Hàm suy rộng phi tuyến

TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I KHOA TỐN **************** BÙI KIM MY HÀM SUY R®NG PHI TUYEN KHĨA LU¾N TOT NGHIfiP ĐAI HOC Chun ngành: Giái Tích Ngưòi hưóng dan khoa hoc TS Ta Ngoc Trí Hà N®i - 2011 LèI CÁM ƠN Em xin bày tó lòng biet ơn sâu sac tói thay giáo TS Ta Ngoc Trí t¾n tình hưóng dan đe em có the hồn thành khóa lu¾n tot nghi¾p Em xin bày tó lòng biet ơn chân thành tói tồn the thay giáo khoa Tốn Trưòng Đai hoc S pham H Nđi ó day bỏo tắn tỡnh suot q trình hoc t¾p tai khoa Đong thòi, em xin gúi lòi cám ơn tói anh Hồng ĐNc Trưàng hoc viên cao hoc K13 chí báo em suot thòi gian thnc hi¾n khóa lu¾n Qua em xin đưoc gúi lòi cám ơn chân thành tói gia đình, ban bè ó bên, co vũ, đ®ng viên, giúp đõ em suot q trình hoc t¾p thnc hi¾n khóa lu¾n tot nghi¾p Hà N®i, tháng 05 năm 2011 Tác giá Bùi Kim My LèI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan dưói sn hưóng dan cna TS Ta Ngoc Trí khóa lu¾n đưoc hồn thành khơng trùng vói bat kì cơng trình khoa hoc khác Trong thnc hi¾n khóa lu¾n tác giá sú dung tham kháo thành tnu cna nhà khoa hoc vói lòng biet ơn trân Hà N®i, tháng 05 năm 2011 Tác giá Bùi Kim My Mnc lnc Má đau Chương 1.Kien thNc chuan b% 1.1.Mđt vi ký hiắu v khỏi niắm 1.1.1 Mđt vi ký hiắu 1.1.2 Mđt vi khỏi niắm 1.2.Không gian hàm thN 1.3.Không gian hàm suy r®ng 12 1.4.Đao hàm cúa hàm suy r®ng 14 1.5.Tích ch¾p .17 1.6.Bien đoi Fourier .19 Chương 2.Tích hai hàm suy r®ng .23 2.1.Tích cúa m®t hàm trơn m®t hàm suy r®ng 23 2.2.Tích cúa hai hàm suy r®ng 24 2.2.1 Phương pháp quy tien qua giói han 24 2.2.2 Phương pháp Fourier .27 2.3.Ket không the cúa Schwartz 31 Ket lu¾n 33 Tài li¾u tham kháo 34 Má đau Lý chon đe tài Hàm suy r®ng m®t khái niắm oc mú rđng tự khỏi niắm hm so co đien, ngồi lóp hàm thơng thưòng ngưòi ta thêm vào hàm đo đưoc, tích đ%a phương, hàm thơng thưòng khác mà m®t đai diắn l hm Delta Dirac (x) Hm suy rđng xuat hi¾n lan đau th¾p ký thú hai the ký 20 cơng trình cna P A M Dirac ve hoc lưong tú Lý thuyet toán hoc cna hm suy rđng oc S L Sobolev c sú đe giái tốn Cauchy cho phương trình hypebolic (1936) đen năm 1945 L Schwartz xây dnng m®t cỏch hắ thong cho lý thuyet hm suy rđng Ngy nay, lý thuyet hàm suy r®ng đưoc phát trien úng dung nhieu ngành khoa hoc Đe tìm hieu lý thuyet hàm suy r®ng đưoc sn hưóng dan cna TS Ta Ngoc Trí em chon đe tài "Hm suy rđng phi tuyen