Hàm suy rộng phi tuyến

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN **************** BÙI KIM MY HÀM SUY RỘNG PHI TUYẾN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải Tích Người hướng dẫn khoa học TS Tạ Ngọc Trí Hà Nội - 2011 LỜI CẢM ƠN Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo TS Tạ Ngọc Trí tận tình hướng dẫn để em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể thầy cô giáo khoa Toán Trường Đại học Sư phạm Hà Nội dạy bảo tận tình suốt trình học tập khoa Đồng thời, em xin gửi lời cảm ơn tới anh Hoàng Đức Trường học viên cao học K13 bảo em suốt thời gian thực khóa luận Qua em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè bên, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em suốt trình học tập thực khóa luận tốt nghiệp Hà Nội, tháng 05 năm 2011 Tác giả Bùi Kim My LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan hướng dẫn TS Tạ Ngọc Trí khóa luận hoàn thành không trùng với công trình khoa học khác Trong thực khóa luận tác giả sử dụng tham khảo thành tựu nhà khoa học với lòng biết ơn trân trọng Hà Nội, tháng 05 năm 2011 Tác giả Bùi Kim My Mục lục Mở đầu Chương 1.Kiến thức chuẩn bị 1.1.Một vài ký hiệu khái niệm 1.1.1 Một vài ký hiệu 1.1.2 Một vài khái niệm 1.2.Không gian hàm thử 1.3.Không gian hàm suy rộng 12 1.4.Đạo hàm hàm suy rộng 14 1.5.Tích chập 17 1.6.Biến đổi Fourier 19 Chương 2.Tích hai hàm suy rộng 23 2.1.Tích hàm trơn hàm suy rộng 23 2.2.Tích hai hàm suy rộng 24 2.2.1 Phương pháp quy tiến qua giới hạn 2.2.2 Phương pháp Fourier 24 27 2.3.Kết Schwartz 31 Kết luận 33 Tài liệu tham khảo 34 Mở đầu Lý chọn đề tài Hàm suy rộng khái niệm mở rộng từ khái niệm hàm số cổ điển, lớp hàm thông thường người ta thêm vào hàm đo được, khả tích địa phương, hàm thông thường khác mà đại diện hàm Delta Dirac δ(x) Hàm suy rộng xuất lần đầu thập kỷ thứ hai kỷ 20 công trình P A M Dirac học lượng tử Lý thuyết toán học hàm suy rộng S L Sobolev đặt sở để giải toán Cauchy cho phương trình hypebolic (1936) đến năm 1945 L Schwartz xây dựng cách hệ thống cho lý thuyết hàm suy rộng Ngày nay, lý thuyết hàm suy rộng phát triển ứng dụng nhiều ngành khoa học Để tìm hiểu lý thuyết hàm suy rộng hướng dẫn TS Tạ Ngọc Trí em chọn đề tài "Hàm suy rộng phi tuyến” để làm khóa luận tốt nghiệp đại học ngành Cử nhân khoa học Toán học Khóa luận tập trung làm rõ số vấn đề sau: Trình bày số kiến thức hàm suy rộng, phép lấy tích hai hàm suy rộng kết Schwartz Bố cục khóa luận bao gồm chương: Chương khóa luận trình bày tóm tắt số ký hiệu khái niệm, không gian hàm suy rộng Cuối chương, trình bày phép toán đạo hàm, tích chập biến đổi Fourier Chương khóa luận vào trình bày phép lấy tích hai hàm suy rộng Phần đầu chương trình bày phép lấy tích hàm trơn hàm suy rộng Tiếp theo trình bày phương pháp định nghĩa tích hai hàm suy rộng mối quan hệ cách định nghĩa Cuối chương kết Schwartz Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu vấn đề hàm suy rộng - Nghiên cứu việc lấy tích hai hàm suy rộng Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Nghiên