T-NHÓM GIẢI ĐƯỢC HỮU HẠN

Header Page of 185 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Đỗ Hoàng Hải T-NHÓM GIẢI ĐƯỢC HỮU HẠN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 Footer Page of 185 Header Page of 185 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Đỗ Hoàng Hải T-NHÓM GIẢI ĐƯỢC HỮU HẠN Chuyên ngành: Đại số lí thuyết số Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS MỴ VINH QUANG Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 Footer Page of 185 Header Page of 185 LỜI CẢM ƠN Trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn này , đã nhận được sự hướng dẫn, giúp đỡ quý báu của các thầy cô , các anh chị và các bạn Với lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc xin được bày tỏ lời cảm ơn chân thành tới: Ban Giám Hiệu, Phòng Đào tạo Sau Đại học, Khoa Toán Trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh đã tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp đỡ quá trình học tập và thực bảo vệ luận văn PGS TS Mỵ Vinh Quang, người thầy kính mến đã hết lòng giúp đỡ , dạy bảo, và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho suốt quá trình học tập Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình chu đáo thầy Mỵ Vinh Quang Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc thầy Tôi xin chân thành cảm ơn thầy cô khoa Toán-Tin giúp trang bị kiến thức cần thiết để hoàn thành luận văn Và cuối xin dành lời cảm ơn đến bạn bè, người thân động viên, cổ vũ giúp yên tâm hoàn thành tốt luận văn Footer Page of 185 Header Page of 185 MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cảm ơn Mục lục Bảng kí hiệu dùng luận văn LỜI MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Nhóm, nhóm 1.2 Tâm hóa tử, chuẩn hóa tử tâm 1.3 p-nhóm, π-nhóm, p’-nhóm, p-nhóm Sylow, nhóm Hall 1.4 Nhóm giải .6 1.5 Nhóm siêu giải .7 1.6 Nhóm lũy linh .8 1.7 Hoán tử, nhóm hoán tử, nhóm dẫn xuất 1.8 Dãy chuẩn tắc, nhân tử bản, dãy .11 1.9 Hệ Sylow, System Normalizer 12 1.10 Phép tự đẳng cấu lũy thừa 12 1.11 Nhóm abnormal, nhóm pronormal 12 Chương T -NHÓM HỮU HẠN GIẢI ĐƯỢC 13 2.1 T -nhóm 13 2.2 H -nhóm .13 2.3 T -nhóm hữu hạn siêu giải 20 2.4 NSN -nhóm .25 KẾT LUẬN 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO 32 Footer Page of 185 Header Page of 185 BẢNG KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN Footer Page of 185 H ≤G H nhóm G H p1 , , pm , p số nguyên tố phân biệt H = p1k1 p2k2 pmkm r k −1 Nếu s ước nguyên tố H S s-nhóm Sylow H theo Bổ đề Frattini ta có G = HN G ( S ) , suy N G ( S ) > S G HS = H : mâu thuẫn Do N G ( S ) > S Thật vậy, giả sử N G ( S ) = S = Mà G NSN -nhóm nên S  G Suy S  H Do nhóm Sylow H chuẩn tắc Hnên với s,Hcó snhóm Sylow nhất, suy Hlà tích trực tiếp nhóm Sylow Suy H nhóm lũy linh G G NSN -nhóm nênHlà nhóm Dedekind G Gọi u ước nguyên tố G , u ≠ r U u-nhóm Sylow G Khi U ≤ H Thật vậy, giả sử U ′ u-nhóm Sylow H U ′ u-nhóm Sylow G Do U U ′ liên hợp với G : U g U ′g ≤ g = Hg H Vậy U ≤ H Suy ∃g ∈ G= −1 −1 Suy U  H  G Mà G T -nhóm siêu giải nên U  G Vậy U u-nhóm Sylow G u-nhóm Sylow H Do G không lũy linh, R r-nhóm Sylow G N G ( R ) = R Thật vậy, giả sử R ≠ N G ( R ) R  G Vậy nhóm Sylow G chuẩn tắc G, suy G lũy linh: mâu thuẫn Vậy N G ( R ) = R ⇒ RU ≤ G nhóm siêu giải với N RU ( R ) = R ⇒r