16 tich phan ung dung

Email: enxuyenmay@gmail.com Chuyên đề 16: DỤNG NGUYÊN HÀM -TÍCH PHÂN VÀ ỨNG TÓM TẮT GIÁO KHOA I ĐỊNH NGHĨA NGUYÊN HÀM : * Đònh nghóa : Hàm số F(x) gọi nguyên hàm f(x) (a , b) : F’(x) = f(x) , ∀x∈(a ; b) Neáu thay khoảng (a , b) đoạn [a , b] ta phải có thêm : +  F '(a ) = f(a)  −  F '(b ) = f(b) * Đònh lý : Cho F(x) nguyên hàm f(x) (a , b) G(x) nguyên hàm f(x) treân (a,b) ⇔ G(x) = F(x) + C (C : số ) Nhận xét : Nếu hàm số f(x) có nguyên hàm F(x) có vô số nguyên hàm, tất nguyên hàm có dạng F(x) + C gọi họ nguyên hàm hàm số f(x), ký hiệu : ∫ f(x)dx Vậy : F(x) nguyên hàm f(x) : ∫ f(x)dx = F(x) + C II SỰ TỒN TẠI NGUYÊN HÀM : Mọi hàm số liên tục [a,b] có nguyên hàm đoạn III CÁC TÍNH CHẤT : (∫ f(x)dx)' = f(x) ∫ a.f(x)dx = a∫ f(x)dx (a ≠ 0) ∫ [ f(x) + g(x)] dx = ∫ f(x)dx + ∫ g(x)dx ∫ f(t)dt = F(t) + C ⇒ ∫ f[u(x)].u'(x)dx = F [ u(x)] + C (1) Đặt u = u(x) du = u’(x)dx Vậy (1) ⇔ ∫ f(t)dt = F(t) + C ⇒ ∫ f(u)du = F(u) + C * Trường hợp đặc biệt : u = ax +b ∫ f(t)dx = F(t) + C ⇒∫ f(ax + b)dx = aF(ax + b) + C Chun đề LTĐH: Tích phân Email: enxuyenmay@gmail.com IV Bảng tính nguyên hàm bản: Bảng Hàm số f(x) a ( số) Bảng Họ nguyên hàm F(x)+C ax + C Hàm số f(x) Họ nguyên hàm F(x) +C xα +1 +C α +1 (ax + b)α ln x + C ax + b A ax+ b ex ax +C lna ex + C sinx -cosx + C sin(ax+b) cosx sinx + C cos(ax+b) cos2 x tanx + C cos (ax + b) (ax + b)α +1 +C a α +1 ln ax + b + C a Aax+ b +C A lna ax+ b e +C a − cos(ax + b) + C a sin(ax + b) + C a tan(ax + b) + C a sin2 x -cotx + C sin (ax + b) − cot(ax + b) + C a u'(x) u(x) ln u(x) + C x − a2 x− a ln +C 2a x + a tanx − ln cosx + C cotx ln sinx + C α x x ax eax+ b 2 Chuyên đề LTĐH: Tích phân Email: enxuyenmay@gmail.com Phương pháp 1: Sử dụng định nghĩa tính chất kết hợp với bảng tính ngun hàm • Phân tích tích phân cho thành tích phân đơn giản có công thức bảng nguyên hàm • Cách phân tích : Dùng biến đổi đại số mũ, lũy thừa, đẳng thức biến đổi lượng giác công thức lượng giác Ví dụ: Tính 2x − 2x2 − 5x − dx dx 1) I = ∫ 2) I = ∫ 3) I = ∫ dx x −4 x − 3x + x + x − 2x dx 4) I = ∫ x e +2 Ví dụ : Tìm họ nguyên hàm hàm số sau: 2x − f(x) = f (x) = cos x + x + 1− x x − 4x + Phương pháp 2: Phương pháp đổi biến số Định lí bản: Cách thực hiện: Tính ∫ f [ u(x)] u'(x)dx pp đổi biến số Bước 1: Đặt u = u(x) ⇒ du = u'(x)dx Bước 2: Tính ∫ f [ u(x)] u'(x)dx = ∫ f(u)du = F(u) + C = F [ u(x)] + C Ví dụ: Tính I = ∫ xcos( 3− x ) dx Kỹ thuật: Sử dụng cách viết vi phân hóa tích phân