SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NAM KỲ THI OLIMPIC LỚP 11 CẤP TỈNH Năm học 2016 – 2017 Mơn thi : TỐN Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) Ngày thi : 25/3/2017 ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (3,0 điểm) Giải phương trình sau: π a) cos x + ÷+ sin x − = 3 b) 3(sin x + cos x) − cos x − sin x = Câu (4,0 điểm) a) Chứng minh bất đẳng thức sau phương pháp quy nạp: n n +1 > (n + 1) n , ∀n ∈ N , n ≥ u1 = b) Cho dãy số (un ) thỏa: 4u + u u − 6u = 0, ∀n ∈ N * n n +1 n +1 n Tìm số hạng tổng quát (un ) tính lim un Câu (4,0 điểm) a) Từ 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, lập số tự nhiên thỏa: số có chữ số, có chữ số lẻ khác chữ số chẵn khác mà chữ số chẵn có mặt lần b) Một đa giác có 24 đỉnh, tất cạnh đa giác sơn màu xanh tất đường chéo đa giác sơn màu đỏ Gọi X tập hợp tất tam giác có ba đỉnh đỉnh đa giác Người ta chọn ngẫu nhiên từ X tam giác, tính xác suất để chọn tam giác có ba cạnh màu 5x + − − x − x −1 f ( x ) = Câu (2,0 điểm) Cho hàm số m.sin π x + 2017π ÷ x < x ≥ Tìm giá trị m để hàm số f ( x) liên tục x = Câu (3,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có trọng tâm G (1;0) trực tâm H Phương trình đường tròn qua ba trung điểm ba cạnh HA , HB , HC 2 5 1 25 Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC x− ÷ + y− ÷ = 6 18 Câu (4,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật tâm O, AB = a, BC = a , SA = 3a Hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vng góc với mặt phẳng (ABCD); M trung điểm OB a) Gọi ϕ góc đường thẳng SO mặt phẳng (SCD) Tính sin ϕ b) Tính khoảng cách hai đường thẳng SB CM theo a Page –––––––––––– Hết –––––––––––– Họ tên thí sinh: … …………………………………….; Số báo danh: …………………… Page SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NAM KỲ THI OLIMPIC LỚP 11 CẤP TỈNH Năm học 2016 – 2017 ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM Mơn thi: TỐN (Đáp án – Thang điểm gồm 06 trang) Câu (3,0 điểm) a π cos x + ÷+ 2sin x − = 3 1,5 π π π cos x + ÷+ 2sin x − = ⇔ cos x.cos − sin x.sin ÷+ 2sin x − = 3 3 0.25 ⇔ cos x − 3.sin x + 2sin x − = ⇔ −2sin x − sin x.cos x + 2sin x = 0.25 ⇔ −2sin x(sin x + 3.cos x − 1) = sin x = ⇔ sin x + 3.cos x − = • sin x = ⇔ x = k.π π sin x + 3.cos x − = ⇔ sin( x + ) = π x = − + k 2π ⇔ x = π + k 2π π π Vậy phương trình có nghiệm là: x = k π , x = − + k 2π , x = + k 2π 0.25 0.25 • b 3(sin x + cos x) − cos x − sin x = 3(sin x + cos x) − cos x − sin x = ⇔ 3(2.sin x.cos x + cos x) − (2 cos x − 1) − sin x = 0.25 0.25 1,5 0.25 ⇔ 3.sin x.cos x + cos x − sin x = + cos x ⇔ (3.cos x − cos x.sin x + sin x) − ( cos x − sin x) = 0.25 ⇔ ( cos x − sin x) − ( cos x − sin x) = 0.25 Page cos x − sin x = ⇔ cos x − sin x = π π * cos x − sin x = ⇔ cos( x + ) = ⇔ x = + k.