạch S thành lớp ghép rời s + H Thực tế, quan hệ ρ S xác định aρb a = b + h,h H đó, ρ quan hệ tương đương S s + H ρ - lớp tương đương chứa s S 1.1.3 Định nghĩa Giả sử S nửa nhóm Phần tử s S gọi giản ước s +a = s + b kéo theo a = ba,b S Giả sử C tập hợp tất phần tử giản ước S C   Thế C nửa nhóm S Khi đó, tổng hữu hạn n si  i=1 phần tử thuộc C si  C từ S\ C iđêan nguyên tố S S  C Trong trường hợp S=C , ta nói S nửa nhóm giản ước Một kết quan trọng Lý thuyết nhóm sơ cấp phát biểu nhóm giản ước hữu hạn nhóm Hiển nhiên, nửa nhóm nhóm giản ước Định lý 1.1.5 sau khẳng định kết ngược lại 1.1.4 Định lý Giả sử  S, nửa nhóm giao hốn C nửa nhóm S cho phần tử thuộc C giản ước S , tồn phép nhúng f từ S vào vị nhóm giao hốn T cho điều kiện sau thỏa mãn: (1)Với c C, f c có khả nghịch T (mà ta ký hiệu  f c ) (2) T   f  s   f c s  S,c C Hơn nửa vị nhóm T xác định tính chất (1) (2) sai khác đẳng cấu nửa nhóm Đỗ Thị Hường – K36 CN Tốn Khóa luận tốt nghiệp Nếu S nửa nhóm giản ước S C T nhóm Chứng minh Chúng ta nêu lên cách xây dựng vị nhóm T tương tự cách xây dựng vành số nguyên từ tập hợp tất số nguyên không âm Giả sử A = S×C quan hệ A xác định s1,c1  s2,c2  s1 + c2 = s2 + c1 Vì C giản ước nên quan hệ tương đương A Ký hiệu s,c lớp tương đương chứa s,c T tập tất lớp tương đương  s,c  với s S,c C Thế thì, T với phép toán cho s1,c1 + s2,c2  = s1 +s2,c1 +c2  vị nhóm đơn vị  c,c với c C Hơn nữa, ánh xạ f :S  T xác định f s = s +c,c phép nhúng từ S vào T Nếu c C , f c = 2c,c có nghịch đảo c,2c T , phần tử s,c tuỳ ý thuộc T viết dạng s +c,c + c,2c = f s -f c Rõ ràng T xác định (Bởi tính chất (1) (2) sai khác đẳng cấu nửa nhóm, nghĩa g:S  T' Là phép nhúng từ S vào vị nhóm giao hoán T cho hai điều kiện (1) (2) thoả mãn tồn đẳng cấu nửa nhóm j: T  T’ cho j f  g , nghĩa biểu đồ sau giao hoán f S g T  T’ Đỗ Thị Hường – K36 CN Tốn Khóa luận tốt nghiệp tồn u,u’  T cho u = w, u’ = w’ u = u’ Giả sử u = m1m2 mn u’ = m’1m’2 m’n (mi, m’j  M) Khi w = (m1 mn) = m1 mn = m1 … mn = (m1 … mn) = (u) Và tương tự w’ = (u’) Vì u’ = u’ nên w = w’, tức (w,w’)  1 Vậy   -1 1  -1 Bây từ bổ đề 1.5.2 suy tồn đồng cấu  từ nhóm G vào H cho 1  =  Ta có  () = ()  =  (1 ) =  =  Vậy thu hẹp ánh xạ   M trùng Vì M sinh S nên từ suy  =  Việc xây dựng đồng cấu  thỏa mãn đẳng thức hồn thành việc kiểm nghiệm kiến trúc chứng tỏ (G,) nhóm tự S 2.2.2 Bài tốn tổng qt