Ví dụ 2: (Đề thi đại học khối D 2004): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho ba ®iĨm A(2; 0; 1), B(1; 0; 0), C(1; 1; 1) mặt phẳng (P): x + y + z2 = Viết phơng trình mặt cầu qua ba điểm A, B, C có tâm thuộc mặt phẳng (P) Giải Giả sử mặt cầu (S) có d¹ng: (S): x2 + y2 + z22ax2by2cz + d = 0, víi a + b2 + c2d §iĨm A(S) 54a2c + d = (1) §iĨm B(S) 12a + d = (2) §iĨm C(S) 32a2b2c + d = (3) T©m I(a; b; c)(P) a + b + c2 = (4) Giải hệ phơng trình tạo (1), (2), (3), (4), ta đợc a = 1, b = 0, c = 1, d = 1, tho¶ m·n điều kiện Vậy, phơng trình mặt cầu (S): x2 + y2 + z22x2z + = VÝ dô 3: (Đề thi đại học khối A 2005): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho đờng thẳng (d) mặt phẳng (P) có phơng trình: (d): x y z ; (P): 2x + y 2z + = 1 a Tìm toạ độ điểm I thuộc (d) cho khoảng cách từ I tới (P) b Tìm toạ độ giao điểm A (d) (P) Viết phơng trình tham số đờng thẳng () nằm mặt phẳng (P), biết () qua A vuông góc với (d) Giải Chuyển phơng trình (d) vỊ d¹ng tham sè: �x t � (d): �y 3 2t , t � �z t � a Víi gi¶ thiÕt I (d) suy I(1 t; 2t 3; + t) Víi ®iỊu kiƯn d(I, P) = 2, ta đợc: 225 | 2(1 t) (2t 3) 2(3 t) | t4 � = 2 � (2) t 2 � Víi t = 4, ta đợc I1(3; 5; 7) Với t = 2, ta đợc I2(3; 7; 1) Vậy, tồn hai điểm I1, I2 thoả mãn điều kiện đầu b Thay phơng trình tham số (d) vào (P), ta đợc: 2(1 t) + (2t 3) 2(3 + t) + = t = A(0; 1; 4) r r r Gäi a, b, n theo thø tù lµ vtcp cđa (d), vtcp cđa (), vtpt cña (P), ta cã r r a (1; 2; 1) vµ n (2; 1; 2) NhËn xÐt r»ng: r r �b n ( ) �(P) r r r r � � �r r b = [ n , a ] = (5; 0; 5) chän b (1; 0; 1) � ( ) (d) � �b a 2 Khi ®ã: �x t qua A(0, 1, 4) � � (): � r (): �y 1 , t � �vtct b(1,0,1) �z t � VÝ dô 4: (Đề thi đại học khối D 2005): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai đờng thẳng (d1): �x y z x 1 y2 z 1 = = vµ (d2): � 1 �x 3y 12 a Chøng minh r»ng (d1) vµ (d2) song song với Viết phơng trình mặt phẳng (P) chứa hai đờng thẳng (d1) (d2) b Mặt phẳng toạ độ Oxz cắt hai đờng thẳng d1, d2 lần lợt điểm A, B Tính diện tích OAB, với O gốc toạ độ Giải a Ta có: r (d1) cã vtcp a1 (3; 1; 2) vµ ®i qua ®iÓm M1(1; 2; 1) r (d2) cã vtcp a (3; 1; 2) qua điểm M2(0; 4; 2) r r NhËn xÐt r»ng a1 = a điểm M1 (d2) Vậy, hai đờng thẳng (d1) (d2) song song với Để lập phơng trình mặt phẳng (P) có hai cách sau: Cách 1: (Sử dụng chùm mặt phẳng): Mặt phẳng (P) chứa (d2) nên có dạng: 226 (P): A(x + y z 2) + B(x + 3y 12) = (1) Để (P) chứa (d1) điều kiện lµ: M1 (P) A(1 + 2) + B(1 12) = A = 17 B (2) Thay (2) vào (1), ta đợc (P): 15x + 11y 17z 10 = C¸ch 2: Ta cã ngay: qua M1 qua M1 (1, 2, 1) � � � � r uuuuuur (P): � r r uuuuuur (P): � c� pvtcp a1 v�M1M �vtpt n [ a1 , M1M ] (15,11, 17) � (P): 15(x 1) + 11(y + 2) 17(z + 1) = (P): 15x + 11y 17z 10 = b Ta lÇn lợt có: Toạ độ A nghiệm hệ tạo (d1) (Oxz) nên: x �x y z � � 1 �y A(5; 0; 5) �3 � �z 5 �y Toạ độ B nghiệm hệ tạo (d2) (Oxz) nên: x y z �x 12 � � �x 