5 gioi han cua ham so p2

Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TỐN Lớp 11 Chun đề : Giới hạn- GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ (PHẦN 2) Trường hợp 1: u ( x) x → x0 v ( x ) lim f ( x ) = lim x → x0 với u ( x) v ( x) khơng chứa thức Cách tính sau: • Bước 1: Kiểm tra giới hạn cho có dạng vơ định hay khơng ? • Bước 2: Phân tích u ( x) v ( x) thành tích hai hay nhiều nhân tử • Bước 3: Giản ước thừa số chung tử số mẫu số Bước 4: Áp dụng cơng thức tìm giới hạn lim f ( x ) = f ( x0 ) x → x0 , ta có kết Chú ý: Để phân tích tử số mẫu số thành tích ta sử dụng phương pháp tìm nghiệm đa thức theo sơ đồ Hooc-ne f ( x ) = a0 x n + a1x n −1 + a2 x n − + K + an = - Giả sử đa thức - Ta làm sau: Hệ số a0 a1 a2 a3 α b0 b1 b2 b3 có nghiệm x = α K K K K K K an −1 an bn −1 bn Với a0 = b0 , b1 = b0 + a1 , b2 = b1 + a2 , b3 = b2 + a3 ,K bn −1 = bn −1 + an −1 , bn = bn−1 + an = Khi f ( x ) = ( x − α ) b0 x n −1 + b1 x n − + b2 x n −3 + K + bn −1  Ví dụ [ĐVH] Tìm giới hạn sau x − 3x + lim a x →2 x − x2 − 2x lim b x →2 −2 x + x − x3 − 3x + lim c x →1 x − x + x3 − x − x + lim d x →1 − x + 3x − Lời giải a lim x →2 ( x − 1) ( x − ) = lim x − = x − 3x + = lim ( ) x →2 x →2 x−2 x−2 x ( x − 2) x ( x − 2) x2 − 2x x = lim = lim = lim = −1 x → −2 x + x − x → −2 x − x + ( ) x→2 −2 ( x − 1) ( x − ) x→2 −2 ( x − 1) lim b Trang | Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TỐN Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TỐN Lớp 11 Chuyên đề : Giới hạn- c ( x − 1) ( x + ) = lim x + = = x3 − x + lim = lim x →1 x − x + x →1 ( x − 1) ( x + x + 3) x→1 x + x + d ( x − 1) ( x + 1) = lim ( x − 1) ( x + 1) = x3 − x − x + lim = lim x →1 − x + x − x →1 − ( x − 1) ( x + ) x →1 x+2 2 Ví dụ [ĐVH] Tìm giới hạn sau lim x →3 a lim c x − x − 72 x2 − 2x − ( 1− x) x3 − x2 + 3x + x4 − 8x2 − lim x4 − a4 x−a b x→3 x − x2 + x6 x →1 lim d x →a Lời giải a ( x − 3) ( x3 + 3x + x + 24 ) x − x − 72 x + 3x + x + 24 51 lim = lim = lim = x →3 x − x − x→3 x →3 x +1 ( x − 3) ( x + 1) b ( x − 3) ( x − x − 3) x3 − 5x + 3x + x2 − 2x − lim = lim = lim =0 x →3 x →3 x − x4 − 8x2 − ( ) ( x + 3x + x + 3) x→3 x3 + x + x + ( x − 1) ( x5 + x + x3 + x − x ) lim x →1 (1− x) c = lim x − 5x + x6 (1− x) x →1 x5 + x + x3 + x − x =∞ x →1 ( 1− x) = lim ( x − a ) ( x3 + ax + a x + a3 ) x4 − a4 lim = lim = lim ( x + ax + a x + a ) = 4a x →a x − a x →a x →a x − a d 2) Trường hợp: u ( x) x → x0 v ( x ) lim f ( x ) = lim x → x0 với u ( x) v ( x) chứa thức số Chúng ta thường gặp số trường hợp sau: v ( x) u ( x) v ( x) chứa khơng chứa ngược lại khơng chứa chứa u ( x) v ( x) v ( x) u ( x) chứa hai khơng chứa ngược lại chứa hai khơng chứa u ( x) v ( x) chứa chứa Khi sử dụng phương pháp nhân liên hợp Cụ thể sau: - u ( x) • Nếu chứa bậ hai ta có trường hợp sau: - ( ⇒( Nếu a + b ta nhân lượng liên hợp a −b ⇒ Nếu a − b ta nhân