nhúng chìm nửa nhóm vào nhóm Định lý 2.2.2.1 Giả sử (G, ) nhóm tự nửa nhóm S Nửa nhóm S nhúng chìm vào nhóm ánh xạ  phép nhúng chìm nửa nhóm S vào G Chứng minh Chỉ cần chứng minh điều kiện có Giả thiết S nhúng chìm vào nhóm, tồn đẳng cấu  từ nửa nhóm S nhóm H Hiển nhiên ta xem S tập phần tử sinh nhóm H Vậy (H,  ) S – nhóm ( G, ) S – nhóm tự do, nên tồn đồng cấu  : G  H cho  =  Do ánh xạ  – nên từ suy ánh xạ  – Vậy  nhúng chìm S vào G Ta nói nhóm H nhóm sinh nửa nhóm S tồn đơn cấu  từ nửa nhóm S vào H cho S  tập phần tử sinh nhóm nhóm H Từ chứng minh định lý 2.2.2.1 suy S nhúng chìm vào Đỗ Thị Hường – K36 CN Tốn 23 Khóa luận tốt nghiệp nhóm, nhóm tự G S nhóm lớn nhóm sinh nửa nhóm S theo nghĩa nhóm sinh nửa nhóm S ảnh đồng cấu nhóm G Khả nhúng chìm nửa nhóm vào nhóm phụ thuộc vào nửa nhóm hữu hạn sinh Bổ đề 2.2.2.2 (a) Giả sử (S ,  ) nửa nhóm tự M M’ tập không rỗng M Đặt  ’=  /M’ S’= Thế (S’,  ’) nửa nhóm tự M’ (b) Giả sử (G, ) nhóm tự M M’ tập không rỗng M Đặt ’= /M’ G’=[M’’] Thế (G’, ’) nhóm tự M’ Định lý 2.2.2.3 Một nửa nhóm nhúng chìm vào nhóm nửa nhóm hữu hạn sinh có tính chất Chứng minh Chỉ cần chứng minh điều kiện đủ Giả thiết nửa nhóm hữu hạn sinh S nhúng chìm vào nhóm thân nửa nhóm S khơng nhúng chìm vào nhóm Đặc biệt, từ suy (G, ) nhóm tự tùy ý S  khơng phải ánh xạ – Với tính cách (G, ), ta lấy nhóm tự S bổ đề 2.2.1.3 với tính cách tập sinh M  nửa nhóm S, ta lấy S Vì  ánh xạ – một, nên tồn m, m’  M cho m   = m’  , m   m’  Vì   =  1 , nên từ m   = m’   suy (m  , m’  )  1 Do 1 tương đẳng sinh quan hệ  nên tồn phần tử w0 = m  , w1,…, wn = m’  thuộc F cho wi-1  wi ( i= 1, 2…n) phép  chuyển sơ cấp, tức wi+1 = aiyibi wi = aixibi , ( yi , xi )     1  iF , bi  F ( i= 1, 2…n) Đỗ Thị Hường – K36 CN Tốn 24 Khóa luận tốt nghiệp Vì M  tập phần tử sinh nhóm F, nên phần tử , bi , xi , yi tích số hữu hạn phần tử thuộc M   (M  )-1 Đối với , bi , xi , yi ta chọn biểu thức tùy ý ( cố định ) dạng tích ký hiệu N tập tất phần tử m thuộc M cho m  (m  )-1 tham gia với tính cách nhân tử trong biểu thức , bi , xi , yi Khi N tập hữu hạn Giả sử S’ nửa nhóm S, sinh tập N, M’=S’-1 Ta ký hiệu F’ nhóm F sinh tập M’  , đặt  ’ =  / M’ Khi (F’,  ’ ) nhóm tự M’(bổ đề 2.2.2.2(b)) Giả sử T’ nửa nhóm T sinh tập M’, ’ = /M’ Thế (T’,’) nửa nhóm tự M’(bổ đề 2.2.2.2(a)) Thêm nữa, ’=/ T’ ’=/T’, ’ ’=  ’ ’ ’=’ Ta đặt ’=(F’F’)= (’)-1 