Tich phan ung dung

Tích phân Bài toán tương tự... Phương pháp đổi biến số đơn giản Chương 1.. Phương pháp đổi biến số đơn giản Chương 1... Phương pháp đổi biến số đơn giản Chương 1... Phương pháp đổi biến

16 tháng 01, 2014

www.MATHVN.com

www.DeThiThuDaiHoc.com

TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNGCopyright c○ 2014 by Nguyễn Hồng Điệp

Lời nói đầu

Đôi khi người ta tung đồng xu không phải để xem mặtsấp hay ngửa, cái quan trọng là biết ta đang đợi mặt nào.Các em học sinh cuối cấp đang đứng trước bước ngoặt cuộcđời Chúc các em có kết quả thi tốt nhất và chọn đúngngành mình yêu thích Những năm gần đây 1, 0 điểm phầnTích phân trong đề thi tuyển sinh không còn là vấn đề quákhó khăn Hy vọng tài liệu nhỏ này có thể có ích cho một aiđó

Tài liệu này cũng không có gì quá đặc biệt, chỉ là tổnghợp lại các kiến thức từ nhiều nguồn khác nhau Tất cả cáchình vẽ đều thực hiện bằng LATEX để được mịn màng trongtừng đường nét Đây là sản phẩm mang tính cá nhân nênbất kì sự sai sót nào đều là do người soạn Bản thân ngườisoạn cũng cảm thấy đôi chổ chưa hoàn chỉnh nhưng do kinhnghiệm chưa nhiều nên mong sự đóng góp của mọi ngườiqua địa chỉ hongdiep2205@gmail.com

Thị trấn Vĩnh Bình, Lễ hội Kỳ Yên năm Quý Tỵ

— Nguyễn Hồng Điệp

www.MATHVN.com

Mục lục

1.1 Các công thức 7

1.1.1 Bảng các nguyên hàm thông dụng 7

1.1.2 Tích phân xác định 8

1.2 Phương pháp phân tích 9

1.3 Tích phân chứa trị tuyệt đối, min, max 12

1.4 Phương pháp đổi biến số đơn giản 16

1.4.1 Dạng căn thức 17

1.4.2 Biểu thức có chứa căn bậc khác nhau 20

1.4.3 Dạng phân thức 1 21

1.4.4 Dạng biểu thức lũy thừa 23

1.4.5 Biểu thức có logarit 24

1.5 Đổi biến sang lượng giác 26

1.5.1 Dạng 1 26

1.5.2 Dạng 2 29

1.5.3 Dạng 3 32

1.5.4 Dạng 4 35

1.5.5 Dạng 5 36

1.6 Tích phân hàm hữu tỉ 37

1.6.1 Tích phân chứa nhị thức 37

1.6.2 Tích phân chứa tam thức 37

1.6.3 Dạng tổng quát 40

1.7 Tích phân hàm lượng giác 43

1.7.1 Các công thức lượng giác 43

1.7.2 Dạng tổng quát 45

1.7.3 Các trường hợp đơn giản 47

www.MATHVN.com

1.7.4 Tích phân dạng hữu tỉ đối với hàm số lượng giác 58

1.7.5 Dùng hàm phụ 64

1.8 Tích phân hàm vô tỉ 67

1.8.1 Biểu thức có tam thức bậc hai 67

1.8.2 Phép thế Eurle 75

1.8.3 Dạng đặc biệt 78

1.9 Tính tính phân bằng tính chất 79

1.9.1 Tích phân có cận đối nhau 79

1.9.2 Tích phân có cận là radian 88

1.10 Phương pháp tính tích phân từng phần 95

1.10.1 Dạng 1 95

1.10.2 Dạng 2 100

1.10.3 Phương pháp hằng số bất định 103

1.11 Các bài toán đặc biệt 107

2 Ứng dụng của Tích phân 111 2.1 Tính diện tích hình phẳng 111

2.1.1 Công thức tính 111

2.1.2 Các ví dụ 112

2.2 Thể tích vật thể tròn xoay 116

2.2.1 Hình phẳng quay quanh Ox 116

2.2.2 Hình phẳng quay quanh Oy - Nâng cao 118

3 Bài tập tổng hợp 121 3.1 Các đề thi tuyển sinh 2002-2013 121

3.2 Bài tập tổng hợp 130

1.2 Phương pháp phân tích Chương 1 Tích phân

www.MATHVN.com

= 4

3(

√

2 − 1)

