TÍNH NHANH CỰC TRỊ SỐ PHỨC DẠNG ĐOẠN THẲNG VÀ ELIP Bài viết vận dụng khả sử dụng máy tính cầm tay để giải tốn max – với dạng toán xuất đề tham khảo BGD dạng toán mở rộng Xét toán: z z1 z z2 k Tìm max P z z3 Khi ta có trường hợp sau: - Nếu z1 z2 k ta có quỹ tích z đoạn thẳng - Nếu z1 z2 k ta có quỹ tích z elip (chưa chuẩn hóa) - Nếu z1 z2 k ta không xét đến trường hợp Để biết tốn thuộc dạng trước tiên ta phải kiểm tra trước z1 z2 Bài tốn 1: Quỹ tích đoạn thẳng Ta xét lại toán: z z1 z z2 k Tìm max P z z3 Khi đó: MA MB k với M điểm biểu diễn số phức z vào M thuộc AB nằm A B , A điểm biểu diễn z1 , B điểm biểu diễn z2 Quy trình thực hiện: Tính tốn mơi trường số phức w2 - Bước 1: Gán số phức z1 , z2 , z3 vào biến A, B, C máy tính Quy ước z1 z2 - Bước 2: Kiểm tra z1 z2 k (Bước để kiểm tra dạng nào) - ax2 b y1 Bước 3: Viết phương trình đoạn thẳng AB Sử dụng nhanh w51 giải hệ với ax2 b y2 z1 x1 y1i, z2 x2 y2i Khi đó: max P z2 z3 Nếu A, B nằm bên Oy min P z1 z3 max P z2 z3 Nếu A, B nằm hai bên Oy min P dC AB Một toán tương tự z z1 z z2 k Tìm max P z z3 Khi đó: MA MB k M khơng cịn thuộc đoạn AB nên khơng tồn max Khi P z2 z3 Xét ví dụ: VD [Đề MH lần – 2017] Cho số phức z thỏa mãn z i z 7i Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ P z i Tính M m 13 73 A B 73 C 73 D 73 Vào w2 gán số phức z1 2 i A, z2 7i B, z3 i C Tiếp theo: ta kiểm tra điều kiện z1 z2 Ở ta thấy z1 z2 k suy toán đoạn thẳng max P z2 z3 Để ý: hai điểm A, B nằm hai bên Oy min P dC AB Tìm max: Tìm min: Phương trình đoạn thẳng AB : x y P dC AB Nhập X Y r1=p1= Vậy ta có: Chọn C VD [Thầy Lê Bá Bảo] Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z i z 2i Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ P z 2i Tính M m 10 A B 10 C 10 D 13 Vào w2 gán số phức z1 i A, z2 2i B, z3 2i C Tiếp theo: ta kiểm tra điều kiện z1 z2 Ở ta thấy z1 z2 k suy toán đoạn thẳng max P z2 z3 Để ý: hai điểm A, B nằm bên Oy min P z1 z3 Tìm max: Tìm min: Vậy ta có: Chọn B VD [Facebook] Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 2i z 3i 34 Tìm giá trị nhỏ z 1 i A B D C Vào w2 gán số phức z1 i A, z2 2i B, z3 2i C Tiếp theo: ta kiểm tra điều kiện z1 z2 Ở ta thấy z1 z2 k suy toán đoạn thẳng Tuy nhiên, ta phải để ý tốn có dạng MA MB k M không cịn thuộc đoạn AB nên khơng tồn max Khi P z2 z3 Chọn D Vận dụng: Câu [Thầy Lê Bá Bảo] Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z i z 2i Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ z Tính M m A 13 B 13 C 13 D 13 Câu [Thầy Lê Bá Bảo] Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z i z 3i Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ z Tính M m A 1C 13 2A B 13 C 13 D 13 Chính tắc hóa phương trình elip – xoay elip dạng chuẩn u a u a 2c Ta xét toán: z z1 z z2 k Với z1 z2 k ta có quỹ tích z elip (chưa chuẩn hóa) Ta tiến hành chuẩn hóa elip để elip chuẩn Với elip chuẩn ta thường có: Tâm đối xứng O 0;0 hai tiêu điểm F1 c;0 , F2 c;0 thỏa mãn E : MF1 MF2 2a x2 y F1F2 2c z1 z2 2c với a c Phương trình tắc a b Đặt z z z z z u u z1 z2 z EC : u 2c u 2c 4ac 2 z1 z2 - Bước 1: Gán số phức z1 , z2 vào biến A, B máy tính - Bước 2: Kiểm tra z1 z2 k - Bước 3: Tính z1 z2 tâm elip: - Bước 4: Tính a - z z u A B ta có: z 2 z1 z2 A B k , c 2 Bước 5: Suy elip VD Chuyển elip sau dạng tắc: z 4i z 2i Gán số phức z1 3 4i A, z2 2i B kiểm tra z1 z2 k Tính z1 z2 tâm elip: A B Suy z u 1 i 4 6i Ta có: a 4, c 13 Khi chuẩn hóa elip ta EC : u 2c2 u 2c2 4ac u 26 u 26 16 13 zz z z2 k , Làm nhanh ta cần nhớ cách sau: z z z z Elip sau chuẩn hóa có dạng EC : u z1 z2 z1 u z1 z2 z2 k z1 z2 Ta gán Gán số phức z1 3 4i A, z2 2i B kiểm tra z1 z2 k z z Tính z1 z2 z1 Bấm: qcq22QzpQx)(aQz+Qx$2$pQz)= Tính k z1 z2 Bấm: 8qcq22QzpQx)= Khi ta có u 26 u 26 16 13 phương trình elip chuẩn hóa Cách có ba bước bấm hồn tồn, khơng cần nhiều Việc xoay elip dạng chuẩn, giúp ta dễ dàng đưa phương trình elip tắc – dạng mà quen thuộc nhiều Đồng thời xoay elip cách để giải toán max – elip đề cập phần sau Vận dụng: Câu Chuẩn hóa elip sau: z i z i 10 Câu Chuẩn hóa elip sau: iz 2 iz 1 i 1 i Đáp án: Câu u 10 u 10 20 Câu u u Bài tốn 2: Quỹ tích elip Xét tốn: z z1 z z2 k Tìm max P z z3 Với z1 z2 k ta có quỹ tích z elip Quy trình giải: Cách 1: Chuẩn hóa elip - z z u z1 z2 z3 Bước 1: Chuẩn hóa elip dạng chuẩn Chuẩn hóa mơđun cần tính P k z1 z2 Bước 2: Viết phương trình elip dạng tắc Sau chuẩn hóa elip dạng chuẩn: z c z c 2a Ta có a, c a c b a c x2 y Chính phương trình elip tắc cần tìm Giả sử với a độ dài a b2 trục lớn nên max z a , b nửa độ dài trục bé nên z b Khi ta thu được: - Bước 3: Tìm max – z z u z1 z2 z3 Từ P kết hợp với k z1 z2 max z a min z b a max P k z1 z2 b min P k z1 z2 Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay Quy trình thực hiện: Tính tốn mơi trường số phức w2 - Bước 1: Gán số phức z1 , z2 , z3 vào biến A, B, C máy tính - Bước 2: Kiểm tra z1 z2 k (Bước để kiểm tra dạng elip) - - a Bước 3: Tính đại lượng c b Bước 4: Xét max – k A B a2 c2 max z a Đối với z : min z b A B max z z3 IC a C a Đối với z z3 : min z z IC a A B C a VD [Facebook] Cho số phức z thỏa mãn z 4i z 2i Tìm giá trị lớn P z i A B C D Cách 1: Gán số phức z1 3 4i A, z2 2i B, z3 1 i C A B u A B C u Chuẩn hóa elip: u 26 u 26 16 13 Chuẩn hóa mơđun P k.A B 13 Viết phương trình elip tắc: Ta có: a 16 13 13, c 26 13 26 b 8 13 26 39 x2 y2 max u 13 Suy phương trình elip cần tìm là: 832 156 max P max u 13 13 Chọn A 13 Cách 2: Vẫn gán số phức vào biến Kiểm tra: z1 z2 k a Tính c b k A B a c 13 b 2 a c Khi đó: max z i IC a A B C a Chọn A VD [Facebook] Cho số phức z thỏa mãn z 1 i z 1 i Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ z Tính M m A M m B M m C M m 2 Chia hai vế cho i : z 1 i z 1 i z i z i Gán số phức vào biến: z1 1 i A, z2 i B Kiểm tra: z1 z2 k a Tính c b k A B a c 2 b a2 c2 max z a M m Chọn B Khi đó: min z b D M m 2 Vận dụng: Câu [Facebook] Cho số phức z thỏa mãn z i z i 10 Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ z 3i Tính M m2 B 60 A 10 D 60 C Câu [THCN – ĐHTN] Cho số phức z thỏa mãn iz 2 z Gọi M , m giá trị lớn 1 i i 1 giá trị nhỏ z Tính M m A M m Đáp án: 1D B M m C M m 2 D M m 2C Ý tưởng CASIO: Bình Hồng (Đoạn thẳng) Hiura Kirina (Dũng – Elip) Rewrite: Bình Hồng Tài liệu tham khảo - Tư siêu nhanh giải Casio max số phức - Phát triển thêm tẹo đề minh họa lần số phức Link driver: https://goo.gl/bHQuQk Link driver: https://goo.gl/hR4F6r Trong q trình gõ lại khơng thể tránh khỏi sai sót Kính mong bạn đọc phát góp ý! Xin cảm ơn! ... thực hiện: Tính tốn mơi trường số phức w2 - Bước 1: Gán số phức z1 , z2 , z3 vào biến A, B, C máy tính - Bước 2: Kiểm tra z1 z2 k (Bước để kiểm tra dạng elip) - - a Bước 3: Tính đại... u 2c 4ac 2 z1 z2 - Bước 1: Gán số phức z1 , z2 vào biến A, B máy tính - Bước 2: Kiểm tra z1 z2 k - Bước 3: Tính z1 z2 tâm elip: - Bước 4: Tính a - z z u A B ta có: z 2... Ý tưởng CASIO: Bình Hồng (Đoạn thẳng) Hiura Kirina (Dũng – Elip) Rewrite: Bình Hồng Tài liệu tham khảo - Tư siêu nhanh giải Casio max số phức - Phát triển thêm tẹo đề minh họa lần số phức Link