o’o(’)-1o’ Khi dựa bổ đề 2.2.1.3 (F’/  '1 ,’) (trong  '1 tương đẳng F’ sinh quan hệ  ' , ’=/S’ )là nhóm tự S’ Vì S’ sinh tập hữu hạn N  nên theo giả thiết S’ nhúng chìm vào nhóm Theo định lý 2.2.2.1 ta kết luận ’ đẳng cấu Ta tới mâu thuẫn Thậy vậy, nhóm F’ xây dựng cho việc chuyền từ m  = w0 tới m’  = wn phép - chuyển sơ cấp wi+1  wi (i= 1,2,…,n) thực thực bên F’ Do (m  , m’  )   '1 m  (  '1 ) = m’  (  '1 ) , tức m’’ = m’’’ Nhưng m’ = m m’’ = m’ theo giả thiết phần tử khác S thuộc S’ Vậy ánh xạ ’ ánh xạ một-một Vậy chứng minh định lý hoàn thành Đỗ Thị Hường – K36 CN Tốn 25 Khóa luận tốt nghiệp 2.2.3 Các điều kiện Ptắc Định lý 2.2.3.1 Nửa nhóm S nhúng chìm vào nhóm o-1 = o1o-1 (xem ký hiệu bổ đề 2.2.1.3) Chứng minh: Giả sử nửa nhóm S nhúng chìm vào nhóm Khi theo định lý Đuybrây, ánh xạ  một-một Do o-1 = 1S Ta có o-1 = oo-1o-1 = ()o()-1 Nhưng  = 1 đẳng thức  =   =  nên ta  = 1 Vậy thu hẹp ánh xạ  1 tập sinh M nửa nhóm T trùng nhau,  = 1 Khi o-1 = ()o()-1 = (1) = (1)-1 = o1o-1 Vậy ta chứng tỏ nửa nhóm S nhúng chìm vào nhóm o-1 = o1o-1 Đảo lại, giả thiết o-1 = o1o-1 Khi ta có o-1 = (1)o(1)-1o-1 = 1o(1)-1 = ()o()-1 Từ suy ánh xạ  một-một Thật vậy, lấy (s,s’)  o-1 Vì  ánh xạ lên S, nên tồn t, t’T cho t = s, t’ = s’, tức ánh xạ  một-một Vậy chứng minh định lý hoàn thành Hệ 2.2.3.2 Ký hiệu A tập ab-1 / a, b  T (a, b)   F, A ước chuẩn nhóm F,sinh tập A Nửa nhóm S nhúng chìm vào nhóm a,b  T, từ ab-1  A suy ab-1 A (xem ký hiệu bổ đề 2.2.1.3) Chứng minh Hệ cách phát biểu khác định lý Thật vậy, A  trùng với 1 – lớp chứa đơn vị Do ab-1 A (a,b)  1 Từ suy a,b T, mệnh đề “ab-1  A kéo theo ab-1  A ’’ 1 ( T T) = , tức 1 ( T T) = -1oo1 o Nhưng o[1 ( T T)]o-1 = o1o-1 o-1 = 1T Vậy mệnh đề Đỗ Thị Hường – K36 CN Tốn 26 Khóa luận tốt nghiệp kéo theo nói o-1 = o1o-1 Bây để hoàn thành chứng minh hệ ta cần dựa vào định lý Điều kiện đủ nhúng chìm dựa kiện: S nửa nhóm với luật giản ước đẳng thức o-1 = oR()o-1 ln ln Trong R() ký hiệu tương đẳng phải F sinh quan hệ  Ta trình bày theo ngơn ngữ nửa nhóm,ta phát biểu lại kết bổ đề sau Trước hết ta có nhận xét tự Mỗi phần tử thuộc F tích phần tử M  (M)-1 Ta nói phần tử thuộc F biểu diễn tích phần tử thuộc M  (M)-1, biểu diễn từ rút gọn tích khơng chứa nhân tử dạng (m)(m)-1, mM Mỗi phần tử thuộc F khác đơn vị, biểu diễn cách dạng từ rút gọn Bổ đề 2.2.3.3 Giả sử S nửa nhóm với luật giản ước Đối với a,b T,điều kiện cần đủ để ab-1  [A] ab-1  A (xem ký hiệu bổ đề 2.2.1.3 hệ 2.2.3.2) Chứng minh Từ định nghĩa quan hệ , rõ ràng =-1 Vậy ab-1  A ba-1 = (ba-1)-1  A Do A = A-1, A-1 tập tất phần tử ngịch đảo phần tử thuộc A Từ ta [A] = An | n số ngun dương, An kí hiệu tập tất tích chứa n nhân tử thuộc A Bằng qui nạp theo n, ta chứng minh với a,b T, từ bao hàm thức ab-1 An suy ab-1  A Trước hết ta xét trường hợp n=1 n=2 Đối với n=1 mệnh đề tầm thường Giả thiết a,b,c,d,f,g phần tử thuộc T, cd-1  A, fg-1 A ab-1 = cd-1 fg-1 Vì S nửa nhóm với luật giản ước o-1 = 1T, nên dễ dàng thấy thu hẹp  T tương đẳng với luật giản ước Do ta giả Đỗ Thị Hường – K36 CN Tốn 27 Khóa luận tốt nghiệp thiết ab-1, cd-1, fg-1 biểu diễn từ thu gọn Với giả thiết đó, đẳng thức ab-1 = cd-1 fg-1 thỏa mãn trường hợp (1) f = dr, (2) d = fr, đó, trường hợp đó, r T r đơn vị nhóm Trong trường hợp (1) ta có cd -1 fg-1 = cgr-1 Nếu r T phần tử crg-1 rõ ràng biểu diễn từ rút gọn ta phải có a = cr b = g Do a = crdr = fg = b, ab, tức ab-1  A Nếu f = d, (c,d)  , từ tính bắc cầu quan hệ  T , ta (c,g)   Do ab-1 = cd-1  A Trường hợp (2) xét tương tự; điều hồn thành chứng minh mệnh đề ta n = Đối với n  2, giả thiết theo quy nạp từ ab -1  Aj suy ab-1  A với j = 1,2, ,n-1 (a,b  T ) Giả sử ab-1 = a1b1-1 a2b2-1 anbn-1, aibi-1  A (i  1,2, ,n) Ta xem aibi-1, ab-1, biểu diễn từ rút gọn Giả sử k số nguyên lớn cho a 1b1-1 a2b2-1 … ak1bk-1 -1 ak  T Vì 1  T nên số nguyên k tồn Ta xét trường hợp: (a) k = n Giả sử g = a1b1-1 a2b2-1 … an-1bn-1-1 Khi gan phần tử c thuộc T Do g = can-1 theo giả thiết qui nạp (c,an).Vì ab-1 can-1 anbn-1, nên theo giả thiết qui nạp ta có ab-1  A (b)  k  n Cũng trường hợp (a), ta đặt a1b1-1 a2b2-1 … ak-1bk1ak = c, c  T Khi theo giả thiết qui nạp, cbk-1  A (vì k  n) Do ab-1 = cb-1ak+1b-1k+1…anbn-1  An-k+1  A; ta lại dùng giả thiết qui nạp n-k+1  n (c) k = Vì ab-1 aibi-1 biểu diễn phần tử rút gọn a1b1-1 …b-1k-1-1ak  T k  1, nên ta có a = a1 Để chứng minh điều đó, trước hết ta xét a1b1-1 a2 Phần tử khơng nằm T Do từ rút gọn phần tử b1-1 a2 phải có dạng c1-1 d2, c1  T Vậy, Đỗ Thị Hường – K36 CN Tốn 28 Khóa luận tốt nghiệp a2b2-1 biểu diễn từ rút gọn, phần tử d2b2-1 biểu diễn vậy, từ suy a1b1-1 d2b2-1 phần tử rút gọn phần tử a1b1-1 a2b2-1 Áp dụng lý luận tương tự k, cuối ta từ rút gọn phần tử a1b1-1 a2b2-1 anbn-1 có dạng