cứu hàm suy rộng Schwartz - Nghiên cứu phép lấy tích hai hàm số Phương pháp nghiên cứu Đọc tài liệu, phân tích, tổng hợp, so sánh, tổng hợp kiến thức Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một vài ký hiệu khái niệm 1.1.1 Một vài ký hiệu • Zn+ := {x = (x1 , x2 , xn ) : xi ∈ Z+ } • Rn := {x = (x1 , x2 , xn ) : xi ∈ R} • C(Ω) : tập hàm liên tục Ω • C k (Ω) : tập hàm liên tục có đạo hàm riêng liên tục tới cấp k Ω • C ∞ (Ω) : tập hàm khả vi vô hạn Ω • Lp (Ω) : tập hàm f đo theo nghĩa Lebesgue Ω cho ||f || = ( |f (x)|p dx) p < ∞ Ω • Lloc (Ω) : tập hợp hàm Ω cho tập V compact Ω f khả tích V Một đa số (hay xác : n - đa số ) α = (α1 , α2 , , αn ), với αj ∈ Z+ , (j = 1, 2, , n) Độ dài (hay cấp α) | α |= α1 +α2 +αn Toán tử vi phân liên kết với đa số α ∂ α = ∂1α1 ∂2α2 ∂nαn , ∂ ∂ ∂j = , Dα = D1α1 D2α2 Dnαn với Dj = , j = 1, 2, , n ∂x i∂x j j √ i = −1 Ví dụ 1.1 Cho hàm u(x, y) = x2 y + x + y + xy, α = (1, 2) ∈ Z2+ Khi ∂ α = ∂xα1 ∂yα2 = ∂x1 ∂y2 = 4x3 y + 2x2 y + 2x2 Cho Ω tập mở khác rỗng Rn Một hàm số f : Ω −→ C, x −→ f (x), toán tử vi phân ∂ α f tồn liên tục với đa số α ∈ Zn+ ta nói f ∈ C ∞ (Ω) Điều có nghĩa f ∈ C ∞ (Ω) f hàm khả vi liên tục cấp Giá hàm liên tục f : Ω −→ C bao đóng Ω tập hợp {x ∈ Ω : f (x) = 0} kí hiệu suppf Hay suppf = cl{x ∈ Ω : f (x) = 0} ⊂ Ω Nếu K tập compact Rn ta kí hiệu DK = {f ∈ C ∞ (Ω) : suppf ⊆ K} 1.1.2 Một vài khái niệm Một không gian vectơ tôpô X trường P với (P = C P = R) không gian vectơ trường P trang bị tôpô thích hợp cho ánh xạ (x, y) −→ x + y (λ, y) −→ λy liên tục Trong không gian vectơ tôpô X , tập hợp E ⊂ X gọi tập bị chặn, với lân cận V gốc θ, có số s > cho ∀t > s E ⊂ tV Nếu gốc θ có lân cận bị chặn không gian X gọi bị chặn địa phương Một tập hợp E ⊂ X không gian vectơ tôpô X gọi tập hút ∀x ∈ X , ∃t = t(x) = cho x ∈ tE Nếu ∀α ∈ C mà |α| ≤ 1, ta có αE ⊂ E E gọi tập cân đối X Một không gian vectơ tôpô X gọi không gian lồi địa phương có sở lân cận gốc θ gồm toàn tập lồi Một không gian lồi địa phương gọi không gian Fréchet không gian metric đủ với metric cảm sinh d thỏa mãn d(x + z, y + z) = d(x, y) (d bất biến với phép tịnh tiến) Một không gian vectơ tôpô X gọi có tính chất Heine - Borel , tập đóng bị chặn X tập compact 1.2 Không gian hàm thử Cho K tập compact Rn , DK ký hiệu không gian tất hàm f ∈ C ∞ (Rn ) cho suppf ⊆ K Nếu K ⊂ Ω DK = {f ∈ C ∞ (Ω) : suppf ⊆ K} Để xây dựng tôpô τ C ∞ (Ω) cho C ∞ (Ω) trở thành không gian Fréchet, có tính chất Heine - Borel , DK tập đóng C ∞ (Ω) K ⊂ Ω Chúng ta chọn tập compact Kj (j = 1, 2, ) cho Kj ⊂ intKj+1 Ω = j Kj định nghĩa họ nửa chuẩn pN C ∞ (Ω), N = 1, 2, sau pN = max{|Dα f (x)| : x ∈ KN , |α| ≤ N } ta tính chất nói không gian C ∞ (Ω) Một sở địa phương không gian cho tập hợp VN = {f ∈ C ∞ (Ω) : pN (f ) < }, (N = 1, 2, ) N Định nghĩa 1.1 Hợp tất không gian DK K chạy tập tất tập compact Ω , gọi không gian hàm thử Ω , ký hiệu D(Ω) Hiển nhiên D(Ω) không gian vectơ với phép cộng phép nhân với vô hướng thông thường hàm nhận giá trị phức Ta thấy hàm