1.2 Phương pháp phân tích Chương 1 Tích phân

 Bài toán tương tự

1.3 Tích phân chứa trị tuyệt đối, min, max Chương 1 Tích phân

𝑥sin𝑥2+cos𝑥2

Khi đó: 𝐼 =

3𝜋 2

−(︁sin𝑥

2 + cos

𝑥2

)︁⃒

⃒

⃒

3𝜋 2

𝑥𝑥

Bảng xét dấu

𝑥ℎ(𝑥)

1.3 Tích phân chứa trị tuyệt đối, min, max Chương 1 Tích phân

15

www.MATHVN.com

1.4 Phương pháp đổi biến số đơn giản

Thông thường khi gặp:

1.4 Phương pháp đổi biến số đơn giản Chương 1 Tích phân

0

= 13

(︁

2√

2 − 1)︁

Lưu ý: một số học sinh thường quên đổi sang cận mới theo 𝑡 Phép đổibiến này xuất phát từ nhận xét đạo hàm trong căn (𝑥2 + 1)′ = 𝑥 nên

ta triệt tiêu được 𝑥 ngoài dấu căn Bài này ta còn có thể giải theo cáchkhác như ở Ví dụ 1.5.7 trang 33

Ví dụ 1.4.2 Tính 𝐼 =

√ 3

www.MATHVN.com

Nhận xét: Trước khi đổi sang biến 𝑡 ta có bước phân tích làm xuấthiện kết quả vi phân 𝑥𝑑𝑥 là 𝑥3𝑑𝑥 = 𝑥2.𝑥𝑑𝑥 và ta thấy cần chuyển 𝑥2theo biến 𝑡 thì phép đổi biến mới thành công.

 Bài toán tương tự

3

2 − 1 6

1 + 2 ln 𝑥 ⇒ 𝑡2 = 1 + 2 ln 𝑥 ⇒ 2 ln 𝑥 = 𝑡2− 1

⇒ 𝑡𝑑𝑡 = 1

𝑥𝑑𝑥Đổi cận: 𝑥 = 1 ⇒ 𝑡 = 1 ; 𝑥 =√

2 ⇒ 𝑡 =√

2

1.4 Phương pháp đổi biến số đơn giản Chương 1 Tích phân

Khi đó: 𝐼 =

√ 3

∫︁

1

(4 − 𝑡2) 𝑑𝑡 = 10

√2

Ví dụ 1.4.4 Tính 𝐼 =

2√3

∫︁

√ 5

Khi đó: 𝐼 =

2√3

∫︁

√ 5

14

 Bài toán tương tự

Khi gặp hàm dưới dấu tích phân có chứa các biểu thức dạng(︂ 𝑎𝑥 + 𝑏)

𝑐𝑥 + 𝑑

)︂𝑚𝑛, ,(︂ 𝑎𝑥 + 𝑏)

1.4 Phương pháp đổi biến số đơn giản Chương 1 Tích phân

GiảiĐặt 𝑥 + 1 = 𝑡6 ⇒ 𝑥 = 𝑡6− 1 ⇒ 𝑑𝑥 = 6𝑡5𝑑𝑡

𝑥 + 1 = (𝑥 + 1)13,√

𝑥 + 1 = (𝑥 + 1)12 và mẫu số chungcủa các số mũ 1

1 +√2𝑥 + 1𝑑𝑥

1 Phương pháp giải tổng quát xem mục 1.6 trang 37

www.MATHVN.com

GiảiĐặt 𝑡 = 1 +√

2𝑥 + 1 ⇒ 𝑡 − 1 =√

2𝑥 + 1

⇒ 2𝑥 + 1 = (𝑡 − 1)2 ⇒ 𝑑𝑥 = (𝑡 − 1)𝑑𝑡Đổi cận: 𝑥 = 0 ⇒ 𝑡 = 2 ; 𝑥 = 4 ⇒ 𝑡 = 4

)︂

𝑑𝑥 = 1

2− ln 22

Nhận xét: bài này gọn nhất là giải bằng phương pháp Tích phânhàm hữu tỉ2 ở đây đưa ra hướng giải khác để thấy nhiều cách tiếp cậnmột bài tích phân

2 Xem mục 1.6 trang 37

1.4 Phương pháp đổi biến số đơn giản Chương 1 Tích phân

 Bài toán tương tự

Thông thường ta đặt 𝑡 là biểu thức lấy lũy thừa

 Bài toán tương tự

𝑥Đổi cận: 𝑥 = 1 ⇒ 𝑡 = 1 ; 𝑥 = 𝑒 ⇒ 𝑡 = 2

1.4 Phương pháp đổi biến số đơn giản Chương 1 Tích phân

 Bài toán tương tự

1.5 Đổi biến sang lượng giác

ĐỔI BIẾN SANG LƯỢNG GIÁC

Hàm dưới dấu tích phân Đổi biến Điều kiện

∙ 𝑥 = 𝑎 sin 𝑡, 𝑡 ∈[︁−𝜋

2,

𝜋2]︁

∙ 𝑥 = 𝑎 cos 𝑡, 𝑡 ∈ [0, 𝜋]