a1f1-1 …trong f1  T Vậy khẳng định, b1b1-1 = a2b2-1 … anbn-1, tức b1b1-1 tích n-1 phần tử thuộc A Theo giả thiết qui nạp, j = n-1, ta b1b1-1  A Cuối cùng, ab-1 = ab1-1 b1 b-1, tức ab-1 tích hai phần tử thuộc A, ab-1  A Vậy chứng minh bổ đề hoàn thành Từ bổ đề hệ 2.2.3.2 suy định lý Ptắc Định lý 2.2.3.4 Nửa nhóm S với luật giản ước nhúng chìm vào nhóm nhóm P, sinh tập A, ước chuẩn F 2.2.4.Xây dựng nhóm thƣơng Bổ đề 2.2.4.1 Nếu nửa nhóm nhúng chìm vào nhóm thỏa mãn điều kiện thương Giả sử S nửa nhóm với luật giản ước thỏa mãn điều kiện thương Đối với phần tử a,b  S cho Sa  Sb  , ta định nghĩa thương phải a/b cách đặt a / b = (x,y) | xa = yb Nếu Sa  Sb   a/b khơng xác định Tương tự, trường hợp Sa  Sb  , ta định nghĩa thương trái a\b cách đặt a \ b = (x,y) | ax = by Bổ đề 2.2.4.2 Giả sử S nửa nhóm với luật giản ước, thỏa mãn điều kiện thương a,b,c,d  S Thế (i) a / b = c / d a / b  c / d  ; (ii) a \ b = c \ d a \ b  c \ d   Chứng minh Ta chứng minh mệnh đề (i) Nếu a / b = c / d hai thương xác định a / b  c / d = a / b   Đảo lại, ta lấy (x,y)  Đỗ Thị Hường – K36 CN Tốn 29 Khóa luận tốt nghiệp a / b  c / d Thế xa = yb xc = yd Giả sử (u,v)  a / b, ua = vb Khi điều kiện thương cho ta uc = vd, tức (u,v)  c / d Tương tự c / d  a / b Vậy a / b = c / d Vì điều kiện thương đối xứng nên mệnh đề (ii) Bổ đề 2.2.4.3 Giả sử S nửa nhóm với luât giản ước, thỏa mãn điều kiện thương Kí hiệu Q tập tất thương phải cặp phần tử thuộc S : Q =  a / b | a,b  S, Sa  Sb  , kí hiệu  ánh xạ – a(ax) / x từ nửa nhóm S vào Q Giả sử (T,) nửa nhóm tự Q( khơng hạn chế tính tổng quát ta đồng a/b với (a/b)) Ta định nghĩa quan hệ  T cách đặt  :=(xy,z) | x = a/b, y = b/c, z = a/c a/b, b/c, c/a thuộc Q Giả sử 1 tương đẳng T, sinh , G = T / 1  ánh xạ 1 (=1 ) từ nửa nhóm S vào Thế (G, ) nhóm tự S Ta gọi cặp (G, ) nhóm thương phải nửa nhóm S: z QT S 1  /1=G Đỗ Thị Hường – K36 CN Tốn 30 Khóa luận tốt nghiệp Kiểm nghiệm Trước hết ta chứng tỏ  ánh xạ một-một từ nửa nhóm S vào Q Thật vậy, thứ (ax) / x xác định không phụ thuộc vào x thuộc S, (a, a2)  (ax) / x với x (theo bổ đề 2.2.4.2) Thứ hai, (ax) / x = (by) / y kéo theo aby = a2y trường hợp (y,a2)  (by) / y Do đó, luật giản ước ta a = b Thêm nữa, ta chứng tỏ T / 1 nhóm Rõ ràng a  S, thương phải a / a xác định chứa (x,x) vơi x S Do theo bổ đề 12.12 a /a = b / b với a,b  S Ta ký hiệu a / a E Đối với