Tứ diện BD HSG

Tính chất 1: Mặt phẳng P cắt ba cạnh SA,SB,SC của tứ diện S.ABC tại A’,B’,C’ khi đó : Chứng minh : Để chứng minh tính chất trên ta chứng minh tính chất sau đây trong hình phẳng Cho tam

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA TỨ DIỆN TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

I TỨ DIỆN.

Tính chất 1: Mặt phẳng (P) cắt ba cạnh SA,SB,SC của tứ diện S.ABC tại A’,B’,C’ khi

đó :

Chứng minh : Để chứng minh tính chất trên ta chứng minh

tính chất sau đây trong hình phẳng

Cho tam giác SAB đường thẳng d cắt hai cạnh SA,SB tại A’

và B’ khi đó

Thật vậy

Từ C và C’ của tứ diện S.ABC ta kẻ đường cao CH và C’H’

xuống mặt phẳng (SAB)

Tính chất 2: trong đó MN là đoạn vuông góc chung của AB

và CD

Giải:

Dựng hình bình hành ABCE

Dễ thấy

Tính chất 3: Trong đó r là bán kính mặt cầu nội tiếp tứ

diện

Bài toán 1: Cho tứ diện ABCD có điểm O nằm trong tứ

diện và cách đều các mặt của tứ diện một khoảng r Gọi lần lượt là khoảng cách từ các điểm A,B,C,D đến các mặt đối diện Chứng minh rằng

Bài toán 2: Cho tứ diện ABCD có AB=a Gọi α là góc hợp bởi hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) Gọi là diện tích hai tam giác ABC và ABD CMR

Giải : Kẻ đường cao CH của tứ diện dựng CK⊥AB khi đó

trang1

B

S

H' H

A'

B'

C'

E A

D

A

B

C

D H

K

B

D C

A

P

R

Q

Bài toán 3: Cho tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối diện bằng nhau và lần lượt bằng

Chứng minh rằng

Giải:

Dựng tứ diện AQPR sao cho B,C,D lần lượt là trung điểm của các cạnh QR,RP,PQ Ta có

mà D là trung điểm của PQ nên AQ⊥AR chứng minh tương tự ta cũng có AQ⊥AR ;

AR⊥AP

Mặt khác xét các tam giác vuông APQ; AQR; ARP ta có

Giải hệ trên ta được

Vì tứ diện APQR có ba cạnh đôi một vuông góc nên

Bài toán 4: Bốn mặt của tứ diện là các tam giác bằng nhau có cạnh là a,b,c tính thể tích

tứ diện theo a,b,c

(Chứng minh là tứ diện có các cặp cạnh đối diện tương ứng bằng nhau)

Bài toán 5 : Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có góc hợp bởi mặt bên và mặt đáy

bằng α; góc hợp bởi hai mặt bên kề nhau là β Chứng minh rằng

Giải:

Dựng mặt phẳng (SAM) vuông góc với BC và mp(BNC) vuông

góc với SA khi đó

Do ABC là tam giác đều nên M là trung điểm của BC, hay tam

giác BNC cân tại N

Tam giác SAM là hình chiếu của tam giác SAB lên mp(SAM)

nên ta được

Bài toán trên cho ý tưởng cho bài toán sau đây

Bài toán 6: Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh bên bằng a; góc hợp bởi mặt bên và

mặt đáy bằng α; góc hợp bởi hai mặt phẳng chứa hai mặt bên kề nhau bằng 2β

a) Tính thể tích khối chóp theo a và α

b) Chứng minh rằng

(HSG vòng 1 An Giang 2011-2012)

Giải:

a) Gọi M là trung điểm AB và O là tâm hình vuông ABCD Do hình chóp đều nên

SO⊥(ABCD) và là góc hợp bởi mặt bên và mặt đáy

Đặt SO=h khi đó

Tam giác SOM vuông tại O nên ta được

h

a S

D A

N

M

B S

b) Gọi H là hình chiếu của O lên SC ta được SC⊥OH (1)

Do BD⊥AC, BD⊥SO⇒ BD⊥(SOC)⇒BD⊥SC (2)

Từ (1) và (2) ⇒SC⊥(BDH) vậy góc hợp bởi hai mặt bên của hình chóp là góc hợp bởi hai đường thẳng BH và HD theo đề bài ta được hay

+Tam giác SOC vuông tại O có OH là đường cao

Vậy

Bài toán 7: Chứng minh rằng trong một tứ diện bất kỳ ta luôn có

Trong đó a,b là độ dài của một cặp cạnh đối diện và r là bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện Giải : Giả sử có tứ diện ABCD có AB=a ; CD=b; h là khoảng cách giữa AB và CD ; α là góc hợp bởi AB và CD

Ta có : Theo trên

Mặt khác tổng diện tích hai mặt BCD và ACD bằng trong đó là độ dài đường cao kẻ từ

B và A xuống CD Vì

Tương tự tổng diện tích hai mặt còn lại cũng lớn hơn

II TỨ DIỆN ĐỀU.