Ví dụ 1.5.1 Tính 𝐼 =

√ 3

1.5 Đổi biến sang lượng giác Chương 1 Tích phân

Khi đó: 𝐼 =

𝜋 3

∫︁

− 𝜋 6

√︀

4 − 4 sin2𝑡 · 2 cos 𝑡 𝑑𝑡 = 4

𝜋 3

∫︁

− 𝜋 6

cos 𝑡

√cos2𝑡 𝑑𝑡

Do 𝑡 ∈ [︁−𝜋

6,

𝜋3

]︁

⇒ cos 𝑡 > 0 ⇒√cos 𝑡 = cos 𝑡

𝜋 3

∫︁

− 𝜋 6

4 cos2𝑡 𝑑𝑡 = 2

𝜋 3

∫︁

− 𝜋 6

(1 + cos 2𝑡) 𝑑𝑡

= 2

𝜋 3

∫︁

− 𝜋 6

𝑑𝑡 + 2

𝜋 3

∫︁

− 𝜋 6

Khi đó 𝐼 =

𝜋 3

∫︁

3𝜋 4

∫︁

𝜋 3

∫︁

𝜋 3

3 sin 𝑡

33· sin3𝑡𝑑𝑡 =

19

3𝜋 4

∫︁

𝜋 3

1sin2𝑡𝑑𝑡 = −

𝜋 3

=

√

3 + 327Nhận xét: trong bài này nếu đặt 𝑡 =

1.5 Đổi biến sang lượng giác Chương 1 Tích phân

1=

2sin𝑡

Biểu thức dưới dấu tích phân có dạng √

𝑥2− 𝑎2, 𝑎 > 0, vớibài tập có dạng này ta đặt

⇒ 𝑑𝑥 = −3 cos 𝑡

sin2𝑥𝑑𝑡Đổi cận: 𝑥 = 3√

2 ⇒ 𝑡 = 𝜋

4 ; 𝑥 = 6 ⇒ 𝑡 =

𝜋6

Khi đó: 𝐼 =

𝜋 6

∫︁

𝜋 4

−3 cos 𝑡sin2𝑥 · 3

sin 𝑡·

√︂

9sin2𝑡 − 9

𝑑𝑡 =

𝜋 4

∫︁

𝜋 3

cos 𝑡

3 sin 𝑡 ·

√︂

cos2𝑡sin2𝑡𝑑𝑡

= 1

3

𝜋 4

∫︁

𝜋 6

cos 𝑡sin 𝑡 ·cos 𝑡sin 𝑡

𝑑𝑡 = 13

𝜋 4

∫︁

𝜋 6

𝑑𝑡 = 𝜋36Nhận xét: bài này ta còn có thể đổi biến 𝑡 = √

𝑥2+ 9 sẽ xuất hiệntích phân có dạng

Ví dụ 1.5.4 Tính

√ 2

∫︁

1

1

√4𝑥2− 1𝑑𝑥

⇒ 𝑑𝑥 = sin 𝑡

2 cos2𝑡𝑑𝑡Đổi cận: 𝑥 = 1 ⇒ 𝑡 = 𝜋

3 ; 𝑥 =

√2

2 ⇒ 𝑡 = 𝜋

4

1.5 Đổi biến sang lượng giác Chương 1 Tích phân

Khi đó: 𝐼 =

𝜋 4

∫︁

𝜋

3

1cos 𝑡𝑑𝑡Đặt 𝑢 = sin 𝑡 ⇒ 𝑑𝑢 = cos 𝑡𝑑𝑡

Đổi cận: 𝑡 = 𝜋

3 ⇒ 𝑢 =

√3

2 ; 𝑡 =

𝜋

4 ⇒ 𝑢 =

√22

Khi đó: 𝐼 =

𝜋 4

∫︁

𝜋 3

1cos2𝑡 · cos 𝑡 𝑑𝑡 =

𝜋 4

∫︁

𝜋 3

1sin2𝑡 − 1 · cos 𝑡 𝑑𝑡

=

√ 2

∫︁

√ 3

1

𝑢2− 1𝑑𝑢 =

12

√ 2

∫︁

√ 3

Nhận xét: phép đổi biến sang lượng giác trong bài này là phù hợpnhưng đây chưa phải là cách làm hiệu quả nhất, nếu ta đổi biến theohướng khác 𝑡 = 2𝑥 +√

