Luận văn toán học Nguyễn Thị Hiền

Khoá luận tốt nghiệp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội LỜI CẢM ƠN Em xin chân thành cảm ơn giúp đỡ thầy giáo, cô giáo tổ Giải tích, thầy giáo giáo khoa tốn, thầy giáo giáo trƣờng ĐHSP Hà Nội bạn sinh viên Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới T.S Tạ Ngọc Trí ngƣời tận tình giúp đỡ em suốt q trình hồn thành khóa luận Do lần làm quen với công tác nghiên cứu khoa học, thời gian lực thân hạn chế, cố gắng nhƣng chắn không tránh khỏi thiếu sót Em kính mong nhận đƣợc đóng góp ý kiến thầy bạn để khóa luận em đƣợc hồn thiện có nhiều ứng dụng thực tế Em xin chân thành cảm ơn ! Hà nội, ngày 11 tháng năm 2011 Sinh viên Nguyễn Thị Hiền Nguyễn Thị Hiền K33C - Khoa Toán Khoá luận tốt nghiệp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Nguyễn Thị Hiền K33C - Khoa Tốn LỜI CAM ĐOAN Khóa luận kết thân em qua trình học tập nghiên cứu Bên cạnh em đƣợc quan tâm tạo điều kiện thầy giáo giáo khoa tốn Trƣờng đại học sƣ phạm Hà Nội 2, đặc biệt hƣớng dẫn tận tình T.S Tạ Ngọc Trí Trong nghiên cứu hồn thành khóa luận em có tham khảo số tài liệu ghi phần tài liệu tham khảo Em xin cam đoan khóa luận trung thực, tên đề tài không trùng lặp với tên đề tài khác Hà Nội, ngày11 tháng năm 2011 Sinh viên thực Nguyễn Thị Hiền MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN LỜI CAM ĐOAN MỤC LỤC .3 LỜI MỞ ĐẦU CHƢƠNG 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Giới thiệu 1.2 Không gian độ đo 1.2.1 Các định nghĩa 1.2.2 Đinh lý mở rộng Kolomogorov 1.2.3 Các ví dụ khơng gian độ đo 1.3 Tích phân 1.3.1 Các định nghĩa P 1.3.2 Các không gian L 10 1.3.3 Các định lý hội tụ 11 1.3.4 Định lý biểu diễn Riesz .11 1.4 Độ đo xác suất 12 CHƢƠNG II: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI BẢO TOÀN ĐỘ ĐO 14 2.1 Độ đo bất biến với phép biến đổi liên tục .14 2.1.1 Độ đo bất biến 14 2.1.2 Độ đo bất biến với phép biến đổi liên tục 15 2.2 Không gian độ đo bất biến 16 2.2.1 tồn độ đo bất biến 16 2.2.2 tính chất M(X, T) 17 2.3 Các ví dụ phép biến đổi bảo toàn độ đo 18 2.3.1 Sử dụng Định lý mở rộng Kolmogorov 18 2.3.2 Sử dụng chuỗi Fouries 22 CHƢƠNG 3: ERGODIC 25 3.1 Định nghĩa Ergodic 25 3.2 Đặc trƣng Ergodic 26 3.3 Các ví dụ 27 3.4 Sự tồn độ đo Ergodic 30 3.5 Phép truy toán Ergodic đơn trị 33 3.5.1 Định lý phép truy toán Poincare 33 3.5.2 Ergodic đơn trị 34 3.5.3 Ví dụ 36 3.6 Định lý Ergodic Birkhoff 37 3.6.1 Kì vọng có điều kiện 37 3.6.2 Định lý Ergodic Birkhoff theo điểm 39 3.7 Các hệ định lý Ergodic Birkhoff 45 3.7.1 Các hệ 45 3.7.2 dụng 47 LỜI MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Giải tích hàm ngành toán học đƣợc xây dựng đầu kỉ XX đến đƣợc xem nhƣ ngành tốn học cổ điển Trong q trình phát triển, giải tích hàm tích lũy đƣợc số nội dung phong phú, kết mẫu mực, tổng quát giải tích hàm xâm nhập vào tất ngành tốn học có liên quan sử dụng đến cơng cụ giải tích khơng gian vectơ Chính điều mở rộng phạm vi nghiên cứu cho ngành toán học Với mong muốn đƣợc nghiên cứu, tìm hiểu sâu sắc mơn bƣớc đầu tiếp cận với công việc nghiên