BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM PRO XMAX CHO TEEN 2K – DUY NHẤT TẠI VTED.VN GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT CỦA TÍCH PHÂN (ĐỀ SỐ 02) *Biên soạn: Thầy Đặng Thành Nam – website: www.vted.vn Video giảng lời giải chi tiết có www.vted.vn Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian giao đề) Mã đề thi 132 Họ, tên thí sinh: Trường: Bài toán 1(Bất đẳng thức Cauchy – schwarz cho tích phân) Cho f , g : ⎡⎣ a,b⎤⎦ → ! hàm khả tích đoạn ⎡⎣ a,b⎤⎦ Khi ta ln có b b ∫ f (x) dx ∫ a a ⎛b ⎞⎟ ⎜⎜ g (x) dx ≥ ⎜ ∫ f (x)g(x) dx⎟⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎠ ⎝a Đẳng thức xảy f = kg với số thực k ≠ b Chứng minh Với t ∈ ! xét bình phương ta ln có : ∫ (tf (x) + g(x)) dx ≥ a b ⎛ ⎞⎟ ⎛ ⎞⎟ ⎜⎜ ⎜⎜ 2 ⎟ ⎟ Điều tương đương với : h(t) = ⎜ ∫ f (x) dx⎟⎟t + 2⎜ ∫ f (x)g(x) dx⎟⎟t + ∫ g (x) dx ≥ 0,∀t ∈ ! ⎜⎜ ⎜⎜ ⎟⎠ ⎟⎠ ⎝a ⎝a a b b b Trường hợp : ∫ f (x) dx = ⇔ f (x) = , bất đẳng thức cho đẳng thức a b Trường hợp : ∫ f (x) dx > , tam thức bậc hệ số a dương không âm, tức biệt thức a b ⎛b ⎞⎟2 b ⎜⎜ ⎟ Delta không dương Điều tương đương với Δ' = ⎜ ∫ f (x)g(x) dx⎟⎟ − ∫ f (x) dx ∫ g (x) dx ≤ ⎜⎜ ⎟⎠ ⎝a a a Vì ⎛b ⎞⎟2 ⎜ 2 ∫ f (x) dx ∫ g (x) dx ≥ ⎜⎜⎜⎜⎝∫ f (x)g(x) dx⎟⎟⎟⎟⎠ a a a Bài tốn chứng minh hồn tồn Đẳng thức xảy f = kg , k số tự Bài toán 2(Bất đẳng thức Holder tích phân cho hàm khả tích) Cho f , g : ⎡⎣ a,b⎤⎦ → ! hàm khả tích ⎡⎣ a,b⎤⎦ ta có b b BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM PRO XMAX CHO TEEN 2K – DUY NHẤT TẠI VTED.VN BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM PRO XMAX CHO TEEN 2K – DUY NHẤT TẠI VTED.VN 1 ⎛b ⎞⎟ p ⎛ b ⎞⎟q p q ⎜ ⎜ f (x)g(x) dx ≤ ⎜⎜ ∫ f (x) dx⎟⎟⎟ ⎜⎜ ∫ g(x) dx⎟⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎠ ⎜⎜⎝ ⎟⎠ ⎝a a b ∫ a 1 + = p q p,q số thực dương thoả mãn Câu Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục đoạn [0;1] thoả mãn f (1) = 0, ∫ [ f ′(x)]2 dx = ∫x f (x) dx = Tích phân Câu ∫ f (x) dx B A Cho hàm C y = f (x) có số đạo f (−1) = 0, ∫ [ f ′(x)]2 dx = 112 −1 hàm D liên tục đoạn [−1;1] thoả mãn ∫x f (x) dx = −1 16 Tính tích phân I = ∫ f (x) dx −1 168 35 35 84 B I = C I = D 5 Câu Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm dương liên tục đoạn [0;1] thoả mãn f (0) = A I = 1 ⎡ 1⎤ 3∫ ⎢ f ′(x) f (x) + ⎥ dx ≤ ∫ ⎢ ⎥⎦ ⎣ A Câu π ∫ B Cho số liên Cho hàm số y = f (x) có đạo tục D ⎡ π⎤ ⎢0; ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦ đoạn thoả mãn π ∫ f (x) dx C x ∫ [ f ′(x)] dx = ∫ (x +1)e f (x) dx = y = f (x) B C ⎡ ⎛ ⎞⎤ ⎢ f (x)− 2 f (x)sin ⎜⎜ x − π ⎟⎟⎥ dx = 2− π Tích phân ⎢ ⎜⎝ ⎟⎟⎠⎥⎦ ⎣ Câu ∫ [ f (x)] dx hàm A 1 f ′(x) f (x) dx Tích phân π hàm D liên e2 −1 f (1) = Tích phân BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM PRO XMAX CHO TEEN 2K – DUY NHẤT TẠI VTED.VN tục ∫ f (x) dx π [0;1] thoả mãn BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM PRO XMAX CHO TEEN 2K – DUY NHẤT TẠI VTED.VN e−1 A B e2 C e− D e Câu Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục đoạn ⎡⎣0;1⎤⎦ thỏa mãn f (0) = 0, f (1) = ∫ 1+ x [ f ′(x)]2 dx = A ln (1+ 2) 2 Tích phân ln f (x) ∫ 1+ x dx −1 ln (1+ 2) B C ln(1+ 2) D ( −1)ln(1+ 2) Câu Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục đoạn [0;1] thoả mãn f (1) = 1, ∫ xf (x) dx = ∫ [ f ′(x)] dx = 49 Tích phân 45 15 ∫ [ f (x)] dx D B C 63 Câu Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm dương liên tục đoạn [0;1] thoả mãn f (0) = A ∫( ) B 2(e2 −1) A 2( e −1) Câu π ∫ A f (x) + 4[ f ′(x)]3 dx ≤ 3∫ f ′(x) f (x) dx Tích phân Cho hàm số f (x) dx e −1 C y = f (x) liên ⎡ ⎛ ⎞⎤ ⎢ f (x) + 2 f (x)cos⎜⎜ x − π ⎟⎟⎥ dx = − π + Tích phân ⎢ ⎜⎝ ⎟⎟⎠⎥⎦ ⎣ ∫ B tục D e2 −1 ⎡ π⎤ ⎢0; ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦ đoạn thoả mãn π ∫ f (x) dx C D Câu 10 Cho hàm số y = f (x) liên tục nhận giá trị không âm đoạn [0;1] ∫ f (x) dx = Giá trị ⎛ ⎞⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ f (x) dx x − uf (u) du ∫ ⎜⎜⎜⎝ ∫ ⎟⎟ ⎠ 0 lớn tích phân BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM PRO XMAX CHO TEEN 2K – DUY NHẤT TẠI VTED.VN BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM PRO XMAX CHO TEEN 2K – DUY NHẤT TẠI VTED.VN A B C D Câu 11 Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục đoạn [0;1] thoả mãn f (1) = 1, ∫ [ f ′(x)]2 dx = f ( x ) dx = Tích phân ∫ Câu 12 ∫ f (x) dx B hàm số A Cho tục C f (x) liên ⎡ 2⎤ ⎢ f (x) + 2ln ⎥ dx = ∫ f (x)ln(x +1) dx Tích phân ⎢⎣ e ⎥⎦ ∫ D đoạn [0;1] thoả mãn ∫ f (x) dx e e A ln B ln C ln D ln e e Câu 13 Cho hàm số f (x) có đạo hàm nhận giá trị dương liên tục đoạn [0;2] thoả mãn 6∫ A 2 f ′(x) f (x) dx ≥ ∫ f ′(x) f (x) dx + Tích phân 29 B ∫ f (x) dx C D 29 Câu 14 Cho hàm số f (x) liên tục đoạn [0;1] thoả mãn ∫ f (x) dx = ∫ e x f (x) dx = Gọi m giá trị nhỏ tích phân ∫ [ f (x)] dx Mệnh đề sau ? A < m