thương thuộc Q Rõ ràng (a / b E, a / b) = (a / b b /b,a / b) thuộc  Do E đơn vị phải nửa nhóm T / 1 Bây ta ý a / b tồn b / a tồn tại; thật vậy, (x,y)  a / b (x,y)  b / a Ta lấy phần tử tùy ý t = (a1 / b1) (an / bn) thuộc T Thế t = (bn / an) (b1 / a1) phần tử thuộc T Thêm nữa, (tt, E)  1 Thật vậy, a / b thuộc Q, rõ ràng ((a / b b /a, E)   Vậy dãy gồm 2n-1 phép -chuyển sơ cấp, đưa tt tới E Do phần tử thuộc T / 1 có nghịch đảo bên phải E Điều chứng minh T / 1 nhóm Đối với a, b thuộc S, ta viết a = (abx) / (bx), b = (bx) / x (ab) = (abx) / x Chú ý ((abx) / (bx) (bx) / x, (abx) / x)  , ta rút a1 b1 = (ab) 1, tức (a)(b) = (ab), tức  đồng cấu từ nửa nhóm S vào G Dễ dàng thấy (a / b)1 = (a)(b)-1 a / b thuộc Q Vì S tập phần tử sinh nhóm nhóm G Điều chứng tỏ (G, ) nhóm nửa nhóm S Ta phải chứng minh (G, ) S - nhóm tự Đỗ Thị Hường – K36 CN Tốn 31 Khóa luận tốt nghiệp Giả sử (K,) S – nhóm tùy ý Ta xác định ánh xạ  : QK, cách đặt (a /b) = (a)(b)-1 Dễ dàng thử thấy  xác định cách đắn Vì T nửa nhóm tự tập Q, nên tồn đồng cấu  từ nửa nhóm T vào K cho  =  Dễ dàng thử thây (và 1) chứa -1 Do định lý đồng cấu cảm sinh (định lý 1.3.12), tồn đồng cấu  từ nhóm G = T / 1 vào K cho 1  =  Cuối ta có  =  Thật vậy,  = , a = ((ax) \ x) = (ax) (x)1 = a Từ ta a = a = a = a (1 )  = a, điều cần chứng minh Vậy (G, ) nhóm tự S Việc kiểm nghiệm hồn thành   Q S   H   T  10 G Dùng định lý 2.2.2.1 ta mệnh đề sau xem hệ trực tiếp Bổ đề 2.2.4.4 Giả sử S nửa nhóm với luật giản ước thỏa mãn điều kiện thương Nửa nhóm S nhúng chìm vào Đỗ Thị Hường – K36 CN Tốn 32 Khóa luận tốt nghiệp nhóm nhúng chìm vào nhóm thương phải Bổ đề 2.2.4.5 Một nửa nhóm thuận nghịch bên trái với luật giản ước thỏa mãn điều kiện thương Chứng minh Giả sử S nửa nhóm thuận nghịch bên trái với luật giản ước với a,b,c,d,x,y,u,v  S đẳng thức sau thỏa mãn xa = yb, xc = yd, ua = vb (Z) Ta phải chứng minh đẳng thức sau thỏa mãn : uc = vd (Z) Vì nửa nhóm S thuận nghịch bên trái,nên tồn p,q  S cho ap = cq Do xap = xcq, từ theo (Z), ybp = ydq Giản ước cho y ta bp = dq Vậy ucq = vbp = vdq, tức ucq = vdq Giản ước cho q ta đẳng thức cần thiết uc = vd Dựa bổ đề đó, ta áp dụng bổ đề 2.2.4.3 vào nửa nhóm thuận nghịch bên trái với luật giản ước chứng tỏ nửa nhóm nhúng chìm đẳng cấu vào nhóm thương phải nhờ kiên trúc Các kí hiệu đưa vào bổ đề 2.2.4.3 sử dụng Ta chia tính tốn dãy bước