cứu khoa học với giúp đỡ T.S Tạ Ngọc Trí, em chọn đề tài : “Các phép biến đổi bảo toàn độ đo độ đo Ergodic” Cấu trúc khóa luận Khóa luận gồm chƣơng Chƣơng 1: Các kiến thức sở Chƣơng 2: Các phép biến đổi bảo toàn độ đo Chƣơng 3: Độ đo Ergodic Mục đích nghiên cứu Bƣớc đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học tìm hiểu sâu giải tích hàm, đặc biệt lý thuyết Ergodic Nghiên cứu phép biến đổi bảo toàn độ đo, độ đo Ergodic, số định lý liên quan ứng dụng Phương pháp nghiên cứu Đọc tài liệu, phân tích, so sánh tổng hợp n j=0 A Tj (A) n -h.k.n Vì vế trái bị chặn (bởi 1), áp dụng định lý hội tụ trội ta đƣợc 1n n (T jA B) = j j (A) (B) n n A n (ii) oT jdB A n = 1n oT j B d j (i) Giả sử T A = A lấy B = A Thì (TjA 1n nj B) = (A) Vậy (A) (A) n Điều cho (A) = (A) Do (A) = T Ergodic 3.7.2 Ứng dụng a) Các số tầm thƣờng Một số x [0, 1) đƣợc gọi tầm thƣờng với số có khai triển nhị phân nhất, chữ số xuất khai triển với tần số 1/2, chữ số xuất với tần số 1/2 Chúng ta hầu hết x [0, 1) tầm thƣờng với số Thật vậy, ta biết hầu hết với x phân x = x1x2 , xi n-1 xn = T [0, 1) có khai triển nhị {0, 1} Xét ánh xạ kép T(x) = 2x mod Khi n-1 (x) [0,1/2] (x) [0, 1/2), xn = T 1n card{ i n | xi = 0} = n nj [1/2, 1) Do (T jx) Vì T ergodic ( độ đo Lebesgue) nên áp dụng định lý Ergodic Birkhoff cho f = [0, 1/2) ta đƣợc lim card{ i n | n xn i = 0} = lim n = 1n n [0,1/2] j [0, 1/2) d (T jx) = ([0, 1/2) = 1/2 Điều nghĩa chữ số xuất với tần số 1/2 Tƣơng tự, chữ số xuất với tần số 1/2 Theo định nghĩa hầu hết điểm x [0, 1) tầm thƣờng b) Chữ số hàng đầu Xét dãy n (2 )n ¥ : 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, Chữ số số n ¥ số ( số số 9) xuất bên trái n đƣợc viết số 10 Ví dụ, số 512 số Xét dãy chữ số hàng đầu: 1, 2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, 2, 5, 1, 2… Bây tìm xem chữ số hàng đầu chữ số 1, 2, 4… xuất với tần số bao nhiêu? Bằng định lý Ergodic Birkhoff chữ số hàng đầu chữ số k xuất với tần số đƣợc cho công thức: log10 + k n Trƣớc rằng, chữ số hàng đầu k tồn số nguyên r cho k 10 (Ví dụ : 2.100 r n r < (k + 1).10 250 < 3.100 chữ số hàng đầu 250 2) Suy r log10 (k 10 ) n log10 < log10 [( k+ 1).10 ] Suy log10k + r n log10 < log10 ( k+ 1) + r Do n log10 Ik = [log10k, log10 ( k+ 1)] r Đặt log10 = , dãy số (n log10 mod 1)n N = 0, log102 mod 1, 2log102 mod 1, 3log102 mod 1, = 0, log102 mod 1, log102 + log102 mod 1, 2log102 + log102 mod 1, quỹ đạo với phép quay T theo , Do k} n N = Card { ≤ n < N cho chữ số N = N Card { ≤ n < N cho (n log 10 n Card { ≤ n < N cho T (0) mod 1) Ik } Ik } =N Vì log102 vơ tỷ nên T phép quay vơ tỷ Do áp dụng định lý Ergodic Birkhoff với f = lim N Ik ta đƣợc n Card { ≤ n < N cho chữ số k} N = lim N N N n n Ik (T (0)) = d Ik = ( Ik ) = log10 ( k+ 1) - log10k = log10 + k c) Liên phân số Xét x (0, 1) khai triển liên phân số [x0, x1, x2, ] Chúng ta với x (0, 1) tần số mà chữ số k xuất khai triển liên phân số đƣợc đƣa ln (k + 1)2 ln2 k(k + 2) N n Ik (Tn(0)) n-k Cho T biểu thị ánh xạ liên phân số Thì xn = [1/ T x] n-k Khi xn = k [1/ T x] = k, nghĩa k Tn-1x