Ví dụ: Tính tan x 1+ lnx 3sinx dx dx ∫ cos xsin xdx ∫ ∫ 4) ∫ cosx.e dx cos x x tanx dx dx e ln x 5) ∫ 6) ∫ 7) ∫ 8) ∫ 9) dx dx xlnx sinx cos x x Phương pháp 3: Phương pháp tính nguyên hàm phần Định lí bản: Ví dụ: Tính 1) I = ∫ ( x + 1) sinxdx 4) I = ∫ lnxdx Chuyên đề LTĐH: Tích phân 2x 2) I = ∫ ( x − 2) e dx 5) I = ∫ ( x + 1) lnxdx 3) I = ∫ xlnxdx x 6) I = ∫ e cosxdx dx ∫ cos x Email: enxuyenmay@gmail.com I TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG ĐN VÀ CÁC TÍNH CHẤT TÍCH PHÂN Đònh nghóa: Cho hàm số y=f(x) liên tục [ a; b] Giả sử F(x) nguyên hàm hàm số f(x) thì: b ∫ f (x)dx = [ F (x)] a = F (b) − F (a) b ( Công thức NewTon - a Leipniz) Các tính chất tích phân: a • Tính chất 1: Nếu hàm số y=f(x) xác đònh a : ∫ f (x)dx = a • • b a a b ∫ f (x)dx = − ∫ f (x)dx Tính chất 2: Tính chất 3: Nếu f(x) = c không đổi [ a; b] thì: b ∫ cdx = c(b− a) a • Tính chất 4: Nếu f(x) liên tục [ a; b] f (x) ≥ b ∫ f (x)dx ≥ a • Tính chất 5: Nếu hai hàm số f(x) g(x) liên tục [ a; b] f (x) ≥ g(x) ∀x ∈ [ a;b] b b a a ∫ f (x)dx ≥ ∫ g(x)dx • Tính chất 6: Nếu f(x) liên tục [ a; b] m≤ f (x) ≤ M ( m,M làhai hằ ng số ) b m(b − a) ≤ ∫ f (x)dx ≤ M (b − a) a • Tính chất 7: Nếu hai hàm số f(x) g(x) liên tục [ a; b] b b b a a a ∫ [ f (x) ± g(x)] dx = ∫ f (x)dx ± ∫ g(x)dx • Tính chất 8: Nếu hàm số f(x) liên tục [ a; b] k số b b a a ∫ k f (x)dx = k.∫ f (x)dx • Tính chất 9: Nếu hàm số f(x) liên tục [ a; b] c số b c b a a c ∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx • Tính chất 10: Tích phân hàm số [ a; b] cho trước không phụ thuộc vào biến số , nghóa : b b b a a a ∫ f (x)dx = ∫ f (t)dt = ∫ f (u)du = Chuyên đề LTĐH: Tích phân Email: enxuyenmay@gmail.com Bài 1: Tính tích phaân sau: 1 x x dx dx 1) ∫ 2) ∫ (2x + 1) 2x + 0 4x + 11 ∫0 x2 + 5x + 6dx π ∫ (sin x + cos x)dx 6 8) π dx e +1 x ∫x 1− xdx 4) 2x − ∫0 x2 − 4x + 4dx 6) x3 ∫0 x2 + 2x + 1dx 7) π 9) 1+ sin2xdx ∫0 cos2 x 4sin x ∫ 1+ cosxdx 10) π ∫ cos 2xdx π 12) ∫ 3) 5) 11) 12) ∫ (cos x − sin x)dx π π 13) ∫ cos x dx + sin x dx ∫ −2 x + x − 14) ∫ sin x dx cos x + 15) π cos x dx − sin x ∫ 16) Baøi 2: 1) ∫ x2 − 1dx 2) −3 4) ∫ ∫ x2 − 3x + 2dx 3) x2 + − 2dx x2 5) ∫ ( x + − x − 2)dx −3 −1 ∫2 x − 4dx 6) ∫ x − x dx 0 Bài 3: 1) Tìm số A,B để hàm số f(x) = A sinπx + B thỏa mãn đồng thời điều kiện f (1) = ' ∫ f(x)dx = 2) Tìm giá trò số a để có đẳng thức : ∫ [a + (4 − 4a)x + 4x3]dx = 12 II TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ : b 1) DẠNG 1:Tính I = ∫ f[u(x)].u(x)dx