MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA TỨ DIỆN TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN I TỨ DIỆN Tính chất 1: Mặt phẳng (P) cắt ba cạnh SA,SB,SC tứ diện S.ABC A’,B’,C’ : Chứng minh : Để chứng minh tính chất ta chứng minh tính chất sau hình phẳng Cho tam giác SAB đường thẳng d cắt hai cạnh SA,SB A’ B’ S C' A' H' Thật H A B' C Từ C C’ tứ diện S.ABC ta kẻ đường cao CH C’H’ xuống mặt phẳng (SAB) B Bài tốn 1: Cho tứ diện ABCD có cạnh Gọi H chân đường cao hạ từ A xuống mp(BCD), I trung điểm AH, mặt phẳng (P) qua I cắt cạnh AB; AC; AD A’; B’; C’ Chứng minh Giải: Do tứ diện nên H trọng tâm tam giác BCD A B D' I B' C' H C D Bài toán 2: Cho tứ diện ABCD chứng minh MN đoạn vng góc chung AB CD Giải: D ng hình bình hành ABCE Dễ thấy A E C B Bài toán 3: Cho tứ diện ABCD có cặp cạnh đối diện Chứng minh D Giải: D ng tứ diện AQPR cho B,C,D trung điểm cạnh QR,RP,PQ Ta có mà D trung điểm PQ nên AQAR chứng minh tư ng t ta có AQAR ; ARAP Mặt khác xét tam giác vuông APQ; AQR; ARP ta có Giải hệ ta Vì tứ diện APQR có ba cạnh đơi vng góc nên Bài tốn 4: Cho tứ diện ABCD có điểm O nằm tứ diện cách mặt tứ diện khoảng r Gọi khoảng cách từ điểm A,B,C,D đến mặt đối diện Chứng minh Bài toán 5: Cho tứ diện ABCD có AB=a Gọi góc hợp hai mặt phẳng (ABC) (ABD) CMR Với diện tích hai tam giác ABC ABD Bài tốn : Cho hình chóp tam giác S.ABC có góc hợp mặt bên mặt đáy ; góc hợp hai mặt bên kề Chứng minh Bài tốn 7: Cho hình chóp S.ABCD có cạnh bên a; góc hợp mặt bên mặt đáy ; góc hợp hai mặt phẳng chứa hai mặt bên kề 2 Chứng minh (HSG vòng An Giang 2011-2012) II TỨ DIỆN VNG Cho tứ diện S.ABC có SA,SB,SC đơi vng góc (được gọi tứ diện vng) Gọi : H hình chiếu S lên mp(ABC) SA=a, SB=b, SC=c, SH=h góc hợp SH SA,SB,SC (khi góc mặt phẳng (ABC) (SBC) , (SCA), (SAB) Khi ta có Chứng minh: TC1: Gọi vng S có SH đường cao nên ta được: Tam giác BSC vng S có SK đường cao nên ta TC2: TC3:Gọi J tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện TC4 :Gọi I tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện M trung điểm BC I nằm trục đường tròn ngoại tiếp tam giác vng OBC I nằm đường thẳng Mx vng góc với mp(OBC) qua M A Mặt khác I nằm mp trung tr c đoạn OA nên I nằm Mx cách mp(OBC) khoảng a/2 Xét tam giác OIM vuông M ta bán kính mặt cầu ngoại tiếp N I B S M TC5 : Ta có C TC6: theo tính chất ta TC7 : áp dụng công thức lượng giác từ TC6 ta Một số kết bất đẳng thức ế Chứng minh: ụ ụ Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpky Theo TC2 ta ụ ụ Áp dụng TC1 Bất đẳng thức Cosi cho ba số ta ượ ượ ề ả ứ ế Lại theo vừa chứng minh ta Sử dụng tính chất ậ Theo tính chất ta có Áp dụng BĐT Cosi cho ba số ta ; Áp dụng BĐT Cosi cho ba số ta Áp dụng TC1 ta Vậy Áp dụng bất đẳng thức Bu nhiacốpky cho ba số ta được: Nhưng nên ta Đặt ta ượ ậ Đặt ta ấ ằ Một số kết khác Tài liệu có tham khảo Tài liệu Tập huấn phát triển chun mơn trường chun mơn tốn Bộ Giáo Dục & Đào Tạo Thầy Lê Lễ THPT chuyên Lê Quý Đôn Ninh Thuận năm 2011 ... có Giải hệ ta Vì tứ diện APQR có ba cạnh đơi vng góc nên Bài tốn 4: Cho tứ diện ABCD có điểm O nằm tứ diện cách mặt tứ diện khoảng r Gọi khoảng cách từ điểm A,B,C,D đến mặt đối diện Chứng minh... 2: Cho tứ diện ABCD chứng minh MN đoạn vng góc chung AB CD Giải: D ng hình bình hành ABCE Dễ thấy A E C B Bài toán 3: Cho tứ diện ABCD có cặp cạnh đối diện Chứng minh D Giải: D ng tứ diện AQPR... mặt phẳng chứa hai mặt bên kề 2 Chứng minh (HSG vòng An Giang 2011-2012) II TỨ DIỆN VNG Cho tứ diện S.ABC có SA,SB,SC đơi vng góc (được gọi tứ diện vuông) Gọi : H hình chiếu S lên mp(ABC)