π π 3.cos x − sin x = ⇔ cos( x + ) = • π x = + k 2π ⇔ x = − π + k 2π π π π Vậy phương trình có nghiệm là: x = + k π , x = + k 2π , x = − + k 2π 0.25 0.25 0.25 Câu (4,0 điểm) a Chứng minh bất đẳng thức sau phương pháp quy nạp: n n +1 > (n + 1) n , ∀n ∈ N , n ≥ - Xét n = : Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 81 > 64 (đúng) - Giả sử bất đẳng với số tự nhiên k tùy ý ( k ≥ ) tức là: k k +1 > (k + 1) k + Ta chứng minh bất đẳng thức cho với n = k + , tức chứng minh (k + 1) k + > ( k + 2) k +1 (1) k k +1 >1 (k + 1) k Do để chứng minh (1), ta cần chứng minh: k k +1 k +2 k +1 (k + 1) > ( k + 2) (2) (k + 1) k k k +1 k +1 k +2 k +1 ⇔ ( k + 1) k + > [ k ( k + 2) ] Ta có: (k + 1) > (k + 2) k (k + 1) k +1 k Từ giả thiết quy nạp ta có: k > (k + 1) ⇔ ⇔ (k + 1) k +1 > [ k (k + 2)] k +1 ⇔ (k + 2k + 1) k +1 > (k + 2k ) k +1 (đúng) Suy (1) đúng, hay bất đẳng thức cho với n = k + Vậy bất đẳng thức cho với số thự nhiên n thỏa n ≥ b u1 = Cho dãy số (un ) thỏa: 4u + u u − 6u = 0, ∀n ∈ N * n n +1 n +1 n 2,0 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 2,0 Tìm số hạng tổng quát (un ) tính lim un Page 4un +1 + un +1.un − 6un = ⇔ un +1 (4 + un ) = 6un ⇔ un +1 = 6un + un 0.25 * Dễ dàng chứng minh un > 0, ∀n ∈ N 6un 1 2 1 ⇔ − = − ÷ (1) + un un +1 un n −1 n −1 1 2 2 Đặt = − ; từ (1) suy ra: +1 = ⇒ = v1 ÷ = ÷ un 3 3 Do un +1 = n −1 1 2 − = Suy ra: un ÷ ⇔ un = 0.5 0.5 n −1 2 + ÷ 3 ÷ ÷= Do lim un = lim n −1 ÷ + ÷ ÷ 3 0.5 0.25 Page Câu (4,0 điểm) a b Từ 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, lập số tự nhiên thỏa: số có chữ số, có chữ số lẻ khác chữ số chẵn khác mà chữ số chẵn có mặt lần 2,0 * Bước 1: Xét số có chữ số , có hai chữ số lẻ khác chữ số chẵn khác mà chữ số chẵn có mặt hai lần (kể số có chữ số đứng đầu) - Từ 10 chữ số chọn chữ số khác gồm số lẻ số chẵn có C5 C5 cách chọn 0.25 + Với cách chọn ta có: số số có chữ số có chữ số lẻ khác 0.5 8! chữ số chẵn khác mà chữ số chẵn có mặt hai lần số 2!2!2! 8! 3 0.25 = 504000 số (kể số + Vậy với C5 C5 cách chọn ta tạo C5 C5 2!2!2! đứng đầu tiên) * Bước 2: Xét số thoả mãn điều kiện bước mà có chữ số đứng đầu - Từ số cho (bỏ số 0) chọn số khác gồm số lẻ số chẵn (vì có số 2 0.25 đứng đầu) có C5 C4 cách chọn + Với cách chọn ta có: số số có chữ số có số đứng đầu, có mặt chữ số lẻ khác nhau, chữ số chẵn khác chữ số chẵn khác có mặt 0.25 7! hai lần số 2!2! 7! 2 2 = 75600 số ( bước 2) + Vậy với C5 C4 cách chọn ta tạo C5 C4 2!2! 0.25 * Từ bước suy số số thoả đề là: 504000 − 75600 = 428400 số 0.25 b) Một đa giác có 24 đỉnh, tất cạnh đa giác sơn màu xanh tất đường chéo đa giác sơn màu đỏ Gọi X tập hợp tất tam giác có ba đỉnh 2,0 đỉnh đa giác Người ta chọn ngẫu nhiên từ X tam giác, tính xác suất để chọn tam giác có ba cạnh màu Gọi đa giác A1A2 A24 0.25 Số phần tử không gian mẫu n(Ω)= C324 =2024 0.25 Gọi A biến cố chọn tam giác có ba cạnh màu, ba cạnh màu đỏ Gọi B biến cố chọn tam giác có cạnh màu xanh (cạnh đa giác) 0.25 Giả sử xét cạnh màu xanh A1A2, ta có 20 cách chọn đỉnh Ai ( Ai ∈ {A4; A5; ;A23}) 0.25 Nên số phần tử B n(B) = 24.20 = 480 Gọi C biến có chọn tam giác có hai cạnh màu xanh, tam giác có hai cạnh hai cạnh liên tiếp đa giác, nên n(C) = 24 0.25 Ta có n(A) + n(B) + n(C) = n( Ω ) 0.25 Suy số phần tử biến cố A 0.25 n ( A ) = n(Ω) − n(B) − n ( C ) = 2024 − 480 − 24 = 1520 Vậy xác suất biến cố A P(A)= n(A) 190 = n(Ω) 253 0.25 Câu (2,0 điểm) Page 5x + − − x −1 x −1 Cho hàm số f ( x) = m.sin π x + 2017π ÷ x < x ≥ Tìm giá trị m để hàm số f ( x) liên tục x = π f (1) = m.sin + 2017π ÷ = − m 2 0,25 lim f ( x) = −m 0,25 x + − − x − ( x + − 2) − ( − x − 1) lim− f ( x) = lim− = lim ÷ x →1− ÷− x − ÷ ÷ x →1 x →1 x − x − 0,25 x →1+ + Tính được: lim − x →1 5x + − = x −1 12 0,5 − x −1 =− x →1 x −1 11 Suy lim− f ( x) = x →1 12 Để f ( x) liên tục x = lim+ f ( x) = lim− f ( x) = f (1) + Tính được: lim − x →1 Suy ra: m = − x →1 0,25 0,25 0,25 11 giá trị cần tìm 12 Câu (3,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có trọng tâm G (1;0) trực tâm H Phương trình đường tròn qua ba trung điểm ba cạnh HA , HB , HC 2 5 1 25 Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC x− ÷ + y− ÷ = 6 18 Page - Gọi M, N, P trung điểm cạnh BC, CA, AB - Gọi I, E, F trung điểm cạnh HA, HB, HC + CH ⊥ IE CH / / ME Suy ME ⊥ IE (1) + Tương tự, chứng minh MF ⊥ IF (2) 0.5 0.25 Từ (1) (2) suy M nằm đường tròn ngoại tiếp tam giác IEF 0.25 - Tương tự, N P nằm đường tròn ngoại tiếp tam giác IEF Suy sáu điểm: M, N, P, I, E, F nằm đường tròn 0.25 0.25 Như đường tròn qua I;E;F qua ba trung điểm ba cạnh Do xét phép vị tự tâm G tỉ số k = −2 biến đường tròn (IEF) thành đường tròn (ABC) 0.25 6 Ta có đường tròn (IEF) có tâm O1 ( ; ) bán kính R1 = uuuur uuuu r 0.25 −1 ) 3 Gọi O2 tâm đường tròn (ABC) ta có: GO2 = −2GO1 , ta tìm O2 ( ' 0.5 Khi phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC 2 4 50 là: x − ÷ + y + ÷ = 3 3 0.25 Bán kính R2 = 0.25 Câu (4,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật tâm O, AB = a, BC = a , SA = 3a Hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vng góc với mặt phẳng (ABCD); M trung điểm OB a) Gọi ϕ góc đường thẳng SO mặt phẳng (SCD) Tính sin ϕ b) Tính khoảng cách hai đường thẳng SB CM theo a Page (Hình vẽ phục vụ câu a - 0,5 điểm) a Gọi ϕ góc đường thẳng SO mặt phẳng (SCD) Tính sin ϕ + Lập luận SA vng góc với (ABCD) + Gọi H là hình chiếu vng góc A lên SD + Chứng minh AH vng góc với (SCD) + Gọi E trung điểm CH Suy OE ⊥ (SCD) + Suy hình chiếu vng góc SO lên (SCD) SE · · + Suy góc SO (SCD) góc OSE , hay ϕ = OSE OE · = +Trong tam giác vuông SOE E có: sin ϕ = sin OSE OS 0,25 1 1 3a 3a = + = + = ⇒ AH= ⇒ OE= + AH AS2 AD 9a 3a 9a 2 0,25 AC= AB2 +BC =2a ⇒ AO=a ; SO= SA +AO =a 10 0,25 · = Suy sin ϕ = sin OSE b 1,5 0,25 0,25 10 0,25 Tính khoảng cách hai đường thẳng SB CM theo a 2,0 + Qua B dựng đường thẳng d song song với CM, hạ AK vng góc với d K + Đường thẳng CM cắt AB AK N F Chứng minh NA=2NB 0,25 + Suy ra: d ( CM,SB ) =d(CM,(SKB))=d(N,(SKB))= d(A,(SKB)) 0,25 + Chứng minh (SKB) ⊥ (SAK) Suy d(A,(SKB))=AP 0,25 2 a2 2a SΔANC = SΔABC = SABCD = a.a = , CN= BC +BN = 3 3 0,25 Page Suy ra: AF= a 3 a 3a = ; AK= AF= 2 7 3a 3a hay d(A,(SKB))=AP= 31 31 a Suy d ( CM,SB ) = d(A,(SKB))= 31 Tính được: AP= 0,25 0,5 0,25 Ghi chú: Nếu học sinh có cách giải khác Ban Giám khảo thảo luận thống thang điểm cho phù hợp với Hướng dẫn chấm Page 10 ... …………………………………….; Số báo danh: …………………… Page SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NAM KỲ THI OLIMPIC LỚP 11 CẤP TỈNH Năm học 2 016 – 2 017 ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM Mơn thi: TỐN (Đáp án – Thang điểm gồm 06 trang) Câu... x −1 Cho hàm số f ( x) = m.sin π x + 2 017 ÷ x < x ≥ Tìm giá trị m để hàm số f ( x) liên tục x = π f (1) = m.sin + 2 017 ÷ = − m 2 0,25 lim f ( x) = −m 0,25 x... 0,5 − x −1 =− x →1 x −1 11 Suy lim− f ( x) = x →1 12 Để f ( x) liên tục x = lim+ f ( x) = lim− f ( x) = f (1) + Tính được: lim − x →1 Suy ra: m = − x →1 0,25 0,25 0,25 11 giá trị cần tìm 12 Câu