Chun đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn NGUYÊN HÀM -TÍCH PHÂN VÀ Chuyên đề 14: ỨNGDỤNG TÓM TẮT GIÁO KHOA I ĐỊNH NGHĨA NGUYÊN HÀM : * Đònh nghóa : Hàm số F(x) gọi nguyên hàm f(x) (a , b) : F’(x) = f(x) , x(a ; b) Nếu thay khoảng (a , b) đoạn [a , b] ta phải có thêm : F '(a ) f(a) F '(b ) f(b) * Đònh lý : Cho F(x) nguyên hàm f(x) (a , b) G(x) nguyên hàm f(x) (a,b) G(x) = F(x) + C (C : số ) Nhận xét : Nếu hàm số f(x) có nguyên hàm F(x) có vô số nguyên hàm, tất nguyên hàm có dạng F(x) + C gọi họ nguyên hàm hàm số f(x) Ký hiệu : f(x)dx Vậy : F(x) nguyên hàm f(x) : f(x)dx F(x) C II SỰ TỒN TẠI NGUYÊN HÀM : Mọi hàm số liên tục [a,b] có nguyên hàm đoạn III CÁC TÍNH CHẤT : (f(x)dx)' f(x) a.f(x)dx af(x)dx (a 0) f(x)dx � g(x)dx f(x) g(x) dx � � f(t)dt F(t) C � � f[u(x)].u'(x)dx F u(x) C � (1) Đặt u = u(x) du = u’(x)dx Vậy (1) f(t)dt F(t) C f(u)du F(u) C * Trường hợp đặc bieät : u = ax +b f(t)dx F(t) C f(ax b)dx aF(ax b) C 162 Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn IV Bảng tính nguyên hàm bản: Bảng Hàm số f(x) a ( số) Bảng Họ nguyên hàm F(x)+C ax + C Hàm số f(x) Họ nguyên haøm F(x) +C x 1 C 1 (ax b) x ax ln x C ax b A ax b (ax b) 1 C a 1 ln ax b C a ex ex C eaxb sinx -cosx + C sin(ax+b) cosx sinx + C cos(ax+b) cos2 x tanx + C cos (ax b) Aax b C a ln A axb e C a cos(ax b) C a sin(ax b) C a tan(ax b) C a sin2 x -cotx + C sin (ax b) cot(ax b) C a u'(x) u(x) ln u(x) C x a2 x a ln C 2a x a tanx ln cosx C cotx ln sinx C x ax C lna 2 163 Chun đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn Phương pháp 1: Sử dụng định nghĩa tính chất kết hợp với bảng tính nguyên hàm Phântíchtíchphân cho thành tíchphân đơn giản có công thức bảng nguyên hàm Cách phântích : Dùng biến đổi đại số mũ, lũy thừa, đẳng thức biến đổi lượng giác công thức lượng giác Ví dụ: Tính 2x 2x2 5x dx dx 1) I �2 2) I �2 3) I �3 dx x 4 x 3x x x 2x dx 4) I �x e 2 Ví dụ : Tìm họ nguyên hàm hàm số sau: 2x f(x) f (x) cos x x 1 x x 4x Phương pháp 2: Phương pháp đổi biến số Định lí bản: f u(x) u'(x)dx pp đổi biến số Cách thực hiện: Tính � Bước 1: Đặt u u(x) � du u'(x)dx f u(x) u'(x)dx � f(u)du F(u) C F u(x) C Bước 2: Tính � xcos 3 x2 dx Ví dụ: Tính I � Kỹ thuật: Sử dụng cách viết vi phân hóa tíchphân Ví dụ: Tính tan x 1 lnx cosx.e3sinxdx dx cos xsin xdx � dx 4) � cos x x tanx dx dx e ln x 5) � 6) � dx 7) � 8) � 9) dx xlnx sinx cos x x Phương pháp 3: Phương pháp tính nguyên hàm phần Định lí bản: Ví dụ: Tính x 1 sinxdx 1) I � lnxdx 4) I � x 2 e2xdx 2) I � 5) I � x2 1 lnxdx 164 xlnxdx 3) I � ex cosxdx 6) I � dx � cos x Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn I TÍNH TÍCHPHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG ĐN VÀ CÁC TÍNH CHẤT TÍCHPHÂN Đònh nghóa: Cho hàm số y=f(x) liên tục a; b Giả sử F(x) nguyên hàm hàm số f(x) thì: b b f (x)dx F (x) a F (b) F (a) ( Công thức NewTon - a Leipniz) Các tính chất tích phân: a Tính chất 1: Nếu hàm số y=f(x) xác đònh a : f (x)dx � a b a f (x)dx f (x)dx Tính chất 2: a b Tính chất 3: Nếu hai hàm số f(x) g(x) liên tục a; b b b b f (x) g(x) dx f (x)dx g(x)dx a a a Tính chất 4: Nếu hàm số f(x) liên tục a; b k số b b k f (x)dx k.f (x)dx a a Tính chất 5: Nếu hàm số f(x) liên tục a; b c số b c b f (x)dx f (x)dx f (x)dx a a c Tính chất 6: Tíchphân hàm số a; b cho trước không phụ thuộc vào biến số , nghóa : b b b f (x)dx f (t)dt f (u)du a a a Bài (D.2013) Bài 2: Tính tích phaân sau: 1 x x dx dx 1) 2) (2x 1) 2x 0 4x 11 dx x 5x 3) x 1 xdx 4) x3 dx 6) x 2x 2x dx 5) x 4x 165 7) Chuyên đề LTĐH 6 Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn 8) (sin x cos x)dx 4sin x 12) x dx e 1 13) cos x dx sin x dx x 2x Baøi 3: x 14) sin x dx cos x 2) 15) cos x dx sin x x 3x 2dx 3) ( x x 2)dx 3 5) 16) 1 2dx