Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN Vềbổđềquantrọng Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN Tóm tắt nội dung Bài viết xoay quanh bổđềquantrọng có nhiều ứng dụng tốn khác với cơng cụ phương tích trục đẳng phương Trên báo THTT số 355 tháng năm 2007 có tốn hay sau tác giả Hồ Quang Vinh [1] Bài toán Cho tam giác ABC đường cao AD, BE, CF DE, DF cắt CF, BE M, N Chứng minh đường thẳng qua A vng góc với MN qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC Bài tốn có lời giải sử dụng khái niệm phương tích trục đẳng phương A E F H M B L O N C D K Hình Lời giải Do đối xứng H qua BC nằm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC đối xứng qua BC Từ tâm K đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC đối xứng O qua BC Cũng từ dễ thấy AK qua trung điểm L OH tâm đường tròn Euler qua D, E, F Gọi (K) (L) đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC DEF Các tứ giác F HDB, EHDC nội tiếp suy PM/(K) = MH.MB = MF MD = PM/(D) Vậy M thuộc trục đẳng phương (K) (L) Tương tự N thuộc trục đẳng phương (K) (L) nên MN ⊥ KL ≡ AL Vậy đường thẳng qua A vng góc MN qua K Ta có điều phải chứng minh Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN Nhận xét Bài tốn kết đẹp hình học phẳng Dựa vào ta khai thác nhiều tính chất thú vị Ta xét tiếp tốn sau Bài toán Cho tam giác ABC, phân giác BE, CF , tâm ngoại tiếp O, tâm đường tròn bàng tiếp góc A Ia Chứng minh OIa ⊥ EF Bài tốn áp dụng toán Ib A Ic E F O I C B Ia Hình Lời giải Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tâm đường tròn bàng tiếp ứng với đỉnh B, C Ib , Ic dễ thấy I trực tâm tam giác Ia Ib Ic đường cao Ia A, Ib B, Ic C đồng thời đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC đường tròn Euler tam giác Ia Ib Ic Từ áp dụng tốn cho tam giác Ia Ib Ic ta có điều phải chứng minh Nhận xét Việc chuyển qua xét toán áp dụng vào tam giác tạo ba tâm đường tròn bàng tiếp việc làm hay gặp mang nhiều ý nghĩa tính sáng tạo Do yếu tố phụ hay vẽ gặp tốn có tâm nội tiếp vẽ thêm ba tâm đường tròn bàng tiếp ba đỉnh Bài tốn có lời giải trực tiếp túy hình học tác giả tham khảo [2] sau Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN A K E L F I O B C D P Q T S Ia Hình Lời giải Gọi BE, CF cắt (O) điểm thứ hai K, L Ta dễ thấy BE.BK = ac, IE b = BE a+b+c abc BK IF Tương tự ta IE.BK = IF.CL suy = (1) a+b+c CL IE Gọi Ia B, Ia C cắt (O) S, T Vì IB ⊥ Ia B, IC ⊥ Ia C nên SK, LT đường kính OP = (O) Gọi P, Q trung điểm P S, CT Theo tính chất đường trung bình dễ thấy OQ 2BK IF = (theo (1)) Mặt khác dễ thấy ∠F IE = ∠P OQ từ suy OP Q ∼ IF E suy 2CL IE ∠IF E = ∠OP Q = ∠OIa Q Mà IF ⊥ Ia Q suy F E ⊥ Ia O Đó điều phải chứng minh suy IE.BK = Nhận xét Bài tốn tốn hay có nhiều ứng dụng Chúng ta xét qua số toán sau Đề toán sau tác giả đề nghị THTT số 424 tháng 10 năm 2012 [3] Bài tốn Cho tam giác ABC, tâm đường tròn ngoại tiếp (O), tâm đường tròn nội tiếp I, tâm Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN đường tròn bàng tiếp góc A Ia AI, BI cắt BC, CA D, E Đường thẳng qua I vng góc OIa cắt AC M Chứng minh DE qua trung điểm IM Bài toán ứng dụng trực tiếp toán A E O F M I B C D Ia Hình Lời giải Gọi IC cắt AB F Dễ thấy E(F D, IC) = −1 mà theo tốn IM vng góc OIa Theo tính chất hàng điều hòa suy ED qua trung điểm IM EF Bài toán sau thú vị ý b) đề thi học sinh giỏi toán lớp 10 trường THPT chuyên sư phạm Bài toán Cho tam giác ABC có đường tròn ngoại tiếp (O) tâm đường tròn nội tiếp I AI, BI, CI theo thứ tự cắt BC, CA, AB A1 , B1 , C1 cắt (O) A2 , B2 , C2 khác A, B, C Các đường thẳng ∆a , ∆b , ∆c theo thứ tự qua A2 , B2 , C2 vng góc với B1 C1 , C1 A1 , A1 B1 Chứng minh ∆a , ∆b , ∆c đồng quy điểm thuộc