e lm khúa luắn tot nghi¾p đai hoc ngành Cú nhân khoa hoc Tốn hoc cna mỡnh Khúa luắn trung lm rừ mđt so van đe sau: Trình bày m®t so kien thúc bán cna hàm suy r®ng, phép lay tích hai hàm suy r®ng ket q khơng the cna Schwartz Bo cuc cna khóa lu¾n bao gom chương: Chương cna khúa luắn trỡnh by túm tat ve mđt so ký hi¾u khái ni¾m, khơng gian hàm bán suy r®ng Cuoi chương, trình bày ve phép tốn đao hàm, tích ch¾p bien đoi Fourier Chương cna khóa lu¾n vào trình bày phép lay tích cna hai hàm suy r®ng Phan đau chương trình bày ve phép lay tích cna m®t hàm trơn m®t hàm suy r®ng Tiep theo trình bày phương pháp đ%nh nghĩa tích cna hai hàm suy r®ng moi quan h¾ giua cách đ%nh nghĩa Cuoi chương ket không the cna Schwartz Mnc đích nhi¾m nghiên cNu - Nghiên cúu van e hm suy rđng - Nghiờn cỳu viắc lay tích cna hai hàm suy r®ng Đoi tưang pham vi nghiên cNu - Nghiên cúu ve hàm suy r®ng cna Schwartz - Nghiên cúu phép lay tích cna hai hàm so Phương pháp nghiên cNu Đoc tài li¾u, phân tích, tong hop, so sánh, tong hop kien thúc Chương Kien thNc chuan b% 1.1 M®t vi ký hiắu v khỏi niắm 1.1.1 Mđt vi ký hi¾u n Z+ := {x = (x1, x2, xn) : xi ∈ Z+} • Rn := {x = (x1, x2, xn) : xi ∈ R} • C(Ω) : cỏc hm liờn tuc k C (Ω) : t¾p hàm liên tuc có đao hàm riêng liên tuc tói cap k Ω • • • C∞(Ω) : t¾p hàm vi vơ han Ω Lp(Ω) : t¾p hàm f đo đưoc theo nghĩa Lebesgue Ω ¸ cho < ∞ |f (x)| ||f || = ( p Ω dx) p Lloc(Ω) : t¾p hop hàm Ω cho moi t¾p V compact Ω f tích V M®t đa chí so (hay xác : m®t n - đa chs so ) α = (α1, α2, , αn), vói αj ∈ Z+, (j = 1, 2, , n) Đ® dài (hay cap cna α) | α |= α1 +α2 +αn α α Toán tú vi phân liên ket vói đa chí so α ∂α = ∂ ∂ ∂αn , ∂ n α1 α2 α ∂ αn , ho¾c , j = 1, 2, , n ∂j = D1 D2 Dn vói Dj ∂x i∂x D = = j j √ i = −1 Ví dn 1.1 Cho hàm u(x, y) = x2y2 + x + y + xy, α = (1, 2) ∈ + Z Khi ∂α = ∂α1 ∂α2 = ∂1 ∂2 = 4x3y2 + 2x2y + 2x2 x y x y Cho Ω l mđt mú khỏc rong Rn Mđt hàm so f : Ω −→ C, x −→ f (x), neu toán tú vi phân ∂ α f ton tai liên tuc vói moi đa chí so α ∈ + ta nói f ∈ C∞(Ω) Đieu có nghĩa f ∈ C∞ (Ω) neu Zn f hàm vi liên tuc moi cap Giá cna m®t hàm liên tuc f : Ω −→ C bao đóng Ω cna t¾p hop {x ∈ Ω : f (x) ƒ= 0} đưoc kí hi¾u suppf Hay suppf = cl{x ∈ Ω : f (x) ƒ= 0} ⊂ Ω Neu K t¾p compact Rn ta kí hi¾u DK = {f ∈ C∞ (Ω) : suppf ⊆ K} 1.1.2 M®t vài khái niắm Mđt khụng gian vect tụpụ X trờn trũng P vúi (P = C hoắc P = R) l mđt khơng gian vectơ trưòng