4𝑥2− 1 thì bài giải gọn hơn nhiều.3 Qua đó chothấy một bài tích phân có nhiều cách giải khác nhau, tìm được lời giảiđẹp đòi hỏi nhiều về kinh nghiệm và khả năng suy luận của mỗi người

 Bài toán tương tự

√ 3+1

3 Xem mục 1.8.3 trang 78

www.MATHVN.com

𝜋2)︁

⇒ 𝑑𝑥 = 3

cos2𝑡𝑑𝑡Đổi cận: 𝑥 = 3 ⇒ 𝑡 = 𝜋

∫︁

𝜋 4

1

9 tan2𝑡 + 9· 3

cos2𝑡 𝑑𝑡 =

13

𝜋 3

∫︁

𝜋 4

1(1 + tan2) cos2𝑡𝑑𝑡

= 1

3

𝜋 3

∫︁

𝜋 4

1cos2𝑡 · cos2𝑡 𝑑𝑡 = 1

3

𝜋 3

∫︁

𝜋 4

𝑑𝑡 = 𝜋36

1.5 Đổi biến sang lượng giác Chương 1 Tích phân

Đặt 𝑥 = 2 cot 𝑡, 𝑡 ∈ (0, 𝜋)

⇒ 𝑑𝑥 = 2

cos2𝑡𝑑𝑡Đổi cận: 𝑥 = 0 ⇒ 𝑡 = 𝜋

2 ; 𝑥 = 2 ⇒ 𝑡 =

𝜋4

Khi đó: 𝐼 =

𝜋 4

𝜋 4

∫︁

0

1(1 + cot2) sin2𝑡𝑑𝑡

= 1

2

𝜋 4

∫︁

0

1sin2𝑡 · sin2𝑡 𝑑𝑡 = 1

2

𝜋 4

∫︁

0

𝑑𝑡 = 𝜋8

⇒ 𝑑𝑥 = 1

cos2𝑡𝑑𝑡Đổi cận: 𝑥 = 0 ⇒ 𝑡 = 0 ; 𝑥 = 1 ⇒ 𝑡 = 𝜋

4

Khi đó: 𝐼 =

𝜋 4

∫︁

0

sin 𝑡cos 𝑡· 1cos 𝑡 · 1cos2𝑡𝑑𝑡

=

𝜋 4

∫︁

0

sin 𝑡cos4𝑡𝑑𝑡 = · · · =

13

www.MATHVN.com

 Bài toán tương tự

⇒ 𝑑𝑥 = √1

3(1 + tan

2𝑡) 𝑑𝑡Đổi cận: 𝑥 = 0 ⇒ 𝑡 = 0 ; 𝑥 = 1 ⇒ 𝑡 = 𝜋

3

1.5 Đổi biến sang lượng giác Chương 1 Tích phân

Khi đó: 𝐼 =

𝜋 3

∫︁

0

1(1 + tan2)2 ·√1

3(︀1 + tan2𝑡)︀ 𝑑𝑡 = √1

3

𝜋 3

∫︁

0

cos2𝑡 𝑑𝑡 = 1

2√3

𝜋 3

 Bài toán tương tự

(︁

𝜋

3 −

√ 3 4

[︁

0,𝜋2]︁

⇒ 𝑑𝑥 = −2 sin 2𝑡

Đổi cận: 𝑥 = −1 ⇒ 𝑡 = 𝜋

2 ; 𝑥 = 0 ⇒ 𝑡 =

𝜋4

www.MATHVN.com

Khi đó: 𝐼 =

𝜋 2

∫︁

𝜋 4

√︂ 1 + cos 2𝑡

1 − cos 2𝑡 · (−2 sin 2𝑡) 𝑑𝑡 =

𝜋 2

∫︁

𝜋 4

√cot2𝑡 · (−2 sin 2𝑡) 𝑑𝑡

=

𝜋 2

∫︁

𝜋 4

cot 𝑡 (−2 sin 2𝑡) 𝑑𝑡 =

𝜋 2

∫︁

𝜋 4

(︀−4 cos2𝑡)︀ 𝑑𝑡

= −2

𝜋 2

∫︁

𝜋 4

Biểu thức dưới dấu tích phân có dạng √︀(𝑥 − 𝑎)(𝑏 − 𝑥), với

bài tập có dạng này ta đặt 𝑥 = 𝑎 + (𝑏 − 𝑎) sin2𝑡, 𝑡 ∈ [︁0,𝜋

2]︁

Ví dụ 1.5.10 Tính 𝐼 =

3 2

∫︁

5 4

√︀

(𝑥 − 1)(𝑥 − 2) 𝑑𝑥

GiảiĐặt 𝑥 = 1 + sin2𝑡, 𝑡 ∈

[︁

0,𝜋2]︁

1.6 Tích phân hàm hữu tỉ Chương 1 Tích phân

Khi đó: 𝐼 = 1

2

𝜋 4

∫︁

𝜋 6

sin22𝑡 𝑑𝑡 = 1

4

𝜋 4

∫︁

𝜋 6