3y 12 �y B(12; 0; 10) �y �z 10 � � Khi ®ã, diƯn tÝch OAB, víi O gốc toạ độ đợc cho bởi: uuur uuur SOAB = [ OA, OB ] = [(5; 0; 5), (12; 0; 10)] = ®vdt 2 Ví dụ 5: (Đề thi đại học khối A 2002): Trong không gian Oxyz, cho đờng thẳng: x t �x 2y z � (1): � , (2): �y t , t � �x 2y 2z �z 2t a Lập phơng trình mặt phẳng (P) chứa (1) song song với (2) b Cho điểm M(2; 1; 4) Tìm toạ độ điểm H thuộc (2) cho độ dài MH ngắn Giải Ta lần lỵt cã: a (P) chøa (1) (P) thc chïm t¹o bëi (1), cã d¹ng: (P): A(x2y + z4) + B(x + 2y2z + 4) = 227 (P): (B + A)x + 2(BA)y + (A2B)z4A + 4B = uur vtpt n P (B + A; 2B2A; A2B) uu r uu r Gäi a lµ vtcp (2), ta đợc a (1; 1; 2) Vì (P)//(2) nªn: uur uu r uur uu r n P a n P a = 1.(B + A) + 1.2(BA) + 2.(A2B) = B = A Vậy, ta đợc (P): 2xz = b Ta cã thÓ lùa chän mét hai cách sau: Cách 1: Để H(2): MHMin H hình chiếu vuông góc M lên (2) r §êng th¼ng (2) cã vtcp a (1; 1; 2) Vì H (2) nên: uuuu r H(1 + t; + t; + 2t) MH (t 1; + t; 2t 3), uuuu r uuuu r r r MH (2) MH a MH a = 1.(t 1) + 1.(1 + t) + 2.(2t 3) = t = H(2; 3; 3) Cách 2: Để H(2): MHMin H hình chiếu vuông góc M lên (2) H = (Q)(2), ®ã: qua M(2,1, 4) � qua M � � r (Q): � (Q): � uu (Q): x = y + 2z11 = (Q) ( ) �vtpt a (1,1, 2) � B»ng c¸ch thay x, y, z từ (2) vào (Q), ta đợc t = nªn H(2; 3; 3) VÝ dơ 6: (Đề thi đại học khối B 2004): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho A(4; 2; 4) đờng thẳng (d) có phơng trình: x 2t � (d): �y t , t � �z 4t � ViÕt ph¬ng trình đờng thẳng () qua điểm A, cắt vuông góc với đờng thẳng (d) Giải Ta lựa chọn hai cách giải sau: r Cách 1: Đờng thẳng (d) có vtcp a (2; 1; 4), lấy điểm B(3; 1; 1)(d) Gọi (P1) mặt phẳng thoả mãn: qua A qua A( 4, 2, 4) � � qua A � r uuur (P1): � r (P1): � (P1): � ch� a (d) cƵp vtcp a v AB � �vtpt n (1, 2, 1) � 228 (P1): x2yz + = Gọi (P2) mặt phẳng thoả m·n: qua A( 4, 2, 4) � qua A � r � � (P2): �(P2 ) (d) (P2): �vtpt a(2, 1, 4) (P2): 2xy + 4z10 = NhËn xÐt r»ng, () chÝnh lµ giao tuyến (P 1) (P2) có phơng tr×nh: �x 2y z (): � �2x y 4z 10 r Cách 2: Đờng thẳng (d) có vtcp a (2; 1; 4) Gọi H hình chiếu vuông gãc cđa A lªn (d), suy ra: uuur H(2t 3; t; 4t 1) AH (2t + 1; t; 4t 5), r uuur uuur r AH a AH a = 2(2t + 1) (3 t) + 4(4t 5) = uuur t = AH (3; 2; 1) Khi đó, phơng trình đờng thẳng () đợc cho bởi: qua A( 4, 2, 4) � x4 y2 z4 (): � uuur (): 1 �vtcp AH(3, 2, 1) Ví dụ 7: (Đề thi đại học khối A 2003): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hình hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1 có A trùng với gốc hệ toạ độ, B(a; 0; 0), D(0; a; 0), A1(0; 0; b) víi a, b > Gäi G trung điểm cạnh CC1 a Tính thể tích khèi tø diƯn BDA1M theo a vµ b a b Xác định tỉ số để (A1BD) (MBD) b Giải Từ giả thiết suy C(a; a; 0) C1(a; a; b) M(a; a; b ) a Ta cã ngay: uuur uuuur uuuu r VBDA1M = [ BD, BA1 ] BM (1) ®ã: uuuur uuur uuuur uuur uuuu r b BD (a; a; 0), BA1 (a; 0; b), BM (0; a; ), [ BD, BA1 ] = (ab; ab; 2 a ) Tõ ®ã, suy ra: VBDA1M = (ab; ab; a2) (0; a; b )= a b r r b Gäi n A1BD , n MBD theo thứ tự vtpt mặt phẳng (A1BD) vµ (MBD), ta cã ngay: 229 r uuur uuuur n A1BD = [ BD, BA1 ] = (ab; ab; a2), uuur uuuu r r ab n MBD = [ BD, BM ] = ( ; ab ; a2) Để (A1BD) (MBD) điều kiện là: r r r r a b2 a b2 n A1BD n MBD n A1BD n MBD = a4 = a2 = b2 2 a = b VËy, víi a = b thoả mãn điều kiện đầu Ví dụ 8: (Đề thi đại học khối D 2004): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABCA1B1C1 BiÕt A(a; 0; 0), B(a; 0; 0), C(0; 1; 0), B 1(a; 0; b), a > 0, b > Gọi M trung điểm cạnh SC a Tính khoảng cách hai đờng thẳng B1C, AC1 b Cho a, b thay đổi nhng thoả mãn a + b = Tìm a, b, để khoảng cách hai đờng thẳng B1C, AC1 lớn Giải Ta cã A1(a; 0; b), C1(0; 1; b) B a Ta cã: b uuuu r uuuur uuuu r ab | [B1C, AC1 ].CC1 | uuuu r uuuur d(B1C, AC1) = = C1 |[B1C, AC1 ] | a b2 B O b Sử dụng bất đẳng thức Côsi, ta đợc: a C ab ab ab a b d(B1C, AC1) = = = y 2 2ab 2 a b Suy dmax = z A1 A a x a b4 , đạt đợc a = b a = b = Ví dụ 9: (Đề thi đại häc khèi B 2005): Trong kh«ng gian víi hƯ toạ độ Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 với A(0; 3; 0), B(4; 0; 0), C(0; 3; 0), B1(4; 0; 4) a Tìm toạ độ đỉnh A1, C1 b Viết phơng trình mặt cầu có tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (BCC1B1) c Gọi M trung điểm A1B1 Viết phơng trình mặt phẳng (P) ®i qua hai ®iĨm A, M vµ song song víi BC1 d Mặt phẳng (P) cắt đờng thẳng (A1C1) N Tính độ dài đoạn MN 230 Giải a A1(0; 3; 4), C1(0; 3; 4) b Phơng trình mặt phẳng (BCC1B1) đợc cho bởi: qua B qua B(4,0,0) � uuur uuu r (BCC1B1): � r uuuu r uuur (BCC1B1): cặp vtcp BC BB1 vtpt n [ AM, BC1 ] (3, 4,0) (BCC1B1): 3(x 4) + 4y = (BCC1B1): 3x + 4y 12 = Mặt cầu (S) tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (BCC 1B1) khi: R = d(A, (BCC1B1)) = | 4.( 3) 12 | = 24 Vậy, phơng trình mặt cầu S(A, R) có dạng: (S): x2 + (y + 3)2 + z2 = 2 576 25 c Ta cã M(2; ; 4) vµ ®ã: qua A qua A � � uuuu r uuur (P): � r uuuu r uuur (P): � cặp vtcp AM BC1 vtpt n [ AM, BC1 ] (1, 4, 2) (P): x + 4(y + 3) 2z = (P): x + 4y 2z + 12 = d Phơng trình tham số đờng thẳng (A1C1) đợc cho bëi: �x qua A1 (0, 3, 4) � � � r (A1C1): � uuuuu (A1C1): �y 3 t , víi t � �vtcp A1C1 (0,6,0) �z � B»ng c¸ch thay phơng trình tham số (A1C1) vào phơng trình (P) ta đợc: + 4(3 + t) 2.4 + 12 = t = N(0; 1; 4) 17 MN = (0 2) (1 ) (4 4) = 2 231 ...| 2( 1 t) (2t 3) 2( 3 t) | t4 � = 2 � ( 2) t 2 � Với t = 4, ta đợc I1(3; 5; 7) Với t = 2, ta đợc I2(3; 7; 1) Vậy, tồn hai điểm I1, I2 thoả mãn điều kiện... B(x + 2y2z + 4) = 2 27 (P): (B + A)x + 2( BA)y + (A2B)z4A + 4B = uur vtpt n P (B + A; 2B2A; A2B) uu r uu r Gọi a vtcp (2) , ta đợc a (1; 1; 2) Vì (P)// (2) nên: uur uu r uur... �vtpt n (1, 2, 1) � 22 8 (P1): x2yz + = Gäi (P2) mặt phẳng thoả mãn: qua A( 4, 2, 4) � qua A � r � � (P2): �(P2 ) (d) (P2): �vtpt a (2, 1, 4) (P2): 2xy + 4z10 = NhËn