P đưoc trang b% m®t tơpơ thích hop cho ánh xa (x, y) −→ x + y (λ, y) −→ λy liờn tuc Trong khụng gian vect tụpụ X, mđt hop E ⊂ X goi t¾p b% ch¾n, neu vúi moi lõn cắn V cna goc , cú mđt so s > cho ∀t > s E ⊂ tV Neu goc θ có m®t lân c¾n b% ch¾n khơng gian X goi b% chắn %a phng Mđt hop E X cna khơng gian vectơ tơpơ X goi t¾p hút neu ∀x ∈ X, ∃t = t(x) ƒ= cho x ∈ tE Neu ∀α ∈ C mà |α| ≤ 1, ta có αE ⊂ E E đưoc goi l cõn oi cna X Mđt khụng gian vectơ tôpô X goi không gian loi đ%a phương neu cú mđt c sú lõn cắn cna goc gom ton nhung loi Mđt khụng gian loi %a phương goi m®t khơng gian Fréchet neu khơng gian metric đn vói metric cám sinh d thóa mãn d(x + z, y + z) = d(x, y) (d bat bien vói phép t%nh tien) M®t khơng gian vectơ tơpơ X goi có tính chat Heine - Borel , neu moi t¾p đóng b% ch¾n cna X đeu t¾p compact 1.2 Khơng gian hàm thN Cho K t¾p∞ compact Rn, DK ký hi¾u khơng gian cna tat cá n hàm f ∈ C (R ) cho suppf ⊆ K Neu K ⊂ Ω DK = {f ∈ C∞ (Ω) : suppf ⊆ K} Đe xây dnng m®t tơpơ τ C∞(Ω) cho C∞(Ω) tró thành m®t khơng gian Fréchet , có tính chat Heine - Borel , v DK l mđt úng cna C∞ (Ω) moi K ⊂ Ω Chúng ta chonScác t¾p compact Kj (j = 1, 2, ) cho Kj ⊂ intKj+1 Ω = j Kj đ%nh nghĩa m®t ho núa chuan pN C∞(Ω), N = 1, 2, sau pN = max{|Dαf (x)| : x ∈ KN , |α| ≤ N} ta đưoc tính chat nói ó cna khơng gian C∞(Ω) M®t só đ%a phương cna khơng gian đưoc cho bói t¾p hop ∞ VN = {f ∈ C (Ω) : pN (f ) }, (N = 1, 2, ) N < Đ%nh nghĩa 1.1 Hop cúa tat cá không gian DK K chay t¾p tat cá t¾p compact cúa Ω, goi không gian hàm thú Ω, ký hiắu l D() Hien nhiờn D() l mđt khụng gian vectơ vói phép c®ng phép nhân vói vơ hưóng thơng thưòng cna hàm nh¾n giá tr% phúc Ta thay rang hàm φ ∈ D(Ω) neu chí neu φ ∈ C∞ (Ω) suppφ t¾p compact Ω Vói moi φ ∈ D(Ω) ||φ||N = max{|Dαφ(x)| : x ∈ Ω, |α| ≤ N}, N = 1, 2, %nh ngha 1.2 Cho l mđt khơng rong mó Rn a) Vói moi t¾p compact K ⊂ Ω, τK ký hi¾u tơpơ cúa khơng gian Fréchet DK b) β t¾p tat cá t¾p loi cân đoi W ⊂ D(Ω) cho DK ∩ W ∈ τK vói moi t¾p compact K ⊂ Ω c) τ ho cúa tat cá hop có dang φ + W, vói φ ∈ D(Ω) W ∈ β Vói đ%nh nghĩa tích hai hàm suy r®ng cna Mikusinski ta có the lay tích hai hm suy rđng Tuy vắy khụng phỏi lỳc no ta thnc hi¾n đưoc Ta có m¾nh đe sau M¾nh đe 2.2.1 Khơng ton tai tích (δ)2 Dr(R) theo nghĩa cúa Đ %nh nghĩa 2.3 Chỳng minh v R Cho trúc mđt hm ∈ D(R) vói suppφ ∈ [−1, 1] φ(x)dx = Dãy (δn)+∞ n=1 đưoc cho bói (δn)(x) = n.