OI Bài tốn cách nhìn tốn toán quen thuộc Sau cách tổng quát cho toán Bài tốn Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), phân giác AD, BE, CF đồng quy I AI, BI, CI cắt (O) X, Y, Z khác A, B, C Gọi K, L, N điểm chia IX, IY, IZ tỷ số Chứng minh đường thẳng qua K, L, N vng góc với EF, F D, DE đồng quy OI Bài toán ứng dụng trực tiếp toán Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN A Y E Z F J O I B C D K X Ia Hình Lời giải Gọi đường thẳng qua K vng góc EF cắt OI J Gọi Ia tâm bàng tiếp góc A tam giác ABC Theo tốn Ia O ⊥ EF ⊥ KJ KJ OIa Chú ý X trung điểm IIa k IJ IK k = = Từ Giả sử K chia IX tỷ số k tức IK = kIX = IIa Do theo định lý Thales 2 IO IIa J xác định OI Tương tự đường thẳng qua L, N vuông góc với F D, DE qua J OI Nhận xét Việc điểm cố định chứng minh đường thẳng qua điểm cách làm hay gặp toán chứng minh đường thẳng đồng quy Qua hai tốn ta thấy nhờ có tốn mà tồn tốn có yếu tố vng góc với EF ta quy song song với OIa Bài toán sau cách phát biểu đẹp khác toán Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN Bài toán Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) cố định với B, C cố định A di chuyển cung lớn Phân giác BE, CF cắt I Điểm J OI chia OI tỷ số k cố định Chứng minh đường thẳng qua J vng góc EF ln qua điểm cố định A di chuyển Qua toán cách làm toán ta dễ nhận điểm cố định nằm trung trực BC Bài tốn tốn hay có nhiều áp dụng phong phú xin dành cho bạn đọc Ta có cách nhìn khác cho tốn sau Bài toán Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) cố định với B, C cố định A di chuyển cung lớn Phân giác BE, CF cắt I J điêm đường thẳng IA cho IJ = k không đổi Chứng minh đường thẳng qua J vng góc EF qua điểm cố định A di chuyển Các bạn làm thêm toán sau để rèn luyện thêm kỹ bổđề Bài toán Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Phân giác BE, CF cắt I EF cắt (O) M, N Chứng minh tam giác IMN cân Bài tốn có tham khảo [2] Bài toán Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), tâm nội tiếp I IB, IC cắt (O) M, N khác B, C P, Q nằm tia đối tia BC, CB cho BP = BA, CQ = CA K, L tâm ngoại tiếp tam giác NBP, MCQ BL cắt CK D Đường tròn bàng tiếp góc A (Ia ) cắt (O) S, T Chứng minh AD ⊥ ST Bài toán có tham khảo [4] Bài tốn 10 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Phân giác góc B, C cắt (O) E, F khác B, C P, Q thuộc tia đối tia BC, CB cho BP = BA, CQ = CA Từ A vẽ tiếp tuyến AX, AY tới đường tròn ngoại tiếp tam giác BF P tiếp tuyến AZ, AT tới đường tròn ngoại tiếp tam giác CEQ Gọi M, N trung điểm XY, ZT Gọi đường tròn ngoại tiếp tam giác ACM ABN cắt R khác A Đường tròn (K) tiếp xúc AB, AC tiếp xúc (O) cắt BC G, H Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AGH nằm AR Bài toán tác giả tác giả dùng trình tập huấn đội tuyển TST trường THPT chuyên KHTN Tài liệu [1] Tạp chí tốn học tuổi trẻ số 355 tháng năm 2007 [2] http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=47&t=136301 [3] Tạp chí tốn học tuổi trẻ số 424 tháng 10 năm 2012 [4] http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=47&t=329713 Trần Quang Hùng, trường THPT chuyên KHTN, ĐHKHTN, ĐHQGHN E-mail: analgeomatica@gmail.com ... xét qua số toán sau Đề toán sau tác giả đề nghị THTT số 424 tháng 10 năm 2012 [3] Bài toán Cho tam giác ABC, tâm đường tròn ngoại tiếp (O), tâm đường tròn nội tiếp I, tâm Trần Quang Hùng - THPT... J vuông góc EF ln qua điểm cố định A di chuyển Các bạn làm thêm toán sau để rèn luyện thêm kỹ bổ đề Bài toán Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Phân giác BE, CF cắt I EF cắt (O) M, N Chứng...Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN Nhận xét Bài tốn kết đẹp hình học phẳng Dựa vào ta khai thác nhiều