φ ∈ D(Ω) φ ∈ C ∞ (Ω) suppφ tập compact Ω Với φ ∈ D(Ω) ||φ||N = max{|Dα φ(x)| : x ∈ Ω, |α| ≤ N }, N = 1, 2, Định nghĩa 1.2 Cho Ω tập không rỗng mở Rn a) Với tập compact K ⊂ Ω, τK ký hiệu tôpô không gian Fréchet DK b) β tập tất tập lồi cân đối W ⊂ D(Ω) cho DK ∩ W ∈ τK với tập compact K ⊂ Ω c) τ họ tất hợp có dạng φ + W , với φ ∈ D(Ω) W ∈ β Ta chứng minh f ∈ D(Rn ), f ∈ S(Rn ); e−|x| thuộc S(Rn ) Họ {pα,β : α, β đa số } họ nửa chuẩn tách xác định S(Rn ) mô tả tôpô lồi địa phương Hơn nữa, tôpô khả mêtric S(Rn ) không gian đủ Vì vậy, S(Rn ) không gian Fréchet Và ta có: φj −→ S(Rn ) ⇐⇒ ∀α, β, pα,β −→ Ta thấy phép nhúng D(Rn ) → S(Rn ) liên tục D(Rn ) trù mật S(Rn ) với tôpô S(Rn ) nói Một kết quan trọng S(Rn ) Bổ đề 1.6.1 Biến đổi Fourier : S(Rn ) −→ S(Rn ), với n φ(ξ) = (2π)− e−ix.ξ φ(x)dx Rn ánh xạ liên tục Sau định nghĩa hàm suy rộng tăng chậm Định nghĩa 1.9 Cho u ∈ D (Rn ), u liên tục S(Rn ) ta nói u hàm suy rộng tăng chậm.Tập hợp hàm suy rộng tăng chậm ký hiệu S (Rn ) Một dãy (uj )1≤j≤∞ S (Rn ) gọi hội tụ tới hàm u ∈ S (Rn ) uj , φ → u, φ với φ ∈ S(Rn ) j → ∞ Ta có nhận xét rằng, L1 (Rn ) ⊂ S (Rn ), hàm suy rộng có giá compact D (Rn ) hàm suy rộng tăng chậm Chẳng hạn, với hàm Dirac δ δ ∈ S (Rn ) Thật vậy, Nếu u ∈ D (Rn ) có giá suppu tập compact K ⊂ Rn , ta cố định ψ ∈ D(Rn ) cho ψ = số tập compact chứa K Ta định nghĩa u˜, f = u, ψf , f ∈ S(Rn ) Nếu fj → S(Rn ) j → ∞, Dα fj hội tụ tới Rn j → ∞ Do đó, Dα (ψfj ) hội tụ tới Rn j → ∞ Điều cuối chứng tỏ u ˜ phiếm hàm tuyến tính liên tục n S(R ) Từ u˜, φ = u, φ , φ ∈ S(Rn ) u˜ mở rộng u Vậy 20 δ ∈ S (Rn ) Bây định nghĩa biến đổi Fourier hàm suy rộng tăng chậm Định nghĩa 1.10 Biến đổi Fourier hàm u ∈ S (Rn ) hàm suy rộng uˆ ∈ S (Rn ) xác định uˆ, φ = u, φˆ , φ ∈ S(Rn ) Từ bổ đề 1.6.1 ta có, φj → j → S (Rn ), φˆj → j → S(Rn ) thỏa mãn tính chất nói Nếu f ∈ L1 (Rn ), f phần tử S (Rn ), ký hiệu uf Vậy câu hỏi đặt là: có hai định nghĩa biến đổi Fourier hàm f fˆ(ξ) = Rn f (x)e−ix.ξ , ξ ∈ Rn uˆf , chúng có đồng hay không? Câu trả lời khẳng định, xem hàm suy rộng u ˆf tương ứng với hàm fˆ Ta điều sau: uˆf , φ = uf , φˆ = ˆ = f φdx Rn Rn fˆφdx = fˆ, φ , φ ∈ S(Rn ) Vậy uˆf ≡ fˆ Ví dụ 1.4 Hàm δ ∈ S (Rn ) Thật vậy, ˆ = ˆ φ = δ, φˆ = φ(0) δ, e−ix.0 φ(x)dx Rn = φ(x)dx = Rn φ(x)dx = 1, φ Rn Từ đó, ta có δˆ = Ví dụ 1.5 Từ ví dụ trên, ta thấy ∈ S (Rn ) Hãy tính ˆ Ta có ˆ φ(ξ)dξ = (2π)n [ (2π)n Rn = (2π)n φ(0) = (2π)n δ, φ ˆ1, φ = 1, φˆ = 21 eiξ.0 φ(ξ)dξ] Rn Ở ta sử dụng biến đổi Fourier nghịch đảo φ(x) = (2π)n ˆ eiξ.x φ(ξ)dξ Rn Vậy ta có ˆ = (2π)n δ 22 Chương Tích hai hàm suy rộng 2.1 Tích hàm trơn hàm suy rộng Định nghĩa 2.1 Cho hàm trơn f ∈ C∞ (Ω) hàm suy rộng u ∈ D (Ω) Tích hàm f u, ký hiệu f u xác định sau f u, φ = u, f φ ∀φ ∈ D(Ω) Không khó để chứng minh vế phải đẳng thức hàm suy rộng Thật vậy, rõ ràng f ∈ C∞ (Ω) ∀φ ∈ D(Ω), φ ∈ C∞ (Ω) suppφ ⊂ K, K tập compact Do f φ ∈ C∞ (Ω) supp(f φ) ⊂ suppφ ⊂ K ⊂ Ω, hay sup|∂ α (f φ|) u, f φ ≤ c |α|≤N Ví dụ 2.1 Nếu δ ∈ D (R) x.δ = Thật vậy, +∞ xδ, φ = δ, xφ = δ(x).