φ(nx) m®t δ- dãy Ta có (δ ∗ δn)(x) = δn)(x) = n.φ(nx) Vì v¾y, neu ψ ∈ D(R) (δ ∗ δn)2, ψ = ¸ n2 [φ(nx)] (x)dx R Neu trờn mđt lõn cắn cna 0, ¸ 2 n2 [φ(nx)] ψ(x)dx ¸ R R mà n2 [φ(nx)] dx = n [φ(nx)]2 dx ¸ ¸ R n R [φ(nx)] dx → +∞ ¸ R [φ(nx)]2 dx ƒ= n → +∞ Vì v¾y (δ)2 khơng ton tai theo nghĩa Ví dn 2.3 Theo Đ%nh nghĩa 2.3 x r δ δ = − Th¾t v¾y, neu φ ∈ D(R) neu ta đ¾t δn−(x) = δn(−x), ∀n = 1, 2, Khi (1 ∗ δn), δn.φ x 1 ∗ δn).(δ ∗ δn), φ = ∗ δn).δn, φ = ( x = δnφ x n− ,δ ∗ ( x (2.1) Ta khai trien φ(x) = φ(0) + xφr (0) + x2ψ(x), = + 1− φ(0) n , δ ∗ δ r n ( ∗ δn).(δ ∗ δn), φ φ (0) x x − + , δn ∗ (x2ψ)δn x x , δ −n ∗ (xδn ) Vì δn− ∗ δn m®t hàm chan, nên hang tú đau tiên cna bieu thúc bang Hang tú cuoi tien tói n → ∞ Đoi vói hang tú thú hai, ta đ¾t αn = δ− ∗ (xδn) Khi n r φ (0) , δ −n ∗ (xδn ) = +∞ ¸ 1αn (x)dx, x x −∞ − α = δn ∗ ((−x)δ ) = −x(δn ∗ δ−) + (xδn ∗ δ−) − n n1 n n Vỡ vắy, neu v thuđc (R) L x(ψ1 ∗ ψ2 ) = (xψ1) ∗ ψ2 + ψ1(xψ2), αn n− α− = x(δnn ∗ δ−), − − − 1 , αn − α , αn − α , αn + α , = αn 1 + = n x 2 n n x x x Tù đó, αn + n m®t hàm chan Do đó, ¸ +∞ +∞ α− 1 ¸ − (δn ∗ nδ )(x)dx = (1, αn) = (α (x) − αn−(x))dx 2−∞ x 2−∞ x n = ¸ Tù δn ∈ D(R), n = 1, 2, R δn(x)dx = Ta có (δr, φ) , ∀φ ∈ D(R) ∗ δn).(δ ∗ δn), φ lim ( φr(0) = Hay n→∞ = x − lim ( r n→∞ x ∗ δn)(δ ∗ δn) = − δ Dr(R) theo nghĩa cna Đ%nh nghĩa 2.3 Như v¾y cách đ%nh nghĩa cna Mikusinski chưa giái quyet tri¾t đe vi¾c lay tích hai hàm suy rđng Bõy giũ chỳng ta núi e cắp túi m®t đ%nh nghĩa khác cna tích hai hàm suy r®ng dna bien đoi Fourier 2.2.2 Phương pháp Fourier Neu u ∈ Dr(Rm), ta đ%nh nghĩa bien đoi Fourier cna u (ký hi¾u u∧ ho¾c uˆ) u∧(ξ) = u(x), e−ix.ξ , bien đoi Fourier ngh%ch đáo cna u u∨: ∨ u (ξ) = u (ξ), eiξ.x (2π) m Ta đ¾t M (Rm)mlà t¾p tat cá c¾p (u, v) ∈ Dr(Rm)xDr(Rm) cho vói moi x ∈ R , ton tai m®t lân c¾n Ωx cna x cho ∀ω, ψ ∈ D(Ωx) đieu ki¾n sau đưoc thóa mãn: 1) (ωu)∧(ψv)∨ tích Rm, ¸ ¸ ∧ ∨ (ωv)∧(ψu)∨dx 2) m (ωu) (ψv) dx = R 3) ¸ Rm ∧ R ∨ m |(ωu) (ψv) |dx m®t hàm liên tuc cna ω ∈ D(Ωx) Vói moi c¾p u, v ta đ%nh nghĩa tích cna u v, ký hi¾u u.v sau: Đ%nh nghĩa 2.4 Neu (u, v) ∈ M (Rm), tích cúa u v D(Ωx), xác đ%nh đ%a phương Ωx, sau: Vói moi ω ∈ D(Ωx), cho ψ ∈ D(Ωx) vói ψ = suppω Thì (uv, ω) = (u)(v)dx Rm Theo ieu kiắn 1) ú trờn tích phân ó ve phái xác đ%nh Hơn nua, theo 2) thỡ tớch ny đc lắp vúi cỏch chon ψ Th¾t v¾y, neu cá ψ1 ψ2 đeu đóng vai trò ψ, ta