lượng liên hợp a +b Trang | )( a − b) ( a +b ) a + b) = a − b a − b = a − b2 Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TỐN Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TỐN Lớp 11 - Chun đề : Giới hạn- ( ⇒( a+ b ⇒ a − b ta nhận lượng liên hợp Nếu - Nếu a + b ta nhận lượng liên hợp a − b • Nếu chứa bậc ba ta có trường hợp sau: Ví dụ Nếu Nếu Nếu Nếu ( ⇒( ⇒ 3 a + b nhân liên hợp a − b a + b2 a − b nhân liên hợp a + b a + b2 a + b nhân liên hợp a − b a + b2 a − b nhân liên hợp a + b a + b2 )( b) ( ) b ) = a −b a− b a + b = a −b a− a+ ) ( a −b a − b) ( a + b ⇒ ( a + b) ( ⇒ ( a − b) ( a +b ) a +b ) = a −b a + b = a + b3 3 3 3 a − b a + b2 = a + b 3 a2 + b a + 3 ) b ) = a −b Tìm giới hạn sau: a c lim x −3 − 49 − x lim 2x + − x − 4x2 + x →7 x →1 b lim x →2 2− x+2 x − 3x + Lời giải )( ( )( ) x −3 −2 x −3 +2 x −3 −2 1 = lim = lim = x → x → 49 − x ( − x) ( + x) x − + ( + x ) x − + 56 lim 2− x+2 2+ x+2 2− x+2 −1 = lim = lim =− x →2 x − 3x + x →2 ( x − 1) ( x − ) + x + ( x − 1) + x + lim 2x + − 2x + + 2x + − = lim = lim =− 2 x →1 x − x + x →1 ( x − 1) ( x − 3x − 3) x + + ( x − 3x − 3) x + + 15 x →7 a x →2 b x →1 c Ví dụ ( lim ( ( ) ) ( )( ( ) ( ) ( ) ) ) ( ) Tìm giới hạn sau: − x2 + a x →1 − x + 3x − lim c lim x→2 b lim x→2 4x + − x2 − x− x+2 x3 − Lời giải Trang | Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TỐN Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TỐN Lớp 11 ( a )( ) ) − x2 + + x2 + − x2 + x +1 lim = lim = lim =− x →1 − x + x − x →1 − + x + ( x − 1) ( x − ) x →1 − + x + ( x − ) ( x →2 b lim x →2 c ( )( 4x +1 − 4x +1 − = lim x →2 x2 − ( x − 2) ( x + 2) lim Ví dụ Chuyên đề : Giới hạn- ( 4x +1 + ( ) 4x +1 + )( = lim ) ) ( x →2 ) ( x + 2) ( ) 4x +1 + = x− x+2 x+ x+2 x− x+2 x +1 = lim = lim = x→2 x −8 ( x − ) ( x + x + ) x + x + x→2 ( x + x + ) x + x + 16 ( ) ( ) Tìm giới hạn sau: x +1 a x→−1 x + x + 1− 1− x b x→0 x + x lim lim c x→−2 lim x + 12 + x x2 + 2x x −1 x + x2 − lim d x →1 Lời giải lim x →−1 a ( )( x +1 ) x2 − x + ( x + 1) ( x + 3) ( x +1 = lim x + x + x→−1 ( x + 3) 1− 1− x 1+ 1− x + (1− x) 1− 1− x lim = lim x →0 x + x x →0 x ( x + 2) + − x + ( − x ) lim x →−2 ( x + 12 + x = lim x →−2 x2 + 2x ( c = lim x →−2 x ( x + 2) ( x + 12 + x )( x ( x + 2) ( x + 12 ) ( 3 ( x + 12 ) ( x + ) ( x − x + 12 ) ( x + 12 ) − x x + 12 + x ( )( ) 2 ) x →0 ( x + 2) − x x + 12 + x x →−2 ) ( x ( ) ) x2 − x + ( 1+ − x x + 12 + x = lim )( ) = lim 3 1− x + ( 1− x ) ( x + 12 ) 2 ) = ) x − x + 12 =1 − x x + 12 + x ) =− x −1 x +1 x +1 x −1 lim = lim x →1 x + x − x →1 ( x − 1) ( x + x + ) x + x + d x →−1 )( ( b ) x2 − x + = lim = lim x →1 ( x − 1) ( x ( )( x −1 + x + 2) ( ) x +1 )( x +1 ( ) x +1 )( == lim x →1 (x ) + x + 2) ( )( x +1 ) x +1 = 12 BÀI TẬP LUYỆN TẬP Trang | Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TỐN Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TỐN