(xφ)(x)dx −∞ δ(x) = x = 0, δ(x) = ∞ x = 0, nên xδ, φ = δ(0).(xφ)(0) = 0.φ(0) = 0, ∀φ ∈ D(R) Vậy x.δ = 23 Ví dụ 2.2 Nếu u = 1 ∈ D (R), ta x = x x Ở đây, rõ ràng f (x) = x ∈ C ∞ (R) Ta có f u, φ = u, f φ , ∀φ ∈ D(R), hay +∞ x , φ x = , xφ x (xφ)(x)dx x = −∞ +∞ x.φ(x) x.φ(x) dx + dx = x x −∞  −  +∞ x.φ(x) x.φ(x)  = lim+  dx + dx →0 x x −∞ +∞ = +∞ φ(x)dx = −∞ 1.φ(x)dx −∞ = 1, φ , ∀φ ∈ D(R) = x Tích hàm trơn hàm suy rộng thỏa mãn công thức Leibnizt lấy đạo hàm Vậy x Định lý 2.1 Cho f ∈ C ∞ (Ω), u ∈ R α đa số tùy ý Thế ta có α! ∂ α (f u) = ∂ β f ∂ α−β u, β!(α − β)! β≤α α! = α1 !α2 ! αn ! α = (α1 , α2 , , αn ) Ngoài việc lấy tích hàm trơn hàm suy rộng trên, người ta lấy tích hai hàm suy rộng với đơn vị 2.2 Tích hai hàm suy rộng 2.2.1 Phương pháp quy tiến qua giới hạn Định nghĩa 2.2 δ - dãy 24 m Một δ - dãy dãy (δn )+∞ n=1 phần tử R , (m = 1, 2, ) cho: a) suppδn ⊂ {x ∈ Rn : ||x|| < αn }, với αn → n → ∞ b) Rm δn (x)dx = (hoặc tiến tới n → ∞) Nhìn cách trực quan, δ - dãy dãy tiến tới hàm Delta Dirac δ (hay độ đo Dirac) gốc Rm Trong vài trường hợp ta phải định nghĩa bổ sung thêm tính chất δ - dãy, vài ví dụ tính chất bổ sung định nghĩa δ - dãy, chẳng hạn: c1 ) Trường hợp m = 1, tính chất bổ sung (theo Mikusinski): sup |xk+1 (δn )k (x)| < +∞, ∀k = 0, 1, x∈R,n∈N Hoặc c2 ) Theo Antosik, Mikusinski Sikorski: δn (x) ≥ 0, ∀x ∈ Rm , ∀n ∈ N Hoặc c3 ) Theo Itano: sup n∈N Rm |xk ∂ k (δn(k) )(x)| < +∞, ∀k = 0, 1, Ta ý rằng, cho S, T ∈ D (Rm ) hai hàm suy rộng cho trước Từ lý thuyết hàm suy rộng, tích chập S ∗ δn T ∗ δn thuộc C ∞ (Rm ) Hơn nữa, lim δn = δ D (Rm ) nên lim T ∗ δn = T lim S ∗ δn = S n→∞ m n→∞ n→∞ D (R ) Ta có Định nghĩa 2.3 (theo Mikusinski) Ta nói S T nhân với với tích S.T ∈ D (Rm ), với δ - dãy δn (S ∗ δn ).(T ∗ δn ) hội tụ D (Rm ) n → ∞ tới giới hạn độc lập với δn Với định nghĩa tích hai hàm suy rộng Mikusinski ta lấy tích hai hàm suy rộng Tuy lúc ta thực Ta có mệnh đề sau Mệnh đề 2.2.1 Không tồn tích (δ)2 D (R) theo nghĩa Định nghĩa 2.3 25 Chứng minh Cho trước hàm φ ∈ D(R) với suppφ ∈ [−1, 1] +∞ R φ(x)dx = Dãy (δn )n=1 cho (δn )(x) = n.φ(nx) δ - dãy Ta có (δ ∗ δn )(x) = δn )(x) = n.φ(nx) Vì vậy, ψ ∈ D(R) n2 [φ(nx)]2 ψ(x)dx (δ ∗ δn )2 , ψ = R Nếu ψ ≡ lân cận 0, n2 [φ(nx)]2 ψ(x)dx R n2 [φ(nx)]2 dx = n R [φ(nx)]2 dx R mà [φ(nx)]2 dx → +∞ n R R [φ(nx)] dx = n → +∞ Vì (δ)2 không tồn theo nghĩa Ví dụ 2.3 Theo Định nghĩa 2.3 1 δ = − δ x Thật vậy, φ ∈ D(R) ta đặt δn− (x) = δn (−x), ∀n = 1, 2, Khi 1 ( ∗ δn ).(δ ∗ δn ), φ = ( ∗ δn ).δn , φ = ( ∗ δn ), δn φ x x x − = , δ ∗ δn φ (2.1) x n Ta khai triển φ(x) = φ(0) + xφ (0) + x2 ψ(x), ( ∗ δn ).(δ ∗ δn ), φ x + = φ(0) − − , δn ∗ δn + φ (0) , δ ∗ (xδn ) x x n − , δn ∗ (x2 ψ)δn x 26 Vì δn− ∗ δn hàm chẵn, nên hạng tử biểu thức Hạng tử cuối tiến tới n → ∞ Đối với hạng tử thứ hai, ta đặt αn = δn− ∗ (xδn ) Khi +∞ − , δ ∗ (xδn ) φ (0) x n αn (x)dx, x = −∞ αn− = δn ∗ ((−x)δn− ) = −x(δn ∗ δn− ) + (xδn ∗ δn− ) Vì vậy, ψ1 ψ2 thuộc L1 (R) x(ψ1 ∗ ψ2 ) = (xψ1 ) ∗ ψ2 + ψ1 (xψ2 ), αn − αn− = x(δn ∗ δn− ), 1 1 1 , αn = , αn + αn− + , αn − αn− = , αn − αn− x x x x − Từ đó, αn + αn hàm chẵn Do đó, +∞ ( , αn ) x = +∞ 1 (αn (x) − αn− (x))dx = x −∞ −∞ Từ δn ∈ D(R), n = 1, 2, lim n→∞ (δn ∗ δn− )(x)dx = ( ∗ δn ).