có ¸ ¸ ¸ ∧ ∨ ∧ ∨ (ωu) (ψ1v) dx = (ωψ2u) (ψ1v) dx (ωu)∧(ψ1ψ2v)∨dx m Rm ¸R = (ωu)∧(ψ2v)∨dx = ¸Rm (ψ1ωu)∧(ψ2v)∨dx Rm = Rm Mđt cõu húi ra, vúi đ%nh nghĩa (δ) khơng? Câu trá lòi nam ket sau: x δ có ton tai hay M¾nh đe 2.2.2 Trong Dr(Rm), khơng ton tai (δ)2 theo nghĩa cúa Đ%nh nghĩa 2.4 Chúng minh Ta chon x = 0, ω ψ ∈ D(Ω0) cho ω(0) = ψ(0) = 1, ψ = suppω, Ω0 lân c¾n cna Giá sú rang δ2 ∈ M (R), (ωδ)∧(ψδ)∨ tích R Hơn nua, ta có (ωδ)∧ = 1, (ψδ)∨ = Vì v¾y 2π tích R, đieu vơ lý Hay δ ∈/ M (R) 2π V¾y khơng ton tai (δ)2 theo nghĩa cna Đ%nh nghĩa 2.4 M¾nh đe 2.2.3 Trong Dr(Rn), khơng ton tai tích nghĩa 2.4 Chúng minh δ theo nghĩa cúa Đ%nh x Giá sú trái lai, ton tai x δ, ta chon l mđt lõn cắn cna v , ψ ∈ D(Ω0) cho ω(0) = ψ(0) = suppω Vì vói u ∈ Dr(R) tùy ý, ta có (u, δ) ∈ M (R) ⇒ hay ¸ ¸ |(ωu)∧(ψδ)∨|dx < ∞, R |(ωu)∧|dx < ∞, ó (ψδ)∨ = 2π Tù đó, dna tính chat bán cna bien đoi Fourier, ta có ωu m®t hàm liên tuc R Chon ω = trờn mđt lõn cắn cna 0, sn han che cna u trờn lõn cắn ny l mđt lm liên tuc Tuy nhiên, rõ ràng đieu sai trưòng hop u = x Tiep theo, se so sánh hai phương pháp đ%nh nghĩa tích cna hai hàm suy r®ng ó Đ%nh lý 2.2 Neu u, v ∈ Dr(Rm) giá sú rang ton tai tích u.v theo phương pháp Fourier, tích u.v ton tai theo phương pháp quy R tien qua giói han vói moi δ − dãy cho δn(x) ≥ 0; cá hai tích bang Neu (dn) (en) hai δ − dóy á(vúi %nh ngha: (n)l mđt dóy neu suppδn → n → +∞, neu Rm δn(x)dx = neu δn ≥ 0) ¸ ¸ ∧ ∨ (ωu) (ψv) dx = lim (u ∗ dn)(v ∗ en)ωdx Rm n→+∞ Rm ψ ≡ suppω Đe chúng minh đ%nh lý ta sú dung bo đe sau Bo đe 2.2.1 Cho K m®t t¾p compact cúa Rm Thì ∀s > 0, ∃N ∈ N ta có |(dˆn ) − 1| < s K vói n > N Bo đe 2.2.2 Cho u.v, (dn) (en) ó Khi đó, ∀s > 0, ∃N ∈ N cho, neu n > N ¸ [(φ(u ∗ dn))∧.(ψ(v ∗ en))∨ − ((φu) ∗ dn)∧((ψv) ∗ en)∨]dx| < | s Rm Chúng minh đ%nh lý 2.1 Chon s > theo ¸ ¸ (u ∗ dn)(v ∗ en)ωdx = ω(u ∗ dn)ψ(v ∗ en)dx m R ¸ Rm = [ω(u ∗ dn)]∧[ψ(v ∗ en)]∨dx (2.2) Rm Sú dung bo đe 2.2.2, chon N1 cho n > N1 ta có ¸ ¸ ∧ s | [ω(u ∗ dn)] [ψ(v ∗ [(ωu) ∗ dn]∧[(ψv) ∗ en]∨dx| < Rm en)]∨dx − Rm Tù tính chat cna (dn) (en) ta có sup |dˆn (ξ)| < +∞ sup |eˆn (ξ)| < +∞ n,ξ n,ξ Tù đieu này, vói bo đe 2.2.1 (ωu)∧(ψv)∨ tích, nên có m®t so N2 cho n ≥ N2 ¸ ¸ ∧ ∨ s | (ωu) (ψv) dx [ω(u ∗ dn)]∧[ψ(v ∗ en)]∨dx| < Rm − Rm Vì v¾y, vói n > N = max(N1, N2) tù đieu ta thay rang ¸ ¸ | (ωu)∧(ψv)∨dx [ω(u ∗ dn)]∧[ψ(v ∗ en)]∨dx| < s Rm − Rm Do s > túy ý tù (2.2), đ%nh lý 2.1 đưoc chúng minh Giua đ%nh nghĩa cna Mikusinski đ%nh nghĩa bang khai trien Fourier có sn tương thích vói Ta có neu u, v ∈ Dr(Rm) ton tai tích u.v theo Đ%nh nghĩa 2.3 ton tai theo Đ%nh nghĩa 2.4 vói moi dãy Delta cho δn(x) ≥ hai tích bang M¾c dù ó nhà toán hoc co gang xây dnng nhung nhung đ%nh nghĩa cho tích hai hàm suy r®ng Các cách tn nhiên rõ ràng chưa giái quyet tri¾t đe van đe tích cna hai hàm suy r®ng Van có nhung ngh%ch lý viắc lay tớch hai hm suy rđng Chang han, ta có Neu ta áp dung D(R) ta se có: δ = (1 x).δ = x x x = x.δ = Dr(Ω) (x.δ) = 0(!) x M®t ví du khác ve hàm Heaviside H(x) Ta biet rang Hn = H, n = 1, 2, , H = H = H3 Tù ta có H r = 2H.Hr = 3H2 Hr = 3H.Hr H r = 2H.Hr = ⇒ H r = δ Dr(R) 2.3 Ket không the cúa Schwartz Lý thuyet hàm suy r®ng đưoc L Schwartz xây dnng rat thành cơng đưoc sú dung r®ng rãi, lý thuyet có m®t nhưoc điem chí cho phép tốn tuyen tính Nói m®t cách khác, phép nhân khơng đưoc thnc hi¾n hồn tồn Ơng khang đ%nh Đ%nh lý 2.3 Cho A m®t đai so có chúa đai so C0(R) cúa tat cá hàm liên tnc R m®t đai so Giá sú rang hàm ∈ C0(R) phan tú đơn v% đai so A, giá sú ton tai m®t ánh xa tuyen tính ∂ : A −→ A mó r®ng cúa hàm vi liên tnc thóa mãn quy tac Leibnizt ∂(ab) = ∂a.b + a.∂b, ∂2(|x|) = Chúng minh Ta có ∂(x|x|) = ∂(x).|x| + x.∂(|x|) = |x| + x.∂(|x|) ∂2(x|x|) = 2.∂(|x|) + x.∂2(|x|) M¾t khác, C1(R), A ∂(x|x|) = 2.∂(|x|) Do đó, ∂2(x|x|) = 2.∂(|x|), nên x.∂ (|x|) = Bây giò, se sú dung ket quá: rr Trong A, neu xa = 0, a = 0”, v¾y ta thu đưoc ∂2(|x|) = Chúng ta se chí ket cuoi sau: Ta thay rang hàm x(log |x| − 1) x2(log |x| − 1) ∈ C1(R) bang cách cho giá tr% cna hàm tai Sú dung quy tac Leibnizt A, ta có ∂ {x(log |x| − 1)x} = ∂ {x(log |x| − 1)} x + x(log | x| − 1) Do đó, ∂2 {x(log |x| − 1)x} = ∂2 {x(log |x| − 1)} x + 2.∂ {x(log |x| − 1)} hay ∂2 {x(log |x| − 1)} x = ∂2 {x(log |x| − 1)x} − 2.∂ {x(log |x| − 1)} Nhưng, tù ∂ trùng vói tốn tú đao hàm thơng thưòng lóp hàm thu®c C1(R) x2(log |x| − 1) ∈ C1(R), ta có ∂ x (log |x| − 1) = 2x(log |x| − 1) + x Vì v¾y, A ta có ∂2 x2(log |x| − 1) = 2.∂ {x(log |x| − 1)} + hay ∂2 {x(log |x| − 1)} x = Đe đơn gián, đ¾t y = ∂2 {x(log |x| − 1)}, y.x = 1; v¾y a.x = ⇒ y.(x.a) = ⇒ 1.a = ⇒ a = Do x.