Chuyên đề Tứ diện HHKG MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA TỨ DIỆN TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN I TỨ DIỆN Tính chất 1: Mặt phẳng (P) cắt ba cạnh SA,SB,SC tứ diện S.ABC A’,B’,C’ : Chứng minh : Để chứng minh tính chất ta chứng minh tính chất sau hình phẳng Cho tam giác SAB đường thẳng d cắt hai cạnh SA,SB A’ B’ S C' A' H' Thật Từ C C’ tứ diện S.ABC ta kẻ đường cao CH C’H’ xuống mặt phẳng (SAB) H B' A C Tính chất 2: MN đoạn vng góc chung AB CD Giải: Dựng hình bình hành ABCE Dễ thấy B A E C Tính chất 3: Trong r bán kính mặt cầu nội tiếp tứ B diện D Bài toán 1: Cho tứ diện ABCD có điểm O nằm tứ diện cách mặt tứ diện khoảng r Gọi khoảng cách từ điểm A,B,C,D đến mặt đối diện Chứng minh Bài tốn 2: Cho tứ diện ABCD có AB=a Gọi α góc hợp hai mặt phẳng (ABC) (ABD) Gọi diện tích hai tam giác ABC ABD CMR Giải : Kẻ đường cao CH tứ diện dựng CK⊥AB A A K Q H D D P C B B C R trang1 Chuyên đề Tứ diện HHKG Bài toán 3: Cho tứ diện ABCD có cặp cạnh đối diện Chứng minh Giải: Dựng tứ diện AQPR cho B,C,D trung điểm cạnh QR,RP,PQ Ta có mà D trung điểm PQ nên AQ⊥AR chứng minh tương tự ta có AQ⊥AR ; AR⊥AP Mặt khác xét tam giác vng APQ; AQR; ARP ta có Giải hệ ta Vì tứ diện APQR có ba cạnh đơi vng góc nên Bài tốn 4: Bốn mặt tứ diện tam giác có cạnh a,b,c tính thể tích tứ diện theo a,b,c (Chứng minh tứ diện có cặp cạnh đối diện tương ứng nhau) Bài toán : Cho hình chóp tam giác S.ABC có góc hợp mặt bên mặt đáy α; góc hợp hai mặt bên kề β Chứng minh Giải: Dựng mặt phẳng (SAM) vng góc với BC mp(BNC) vng góc với SA Do ABC tam giác nên M trung điểm BC, hay tam giác BNC cân N Tam giác SAM hình chiếu tam giác SAB lên mp(SAM) nên ta S N A C M B Bài toán cho ý tưởng cho toán sau Bài tốn 6: Cho hình chóp S.ABCD có cạnh bên a; góc hợp mặt bên mặt đáy α; góc hợp hai mặt phẳng chứa hai mặt bên kề 2β a) Tính thể tích khối chóp theo a α b) Chứng minh (HSG vòng An Giang 2011-2012) Giải: a) Gọi M trung điểm AB O tâm hình vng ABCD Do hình chóp nên SO⊥(ABCD) góc hợp mặt bên mặt đáy Đặt SO=h Tam giác SOM vng O nên ta S a A M B D h O trang2 H C Chuyên đề Tứ diện HHKG b) Gọi H hình chiếu O lên SC ta SC⊥OH (1) Do BD⊥AC, BD⊥SO⇒ BD⊥(SOC)⇒BD⊥SC (2) Từ (1) (2) ⇒SC⊥(BDH) góc hợp hai mặt bên hình chóp góc hợp hai đường thẳng BH HD theo đề ta hay +Tam giác SOC vng O có OH đường cao Vậy Bài toán 7: Chứng minh tứ diện ta ln có Trong a,b độ dài cặp cạnh đối diện r bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện Giải : Giả sử có tứ diện ABCD có AB=a ; CD=b; h khoảng cách AB CD ; α góc hợp AB CD Ta có : Theo Mặt khác tổng diện tích hai mặt BCD ACD độ dài đường cao kẻ từ B A xuống CD Vì Tương tự tổng diện tích hai mặt lại lớn II TỨ DIỆN ĐỀU Tứ diện tứ diện có tất cạnh Tính chất: Trong tứ diện : Bốn mặt tam giác Chân đường cao hạ từ đỉnh xuống mặt đối diện trực tâm, trọng tâm, tâm đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp mặt Cho tứ diện cạnh a Đường cao tứ diện ; thể tích tứ diện Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện Khoảng cách hai cặp cạnh đối diện Bài tốn 1: Cho tứ diện ABCD có cạnh Gọi H chân đường cao hạ từ A xuống mp(BCD), I trung điểm AH, mặt phẳng (P) qua I cắt cạnh AB; AC; AD A’; B’; C’ Chứng minh Giải: Do tứ diện nên H trọng tâm tam giác BCD A B D' I B' C' H D C trang3 Chuyên đề Tứ diện HHKG Bài toán 2: Cho tứ diện ABCD Gọi O trọng tâm tứ diện M điểm khác O Chứng minh Giải: Giả sử tứ diện có cạnh Dựng hình lập phương AB’CD’.A’BC’D hình lập phương có cạnh Chọn hệ trục Oxyz O trọng tâm tứ diện Ox , Oy , Oz qua trung điểm X,Y,Z đoạn CB,CD, AC Ta có A(-1,-1,1) ; B(1;-1;-1) C(1;1;1) D(-1;1;-1) Gọi M(x;y;z) z B' A Z C D' O A' X Y D x B C' y II TỨ DIỆN VUÔNG Cho tứ diện S.ABC có SA,SB,SC đơi vng góc (được gọi tứ diện vuông) Gọi : H hình chiếu S lên mp(ABC) SA=a, SB=b, SC=c, SH=h góc hợp SH SA,SB,SC (khi góc mặt phẳng (ABC) (SBC) , (SCA), (SAB) Khi ta có Chứng minh: TC1: Gọi vng S có SH đường cao nên ta được: Tam giác BSC vuông S có SK đường cao nên ta TC2: TC3:Gọi J tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện trang4 Chuyên đề Tứ diện HHKG TC4 :Gọi I tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện M trung điểm BC I nằm trục đường tròn ngoại tiếp tam giác vng OBC I nằm đường thẳng Mx vng góc với mp(OBC) qua M Mặt khác I nằm mp trung trực đoạn OA nên I nằm Mx mp(OBC) khoảng a/2 Xét tam giác OIM vuông M ta bán kính mặt cầu ngoại tiếp A cách N I TC5 : Ta có TC6: theo tính chất ta B S M TC7 : áp dụng công thức lượng giác từ TC6 ta C Một số kết bất đẳng thức Chứng minh: trang5 Chuyên đề Tứ diện HHKG Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpky Theo TC2 ta Áp dụng TC1 Bất đẳng thức Cosi cho ba số ta Lại theo vừa chứng minh ta Sử dụng tính chất Theo tính chất ta có trang6 Chuyên đề Tứ diện HHKG Áp dụng BĐT Côsi cho ba số ta ; Áp dụng BĐT Cosi cho ba số ta Áp dụng TC1 ta Vậy Áp dụng bất đẳng thức Bu nhiacốpky cho ba số ta được: Nhưng nên ta Đặt ta trang7 Chuyên đề Tứ diện HHKG Đặt ta Một số kết khác Tài liệu có tham khảo Tài liệu Tập huấn phát triển chuyên môn trường chun mơn tốn Bộ Giáo Dục & Đào Tạo Thầy Lê Lễ THPT chuyên Lê Quý Đôn Ninh Thuận năm 2011 trang8 ... Mặt khác tổng diện tích hai mặt BCD ACD độ dài đường cao kẻ từ B A xuống CD Vì Tương tự tổng diện tích hai mặt lại lớn II TỨ DIỆN ĐỀU Tứ diện tứ diện có tất cạnh Tính chất: Trong tứ diện : Bốn... đối diện trực tâm, trọng tâm, tâm đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp mặt Cho tứ diện cạnh a Đường cao tứ diện ; thể tích tứ diện Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện bán kính mặt cầu nội tiếp tứ. .. Giải: Do tứ diện nên H trọng tâm tam giác BCD A B D' I B' C' H D C trang3 Chuyên đề Tứ diện HHKG Bài toán 2: Cho tứ diện ABCD Gọi O trọng tâm tứ diện M điểm khác O Chứng minh Giải: Giả sử tứ diện