(δ ∗ δn ), φ x R δn (x)dx = Ta có 1 = φ (0) = − δ , φ , ∀φ ∈ D(R) 2 Hay 1 lim ( ∗ δn )(δ ∗ δn ) = − δ n→∞ x D (R) theo nghĩa Định nghĩa 2.3 Như cách định nghĩa Mikusinski chưa giải triệt để việc lấy tích hai hàm suy rộng Bây nói đề cập tới định nghĩa khác tích hai hàm suy rộng dựa biến đổi Fourier 2.2.2 Phương pháp Fourier Nếu u ∈ D (Rm ), ta định nghĩa biến đổi Fourier u (ký hiệu u∧ uˆ) u∧ (ξ) = u(x), e−ix.ξ , biển đổi Fourier nghịch đảo u u∨ : u∨ (ξ) = u(ξ), eiξ.x m (2π) 27 Ta đặt M (Rm ) tập tất cặp (u, v) ∈ D (Rm )xD (Rm ) cho với x ∈ Rm , tồn lân cận Ωx x cho ∀ω, ψ ∈ D(Ωx ) điều kiện sau thỏa mãn: 1) (ωu)∧ (ψv)∨ khả tích Rm , 2) 3) ∧ ∨ Rm (ωu) (ψv) dx Rm = ∧ ∨ Rm (ωv) (ψu) dx |(ωu)∧ (ψv)∨ |dx hàm liên tục ω ∈ D(Ωx ) Với cặp u, v ta định nghĩa tích u v , ký hiệu u.v sau: Định nghĩa 2.4 Nếu (u, v) ∈ M (Rm ), tích u v D(Ωx ), xác định địa phương Ωx , sau: Với ω ∈ D(Ωx ), cho ψ ∈ D(Ωx ) với ψ = suppω Thì (ωu)∧ (ψv)∨ dx uv, ω = Rm Theo điều kiện 1) tích phân vế phải xác định Hơn nữa, theo 2) tích độc lập với cách chọn ψ Thật vậy, ψ1 ψ2 đóng vai trò ψ , ta có (ωu)∧ (ψ1 v)∨ dx = Rm (ωψ2 u)∧ (ψ1 v)∨ dx = Rm (ωu)∧ (ψ1 ψ2 v)∨ dx Rm (ψ1 ωu)∧ (ψ2 v)∨ dx = = Rm (ωu)∧ (ψ2 v)∨ dx Rm Một câu hỏi đặt ra, với định nghĩa (δ)2 δ có tồn hay x không? Câu trả lời nằm kết sau: Mệnh đề 2.2.2 Trong D (Rm ), không tồn (δ)2 theo nghĩa Định nghĩa 2.4 Chứng minh Ta chọn x = 0, ω ψ ∈ D(Ω0 ) cho ω(0) = ψ(0) = 1, ψ = suppω , Ω0 lân cận Giả sử δ ∈ M (R), (ωδ)∧ (ψδ)∨ khả tích R Hơn nữa, ta có (ωδ)∧ = 1, 1 (ψδ)∨ = Vì khả tích R, điều vô lý Hay δ ∈ / M (R) 2π 2π Vậy không tồn (δ)2 theo nghĩa Định nghĩa 2.4 28 Mệnh đề 2.2.3 Trong D (Rn ), không tồn tích δ theo nghĩa Định x nghĩa 2.4 δ , ta chọn Ω0 lân x cận ω, ψ ∈ D(Ω0 ) cho ω(0) = ψ(0) = suppω Vì với u ∈ D (R) tùy ý, ta có Chứng minh Giả sử trái lại, tồn |(ωu)∧ (ψδ)∨ |dx < ∞, (u, δ) ∈ M (R) ⇒ R 2π Từ đó, dựa tính chất biến đổi Fourier, ta có ωu hàm liên tục R Chọn ω = lân cận 0, hạn chế u lân cận làm liên tục Tuy nhiên, rõ ràng điều sai trường hợp u = x Tiếp theo, so sánh hai phương pháp định nghĩa tích hai hàm suy rộng ∧ ∨ R |(ωu) |dx < ∞, (ψδ) = hay Định lý 2.2 Nếu u, v ∈ D (Rm ) giả sử tồn tích u.v theo phương pháp Fourier, tích u.v tồn theo phương pháp quy tiến qua giới hạn với δ − dãy cho δn (x) ≥ 0; hai tích Nếu (dn ) (en ) hai δ − dãy (với định nghĩa: (δn )là δ − dãy suppδn → n → +∞, Rm δn (x)dx = δn ≥ 0) (ωu)∧ (ψv)∨ dx = lim Rm n→+∞ (u ∗ dn )(v ∗ en )ωdx Rm ψ ≡ suppω Để chứng minh định lý ta sử dụng bổ đề sau Bổ đề 2.2.1 Cho K tập compact Rm Thì ∀ > 0, ∃N ∈ N ta có |(dˆn ) − 1| < K với n > N Bổ đề 2.2.2 Cho u.v , (dn ) (en ) Khi đó, ∀ > 0, ∃N ∈ N cho, n > N [(φ(u ∗ dn ))∧ (ψ(v ∗ en ))∨ − ((φu) ∗ dn )∧ ((ψv) ∗ en )∨ ]dx| < | Rm 29 Chứng minh định lý 2.1 > theo Chọn (u ∗ dn )(v ∗ en )ωdx = Rm ω(u ∗ dn )ψ(v ∗ en )dx Rm [ω(u ∗ dn )]∧ [ψ(v ∗ en )]∨ dx = (2.2) Rm Sử dụng bổ đề 2.2.2, chọn N1 cho n > N1 ta có [ω(u ∗ dn )]∧ [ψ(v ∗ en )]∨ dx − | Rm [(ωu) ∗ dn ]∧ [(ψv) ∗ en ]∨ dx| < Rm Từ tính chất (dn ) (en ) ta có sup |dˆn (ξ)| < +∞ sup |ˆ en (ξ)| < +∞ n,ξ n,ξ Từ điều này, với bổ đề 2.2.1 (ωu)∧ (ψv)∨ khả tích, nên có số N2 cho n ≥ N2 (ωu)∧ (ψv)∨ dx − | Rm [ω(u ∗ dn )]∧ [ψ(v ∗ en )]∨ dx| < Rm Vì vậy, với n > N = max(N1 , N2 ) từ điều ta thấy (ωu)∧ (ψv)∨ dx − | Rm [ω(u ∗ dn )]∧ [ψ(v ∗ en )]∨ dx| < Rm > túy ý từ (2.2), định lý 2.1 chứng minh Giữa định nghĩa Mikusinski định nghĩa khai triển Fourier có tương thích với Ta có u, v ∈ D (Rm ) tồn tích u.v theo Định nghĩa 2.3 tồn theo Định nghĩa 2.4 với dãy Delta cho δn (x) ≥ hai tích Mặc dù nhà toán học cố gắng xây dựng những định nghĩa cho tích hai hàm suy rộng Các cách tự nhiên rõ ràng chưa giải triệt để vấn đề tích hai hàm suy rộng Vẫn có nghịch lý việc lấy tích hai hàm suy rộng Chẳng hạn, ta có x = x.δ = D (Ω) x Nếu ta áp dụng D(R) ta có: Do 1 δ = ( x).δ = (x.δ) = 0(!) x x 30 Một ví dụ khác hàm Heaviside H(x) Ta biết H n = H, n = 1, 2, , H = H = H Từ ta có H = 2H.H = 3H H = 3H.H H = 2H.H = ⇒ H = δ D (R) 2.3 Kết Schwartz Lý thuyết hàm suy rộng L Schwartz xây dựng thành công sử dụng rộng rãi, lý thuyết có nhược điểm cho phép toán tuyến tính Nói cách khác, phép nhân không thực hoàn toàn Ông khẳng định Định lý 2.3 Cho A đại số có chứa đại số C (R) tất hàm liên tục R đại số Giả sử hàm ∈ C (R) phần tử đơn vị đại số A, giả sử tồn ánh xạ tuyến tính ∂ : A −→ A mở rộng hàm khả vi liên tục thỏa mãn quy tắc Leibnizt ∂(ab) = ∂a.b + a.∂b, ∂ (|x|) = Chứng minh Ta có ∂(x|x|) = ∂(x).|x| + x.∂(|x|) = |x| + x.∂(|x|) ∂ (x|x|) = 2.∂(|x|) + x.∂ (|x|) Mặt khác, C (R), A ∂(x|x|) = 2.∂(|x|) Do đó, ∂ (x|x|) = 2.∂(|x|), nên x.∂ (|x|) = Bây giờ, sử dụng kết quả: Trong A, xa = 0, a = 0”, ta thu ∂ (|x|) = Chúng ta kết cuối sau: Ta thấy hàm x(log |x| − 1) x2 (log |x| − 1) ∈ C (R) cách cho giá trị hàm Sử dụng quy tắc Leibnizt A, ta có ∂ {x(log |x| − 1)x} = ∂ {x(log |x| − 1)} x + x(log |x| − 1) Do đó, ∂ {x(log |x| − 1)x} = ∂ {x(log |x| − 1)} x + 2.∂ {x(log |x| − 1)} 31 hay ∂ {x(log |x| − 1)} x = ∂ {x(log |x| − 1)x} − 2.∂ {x(log |x| − 1)} Nhưng, từ ∂ trùng với toán tử đạo hàm thông thường lớp hàm thuộc C (R) x2 (log |x| − 1) ∈ C (R), ta có ∂ x2 (log |x| − 1) = 2x(log |x| − 1) + x Vì vậy, A ta có ∂ x2 (log |x| − 1) = 2.∂ {x(log |x| − 1)} + hay ∂ {x(log |x| − 1)} x = Để đơn giản, đặt y = ∂ {x(log |x| − 1)}, y.x = 1; a.x = ⇒ y.(x.a) = ⇒ 1.a = ⇒ a = Do x.∂(|x|) = nên ∂ (|x|) = Vậy ta thu điều phải chứng minh Nếu có đại số A chứa D (R) mà quy tắc Leibnizt thỏa mãn, từ ∂ (|x|) = 2δ D (R) kết hợp với điều vừa chứng minh ta suy δ = Đó điều vô lý ! Mâu thuẫn chứng tỏ xây dựng đại số chứa D (R) mà công thức Leibnizt thỏa mãn Nó giải thích cho hiểu kết goi Kết Schwartz Việc lấy tích hai hàm suy rộng có ý nghĩa lớn việc giải số phương trình đạo hàm riêng Tới năm 1980 J F Colombeau xây dựng lý thuyết hàm suy rộng ông xây dựng đại số Colombeau phép nhân hai hàm suy rộng giải triệt để 