1 − cos 4𝑡 𝑑𝑡

= 𝜋

48 +

√332

Ví dụ 1.6.1 Tính 𝐼 =

√ 3−1

2,

𝜋2

)︁

⇒ 𝑑𝑥 = (1 + 𝑡2)𝑑𝑡Đổi cận: 𝑥 = −1 ⇒ 𝑡 = 0 ; 𝑥 =√

3 − 1 ⇒ 𝑡 = 𝜋

3Khi đó: 𝐼 =

𝜋 3

∫︁

0

(1 + 𝑡2)(1 + 𝑡2)𝑑𝑡 =

𝜋 3

1.6 Tích phân hàm hữu tỉ Chương 1 Tích phân

∫︁

𝜋 6

cos 𝑥sin2𝑥 − 6 sin 𝑥 + 2𝑑𝑥

www.MATHVN.com

Cho 𝑥+2 = 𝐴+𝐵(𝑥−2) Lần lượt cho 𝑥 = 0, 2 ta được hệ phươngtrình:

𝐴(𝑥 − 1)2 = 𝐵

𝑥 − 1 =

𝐶

𝑥 − 2Qui đồng mẫu số và khử mẫu hai vế ta được:

1.6 Tích phân hàm hữu tỉ Chương 1 Tích phân

3 Dạng tổng quát

Để tính bài toán tích phân5 𝐼 =

∫︁

𝑓 (𝑥)𝑔(𝑥)𝑑𝑥 ta thực hiện theo các bước:

1 Xét xem 𝑓 (𝑥)

𝑔(𝑥) đã là phân thức thực sự chưa Cụ thể:

(a) Nếu bậc 𝑓 (𝑥) nhỏ hơn bậc của 𝑔(𝑥) ta đã có phân thức thựcsự

(b) Nếu bậc của 𝑓 (𝑥) lớn hơn hoặc bằng bậc của 𝑔(𝑥) ta chia

𝑓 (𝑥) cho 𝑔(𝑥) để làm xuất hiện phân thức thật sự

2 Căn cứ vào dạng tích của mẫu thức mà ta phân tích thành tổngcác phân thức đơn giản

1) Biểu thức 𝑥4+ 𝑎4(𝑎 > 0) được phân tích thành

𝑥4 − 𝑎4 =(︁𝑥2+√

2𝑎𝑥 + 𝑎2)︁ (︁𝑥2−√2𝑎𝑥 + 𝑎2)︁

5 Ta chỉ xét trường hợp mẫu có nghiệm

www.MATHVN.com

2) Phương pháp trên giải quyết bài toán tích phân hàm hữu tỉ nhưngnói chung còn dài dòng Khi ta kết hợp với các phương pháp khácthì bài toán được giải quyết gọn hơn.

 Bài toán tương tự

)︁

1.7 Tích phân hàm lượng giác Chương 1 Tích phân

1.7 Tích phân hàm lượng giác

1.7.1 Các công thức lượng giác

1 Các góc liên quan đặc biệt

(a) Góc đối nhau

cos(−𝛼) = cos 𝛼 sin(−𝛼) = − sin 𝛼tan(−𝛼) = − tan 𝛼 cot(−𝛼) = − cot 𝛼(b) Góc bù nhau

sin(𝜋 − 𝛼) = sin 𝛼 cos(𝜋 − 𝛼) = − cos 𝛼tan(𝜋 − 𝛼) = − cot 𝛼 cot(𝜋 − 𝛼) = − tan 𝛼

(c) Góc phụ nhau

sin(︁𝜋

2 − 𝛼)︁= cos 𝛼 cos(︁𝜋

2 − 𝛼)︁= sin 𝛼tan(︁𝜋

2 − 𝛼)︁= cot 𝛼 cot(︁𝜋

2 − 𝛼)︁= tan 𝛼(d) Góc hơn kém hơn nhau 𝜋

sin(𝜋 + 𝛼) = − sin 𝛼 cos(𝜋 + 𝛼) = − cos 𝛼tan(𝜋 + 𝛼) = tan 𝛼 cot(𝜋 + 𝛼) = cot 𝛼(e) Góc hơn kém nhau 𝜋2