Ký hiệu S nửa nhóm thuận nghịch bên trái với luật giản ước (a) Giả sử b1, a2, b2, a3, b3, , bm-1, am thuộc S Thế tồn x1, x2,…, xm  S cho bixi = ai+1xi+1 (i = 1,2, ,m-1) Thật vậy, tính chất thuận nghịch bên trái ta chọn chọn phần tử u 1, y2, u2, y3, u3, , um-1,ym thuộc S cho b1 u1 = a2 y2; b2 y2 u2 = a3 y3; b3 y3 u3 = a4 y4; …; bm-1 ym-1 um-1 = am ym Đặt x1 = u1.u2 um-1, x2 = y2.u2 um-1, , xm-1 = ym-1 um-1, xm = ym, ta thu xi cần thiết (b) Nếu a / b, b / c  Q (a / b b / c, (ax) / x.x / (cx))  1 Ta có ((ax) / x x / (bx), a / b)   ((bx) / x x / (cx), b / c)   Do Đỗ Thị Hường – K36 CN Tốn 33 Khóa luận tốt nghiệp a / b b / c  ((ax) / x x / (bx) b / c)   ((ax) / x x / (bx) (bx / x.x / (cx))   ((ax) / x x / x x /(cx)   ((ax) / x x / (cx) chuỗi phép  - chuyển sơ cấp Chú y từ tồn phần tử a/b b/c chưa suy tồn phần tử a/c (c) Nếu a /b, b/c, , g/e, e/f tồn a/b b/c eg/e e/f1 (ax)/x x/(fx) Mệnh đề mở rộng mệnh đề (b) sang trường hợp số tùy ý nhân tử (d) Mỗi phần tử thuộc T 1 – tương đương với phần tử (ax)/x x/(bx) a, b thuộc S Giả sử a1 /b1 a2 /b2 am /bm phần tử tùy ý thuộc T Do mệnh đề (a), tồn x1, x2,…, xm  S cho bi xi = ai+1 xi+1 ( i = 1, 2, , m-1) Do a1 / b1 a2 / b2 am / bm = a / c1 c2 / c2 cm-1 /b, a1 x1 = a, b1 x1 = a2 x2 = c1, b1 x2 = a3 x3 = c2, , bm xm = b Áp dụng mệnh đề (c), ta điều đòi hỏi (e) Giả sử t = a1/a2 a2 /a3 am-1/am  T tt’ phép  - chuyển sơ cấp Thế t’ = (a1x)/b2 b2/b3 bk /(amx) b2, b3, bk thuộc S Hai trường hợp xảy Thứ nhất, phép  - chuyển thay ai-1/ai / ai+1 a / b Trong trường hợp này, ai-1/ai = a/c ai/ai+1 = c/b c thuộc S Vì nửa nhóm S thuận nghịch bên trái nên tồn x,y  S cho ai-1x = ay Khi a1x = cy ai+1x = by Thật vậy, lấy (u,v)  ai-1/ai = a/c Ta có uai-1 = vai ua = vc, vaix = uai-1x = uay = vcy Do vaix = vcy Giản ước cho v ta aix = cy Tương tự, ai+1x = by Do t’ = (a1x)/(a2x) (ai-2x)/(ai-1x) (ai-1x)/(ai+1x) (ai+1x)/(ai+2x) (am-1x)/(amx) la điều phải chứng minh Đỗ Thị Hường – K36 CN Tốn 34 Khóa luận tốt nghiệp Thứ hai, phép  - chuyển thay / ai+1 = a / c Ta chọn x, y cho aix = ay Khi đó, trường hợp thứ ai+1x = cy, ta viết t’ dạng đòi hỏi Bây ta xét thương tùy ý a/b  T Nếu phần tử t tương đương theo mod 1 với phần tử a/b t thu từ a/b dãy ghép  - chuyển nên dựa mệnh đề (e) ta có t = (ax)/b1 b1/b2 bk /(bx) x, bi thuộc S Do t thương t = (ax)/(bx) x thuộc S Nhưng (ax)/(bx) = a/b Vậy a/b thương