32 Kết luận Trong khóa luận em trình bày nội dung lý thuyết hàm suy rộng trình bày phép lấy tích hai hàm suy rộng theo J F Colombeau phục vụ mục đích giải toán phương trình đạo hàm riêng không tuyến tính, giúp việc nghiên cứu lý thuyết phương trình đạo hàm riêng mềm dẻo tổng quát Nội dung khóa luận trình bày được: Chương Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày khái niệm hàm suy rộng: không gian hàm bản, không gian hàm suy rộng theo nghĩa Schwartz khái niệm liên quan Chương Tích hai hàm suy rộng Chương trình bày tích hai hàm suy rộng, phương pháp định nghĩa so sánh Cuối kết Schwartz Tuy nhiên thời gian thực khóa luận không nhiều có sai sót Em mong nhận góp ý quý thầy cô bạn đọc Xin chân thành cảm ơn ! Hà Nội, tháng 05 năm 2011 Tác giả Bùi Kim My Tài liệu tham khảo [1] J F Colombeau, (1984) New generalized functions and multiplications of distribution, North Holland, Math Studies 84 Amsterdam [2] W.Rudin (1985), Functional analysis, Tata Macu Graw - Hill, Inc., New Delhi [3] Fran¸cois Treves, (1975), Basic linear partial differential equations, Academic Press, New York [4] Tạ Ngọc Trí, (2004) The Colombeau theory of generalized functions, KdV institute, Facutly of science University of Amsterdam The Netherlands [5] http://datuan5pdes.wordpress.com 34 [...]... u|K = 0 Nếu u có suppu là tập compact trong Ω thì ta nói u là hàm suy rộng có giá compact Tập hợp các hàm suy rộng có giá compact được ký hiệu bởi E (Ω) 1.4 Đạo hàm của hàm suy rộng Định nghĩa 1.5 Cho u ∈ D (Ω) thì phi m hàm tuyến tính ∂ α u, φ = (−1)|α| ∂ α u, φ , φ ∈ D(Ω), α là đa chỉ số, được gọi là đạo hàm suy rộng cấp α của hàm suy rộng u và được kí hiệu là ∂ α u Nếu |uφ| ≤ C||φ|| với mọi φ ∈... (Ω), 1 ≤ p ≤ ∞ cũng là các hàm suy rộng, với f, φ = f (x)φ(x)dx Ω 3 Hàm Dirac δ : D(Rn ) −→ C, φ −→ δ, φ = φ(0) Ở đây φ ∈ D(Rn ) nên φ là hàm khả vi liên tục mọi cấp và suppφ ⊂ K − compact ⊂ Rn cũng là một hàm suy rộng Vì | δ, φ | = |φ(0)| ≤ 1.sup|φ(x)|, ∀φ ∈ D(Rn ) mà suppφ ⊂ K , K − compact ⊂ Rn Vì vậy δ là một hàm suy rộng (gọi là hàm suy rộng Dirac hay hàm Delta Dirac) 4 Hàm |x| : D(R) −→ C Với |x|φ(x)dx,... nghĩa hàm suy rộng tăng chậm Định nghĩa 1.9 Cho u ∈ D (Rn ), nếu u liên tục trên S(Rn ) thì ta nói u là một hàm suy rộng tăng chậm.Tập hợp các hàm suy rộng tăng chậm ký hiệu là S (Rn ) Một dãy (uj )1≤j≤∞ trong S (Rn ) gọi là hội tụ tới hàm u ∈ S (Rn ) nếu uj , φ → u, φ với mọi φ ∈ S(Rn ) khi j → ∞ Ta có nhận xét rằng, L1 (Rn ) ⊂ S (Rn ), và các hàm suy rộng có giá compact trong D (Rn ) là hàm suy rộng. .. c sup |φ(x)|, ∀φ ∈ D(R) K Vậy |x| là một hàm suy rộng Định lý 1.4 Một phi m hàm tuyến tính u xác định trên D(Ω) là một hàm suy rộng nếu và chỉ nếu lim u, φj = 0 j→∞ 13 với mọi dãy (φj ) hội tụ tới 0 trong D(Ω) khi j → ∞ Định nghĩa 1.4 Cho u ∈ D (Ω) 1 Hàm suy rộng u được gọi là bằng 0 trên tập mở K ⊂ Ω, ký hiệu u|K = 0 nếu u, φ = 0, ∀φ ∈ D(K) 2 Giá của hàm suy rộng u được ký hiệu suppu và được xác định... φ(ξ)dξ Rn Vậy ta có ˆ 1 = (2π)n δ 22 Chương 2 Tích hai hàm suy