sin(︁𝜋

(a) Công thức nhân đôi

∙ sin 2𝛼 = 2 sin 𝛼 cos 𝛼

∙ cos 2𝛼 = cos2𝛼 − sin2𝛼 = 2 cos2𝛼 − 1 = 1 − 2 sin2𝛼

∙ sin 3𝛼 = 3 sin 𝛼 − 4 sin3𝛼

∙ cos 3𝛼 = 4 cos3𝛼 − 3 cos 𝛼

∙ tan 3𝛼 = 3 tan 𝛼 − tan

3𝛼

1 − 3 tan2𝛼

3 Công thức cộng

∙ sin(𝑎 + 𝑏) = sin 𝑎 cos 𝑏 + sin 𝑏 cos 𝑎

∙ sin(𝑎 − 𝑏) = sin 𝑎 cos 𝑏 − sin 𝑏 cos 𝑎

∙ cos(𝑎 + 𝑏) = cos 𝑎 cos 𝑏 − sin 𝑎 sin 𝑏

∙ cos(𝑎 − 𝑏) = cos 𝑎 cos 𝑏 + sin 𝑎 sin 𝑏

∙ tan(𝑎 + 𝑏) = tan 𝑎 + tan 𝑏

1 − tan 𝑎 tan 𝑏

∙ tan(𝑎 − 𝑏) = tan 𝑎 − tan 𝑏

1 + tan 𝑎 tan 𝑏

1.7 Tích phân hàm lượng giác Chương 1 Tích phân

4 Công thức biến đổi

(a) Tổng thành tích

∙ cos 𝑎 + cos 𝑏 = 2 cos𝑎 + 𝑏

2 cos

𝑎 − 𝑏2

∙ cos 𝑎 − cos 𝑏 = −2 sin𝑎 + 𝑏

2 sin

𝑎 − 𝑏2

∙ sin 𝑎 + sin 𝑏 = 2 sin𝑎 + 𝑏

2 cos

𝑎 − 𝑏2

∙ sin 𝑎 − sin 𝑏 = 2 cos𝑎 + 𝑏

2 sin

𝑎 − 𝑏2

∙ tan 𝑎 + tan 𝑏 = sin(𝑎 + 𝑏)

∙ sin 𝛼 − cos 𝛼 =√2 sin

(︁

𝛼 − 𝜋4

Ví dụ 1.7.1 Tính 𝐼 =

𝜋 2

∫︁

0

1

4 + 5 sin 𝑥𝑑𝑥GiảiĐặt 𝑡 = tan𝑥

2

)︀ 𝑑𝑡 =

13

∫︁

0

1sin2𝑥 + 2 sin 𝑥 cos 𝑥 − cos2𝑥𝑑𝑥Giải

𝑑𝑥 =

𝜋 2

∫︁

0

1sin 2𝑥 − cos 2𝑥𝑑𝑥

1

∫︁

0

12𝑡

1.7 Tích phân hàm lượng giác Chương 1 Tích phân

Phương pháp tổng quát giải bài toán tích phân hàm lượng giác là đổibiến 𝑡 = tan𝑥

2 nhưng trong một số trường hợp phương pháp này trởnên phức tạp, dài dòng Ta có cách giải riêng đối với một số dạng đặcbiệt

3 Dạng 1

∙ Hàm số là lẻ đối với sin ta đặt 𝑡 = cos 𝑥

∙ Hàm lẻ đối với cos ta đặt 𝑡 = sin 𝑥

Ví dụ 1.7.3

1 Xét hàm 𝑓 (sin 𝑥, cos 𝑥) = cos3𝑥 sin2𝑥

Ta có: 𝑓 (sin 𝑥, − cos 𝑥) = (− cos 𝑥)3sin2𝑥 = − cos3𝑥 sin2𝑥

= −𝑓 (sin 𝑥, cos 𝑥)

⇒ Đây là trường hợp hàm lẻ đối với cos

2 Xét hàm số 𝑓 (sin 𝑥, cos 𝑥) = (sin 𝑥 + sin3𝑥) cos 𝑥

Ta có: 𝑓 (− sin 𝑥, cos 𝑥) = [− sin 𝑥 + (− sin 𝑥)3] cos 𝑥

= (− sin 𝑥 − sin3𝑥) cos 𝑥 = −(sin 𝑥 + sin3𝑥) cos 𝑥

1.7 Tích phân hàm lượng giác Chương 1 Tích phân

 Bài toán tương tự

Giải

www.MATHVN.com

(a) Nhận xét: hàm tan5𝑥 = sin

5𝑥cos5𝑥 là hàm chẵn đối với sin 𝑥, cos 𝑥Đặt 𝑡 = tan 𝑥 ⇒ 𝑑𝑥 = 1

1 + 𝑡2𝑑𝑡Đổi cận: 𝑥 = 0 ⇒ 𝑡 = 0 ; 𝑥 = 𝜋

1.7 Tích phân hàm lượng giác Chương 1 Tích phân

sin𝑚cos𝑛𝑑𝑥 trong đó 𝑚, 𝑛 là các số nguyên dương chẵn

Loại này là trường hợp đặc biệt của Dạng 2 nhưng ta có thể giải gọnhơn bằng cách:

1 Nhóm lũy thừa chung của sin 𝑥 và cos 𝑥 để sử dụng công thứcsin 𝑥 cos 𝑥 = 1

2sin 2𝑥.

www.MATHVN.com

2 Phần còn lại dùng cos2𝑥 = 1 + cos 2𝑥

𝜋 2

0

= 𝜋32

⇒ 𝐼2 = 0

Vậy 𝐼 = 𝜋

32

1.7 Tích phân hàm lượng giác Chương 1 Tích phân

 Bài toán tương tự

biến 𝑡 = tan 𝑥 hoặc 𝑡 = cot 𝑥 Dạng 𝐼 =

𝑏

∫︁

𝑎

cos𝑚𝑥sin2𝑛𝑥𝑑𝑥 có cách làmtương tự

đó đổi biến tùy từng bài cụ thể Dạng 𝐼 =

𝑏

∫︁

𝑎

cot𝑚𝑥 𝑑𝑥 có cáchgiải tương tự

2 cos2𝑛 𝑥

2

𝑑𝑥Đổi biến 𝑡 = tan𝑥2 (xem mục 1.7.2 trang 45)

Ta đưa về dạng trên bằng cách đổi biến 𝑡 = 𝜋

∫︁

0

(︂

1cos2𝑥 − 1

)︂

𝑑𝑥 = (tan 𝑥 − 𝑥)|

𝜋 4

0 = 1 − 𝜋

4

b) Ta có: 𝐼 =

𝜋 3

∫︁

0

tan 𝑥 tan2𝑥 𝑑𝑥 =

𝜋 3

)︂

𝑑𝑥

=

𝜋 3

∫︁

0

tan 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐼1− 𝐼2

1.7 Tích phân hàm lượng giác Chương 1 Tích phân

3 ⇒ 𝑡 =√3Khi đó: 𝐼 =

√ 3

∫︁

0

1cos4𝑥𝑑𝑥

∫︁

𝜋 4

cot3𝑥 𝑑𝑥

www.MATHVN.com

𝜋 6

1sin4𝑥 cos4𝑥𝑑𝑥

∫︁

𝜋 6

)︁

𝜋 2

∫︁

0

sin2𝑥 − cos2𝑥sin4𝑥 + cos4𝑥𝑑𝑥

∫︁

0

1cos 𝑥𝑑𝑥

1.7 Tích phân hàm lượng giác Chương 1 Tích phân

∫︁

− 𝜋 2

(cos 5𝑥 − cos 9𝑥) 𝑑𝑥 = 4

45

(b) Ta có: 𝐼2 =

𝜋 2

∫︁

𝜋 6

(︂

1 + sin 2𝑥sin 𝑥 + cos 𝑥 − cos 2𝑥

∫︁

𝜋 6

[︃

(sin 𝑥 + cos 𝑥)2sin 𝑥 + cos 𝑥 +

cos2𝑥 − sin2𝑥sin 𝑥 + cos 𝑥

]︃

𝑑𝑥

=

𝜋 2

∫︁

𝜋 6

(sin 𝑥 + cos 𝑥 + cos 𝑥 − sin 𝑥) 𝑑𝑥 = 2

𝜋 2

∫︁

𝜋 6

∫︁

0

sin 𝑥 cos 2𝑥 cos 3𝑥 𝑑𝑥

www.MATHVN.com

1.7.4 Tích phân dạng hữu tỉ đối với hàm số lượng

∫︁

0

1sin 𝑥 + cos 𝑥 + 1𝑑𝑥

Giải

Đặt 𝑡 = tan𝑥

2 ⇒ 𝑑𝑥 = 2

1 + 𝑡2𝑑𝑡Đổi cận: 𝑥 = 0 ⇒ 𝑡 = 0 ; 𝑥 = 𝜋

2 ⇒ 𝑡 = 1Khi đó: sin 𝑥 + cos 𝑥 + 1 = 2𝑡

1.7 Tích phân hàm lượng giác Chương 1 Tích phân

2 sin 𝑥 + 16 cos 𝑥 = 𝐴(2 sin 𝑥 + 3 cos 𝑥)′+ 𝐵(2 sin 𝑥 + 3 cos 𝑥)