∂(|x|) = nên ∂2(|x|) = V¾y ta thu đưoc đieu phái chúng minh Neu có m®t đai so A chúa Dr(R) mà quy tac Leibnizt đưoc thóa mãn, tù ∂2(|x|) = 2δ Dr(R) ket hop vói đieu vùa chúng minh ta suy δ = Đó m®t đieu vơ lý ! Mâu thuan chúng tó khơng the xây dnng đưoc m®t đai so chúa Dr(R) mà cơng thúc Leibnizt đưoc thóa mãn Nó giái thích cho hieu tai ket đưoc goi Ket q khơng the cúa Schwartz Vi¾c lay tích hai hm suy rđng cú ý ngha rat lún viắc giái m®t so phương trình đao hàm riêng Tói năm 1980 J F Colombeau xây dnng m®t lý thuyet hàm suy r®ng mói ơng xây dnng đai so Colombeau phép nhân hai hàm suy r®ng đưoc giái quyet tri¾t đe Ket lu¾n Trong khóa luắn ny em ó trỡnh by nđi dung c bỏn cna lý thuyet hàm suy r®ng trình bày phép lay tích cna hai hàm suy r®ng theo J F Colombeau phuc vu muc đích giái tốn phương trình đao hàm riêng khơng tuyen tính, giúp vi¾c nghiên cúu lý thuyet phương trình đao hàm riêng đưoc mem déo v tong quỏt hn Nđi dung chớnh cna khúa luắn trình bày đưoc: Chương Kien thúc chuan b% Chương trình bày ve khái ni¾m bán cna hàm suy r®ng: khơng gian hàm bán, khơng gian hàm suy r®ng theo nghĩa Schwartz khái ni¾m liên quan Chương Tích cna hai hàm suy r®ng Chương trình bày ve tích cna hai hàm suy r®ng, phương pháp đ%nh nghĩa so sánh Cuoi ket không the cna Schwartz Tuy nhiên thòi gian thnc hi¾n khóa lu¾n khơng nhieu có nhung sai sót Em rat mong nh¾n đưoc sn góp ý cna q thay ban đoc Xin chân thành cám ơn ! Hà N®i, tháng 05 năm 2011 Tác giá Bùi Kim My Tài li¾u tham kháo [1] J F Colombeau, (1984) New generalized functions and multiplications of distribution, North Holland, Math Studies 84 Amsterdam [2] W.Rudin (1985), Functional analysis, Tata Macu Graw - Hill, Inc., New Delhi [3] Fran¸cois Treves, (1975), Basic equations, Academic Press, New York linear partial differential [4] Ta Ngoc Trí, (2004) The Colombeau theory of generalized functions, KdV institute, Facutly of science University of Amsterdam The Netherlands [5] http://datuan5pdes.wordpress.com 34 ... r (Ω) 1.4 Đao hàm cúa hàm suy r®ng Đ%nh nghĩa 1.5 Cho u ∈ Dr(Ω) phiem hàm tuyen tính (∂αu, φ) = (−1)|α| (∂αu, φ) , φ ∈ D(Ω), α đa chs so, đưoc goi đao hàm suy r®ng cap α cúa hàm suy r®ng u đưoc... φˆ(ξ)dξ ¸ Rn Chương Tích hai hàm suy r®ng 2.1 Tích cúa m®t hàm trơn m®t hàm suy r®ng Đ%nh nghĩa 2.1 Cho m®t hàm trơn f ∈ C∞(Ω) m®t hàm suy r®ng u ∈ Dr(Ω) Tích cúa hàm f u, đưoc ký hi¾u fu đưoc... 1.2.Không gian hàm thN 1.3.Khơng gian hàm suy r®ng 12 1.4.Đao hàm cúa hàm suy rđng 14 1.5.Tớch chắp .17 1.6.Bien đoi Fourier .19 Chương 2.Tích hai hàm suy r®ng