rộng 2.1 Tích của một hàm trơn và một hàm suy rộng Định nghĩa 2.1 Cho một hàm trơn f ∈ C∞ (Ω) và một hàm suy rộng u ∈ D (Ω) Tích của hàm f và u, được ký hiệu là f u và được xác định như sau f u, φ = u, f φ ∀φ ∈ D(Ω) Không khó để chứng minh vế phải của đẳng thức trên là một hàm suy rộng Thật vậy, rõ ràng nếu f ∈ C∞ (Ω) và ∀φ ∈ D(Ω), thì... thuyết hàm suy rộng mới và ông cũng xây dựng đại số Colombeau trong đó phép nhân hai hàm suy rộng được giải quyết triệt để 32 Kết luận Trong khóa luận này em đã trình bày nội dung cơ bản của lý thuyết hàm suy rộng và trình bày phép lấy tích của hai hàm suy rộng theo J F Colombeau phục vụ mục đích giải bài toán phương trình đạo hàm riêng không tuyến tính, giúp việc nghiên cứu lý thuyết phương trình đạo hàm. .. , và hàm này là một phần tử của C ∞ (Rn ) 17 Trong lý thuyết hàm suy rộng tích chập của hai hàm suy rộng là một công cụ mạnh và được định nghĩa như sau Định nghĩa 1.6 Nếu u, v ∈ D (Rn ), ta gọi tích chập của u và v , ký hiệu là u ∗ v là phi m hàm tuyến tính sau u ∗ v, φ = u(y), v(x), φ(x + y) , trong đó φ ∈ D(Rn ), mỗi khi u, ψ với ψ(y) = v(x), φ(x + y) Dựa vào định nghĩa trên thì phi m hàm tuyến. .. khóa luận đã trình bày được: Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Chương này trình bày về các khái niệm cơ bản của hàm suy rộng: không gian các hàm cơ bản, không gian các hàm suy rộng theo nghĩa Schwartz và các khái niệm liên quan Chương 2 Tích của hai hàm suy rộng Chương này trình bày về tích của hai hàm suy rộng, các phương pháp định nghĩa và so sánh Cuối cùng là kết quả không thể của Schwartz Tuy nhiên do thời... x Tích của một hàm trơn và một hàm suy rộng cũng thỏa mãn công thức Leibnizt về lấy đạo hàm Vậy x Định lý 2.1 Cho f ∈ C ∞ (Ω), u ∈ R và α là một đa chỉ số tùy ý Thế thì ta có α! ∂ α (f u) = ∂ β f ∂ α−β u, β!(α − β)! β≤α trong đó α! = α1 !α2 ! αn ! nếu α = (α1 , α2 , , αn ) Ngoài việc lấy tích của một hàm trơn và một hàm suy rộng như ở trên, người ta còn có thể lấy tích của hai hàm suy rộng bất kì với... Một dạng tuyến tính (hay một phi m hàm tuyến tính) u : D(Ω) −→ C gọi là một hàm suy rộng (theo nghĩa Schwartz) xác định trên Ω , nếu với mọi tập compact K ⊂ Ω , có một số thực c ≥ 0 và một số nguyên không âm N sao cho sup|∂ α φ|, ∀φ ∈ D(Ω) | u, φ | ≤ |α|≤N với suppφ ⊂ K Tập tất cả các hàm suy rộng xác định trên Ω lập thành một không gian, gọi là không gian các hàm suy rộng trên Ω , và ký hiệu là D (Ω) ... thuyết hàm suy rộng Ngày nay, lý thuyết hàm suy rộng phát triển ứng dụng nhiều ngành khoa học Để tìm hiểu lý thuyết hàm suy rộng hướng dẫn TS Tạ Ngọc Trí em chọn đề tài "Hàm suy rộng phi tuyến ... ký hiệu E (Ω) 1.4 Đạo hàm hàm suy rộng Định nghĩa 1.5 Cho u ∈ D (Ω) phi m hàm tuyến tính ∂ α u, φ = (−1)|α| ∂ α u, φ , φ ∈ D(Ω), α đa số, gọi đạo hàm suy rộng cấp α hàm suy rộng u kí hiệu ∂ α u... K Vậy |x| hàm suy rộng Định lý 1.4 Một phi m hàm tuyến tính u xác định D(Ω) hàm suy rộng lim u, φj = j→∞ 13 với dãy (φj ) hội tụ tới D(Ω) j → ∞ Định nghĩa 1.4 Cho u ∈ D (Ω) Hàm suy rộng u gọi