Tứ diện đều là tứ diện có tất cả các cạnh bằng nhau.

Tính chất: Trong một tứ diện đều :

 Bốn mặt là những tam giác đều và bằng nhau

 Chân đường cao hạ từ một đỉnh bất kỳ xuống mặt đối diện là trực tâm, trọng tâm, tâm đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của mặt đó

Cho tứ diện đều cạnh bằng a khi đó

 Đường cao của tứ diện bằng ; thể tích tứ diện bằng

 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện

 Khoảng cách giữa hai cặp cạnh đối diện

Bài toán 1: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 1 Gọi H là chân đường cao hạ từ A

xuống mp(BCD), I là trung điểm của AH, mặt phẳng (P) qua I cắt các cạnh AB; AC; AD tại A’; B’; C’ Chứng minh rằng

Giải:

Do tứ diện đều nên H là trọng tâm của tam giác đều BCD

trang3

A

D B

C

B' C'

D'

H I

kỳ khác O Chứng minh rằng

Giải: Giả sử tứ diện đều có cạnh bằng Dựng hình lập

phương AB’CD’.A’BC’D khi đó hình lập phương có cạnh

bằng 2

Chọn hệ trục Oxyz trong đó O là trọng tâm tứ diện Ox , Oy ,

Oz đi qua trung điểm X,Y,Z của đoạn CB,CD, AC

Ta có A(-1,-1,1) ; B(1;-1;-1) C(1;1;1) D(-1;1;-1)

Gọi M(x;y;z)

II TỨ DIỆN VUÔNG.

Cho tứ diện S.ABC có SA,SB,SC đôi một vuông góc (được gọi là tứ diện vuông)

Gọi :

 H là hình chiếu của S lên mp(ABC)

 SA=a, SB=b, SC=c, SH=h

 là góc hợp bởi SH và SA,SB,SC (khi đó lần lượt cũng là góc giữa mặt phẳng (ABC) và (SBC) , (SCA), (SAB)



Khi đó ta có

Chứng minh:

TC1: Gọi vuông tại S có SH là đường cao nên ta được:

Tam giác BSC vuông tại S có SK là đường cao nên ta được

TC2:

TC3:Gọi J là tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện khi đó

Z

Y

X O

C' D

C

B' A

D'

z

x

y

N A

S

C

B

M I

TC4 :Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện và M là trung điểm của BC khi đó I nằm

trên trục đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông OBC vậy I nằm trên đường thẳng Mx

vuông góc với mp(OBC) qua M

Mặt khác I nằm trên mp trung trực của đoạn OA nên I nằm trên Mx và cách mp(OBC) một khoảng a/2

Xét tam giác OIM vuông tại M ta được bán kính mặt cầu ngoại tiếp là TC5 : Ta có

TC6: theo tính chất 1 ta được

TC7 : áp dụng công thức lượng giác từ TC6 ta được

Một số kết quả về bất đẳng thức

Chứng minh:

trang5

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpky

Theo TC2 ta được

Áp dụng TC1 và Bất đẳng thức Cosi cho ba số ta được

Lại theo bài vừa chứng minh ta được

Sử dụng tính chất

Theo tính chất 4 ta có

Áp dụng BĐT Côsi cho ba số ta được

;

Áp dụng BĐT Cosi cho ba số ta được

Áp dụng TC1 ta được

Vậy

Áp dụng bất đẳng thức Bu nhiacốpky cho ba số ta được:

Nhưng vì nên ta được

Đặt ta được

trang7

Đặt ta được

Một số kết quả khác

Tài liệu trên có tham khảo Tài liệu Tập huấn phát triển chuyên môn trường chuyên môn toán của Bộ Giáo Dục & Đào Tạo và của Thầy Lê Lễ THPT chuyên Lê Quý Đôn Ninh Thuận năm 2011.