Lớp 11 Chuyên đề : Giới hạn- Bài Tính giới hạn sau: x+3 a x →−3 x − lim b lim x →3 x2 − 4x + x−3 x2 + x − c x →2 x − Bài Tính giới hạn sau: lim x − 16 lim a x →4 x + x − 20 − x2 lim b x →−2 x + x + 3x + 2 c x →−2 x + x − lim Bài Tính giới hạn sau: x + x − 30 lim a x→5 x − x − x − 5x + 4x2 −1 x→ lim b 2 x + 3x + lim c x→−1 − x + x + Bài Tính giới hạn sau: lim a x→ x2 − x2 − x + − lim b x →1 x+2 x −3 x−5 x +4 2x2 + x − c x →−2 x + Bài Tính giới hạn sau: lim x − 16 lim a x→−2 x + x x3 − lim b x →1 x − x x3 − x − x + c x→1 − x + 3x − Bài Tính giới hạn sau: lim a lim x →1 x3 − 3x + x3 − x − x + x3 − x + x + b x →−1 x − x − lim x − x − 27 c x→−3 x + 3x + x + Bài Tính giới hạn sau: lim a lim x →1 x3 − 3x + x4 − x + Trang | x + x − 18 x3 − b x →2 lim Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TỐN Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TỐN Lớp 11 Chuyên đề : Giới hạn- x − x − 72 c x →3 x − x − Bài Tính giới hạn sau: lim x5 + a x →−1 x + lim b lim x →1 x5 − x3 − x3 − x + 3x + c x →3 x − x − Bài Tính giới hạn sau: x − 3x − x3 − 3x + x − x2 + x lim lim lim x−2 x2 −1 a x →2 b x →1 c x→−2 x + x + Bài 10 Tính giới hạn sau:  x+2 x−4 1    lim + lim  + x→2  x − x + ÷ ( x − 3x + ) x →2 x − 3x + x − 5x +    a b Bài 11 Tính giới hạn sau: lim   lim  − ÷ x →1 x − x −1   a  ÷ ÷      lim  − lim  + ÷ ÷ x →1 − x − x  c x →−2  x + x −   b Bài 12 Tính giới hạn sau:  ( x + h ) − x3   x n − nx + n −  lim  lim  ÷ ÷ h →0  x →1  ÷ ÷ h x − ( )     a b LỜI GIẢI BÀI TẬP LUYỆN TẬP Tính giới hạn sau: x+3 a x →−3 x − lim c lim x →2 b lim x →3 x2 − 4x + x−3 x2 + x − x2 − Lời giải x+3 1 = lim =− a x→−3 x − x→−3 x − lim lim b c x →3 x2 − x + = lim ( x − 1) = x →3 x−3 ( x − ) ( x + 3) = lim x + = x2 + x − lim = lim x →2 x →2 ( x − ) ( x + ) x→2 x + x −4 Trang | Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TỐN Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TOÁN Lớp 11 Chuyên đề : Giới hạn- Tính giới hạn sau: a lim x →4 x − 16 x + x − 20 − x2 b x →−2 x + lim x + 3x + 2 c x →−2 x + x − lim Lời giải ( x − ) ( x + ) = lim x + = x − 16 = lim x + x − 20 x →4 ( x − ) ( x + ) x →4 x + lim a x →4 ( − x ) ( + x ) = lim − x = − x2 = lim x →−2 x + x →−2 + x ( ) ( x − x + ) x→−2 x − x + lim b ( x + 1) ( x + ) = lim x + = x2 + 3x + = lim x →−2 x + x − x →−2 ( x + ) ( x − ) x →−2 x − lim c Tính giới hạn sau: x + x − 30 lim a x→5 x − x − b x − 5x + lim 4x2 −1 x→ 2 x + 3x + c x→−1 − x + x + lim Lời giải ( x − 5) ( x + ) = lim x + = x + x − 30 = lim x →5 x − x − x →5 ( x − ) ( x + 1) x →5 x + lim a lim1 b x→ ( x − 1) ( x − ) = lim x − = − x2 − 5x + = lim1 4x −1 x → ( x − 1) ( x + 1) x→ x + 2 ( x + 1) ( x + 1) = lim x + = − x + 3x + = lim x →−1 − x + x + x →−1 ( x + 1) ( − x ) x →−1 − x lim c Tính giới hạn sau: lim a x→ x2 − x2 − x + − Trang | lim b x →1 x+2 x −3 x−5 x +4 Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TỐN Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TOÁN Lớp 11 Chuyên đề : Giới hạn- 2x2 + x − c x →−2 x + lim Lời giải lim x→ a lim x →1 b c ( )( )( ) x− x+ x2 − x+ 2 = lim = lim = x − x + − x→ x − x + − x→ x + − 2 − ( x+2 x −3 = lim x − x + x →1 ( ( )( x − 1) ( x −1 ) = lim x − 4) x +3 x →1 ) x +3 =− x −4 ( x + ) ( x − 3) = lim x − = − x2 + x − lim = lim x →−2 x →−2 x + x3 + ( ) ( x − x + ) x→−2 x − x + 12 Tính giới hạn sau: x − 16 a x→−2 x + x lim b lim x →1 x3 − x2 − x x3 − x − x + lim c x →1 − x + 3x − Lời giải a b c x2 + 4) ( x − 2) ( x + 2) ( x − 2) ( x2 + 4) ( x − 16 lim = lim = lim = 16 x →−2 x + x x →−2 x →−2 x ( x + 2) x ( x − 1) ( x + x + 1) x3 − x2 + x + lim = lim = lim =3 x →1 x − x x →1 x →1 x ( x − 1) x ( x − 1) ( x − 1) x3 − x − x + x2 −1 lim = lim = lim =0 x →1 − x + x − x →1 ( x − 1) ( − x ) x →1 − x Tính giới hạn sau: x3 − 3x + lim a x →1 x − x − x + x3 − x + x + lim b x →−1 x − x − x − x − 27 c x →−3 x + 3x + x + lim Trang | Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TỐN Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TỐN Lớp 11 Chuyên đề : Giới hạn- Lời giải ( x − 1) ( x + ) = lim x + = x3 − 3x + lim = lim 2 x →1 x − x − x + x →1 ( x − 1) ( x + 1) x→1 x + 2 a b c ( x + 1) ( x − x + ) x3 − x + x + x2 − x + lim = lim = lim =− x →−1 x →−1 x →−1 x − 3x − x−4 ( x + 1) ( x − ) x + 3) ( x − ) x + 3) ( x − ) ( ( x − x − 27 36 lim = lim = lim =− 2 x →−3 x + x + x + x →−3 ( x + 1) ( x + 3) x→−3 x + Tính giới hạn sau: a c lim x3 − 3x + x4 − x + lim x − x − 72 x2 − 2x − x →1 x →3 x + x − 18 x3 − b x →2 lim Lời giải ( x − 1) ( x + ) = lim x + = = x3 − x + lim = lim x →1 x − x + x →1 ( x − 1) ( x + x + 3) x →1 x2 + x + 2 a ( x − ) ( x + ) = lim x + = 17 x + x − 18 = lim x →2 x →2 x − x −8 ( ) ( x + x + ) x→2 x + x + 12 lim b c Bài 1: x + ) ( x − 3) ( x + ) x + ) ( x + 3) 51 ( ( x − x − 72 lim = lim = lim = x →3 x − x − x →3 x →3 x +1 ( x + 1) ( x − 3) Tính giới hạn sau: x5 + a x →−1 x + lim b lim x →1 x5 − x3 − c lim x →3 x3 − x2 + 3x + x4 − 8x2 − Lời giải a x − x3 + x − x + 1) ( x + 1) ( x − x3 + x − x + 1) ( x5 + lim = lim = lim = x →−1 x + x →−1 x →−1 ( x + 1) ( x − x + 1) ( x − x + 1) Trang | Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TỐN Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TOÁN Lớp 11 Bài 2: Chuyên đề : Giới hạn- b x + x + x + x + 1) ( x + 1) ( x + x3 + x + x + 1) ( x5 − lim = lim = lim = x →1 x − x →1 x →1 ( x + 1) ( x + x + 1) ( x2 + x + 1) c x − x − 3) ( x − 3) ( x − x − ) ( x3 − x + 3x + lim = lim = lim = x →3 x →1 x + x − x4 − 8x2 − ( ) ( ) ( x + 3) x→1 ( x + 1) ( x + 3) Tính giới hạn sau: x − 3x − x−2 a x →2 lim b lim x →1 x3 − 3x + x − x2 + x lim x2 −1 c x→−2 x + x + Lời giải ( x − ) ( x + 1) = lim x + = x − 3x − lim = lim ( ) x →2 x →2 x−2 x−2 a x →2 b x − x + 3) ( x − 1) ( x − x + 3) ( x3 − 3x + x − lim = lim = lim = x →1 x →1 x →1 x2 − ( x − 1) ( x + 1) ( x + 1) c x ( x + 2) x2 + x x = lim = lim = −∞ 2 x →−2 x + x + x →−2 ( x + ) x→−2 x + lim Bài 3: Tính giới hạn sau: 1   lim  + ÷ x →2 x − 3x + x − 5x +   a  x+2 x−4 lim  + x→2  x − x + ( x − 3x + )  b  ÷ ÷  Lời giải a  1 1   lim  + = lim  + ÷ x →2 x − 3x + x − x +  x →2  ( x − 1) ( x − ) ( x − 3) ( x − )   2x − = lim  x → ( x − 1) ( x − ) ( x − )    = lim ÷ ÷ x →  ( x − 1) ( x − 3)    x+2 x−4 lim  + x →1  x − x + ( x − 3x + 2)  b  x2 − 8x + = lim  x → ( x − 1) ( x − ) ( x − )  Bài 4:  ÷ ÷   ÷ ÷ = −2    x+2 x−4 ÷ = lim  +  ÷ x →1  ( x − 1) ( x − ) ( x − 1) ( x − )    4x − = lim ÷ ÷ x →1  ( x − ) ( x − )    ÷ ÷   ÷ ÷ =  Tính giới hạn sau: Trang 10 | Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TỐN Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TỐN Lớp 11   lim  − ÷ x →1 x − x −1   a Chuyên đề : Giới hạn-     lim  − lim  + ÷ ÷ x →1 − x − x  c x →−2  x + x −   b Lời giải  − ( x + 1)     1− x    lim  − = lim  = lim  ÷ = lim  − =− ÷ ÷ ÷ x →1 x − x −  x →1  x −  x →1  x −  x →1  x +   a b  ( + x + x2 ) −   ( x − 1) ( x + )     ÷  ÷ lim  − = lim = lim ÷ x →1 − x − x3  x →1  ( − x ) ( + x + x ) ÷ x →1  ( − x ) ( + x + x ) ÷       x+2  ÷ = −1 = lim  x →1  + x + x ÷ ( ) c Bài 5:  x−2+4      lim  + = lim  = lim  ÷ ÷ ÷= − ÷ x →−2 x + x →− x →− x −4   x−2  ( x + 2) ( x − 2)  Tính giới hạn sau:  ( x + h ) − x3   x n − nx + n −  lim  lim  ÷ ÷ h →0  x →1  ÷ ÷ h x − ( )   b   a Lời giải  ( x + h ) − x3   x h + xh  lim  ÷ = lim  ( x + xh ) = x ÷ = lim h →0  h →0 ÷ h →0  h h    a  x n − nx + n −   x n − − n ( x − 1) lim  ÷ = lim  2 x →2  ÷ x→2  x − ( ) ( x − 1)    b  ÷ ÷   ( x − 1) ( x n −1 + x n −2 + + x + 1) − n ( x − 1) = lim  x→2  ( x − 1)   ÷ ÷   x n −1 + x n − + + x + − n   x n −1 − + x n − − + + x −  = lim  = lim ÷ ÷ ÷ x →  ÷ x→2 ( x − 1) ( x − 1)     ( ) = lim ( x n − + x n −3 + + x + 1) + ( x n −3 + x n − + + x + 1) + + ( x + 1) + x→2 = lim ( x n − + x n −3 + + ( n − 2) x + n − 1) = + + + ( n − ) + ( n − 1) = x→2 Trang 11 | n(n − 1) Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TỐN Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TOÁN Lớp 11 Trang 12 | Chuyên đề : Giới hạn- Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TỐN ... x − 30 lim a x 5 x − x − b x − 5x + lim 4x2 −1 x→ 2 x + 3x + c x→−1 − x + x + lim Lời giải ( x − 5) ( x + ) = lim x + = x + x − 30 = lim x 5 x − x − x 5 ( x − ) ( x + 1) x 5 x + lim a lim1... hạn sau: x + x − 30 lim a x 5 x − x − x − 5x + 4x2 −1 x→ lim b 2 x + 3x + lim c x→−1 − x + x + Bài Tính giới hạn sau: lim a x→ x2 − x2 − x + − lim b x →1 x+2 x −3 x 5 x +4 2x2 + x − c x →−2 x... x4 − 8x2 − ( ) ( x + 3x + x + 3) x→3 x3 + x + x + ( x − 1) ( x5 + x + x3 + x − x ) lim x →1 (1− x) c = lim x − 5x + x6 (1− x) x →1 x5 + x + x3 + x − x =∞ x →1 ( 1− x) = lim ( x − a ) ( x3 + ax