x2 0 3 4) cos 2xdx 12) (cos x sin x)dx 1) x 1dx 10) 9) 1 sin2xdx cos2 x 1 cosxdx 11) x 2 4dx 6) x x dx 0 Bài 4: 1) Tìm số A,B để hàm số f(x) A sinx B thỏa mãn đồng thời điều kiện ' f (1) 2 f(x)dx 4 2) Tìm giá trò số a để có đẳng thức : 2 [a (4 4a)x 4x3]dx 12 II TÍNH TÍCHPHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ : b 1) DẠNG 1:Tính I = ' f[u(x)].u(x)dx cách đặt t = u(x) a b u (b ) a u (a) f u ( x ).u ' ( x)dx f (t )dt Công thức đổi biến số dạng 1: Cách thực hieän: t u ( x) dt u ' ( x) dx x b t u (b) Bước 2: Đổi cận : x a t u (a ) Bước 3: Chuyển tíchphân cho sang tíchphân theo biến t ta Bước 1: Đặt b u (b ) a u(a) I f u ( x).u ' ( x)dx f (t )dt (tieáp tục tính tíchphân mới) Bài 1: (B-2013) 166 Chun đề LTĐH Bài 1: (CĐ-2013) Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn Bài 2: (B-2012) Bài 3: Tính tíchphân sau: 1) 2) cos xsin xdx e 5) 3) cos xdx cos x sin x dx 4) cos xdx 1 ln2 x dx 6) x sin x sin2x(1 sin x) dx e 1 lnx dx x 7) x (1 x ) dx 8) 9) sin x sin x dx cos x ln x ln x dx x e 10) (e sin x cos x) cos xdx 11) 12) 1 sin x dx sin x b 2) DAÏNG 2: Tính I = f(x)dx cách đặt x = (t) a b a I f ( x)dx f (t ) ' (t )dt Công thức đổi biến số dạng 2: Cách thực hiện: x (t ) dx ' (t )dt x b t Bước 2: Đổi cận : x a t Bước 3: Chuyển tíchphân cho sang tíchphân theo biến t ta Bước 1: Đặt b a I f ( x)dx f (t ) ' (t )dt (tiếp tục tính tíchphân mới) Tính tíchphân sau: 1 dx 2) 1 x2 1) 1 x dx 1 dx 4) x x 1 5) 2 x2 1 x2 167 3) x2 dx dx 6) x x2 dx Chun đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn II TÍNH TÍCHPHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP VI PHÂN: Tính tích phaân sau: dx 1) x x 2) x3 1 x dx 3) x1 3x dx dx dx 6) x x 4 3x III TÍNH TÍCHPHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCHPHÂN TỪNG PHẦN: Công thức tíchphân phần: 4) 3 x x 1dx 5) b b u ( x ).v ' ( x )dx u ( x ).v ( x ) a v( x).u ' ( x )dx b a a b b udv u.v a vdu Hay: b a a Cách thực hiện: u u ( x) du u ' ( x)dx dv v' ( x)dx v v ( x ) Bước 2: Thay vào công thức tíchphân từng phần : Bước 1: Đặt b b udv u.v a vdu b a a Bước 3: Tính u.v ba b vdu a Bài 1: (A-2013) Bài 2: (D-2012) Bài 3: (A-2012) Bài 4: Tính tíchphân sau: 1) x 1 sin2xdx � 2) 2x 1 cos � xdx ln x2 x dx 3) � 168 4) lnx �x dx Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn lnx 5) dx x 6) e 7) xcos xdx xln xdx 8) xsinxcos xdx 9) x(2cos x 1)dx 2x 10) (x 1) e dx 11) 0 e 0 ln x dx 14) x 13) x ln(1 x )dx 2x 12) ( x 2)e dx e 2 (xlnx) dx 15) ( x cos x ) sin xdx 16) (2 x 7) ln( x 1)dx 1 ln x 1 18) I � dx x 1 IV ỨNGDỤNGTÍCHPHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG: Công thức: e 17) x3 ln2 xdx � (C1 ) : y f ( x) (C ) : y g ( x ) (H ) : 1 : x a : x b y x a (H ) x b (C1 ) : y f ( x) (C ) : y g ( x) b O ba S f ( x) g ( x) dx a yC1 y C2 y O Tính diện tích hình phẳng sau: 3x y x y x2 1) (H1): y 0 2) (H2): x y x 0 (C ) : y x (C ) : y e x 4) (H4): (d ) : y 2 x 5) (H5): (d ) : y 2 (Ox) ( ) : x 1 169 y b b a x (C ) : x g ( y ) (C1 ) : x f ( y ) (C ) : x g ( y ) (H ) : : y a : y b (H ) y a x b S f ( y ) g ( y ) dy a xC1 xC(2 C1 ) : x f ( y ) y x2 2x 3) (H3) : y x 4x Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn V ỨNGDỤNGTÍCHPHÂN TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY Công thức: y x a O a y x b (C ) : y f ( x ) y 0 b b b x 0 a x y b (C ) : x f ( y ) y a x O b V f ( y ) dy V f ( x) dx a a Baøi 1: Cho miền D giới hạn hai đường : y = x2 + x - ; x + y - = Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox Bài 2: Cho miền D giới hạn đường : y x;y 2 x;y 0 Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên D quay quanh trục Oy Bài 3: Cho miền D giới hạn hai đường : y 4 x2; y x2 Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox Heát - 170