= 𝐴(2 cos 𝑥 − 3 sin 𝑥) + 𝐵(2 sin 𝑥 + 3 cos 𝑥)Lần lượt cho 𝑥 = 0,𝜋

3 Dạng 3

Tích phân dạng 𝐼 =

∫︁ 𝑚 sin 𝑥 + 𝑛 cos 𝑥 + 𝑘

𝑎 sin 𝑥 + 𝑏 cos 𝑥 + 𝑐 𝑑𝑥.

Ta tìm 3 số 𝐴, 𝐵, 𝐶 thỏa : Tử số = 𝐴(Mẫu số)′+ 𝐵(Mẫu số) + 𝐶 Khi

đó đưa về được các dạng tích phân đã biết cách giải

Ví dụ 1.7.11 Tính 𝐼 =

𝜋 2

∫︁

0

3 sin 𝑥 + 5 cos 𝑥 + 2sin 𝑥 + cos 𝑥 + 1 𝑑𝑥Giải

Ta tìm ba số 𝐴, 𝐵, 𝐶 thỏa mãn:

3 sin 𝑥 + 5 cos 𝑥 + 1 = 𝐴(3 sin 𝑥 + 5 cos 𝑥 + 1)′+ 𝐵(3 sin 𝑥 + 5 cos 𝑥 + 1) + 𝐶

= 𝐴(3 cos 𝑥 − 5 sin 𝑥) + 𝐵(3 sin 𝑥 + 5 cos 𝑥 + 1) + 𝐶Lần lượt cho 𝑥 = 0,𝜋

∫︁

0

cos 𝑥 − sin 𝑥sin 𝑥 + cos 𝑥 + 1𝑑𝑥 + 4

𝜋 2

∫︁

0

𝑑𝑥 − 2

𝜋 2

∫︁

0

1sin + cos 𝑥 + 1𝑑𝑥

1.7 Tích phân hàm lượng giác Chương 1 Tích phân

Ta tìm 2 số 𝐴, 𝐵 thỏa : Tử số = 𝐴(Mẫu số)′+ 𝐵(Mẫu số) Khi đó đưa

về được các dạng tích phân đã biết cách giải

Ví dụ 1.7.12 Tính 𝐼 =

𝜋 2

∫︁

0

5 cos 𝑥 + sin 𝑥(sin 𝑥 + cos 𝑥)2𝑑𝑥Giải

∫︁

0

cos 𝑥 − sin 𝑥(sin 𝑥 + cos 𝑥)2 𝑑𝑥 + 3

𝜋 2

∫︁

0

1sin 𝑥 + cos 𝑥𝑑𝑥 = 2𝐼1+ 3𝐼2.

0

= 0 (hoặc ta có thể đổibiến 𝑡 = sin 𝑥 + cos 𝑥.)

𝑥

2 (Ví dụ 1.7.9 ) ta tínhđược 𝐼2 =√

2 ln(√

2 + 1)Vậy 𝐼 = 3√

2 ln(√

2 + 1)

www.MATHVN.com

 Bài toán tương tự

𝑏

∫︁

𝑎

1(𝑎 sin 𝑥 + 𝑏 cos 𝑥)3 𝑑𝑥

Ta biến đổi mẫu số

∫︁

0

4 cos 𝑥 − 7 sin 𝑥(2 sin 𝑥 + cos 𝑥)3 𝑑𝑥

1.7 Tích phân hàm lượng giác Chương 1 Tích phân

GiảiTìm hai số 𝐴, 𝐵 thỏa

4 cos 𝑥 − 7 sin 𝑥 = 𝐴(2 cos 𝑎 − sin 𝑥) + 𝐵(2 sin 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥)

Lần lượt cho 𝑥 = 0,𝜋

2 ta được hệ phương trình{︃

∫︁

0

2 cos 𝑥 − sin 𝑥(2 sin 𝑥 + cos 𝑥)3 𝑑𝑥 − 2

𝜋 2

∫︁

0

1(2 sin 𝑥 + cos 𝑥)3 𝑑𝑥

5, cos 𝛼 =

1

√5

Ta có: 2 sin 𝑥 + cos 𝑥 =√

5(sin 𝑥 sin 𝛼 + cos 𝛼 cos 𝑥) =√

5 cos(𝑥 − 𝛼)Khi đó: 𝐼2 =

𝜋 2

0

www.MATHVN.com