nhất, 1 – tương đương với a / b Đặc biệt từ suy ánh xạ  = 1 – một, tức  nhúng chìm S vào G Thêm nữa, mệnh đề (d), phần tử thuộc G viết dạng (a) (b)-1 a, b thuộc S Đảo lại, giả thiết  : SK nhúng chìm S vào K phần tử thuộc K viêt dạng (a) (b)-1 a, b thuộc S Đặc biệt, a, b cho thuộc S, phải tồn x, y  S cho (a)-1 (b) = x (y)-1, tức (by)  = (ax)  Từ đó, ánh xạ  – một, nên suy by = ax Vậy aS  bS   a, b cho thuộc S, tức S thuận nghịch bên trái Vậy ta hoàn thành chứng minh định lý Ore (định lý 2.1.1) định lý Đuybray (định lý 2.1.2) : nửa nhóm với luật giản ước nhúng chìm vào nhóm thương phải thuận nghịch bên trái Đỗ Thị Hường – K36 CN Tốn 35 Khóa luận tốt nghiệp KẾT LUẬN Trong luận văn này, tơi trình bày số nội dung sau: Hệ thống hóa khái niệm, tính chất định lý của: nửa nhóm giao hốn giản ước được, nửa nhóm giao hốn thứ tự được, tương đẳng nửa nhóm giao hốn, nửa nhóm thuận nghịch, nửa nhóm tự Đưa số kết về: tính nhúng nửa nhóm giản ước giao hốn nhóm, tính nhúng nửa nhóm nhóm, nhóm tự nửa nhóm, tốn tổng qt nhúng chìm nửa nhóm vào nhóm, điều kiện Ptắc, xây dựng nhóm thương Trong điều kiện thời gian khuôn khổ luận văn, chưa nghiên cứu điều kiện Lambếch so sánh hệ Manxép Lambếch… Và hướng để tiếp tục tìm hiểu, nghiên cứu phát triển luận văn sau Đỗ Thị Hường – K36 CN Tốn 36 Khóa luận tốt nghiệp TÀI LIỆU THAM KHẢO 1 Hồng Xn Sính, Đại số đại cương, Nhà xuất Giáo dục Hà Nội, 1972; 2 Nguyễn Hữu Việt Hưng, Đại số đại cương, Nhà xuất Giáo dục, 1999; 3 Nguyễn Tự Cường, Đại số đại, Nhà xuất Đại học Quốc Gia Hà Nội, 2003; 4 Semigoup theory, Vicky G; 5 Groups and semigroups: connections and contrasts, John Meakin [6] A.H Cliphớt - G.B Prestơn, Lý thuyết nửa nhóm – Tập 1,2, Nhà xuất Đại học Trung học chuyên nghiệp Hà Nội - 1979 Đỗ Thị Hường – K36 CN Toán 37 ... (G,) nhóm tự S 2.2.2 Bài toán tổng quát nhúng chìm nửa nhóm vào nhóm Định lý 2.2.2.1 Giả sử (G, ) nhóm tự nửa nhóm S Nửa nhóm S nhúng chìm vào nhóm ánh xạ  phép nhúng chìm nửa nhóm S vào G... NỬA NHĨM VÀO NHĨM 17 2.1 Tính nhúng nửa nhóm giản ước giao hốn nhóm 17 2.2 Tính nhúng nửa nhóm nhóm 20 2.2.1 Nhóm tự nửa nhóm 20 2.2.2 Bài tốn tổng qt nhúng chìm nửa nhóm vào nhóm. .. Khóa luận tốt nghiệp nhóm, nhóm tự G S nhóm lớn nhóm sinh nửa nhóm S theo nghĩa nhóm sinh nửa nhóm S ảnh đồng cấu nhóm G Khả nhúng chìm nửa nhóm vào nhóm phụ thuộc vào nửa nhóm hữu hạn sinh Bổ