cách đặt t = u(x) ' a Công thức đổi biến số dạng 1: b u (b ) a u (a) ∫ f [ u ( x )].u ' ( x)dx = ∫ f (t )dt Cách thực hiện: t = u ( x) ⇒ dt = u ' ( x) dx x=b t = u (b ) ⇒ Bước 2: Đổi cận : x=a t = u (a ) Bước 3: Chuyển tích phân cho sang tích phân theo biến t ta Bước 1: Đặt Chun đề LTĐH: Tích phân Email: enxuyenmay@gmail.com b u (b ) a u(a) I = ∫ f [ u ( x)].u ' ( x)dx = ∫ f (t )dt (tiếp tục tính tích phân mới) dt = xdx ; x = ⇒ t = ; x = ⇒ t = 1 tdt  −1  I= ∫ = ∫ + ÷dt t + 3t + 2  t + t +  = ( ln − 3ln ) Bài 1: (B-2012) HD: Đặt t = x ⇒ Bài 2: Tính tích phân sau: 1) π 2) ∫ cos xsin xdx e 5) π ∫ cos x + sin x dx 9) ∫ sin x + sin x + cos x 4) ∫ sin2x(1+ sin x) dx π ∫ cos xdx 1+ ln2 x dx 6) ∫ x π π e sin x 3) ∫ cos xdx 1+ lnx dx x ∫ π 7) ∫ x (1− x ) dx 8) π + ln x ln x dx x e 10) ∫ (e sin x + cos x) cos xdx dx 11) ∫ π 12) ∫ − sin x dx + sin x b 2) DẠNG 2: Tính I = ∫ f(x)dx cách đặt x = ϕ(t) a b β a α I = ∫ f ( x)dx = ∫ f [ϕ (t )]ϕ ' (t )dt Công thức đổi biến số dạng 2: Cách thực hiện: x = ϕ (t ) ⇒ dx = ϕ ' (t )dt x=b t=β ⇒ Bước 2: Đổi cận : x=a t =α Bước 3: Chuyển tích phân cho sang tích phân theo biến t ta Bước 1: Đặt b β a α I = ∫ f ( x)dx = ∫ f [ϕ (t )]ϕ ' (t )dt (tiếp tục tính tích phân mới) Tính tích phân sau: 1) ∫ 1 dx 2) ∫ 1+ x2 1− x dx 1 dx 4) ∫ x − x+1 5) 2 ∫ x2 1− x2 3) ∫ − x2 dx II TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP VI PHÂN: Chun đề LTĐH: Tích phân 6) ∫x dx − x2 dx Email: enxuyenmay@gmail.com Tính tích phân sau: 1) ∫ x x +1 2 4) ∫x dx 2) ∫ x3 1+ x 5) ∫ 3) ∫ dx x3 + 1dx dx x+1 dx 3x + 1 dx + + 3x 6) ∫ x x2 + III TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN: Công thức tích phân phần: b b ∫ u ( x ).v ' ( x )dx = [ u ( x ).v ( x )] a − ∫ v( x).u ' ( x) dx b a a b b ∫ udv = [ u.v ] a − ∫ vdu Hay: a b a Cách thực hiện: u = u ( x) du = u ' ( x) dx ⇒ dv = v' ( x)dx v = v( x) Bước 2: Thay vào công thức tích phân từng phần : Bước 1: Đặt b b ∫ udv = [ u.v ] a − ∫ vdu b a a Bước 3: Tính [ u.v ] ba b vaø ∫ vdu a Bài 1: (D-2012) I= π/ ∫ x(1 + sin 2x)dx Đặt u = x ⇒ du = dx dv = (1 + sin2x)dx, chọn v = x – π /4 I = x( x − cos x) − π /4 ∫ cos2x π /4 π  x sin x  ( x − cos x)dx = − − 16   = π2 + 32 Bài 2: (A-2012) 3 ln( x + 1) x −1 ln( x + 1) ∫1 x dx + ∫1 x dx = −1 + J = + J Với J = ∫1 x dx 1 −1 dx ; dv = dx , chọn v = Đặt u = ln(x+1) ⇒ du = -1 x +1 x x 3 dx −1 −1 −4 ln + ln + ln3 J = ( − 1) ln( x + 1) + ∫ = ( − 1) ln( x + 1) + ln x = 1 x x x 1 + ln( x + 1) I =∫ dx = x2 Chuyên đề LTĐH: Tích phân −2 ln + ln = Vậy I = Email: enxuyenmay@gmail.com −2 + ln + ln 3 Bài 3: Tính tích phân sau: 1) π ∫ ( x + 1) sin2xdx 2) π 3) ∫ ln( x − x) dx 6) π 4) lnx 5) ∫ dx x 2 ∫ ( 2x − 1) cos xdx π lnx dx x3 ∫ e 7) ∫ xcos xdx ∫ xln xdx 8) ∫ xsinxcos xdx 9) π 10) ∫ x(2cos x − 1)dx e 11) 0 2x ∫ (x + 1) e dx 13) ∫ x ln(1 + x )dx e ln x x 14) ∫ ∫ (xlnx) dx 2x 12) ∫ ( x − 2)e dx π dx 15) ∫ ( x + cos x) sin xdx 16) ∫ (2 x + 7) ln( x + 1)dx e 17) 3 ∫ x ln xdx 18) I = ∫ 1+ ln( x + 1) dx x IV ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG: Công thức: (C1 ) : y = f ( x) (C ) : y = g ( x )  (H ) :  ∆1 : x = a  ∆ : x = b y x=a (H ) b x=b (C1 ) : y = f ( x) (C ) : y = g ( x) S = ∫a[ f ( x) − g ( xb)] dx O a yC1 y C2 x Tính diện tích hình phẳng sau: Chun đề LTĐH: Tích phân y (C ) : x = g ( y ) y=b b a O (C1 ) : x = f ( y ) (C ) : x = g ( y )  (H ) :  ∆ : y = a  ∆ : y = b (H ) y=a b S = ∫ [ f ( y ) − g ( y )] dy x a xC1 xC2 (C1 ) : x = f ( y ) Email: enxuyenmay@gmail.com −3x −  y = x −  1) (H1):  y = x =   (C ) : y = x  4) (H4): (d ) : y = − x (Ox)   y = x2 2) (H2):   x = − y  y = x2 − 2x 3) (H3) :   y = − x + 4x (C ) : y = e x  5) (H5): (d ) : y = (∆) : x =  V ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY Công thức: y x=a O a x=b (C ) : y = f ( x ) y=0 b b V = π ∫ [ f ( x )] dx a x y b x=0 a y=b (C ) : x = f ( y ) y=a x O b V = π ∫ [ f ( y )] dy a Bài 1: Cho miền D giới hạn hai đường : y = x2 + x - ; x + y - = Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox Bài 2: Cho miền D giới hạn đường : y = x;y = − x;y = Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên D quay quanh trục Oy Bài 3: Cho miền D giới hạn hai đường : y = − x2; y = x2 + Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên D quay quanh truïc Ox Heát - Chuyên đề LTĐH: Tích phân  ... x)dx π π 13) ∫ cos x dx + sin x dx ∫ −2 x + x − 14) ∫ sin x dx cos x + 15) π cos x dx − sin x ∫ 16) Baøi 2: 1) ∫ x2 − 1dx 2) −3 4) ∫ ∫ x2 − 3x + 2dx 3) x2 + − 2dx x2 5) ∫ ( x + − x − 2)dx −3 −1... sin2x)dx, chọn v = x – π /4 I = x( x − cos x) − π /4 ∫ cos2x π /4 π  x sin x  ( x − cos x)dx = − − 16   = π2 + 32 Bài 2: (A-2012) 3 ln( x + 1) x −1 ln( x + 1) ∫1 x dx + ∫1 x dx = −1 + J = + J... x ln(1 + x )dx e ln x x 14) ∫ ∫ (xlnx) dx 2x 12) ∫ ( x − 2)e dx π dx 15) ∫ ( x + cos x) sin xdx 16) ∫ (2 x + 7) ln( x + 1)dx e 17) 3 ∫ x ln xdx 18) I = ∫ 1+ ln( x + 1) dx x IV ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN