chơng phơng pháp tọa độ không gian A Kiến thức cần nhớ I Hệ tọa độ không gian Hệ tọa độ không gian Định nghĩa Hệ gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi vuông z góc đợc gọi hệ trục tọa ®é kh«ng gian k O r r r r r r y KÝ hiƯu Oxyz hc (O, i , j , k ) víi i , j , k x vectơ đơn vị lần lợt nằm ba trục Điểm O đợc gọi gốc tọa độ Trục Ox đợc gọi trục hoành, trục Oy đợc gọi trục tung, trục Oz đợc gäi lµ trơc cao Ta chó ý r»ng: r2 r r r r r2 r r r2 i = j = k = vµ i j = j k = k i = i j Tọa độ vectơ r r r r r Ta cã v (x; y; z) ⇔ v = x i + y j + z k r r r r r r r NÕu v (x; y; z) th× x = v i , y = v j , z = v k r Các tính chất: Đối với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ v1 (x1; y1; z1) r v2 (x2; y2; z2) ta có kết sau: x1 = x2 r r 1) v1 = v2 ⇔ y1 = y2 z = z r 2) α v1 = (αx1; αy1; αz1), víi α ∈ ¡ r r 3) α v1 ± β v2 = (αx1 ± βx2; αy1 ± βy2; αz1 ± βz2), víi α, β ∈ ¡ r r 4) v1 v2 = x1x2 + y1y2 + z1z2 r r 5) | v1 | = v12 = x12 + y12 + z12 r r 6) cos( v1 , v2 ) = x1x2 + y1y2 + z1z2 x + y12 + z12 x22 + y22 + z22 r r r r 7) v1 ⊥ v2 ⇔ v1 v2 = ⇔ x1x2 + y1y2 + z1z2 = 83 Täa ®é cđa ®iĨm r uuuu r r r Ta cã M(x; y; z) ⇔ OM = x i + y j + z k Chó ý: Ta cã c¸c kÕt qu¶: M ≡ O ⇔ x = y = z = M ∈ (Oxy) ⇔ z = 0, tøc lµ M(x; y; 0) M ∈ (Oyz) ⇔ x = 0, tøc lµ M(0; y; z) M ∈ (Oxz) ⇔ y = 0, tøc lµ M(x; 0; z) M ∈ Ox ⇔ y = vµ z = 0, tøc lµ M(x; 0; 0) M ∈ Oy ⇔ x = vµ z = 0, tøc lµ M(0; y; 0) M ∈ Oz ⇔ x = vµ y = 0, tức M(0; 0; z) liên hệ Tọa độ vectơ tọa độ hai điểm mót Trong hƯ täa ®é Oxyz, cho hai ®iĨm A(xA; yA; zA) vµ B(xB; yB; zB) ta cã: uuur a AB = (xB − xA; yB − yA; zB − zA) uuur b AB = | AB | = (xB − xA )2 + (yB − yA )2 + (zB − zA )2 xA + xB yA + yB zA + zB ; ; c Trung ®iĨm I đoạn AB có tọa độ 2 ÷ TÝch cã híng (hay tích vectơ) hai vectơ Định nghĩa r r TÝch cã híng (hay tÝch vect¬) cđa hai vect¬ v1 (x1; y1; z1) vµ v2 uu r uu r r (x2; y2; z2) kÝ hiƯu v1, v2 lµ vectơ v đợc xác định bởi: uu r uu r y z z x x y v1, v2 = 1 ; 1 ; 1 ÷ y z z x x y ÷ 2 2 2 C¸c tÝnh chÊt cđa tÝch cã híng: Ta cã: uu r uu r r r a Vect¬ v1, v2 vuông góc với hai vectơ v1 v2 , tøc lµ: uu r uu r r uu r uu r r v1, v2 v = v1, v2 v2 = uu r uu r r r r r b v1, v2 = v1 .v2 .sin( v1 , v2 ), góc hai vectơ r r v1 v2 uu r uu r r r r c v1, v2 = hai vectơ v1 v2 cïng ph¬ng øng dơng cđa cđa tÝch cã híng 84 Diện tích hình bình hành: Diện tích hình bình hành ABCD đợc cho công thức: uuur uuur uuur uuur uuur uuur S∆ABCD = AB, AD = AB .AD .sin( AB, AD ), DiƯn tÝch tam gi¸c: Diện tích ABC đợc cho công thức: uuur uuur uuur uuur uuur uuur AB, AC S∆ABC = = sin( AB, AC ) AB AC §iỊu kiƯn đồng phẳng ba vectơ r r r Định lí: Điều kiện cần đủ để ba vectơ v1 , v v3 đồng phẳng là: uu r uur v1 , v vr = ThĨ tÝch h×nh hép: ThĨ tÝch V hình hộp ABCD.A1B1C1D1 đợc cho công thức: uuur uuur uuuur V = AB, AD AA1 ThĨ tÝch tø diƯn: ThĨ tÝch V cđa tø diƯn ABCD đợc cho công thức: V= uuur uuur uuur AB, AC AD phơng trình mặt cầu Định lí: Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) có tâm I(a; b; c) bán kính R có phơng trình: (S): (x a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2 (1) Phơng trình (1) gọi phơng trình tắc mặt cầu Vậy, ta đợc: m I(a; b;c) T© ⇔ (C): (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2 B ¸n k Ý nh R (S): Chó ý: Ta cã: Mặt cầu tâm O bán kính R có phơng trình x2 + y2 + z2 = R2 Mặt cầu đơn vị có phơng trình x2 + y2 + z2 = Định lí: Trong không gian Oxyz, mặt (S) có phơng trình: (S): x2 + y2 + z2 − 2ax − 2by − 2cz + d = 0, (2) víi a2 + b2 + c2 − d > phơng trình mặt cầu tâm I(a; b; c) bán kính R = a + b2 + c2 d 85 Phơng trình (2) gọi phơng trình tổng quát mặt cầu II Phơng trình mặt phẳng Phơng trình mặt phẳng Định lí: Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (P) qua điểm r M0(x0; y0; z0) vµ cã vtpt n (A; B; C) có phơng trình: (P): A(x x0) + B(y − y0) + C(z − z0) = VËy, ta cã: Qua M (x ; y ; z ) r ⇔ (P): A(x − x0) + B(y − y0) + C(z − z0) vtpt n(A; B;C) (P): = Phơng trình tổng quát mặt phẳng không gian Oxyz là: (P): Ax + By + Cz + D = víi A2 + B2 + C2 > (1) r Khi ®ã, nã nhận vectơ n (A; B; C) làm vtpt Các trờng hợp riêng Nếu D = 0, mặt phẳng (P) qua gốc tọa độ Nếu A = 0, B 0, C 0, mặt phẳng (P): By + Cz + D = chøa hc song song với trục Ox Tơng tự: Mặt phẳng (P): Ax + Cz + D = chøa hc song song với trục Oy Mặt phẳng (P): Ax + By + D = chøa hc song song víi trơc Oz NÕu A = 0, B = 0, C 0, mặt phẳng (P): Cz + D = chứa song song với trục Ox Oy nên song song trùng với mặt phẳng xOy Tơng tự: Mặt phẳng (P): Ax + D = song song trùng với mặt phẳng yOz Mặt phẳng (P): By + D = song song trùng với mặt phẳng xOz Đặc biệt, phơng trình x = 0, y = 0, z = theo thứ tự phơng trình mặt phẳng tọa độ yOz, xOz, xOy Nếu A 0, B ≠ 0, C ≠ 0, D ≠ cách đặt: 86 a= D D D x y z ,b=− ,c=− ⇒ (P): + + = A B C a b c (2) Phơng trình (2) gọi phơng trình đoạn chắn mặt phẳng (P) Mặt phẳng cắt trục Ox, Oy, Oz lần lợt điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) VËy, ta cã: Qua A(a;0;0) x y z (P): Qua B(0; b;0) ⇔ (P): + + = a b c Qua C(0;0;c) VÞ trí tơng đối hai mặt phẳng Với hai mặt phẳng (P1) (P2) có phơng trình: (P1): A1x + B1y + C1z + D1 = 0, ®iỊu kiƯn A12 + B12 + C12 > , (P2): A2x + B2y + C2z + D2 = 0, ®iỊu kiƯn A 22 + B22 + C22 > , r r vectơ n1 (A1; B1; C1), n (A2; B2; C2) theo thø tù lµ vtpt cđa (P 1) (P2), đó: a Nếu A1 B1 C1 D1 = = = th× (P1) ≡ (P2) A2 B2 C2 D2 b NÕu A1 B1 C1 D1 = = ≠ th× (P1) // (P2) A2 B2 C2 D2 c NÕu A1: B1: C1 ≠ A2: B2: C2 th× (P1) ∩ (P2) = {(d)} khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Cho điểm M(xM; yM; zM) mặt ph¼ng (P): Ax + By + Cz + D = Khi đó, khoảng cách từ M đến (P) đợc tÝnh bëi c«ng thøc: d(M, (P)) = Ax M + By M + Cz M + D A + B2 + C III Phơng trình đờng thẳng phơng trình đờng thẳng Trong không gian Oxyz, đờng thẳng (d) qua điểm M 0(x0; y0; r z0) có vtcp u(a; b; c) có phơng trình: x = x + at (d): y = y + bt , t ∈ ¡ − Ph¬ng tr×nh tham sè z = z + ct 87 (d): x − x y − y0 z − z0 = = a b c víi abc ≠ Phơng trình tắc Đờng thẳng (d) qua hai điểm M1(x1; y1; z1) M2(x2; y2; z2), ta cã: Qua M1 (x1 ; y1 ; z1 ) ⇔ (d): Qua M (x ; y ; z ) (d): Qua M1 (x1 ; y1 ; z1 ) uuuuuur vtcp M1M (x − x1 ; y − y1 ; z − z1 ) x = x1 + (x − x1 )t ⇔ (d): y = y1 + (y − y1 )t , t ∈ ¡ z = z + (z − z )t hc (d): x − x1 y − y1 z − z1 = = x − x1 y − y1 z − z1 Chú ý: Cho hai mặt phẳng (P1) (P2) có phơng trình: (P1): A1x + B1y + C1z + D1 = 0, cã vtpt uu r n1 (A1 ; B1 ; C1 ) , (P2): A2x + B2y + C2z + D2 = 0, cã vtpt uur n (A ; B2 ; C ) víi ®iỊu kiƯn A1:B1:C1≠ A2:B2:C2 (*) §iỊu kiƯn (*) chøng tá (P 1) (P2) cắt theo giao tuyến đờng thẳng (d) gồm điểm M(x; y; z) thoả mãn hệ phơng trình: A1 x + B1 y + C1z + D1 = A x + B2 y + C z + D = r Khi ®ã, mét vtcp u cđa ®êng thẳng (d) đợc xác định bởi: r uu r uur B C C A A B u = n1 , n = 1 ; 1 ; 1 ÷ B C C A A B ÷ 2 2 2 Vị trí tơng đối hai đờng thẳng Cho hai đờng thẳng (d1) (d2), biết: uu r (d1) qua điểm M1(x1; y1; z1) có vtcp u1 (a1; b1; c1) uur (d2) ®i qua ®iĨm M2(x2; y2; z2) vµ cã vtcp u (a2; b2; c2) uu r uur uuuuuur Khi ®ã, xÐt ba vectơ u1 , u M1M ta có kết quả: 88 uu r uur (d1) (d2) đồng phẳng ba vectơ u1 , u uuuuuur M1M đồng phẳng Nh vậy: uu r uu r uuuuuur (d1) (d2) đồng phẳng ⇔ u1 , u1 M1M = (d1) (d2) cắt chúng đồng phẳng vtcp chúng không cïng ph¬ng Nh vËy: uu r uu r uuuuuur uu r uu r r (d1) (d2) cắt u1 , u1 M1M = vµ u1 , u1 ≠ uu r uur (d1) vµ (d2) song song víi u1 u phơng (d1), (d2) điểm chung Nh vậy: uu r uu r r uu r uuuuuur r (d1) // (d2) ⇔ u1 , u1 = vµ u1 , M1M ≠ uu r uur (d1) vµ (d2) trïng vµ chØ u1 u phơng (d1), (d2) có ®iÓm chung Nh vËy: uu r uu r uu r uuuuuur r (d1) ≡ (d2) ⇔ u1 , u1 = u1 , M1M = uu r uur (d1) vµ (d2) chÐo ba vectơ u1 , u uuuuuur M1M không đồng phẳng Nh vậy: uu r uu r uuuuuur (d1) vµ (d2) chÐo ⇔ u1 , u1 M1M ≠ Khi đó, khoảng cách (d1), (d2) đợc cho bởi: uu r uur uuuuuur u1 , u M1M d((d1), (d2)) = uu r uur u1 , u Chú ý: Nếu biết phơng trình hai đờng thẳng (d1) (d2) xét vị trí tơng đối chúng cách giải hệ gồm phơng trình xác định (d1) (d2) để ìthỏa mãn giao điểm đó: a Nếu hệ có nghiệm (d 1) (d2) cắt b Nếu hệ có vô số nghiệm (d 1) (d2) trùng c Nếu hệ vô nghiệm (d 1) (d2) song song chéo nhau, song song nÕu hai vtcp cđa chóng cïng ph¬ng, chÐo nÕu hai vectơ không phơng 89 khoảng cách từ điểm đến đờng thẳng r Cho điểm M đờng thẳng (d) có vtcp u qua điểm M0 Khi đó, khoảng cách từ điểm M đến đờng thẳng (d) đợc cho bởi: uuuuur r MM , u d(M, (d)) = r u Góc hai đờng thẳng uu r Cho hai đờng thẳng (d1) có vtcp u1 (a1; b1; c1) vµ (d2) cã vtcp lµ uur u (a2; b2; c2) Gọi góc tạo hai đờng thẳng (d1) (d2) (0 có: uu r uur u1 u cosα = uur uur = u1 u a1a + b1b + c1c2 a + b12 + c12 a 22 + b 22 + c22 π ), ta Chú ý: Điều kiện cần đủ ®Ĩ (d1) ⊥ (d2) lµ: cosα = ⇔ a1a2 + b1b2 + c1c2 = Góc đờng thẳng mặt phẳng Cho: r Mặt phẳng (P) có vtpt n (A; B; C) r Đờng thẳng (d) cã vtcp u(a; b;c) Gäi α lµ gãc tạo (P) (d), ta có: sin = Aa + Bb + Cc A + B2 + C a + b + c 2 B Phơng pháp giải dạng toán liên quan Đ1 hệ toạ độ không gian Dạng toán 1: Tọa độ điểm, vectơ yếu tố liên quan Phơng pháp Sử dụng kết phần: Tọa độ vectơ Tọa độ điểm Liên hệ tọa độ vectơ tọa độ hai điểm mút Tích có hớng hai vectơ ứng dông 90 ThÝ dô a b c d e f g Cho ba ®iĨm A(1; 2; 3), B(3; 5; 4), C(3; 0; 5) Chøng minh A, B, C lµ ba đỉnh tam giác Tính chu vi, diện tích ABC Tìm toạ độ điểm D để ABCD làuuuhình bình hành r uuur tính côsin góc hai vectơ AC BD Tính độ dài đờng cao hA ABC kẻ từ A Tính góc ABC Xác định toạ độ trực tâm H ABC Xác định toạ độ tâm đờng tròn ngoại tiếp ∆ABC Gi¶i a Ta cã: uuur uuur uuur uuur AB (2; 3; 1) vµ AC (2; −2; 2) ⇒ AB AC không phơng Vậy, ba điểm A, B, C không thẳng hàng b Ta lần lợt có: CV∆ABC = AB + AC + BC = 22 + 32 + 12 + 22 + (−2)2 + 22 + (−5)2 + 12 = 14 + 12 + 26 uuur uuur 1 S∆ABC = AB, AC = | (8; −2; −10)| = + (−2)2 + (−10)2 = 42 2 c Giả sử D(x; y; z), để ABCD hình bình hành điều kiện là: uuur uuur AB = DC ⇔ (2; 3; 1) = (3 − x; −y; − z) 2 = 3− x x = ⇔ 3 = − y ⇔ y = −3 ⇒ D(1; −3; 4) 1= − z z = uuur uuur AB.BD uuur uuur 12 51 cos( AC , BD ) = uuur uuur = = AB BD 12 68 17 d Ta cã: 2S∆ABC 42 273 hA.BC ⇔ hA = = = BC 13 26 e Ta lần lợt có: uuur uuur AB.AC cosA = uuur uuur = ⇔ A = 900, AB AC uuur uuu r BA.BC r = 51 vµ cosC = sinB = 1− cos2 B = cosB = uuur uuu BA BC 13 S∆ABC = 118 13 f Ta cã thĨ lùa chän mét hai c¸ch sau: C¸ch 1: Giả sử H(x; y; z) trực tâm ABC, ta cã ®iỊu kiƯn: 91 uuur uuu r AH ⊥ BC AH ⊥ BC uuur uuur BH ⊥ AC ⇔ BH ⊥ AC uuur uuur uuur H ∈ (ABC) Ba vectơAB, AC, AH đ ồng phẳ ng uuur uuu r AH.BC = (x − 1; y − 2; z − 3).(0; − 5; 1) = uuur uuur ⇔ BH.AC = ⇔ (x − 3; y − 5; z − 4).(2; − 2; 2) = uuur uuur uuur (8; − 2; − 10).(x − 1; y − 2; z − 3) = AB, AC AH = −5(y − 2) + z − = 5y − z = x = ⇔ 2(x − 3) − 2(y − 5) + 2(z − 4) = ⇔x − y + z = ⇔y = 8(x − 1) − 2(y − 2) − 10(z − 3) = 4x − y − 5z = −13 z = Vậy, ta đợc trực tâm H(1; 2; 3) Cách 2: Vì ABC vuông A nên trực tâm H ≡ A, tøc lµ H(1; 2; 3) g Ta cã thĨ lùa chän mét hai c¸ch sau: C¸ch 1: Giả sử I(x; y; z) tâm đờng tròn ngo¹i tiÕp ∆ABC, ta cã: AI = BI AI = BI AI = BI 2 AI = CI AI = CI ⇔ ⇔ AI = CI uuur uuur uur I ∈ (ABC) uuur uuur uuur ng AB, AC, AH đồng phẳ AB, AC AI = (x − 1)2 + (y − 2)2 + (z − 3)2 = (x − 3)2 + (y − 5)2 + (z − 4)2 ⇔ (x − 1)2 + (y − 2)2 + (z − 3)2 = (x − 3)2 + y2 + (z − 5)2 4x − y − 5z = −13 2x + 3y + z = 18 x = ⇔ x − y + z = ⇔ y = 5/2 4x − y − 5z = −13 z = 9/2 Vậy, ta đợc tâm đờng tròn ngoại tiếp I 3; ; ữ 2 Cách 2: Vì ABC vuông A nên tâm I đờng tròn ngoại tiếp ABC trung điểm BC, tức I 3; ; ữ 2 92 Qua A(2; 6; 2) x−2 y−6 z−2 uu r = = (d’): ⇔ (d ') : −1 −4 vtcp u '(−1; − 4; 1) e Ta trình bày theo hai cách sau: Cách 1: (Dựa vào kết câu b): Mặt cầu (S) tâm A tiếp xúc với (d) đợc xác định bëi: mA(2; 6; 2) T© (S): ⇔ (S): (x − 2)2 + (y − 6)2 + (z − 2)2 = 18 B¸n kÝnh R=AH= 18 r C¸ch 2: (Độc lập với câu b): Đờng thẳng (d) có vtcp u(1; 2; 2) qua điểm B(3; 1; 1) Gọi R bán kính mặt cầu (S) tâm A vµ tiÕp xóc víi (d), ta cã: R = d(A, (d)) = 18 Phơng trình mặt cầu (S) đợc xác định bởi: mA(2; 6; 2) Tâ (S): ⇔ (S): (x − 2)2 + (y − 6)2 + (z − 2)2 = 18 B¸n kÝnh R= 18 f Ta trình bày theo hai cách sau: Cách 1: (Dựa vào kết câu b): Vì H trung điểm EF nên mặt cầu (T) cần dựng có bán kính R đợc xác định bởi: R = AE = AH + EH = EF = AH + ÷ 18 + = 27 Phơng trình mặt cầu (T) đợc xác định bởi: mA(2; 6; 2) T© (T): ⇔ (T): (x − 2)2 + (y − 6)2 + (z − 2)2 = 27 B¸n kính R= 27 Cách 2: (Độc lập với câu b): Vì H trung điểm EF nên mặt cầu (T) cần dựng có bán kính R đợc xác định bëi: 2 R=AE= AM + EM EF = d (A, (d)) + ÷ 18 + = 27 Phơng trình mặt cầu (T) đợc xác định bởi: mA(2; 6; 2) T© (T): ⇔ (T): (x − 2)2 + (y − 6)2 + (z − 2)2 = 27 B¸n kÝnh R= 27 Chó ý: TiÕp tơc øng dơng hình chiếu vuông góc điểm đờng thẳng xét dạng toán sau: Cho hai điểm A, B đờng thẳng (d) Tìm toạ độ điểm M đờng thẳng (d) để: uuuu r uuur a MA + MB đạt giá trị nhỏ 234 b MA2 + MB2 đạt giá trị nhỏ Khi đó: a Chóng ta thùc hiƯn theo c¸c bíc: Bíc 1: Gäi I trung điểm AB, ta có: uuuu r uuur uuu r MA + MB = MI = 2MI uuuu r uuur Tõ ®ã, ta thÊy MA + MB đạt giá trị nhỏ MI nhỏ nhất, tức M hình chiếu vuông góc I (d) Bớc 2: Tìm toạ độ M b Ta lựa chọn cách giải sau: Cách 1: Chóng ta thùc hiƯn theo c¸c bíc: Bíc 1: Gọi I trung điểm AB, ta có: uuu r uur uuu r uur uuuu r uuur MA2 + MB2 = MA + MB2 = MI + IA + MI + IB uuu r uur uuu r uur = MI + 2MI.IA + IA + MI + 2MI.IB + IB2 uuu r uur uur AB2 AB2 = 2MI + 2MI IA + IB + = 2MI + 2 2 Từ đó, ta thấy MA + MB đạt giá trị nhỏ MI nhỏ nhất, tức M hình chiếu vuông góc I (d) Bớc 2: Tìm toạ độ M Cách 2: Sử dụng phơng trình tham số (giả sử t) đờng thẳng (d) chóng ta biÕn ®ỉi biĨu thøc MA2 + MB2 dạng (ta có a > 0): MA2 + MB2 = at2 + bt + c ≥ − 4a ∆ b Tõ ®ã, ta thÊy (MA2 + MB2)Min = , đạt đợc t = , suy 4a 2a toạ độ điểm M Mở rộng với ba điểm A, B, C không thẳng hàng (hoặc tứ diện ABCD) sử dụng trọng tâm G ABC ((hoặc trọng tâm G tứ diện ABCD)) Cụ thể "Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng đờng thẳng (d) Tìm toạ độ điểm M đờng thẳng (d) để: uuuu r uuur uuuu r a MA + MB + MC đạt giá trị nhá nhÊt ( ( ) ( ) ) b MA2 + MB2 + MC2 đạt giá trị nhỏ ®©y, chóng rta thùc hiƯn phÐp biÕn ®ỉi: uuuu r uuur uuuu uuuu r MA + MB + MC = 3MG 235 uuuu r uuur uuuu r MA2 + MB2 + MC2 = MA + MB2 + MC2 uuuu r uuur uuuu r uuur uuuu r uuur = MG + GA + MG + GB + MG + GC uuuu r uuur uuur uuur = 3MG + 2MG GA + GB + GC + GA + GB2 + GC ( ) ( ( ) ( ) ) = 3MG + GA + GB2 + GC Dạng toán 7: (Điểm mặt phẳng): Để tìm điểm M thuộc mặt phẳng (P) thoả mãn điều kiện K Phơng pháp Ta lùa chän mét hai c¸ch sau: C¸ch 1: Sư dụng phơng trình ban đầu mặt phẳng Cách 2: Sử dụng điều kiện K khẳng định M thuộc đờng (L), ®ã: (P) ∩ (L) = {M} Chóng thêng gặp: Xác định toạ độ hình chiếu vuông góc H điểm A lên mặt phẳng (P) Khi đó: Nếu sử dụng cách thì: r Bớc 1: Xác định vtpt n mặt phẳng (P) Bớc 2: Giả sử H(x; y; z) chiếu vuông góc H cđa A lªn (P), suy ra: H ∈ (P) H (P) uuur r Toạ độ H AH // n AH ⊥ (P) NÕu sử dụng cách thì: r Bớc 1: Xác định vtpt n mặt phẳng (P) Bớc 2: Viết phơng trình đờng thẳng (d) thoả mãn: Qua A Qua A r Phơng trình tham (d): (d): vtcp n (d) ⊥ (P) sè (d) Bíc 3: Hình chiếu vuông góc H A lên (P) giao điểm (d) (P) Từ việc xác định đợc toạ độ hình chiếu vuông góc A lên (P), thực đợc việc: Tìm toạ ®é ®iĨm H thc (P) cho ®é dµi AH ngắn Tìm toạ độ điểm A1 đối xứng với ®iĨm A qua (P), thĨ ta thùc hiƯn theo bớc: 236 Bớc 1: Xác định toạ độ hình chiếu vuông góc H A lên (P) Bớc 2: Suy toạ độ điểm A1 từ điều kiện H trung điểm AA1 Tuy nhiên, yêu cầu rcòn thực cách: Bớc 1: Xác định vtpt n mặt phẳng (P) Bớc 2: Giả sư A1(x; y; z), suy ra: Trung®iĨmM cđaAA thuéc(P) AA ⊥ (P) x + xA y + yA z + zA H ; ; ÷∈ (P) uuu Toạ độ A1 r AAur // n =0 Viết phơng trình mặt cầu tâm A vµ tiÕp xóc víi (P), thĨ ta thùc theo bớc: Bớc 1: Xác định toạ độ hình chiếu vuông góc H A lên (P) Bớc 2: Mặt cầu (S) tâm A tiếp xúc với (P) đợc xác định bởi: mA T â (S): Bán kính R=AH Tuy nhiên, yêu cầu cã thĨ thùc hiƯn b»ng c¸ch: Bíc 1: Gäi R bán kính mặt cầu (S) tâm A tiếp xóc víi (P) th× ta cã: R = d(A, (P)) Bớc 2: Phơng trình mặt cầu (S) đợc xác định bởi: mA T â (S): Bán kính R Tìm mặt phẳng (P) điểm M(xM; yM; zM) cho xM + y2M + z2M nhá nhÊt đợc phát biểu lại dới dạng "Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc M O (P)") Cho hai điểm A, B mặt phẳng (P) Tìm (P) ®iĨm uuuu r uuur M cho MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất, cụ thể ta thực theo bớc: Bớc 1: Gọi I trung ®iĨm cđa AB, suy to¹ ®é cđa I Bíc 2: uuuu r uuur uuu r NhËn xÐt r»ng MA + MB = 2MI = 2MI Tõ ®ã: 237 uuuu r uuur MA + MB đạt giá trị nhỏ nhÊt ⇔ MI nhá nhÊt Bíc 3: ⇔ M lµ hình chiếu vuông góc I (P) Xác định toạ độ điểm M Tìm điểm M mặt phẳng (P) cho: a MA + MB đạt giá trị nhỏ b | MA MB | đạt giá trị lớn Thí dụ Cho hai điểm A(1; 1; 1), B(1; 3; 1) mặt phẳng (P) có phơng trình x + y + 2z = a Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc điểm A lên mặt phẳng (P) b Tìm tọa ®é ®iĨm A1 ®èi xøng víi ®iĨm A qua mỈt phẳng (P) c Tìm mặt phẳng (P) điểm M(xM; yM; zM) cho tæng x2M + y2M + z2M đạt giá trị nhỏ uuur uuur d Tìm (P) điểm N cho NA + NB đạt giá trị nhỏ e Tìm (P) điểm E cho EA + EB đạt giá trị nhỏ f Viết phơng trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với (P) g Viết phơng trình mặt cầu có bán kính nhỏ qua A tiếp xúc với (P) h Viết phơng trình mặt cầu có bán kính nhỏ qua A cắt (P) theo thiết diện đờng tròn lớn i Viết phơng trình mặt cầu tâm A cắt (P) theo thiết diện đờng tròn (C) có bán kính r = Giải a Ta trình bày theo hai rcách sau: Cách 1: Mặt phẳng (P) có vtpt n(1; 1; 2) Giả sử H(x; y; z) hình chiếu vuông góc A lên (P), suy ra: H ∈ (P) H ∈ (P) r ⇔ uuur AH(x − 1; y − 1; z + 1) // n(1; 1; 2) AH ⊥ (P) x + y + 2z = x = x + y + 2z − = ⇔ x − y − z + ⇔ x − y = ⇔ y = ⇒ H(2; 2; 1) = = 2y − z = z = 238 r Cách 2: Mặt phẳng (P) có vtpt n(1; 1; 2) Gọi (d) đờng thẳng thoả mãn: x = 1+ t Qua A(1; 1; − 1) Qua A r (d): ⇔ (d): ⇔ (d): y = 1+ t , t ∈ ¡ (d) ⊥ (P) vtcp n(1; 1; 2) z = −1+ 2t V× {H} = (d) (P) nên toạ độ H nghiệm hệ phơng trình: x = x = 1+ t y = y = 1+ t ⇒ ⇒ H(2; 2; 1) z = −1+ 2t z = x + y + 2z − = t = b Ta trình bày theo hai cách sau: Cách 1: (Dựa vào kết câu a): Vì H trung điểm AA1 nên A1(3; 3; 3) r Cách 2: Mặt phẳng (P) có vtpt n(1; 1; 2) gi¶ sư A1(x; y; z), suy ra: x + y + z − 1 ; ; ∈ (P) Trung®iĨmH cđaAA thc(P) H 2 ÷ ⇔ uuuur r AA ⊥ (P) AA // n z−1 x+1 y+1 x + y + 2z = 12 + + 2 − = ⇔ ⇔ x − y = ⇒ A1(3; 3; 3) x−1= y−1= z+1 x − z = 1 c NhËn xÐt r»ng x 2M + y 2M + z 2M = ( x M − ) + ( y M − ) + ( z M − ) = OM2 Tõ ®ã, suy ra: (x M + y 2M + z 2M ) Min 2 OM nhỏ M hình chiếu vuông góc O (P) Gọi () đờng thẳng tho¶ m·n: Qua O (∆): ⇔ (∆): (∆ ) ⊥ (P) Qua O(0; 0; 0) r ⇔ (∆): vtcp n(1; 1; 2) x = t y = t , t ∈ ¡ z = 2t Vì {M} = () (P) nên cách phơng trình tham số () vào phơng trình (P), ta đợc: t + t + 4t = ⇔ 6t − = ⇔ t = ⇒ M(1; 1; 2) ( 2 Vậy, với điểm M(1; 1; 2) x M + y M + z M ) Min =6 d Gọi I trung điểm AB, suy I(1; 3; 1) NhËn xÐt r»ng: uuur uuur uur NA + NB = 2NI = 2NI 239 Tõ ®ã: uuur uuur NA + NB đạt giá trị nhỏ NI nhỏ N hình chiếu vuông góc I (P) Xác định toạ độ điểm N: Gọi (d) đờng thẳng thoả mãn: x = 1+ t Qua I(1; 3; 1) Qua I r (d’): ⇔ (d’): ⇔ (d’): y = 3+ t vtcp n(1; 1; 2) (d') ⊥ (P) z = 1+ 2t V× {N} = (d) (P) nên cách phơng trình tham số (d) vào phơng trình (P), ta đợc: (1 + t) + (3 + t) + 2(1 + 2t) − = ⇔ 6t = ⇔ t = ⇒ N(1; 3; 1) VËy, víi ®iĨm N(0; 1; 4) thoả mãn điều kiện đầu e (Dựa vào kết câu b): Nhận xét rằng: tA.tB = −6.(−6) = 36 > ⇔ A, B ë vỊ cïng mét phÝa víi (P) Ph©n tÝch: Gäi A1 điểm đối xứng với A qua (P) {F} = (A 1B) ∩ (P), ®ã víi ®iĨm E bÊt kú thuéc (P), ta cã: A E EA + EB = EA1 + EB ≥ A1B = FA + FB B H Vậy, ta đợc EA + EB nhỏ E F F Phơng trình đờng thẳng (A1B) đợc xác định bởi: A x = + t Qua A1 (3; 3; 3) uuuu r (A1B): ⇔ (A1B): y = vtcp A1B( −4; 0; − 4) chän (1; 0; 1) z = + t Khi đó, để tìm toạ độ F ta thay x, y, z từ phơng trình tham số (A1B) vào phơng trình (P) ®ỵc: + t + + 2(3 + t) − = ⇔ t = −2 ⇒ F(1; 3; 2) Vậy, điểm E(1; 3; 1) thoả mãn điều kiện đầu f Ta trình bày theo hai cách sau: Cách 1: (Dựa vào kết câu a): Mặt cầu (S) tâm A tiếp xúc với (P) đợc xác định bởi: mA(1; 1; 1) Tâ (S): ⇔ (S): (x − 1)2 + (y − 1)2 + (z + 1)2 = B ¸n kÝ nh R= AH= Cách 2: (Độc lập với câu a): Gọi R bán kính mặt cầu (S) tâm A tiếp xúc với (P) ta có: R = d(A, (P)) = Phơng trình mặt cầu (S) đợc xác định bởi: mA(1; 1; 1) T© (S): ⇔ (S): (x − 1)2 + (y − 1)2 + (z + 1)2 = B¸n kÝnh R=AH= 240 g Mặt cầu (S) có bán kính nhỏ qua A tiếp xúc với (P) mặt cầu đờng kính AH, ta có ngay: m I trung đ iểm AH T â (S): ⇔ (S): AH B¸n kÝnh R= 2 5 m I ; ; 2ữ T â 2 Bán kính R= / ⇔ (S) : x − ÷ + y − ÷ + ( z − ) = 2 2 h Mặt cầu (S) có bán kính nhỏ qua A cắt (P) theo thiết diện đờng tròn lớn đờng tròn tâm H bán kÝnh AH nªn: (S): (x − 2)2 + (y − 2)2 + (z 1)2 = i Mặt cầu (T) cần dựng có bán kính là: R2 = d(A, (P)) + r2 = + 18 = 24 ⇔ R = 24 Phơng trình mặt cầu (T) đợc xác định bởi: mA(1; 1; 1) Tâ (S): ⇔ (S): (x − 1)2 + (y − 1)2 + (z + 1)2 = 24 B¸n kÝnh R= 24 5 Dạng toán 8: (Điểm mặt cầu): Để tìm điểm M thuộc mặt cầu (S) thoả mãn điều kiện K Phơng pháp Ta lựa chọn hai cách sau: Cách 1: Sử dụng phơng trình ban đầu mặt cầu Cách 2: Thiết lập điều kiện để M giao điểm đối tợng khác mặt cầu (thờng đờng thẳng) Thí dụ Cho điểm A(2; 3; 4) mặt cầu (S): x2 + (y − 1)2 + (z − 2)2 = a Chứng tỏ điểm A nằm mặt cầu (S) b Viết phơng trình đờng thẳng (d) qua A cắt (S) hai điểm B, C cho BC có độ dài lớn c Tìm điểm M thuộc (S) cho MA đạt giá trị lớn nhất, nhỏ d Viết phơng trình mặt phẳng tiếp xúc với (S) cách A khoảng lớn e Viết phơng trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với (S) f Viết phơng trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất, qua A tiếp xúc với (S) 241 g Viết phơng trình mặt cầu có bán kính lớn nhất, qua A tiếp xúc với (S) Giải a Mặt cầu (S) có tâm I(0; 1; 2) bán kính R = , ta cã: IA2 = 22 + (3 − 1)2 + (4 − 2)2 = 12 ⇔ IA = > R Vậy, điểm A nằm mặt cầu (S) b Hai điểm B, C thuộc (S) có độ dài lớn BC đờng kính (S), đờng thẳng (d) cần dựng đợc cho bởi: Qua I(0; 1; 2) uur (d): ⇔ (d): vtcp IA(2; 2; 2) chän (1; 1; 1) x = t y = 1+ t , t ∈ ¡ z = + t c NhËn xÐt r»ng: MA ≥ IA − IM = IA − R = − = ⇒ MAMin = 3, đạt đợc M, I, A thẳng hàng MA ≤ IA + IM = IA + R = + = 3 ⇒ MAMax = 3 , đạt đợc M, I, A thẳng hàng Tức hai trờng hợp {M} = (IA) (S) = (d) (S) Thay phơng trình tham số (d) vào (S), ta đợc: AM1 = M1 (1; 2; 3) t2 + t2 + t2 = ⇔ t2 = ⇔ t = ± ⇒ ⇒ M ( −1; 0; 1) AM = 3 VËy, ta có kết luận: MAMin = , đạt đợc điểm M1(1; 2; 3) MAMax = 3 , đạt đợc điểm M2(1; 0; 1) d Mặt phẳng (P) cần dựng tiếp xúc với (S) cách A khoảng lớn mặt phẳng tiếp xúc với (S) điểm M2, đó: Qua M 2(−1; 0; 1) (P) : uur ⇔ (P): x + y + z = vtpt IA(3; 3; 3) chọn (1; 1; 1) e Mặt cầu tâm A cã thĨ tiÕp xóc vµ tiÕp xóc ngoµi với (S), nên ta có: Mặt cầu (T1) tâm A tiếp xúc với (S) đợc cho bởi: mA(2; 3; 4) T© (T1 ) : ⇔ (T1): (x − 2)2 + (y − 3)2 + (z − 4)2 Bán kính R=AM = = Mặt cầu (T2) tâm A tiếp xúc với (S) đợc cho bëi: 242 mA(2; 3; 4) T© (T2 ) : ⇔ (T2): (x − 2)2 + (y − 3)2 + (z − 4)2 B ¸n kÝ nh R= AM = 3 = 27 f Mặt cầu (S1) có bán kính nhỏ nhất, qua A tiếp xúc với (S) mặt cầu đờng kính AM1, ®ã: 7 mI1 ; ; ữ mI trung đ iểm AM T© T© 2 2 (S1 ) : ⇔ (S1 ) : AM1 B¸n kÝnh R1 = B¸n kÝnh R1 = 2 2 2 ⇔ (S1 ) : x − ÷ + y − ÷ + z − ÷ = 2 2 2 g MỈt cầu (S2) có bán kính lớn nhất, qua A tiếp xúc với (S) mặt cầu đờng kÝnh AM2, ®ã: 5 mI2 ; ; ữ m I trung đ iĨm AM T © T © 2 2 (S2 ) : ⇔ (S2 ) : AM 3 B¸n kÝnh R2 = B¸n kÝnh R2 = 27 ⇔ (S2 ) : x − ÷ + y − ÷ + z − ÷ = 2 2 2 Chó ý: Nếu điểm A nằm nằm mặt cầu (S) đờng thẳng mặt phẳng qua A cắt (S) Nhận định gợi ý cách chứng minh đờng thẳng mặt phẳng cắt mặt cầu Thí dụ Cho điểm A(2; 1; 2) mặt cầu (S) có phơng trình: (S): x2 + (y − 1)2 + (z − 1)2 = a Chứng tỏ đờng thẳng qua điểm A cắt mặt cầu (S) b Viết phơng trình mặt phẳng (P) qua A cắt (S) theo thiết diện đờng tròn có bán kính nhỏ c Viết phơng trình đờng thẳng qua A cắt (S) hai điểm B, C cho BC có độ dài lớn 243 d Viết phơng trình đờng thẳng qua A vuông góc với đờng thẳng () : x y z = = cắt (S) hai điểm −1 E, F cho EF = Giải a Mặt cầu (S) có tâm I(0; 1; 1) bán kính R = 3, ta cã: IA2 = 22 + (1 − 1)2 + (2 − 1)2 = ⇔ IA = < R Vậy, đờng thẳng qua điểm A cắt mặt cầu (S) b Gọi r bán kính đờng tròn (C), ta có nhận xét: r2 = R2 − d2(I, (P)) ≤ R2 − IA2 = r Suy rMin = 2, đạt ®ỵc d(I, (P)) = IA ⇔ IA ⊥ (P) Do đó, mặt phẳng (P) cần dựng đợc cho bởi: Qua A(2; 1; 2) uur (P) : ⇔ (P): 2x + z − = vtcp IA(2; 0; 1) c Hai ®iĨm B, C thc (S) cã ®é dµi lín nhÊt BC lµ mét ®êng kÝnh (S), đờng thẳng (d) cần dựng đợc cho bëi: x = + 2t Qua A(2; 1; 2) uur (d) : ⇔ (d): y = ,t∈ ¡ vtcp IA(2; 0; 1) z = + t r d Giả sử đờng thẳng (d) cần dựng có vtcp u(a; b; c) , ta lần lợt có: uur Đờng thẳng (d) vuông gãc víi (∆) víi vtcp u ∆ (2; − 1; 1) khi: r uur r uur u ⊥ u ∆ ⇔ u.u ∆ = ⇔ 2a − b + c = ⇔ b = 2a + c Phơng trình đờng thẳng (d) đợc cho bởi: x = + at Qua A(2; 1; 2) r (d) : ⇔ (d): y = 1+ bt , t ∈ ¡ vtcp u(a; b; c) z = + ct Toạ độ điểm E, F đợc xác định cách thay phơng trình tham sè cđa (d) vµ (S), ta cã: (at + 2)2 + b2t2 + (ct + 1)2 = ⇔ (a2 + b2 + c2)t2 + 2(2a + c)t − = (1) Phơng trình có hai nghiệm t1, t2 tho¶ m·n: 2(2a + c) t1 + t = − a + b + c t t = − a + b + c2 244 Víi E(at1 + 2; bt1 + 1; ct1 + 2) vµ F(at2 + 2; bt2 + 1; ct2 + 2) th×: EF = ⇔ 18 = EF2 = (at1 − at2)2 + (bt1 − bt2)2 + (ct1 − ct2)2 = (a2 + b2 + c2)(t1 − t2)2 = (a2 + b2 + c2)[(t1 + t2)2 − 4t1t2] 4(2a + c) 16 + c) 2 2 a + b + c + = ( + 16 ) 2 2 a + b2 + c2 = a4(2a + b2 + c2 ( a + b + c ) 2(2a + c) ⇔ 1= ⇔ a2 + c2 + (2a + c)2 = 2(2a + c)2 a + b + c2 ⇔ 3a2 + 4ac = ⇔ a = hc a = − c Khi ®ã: r r Víi a = b = c nên u(0; c; c) chọn u(0; 1; 1) , ta đợc: x = (d1): y = 1+ t, t ∈ ¡ z = + t r r 5 Víi a = c b = c nên u − c; − c; c ÷ chän u(4; 5; − 3) , ®ã 3 ta đợc: x = + 4t (d2 ): y = 1+ 5t , t ∈ ¡ z = − 3t VËy, tån t¹i hai đờng thẳng (d1) (d2) thoả mãn điều kiện đầu Thí dụ Cho điểm A(4; 2; 2) mặt cầu (S) có phơng trình: (S): (x − 2)2 + (y − 1)2 + z2 = a Chứng tỏ điểm A nằm mặt cầu (S) b Tìm điểm B thuộc (S) cho AB đạt giá trị lớn c Viết phơng trình mặt phẳng tiếp xúc với (S) A d Viết phơng trình đờng thẳng tiếp xúc với (S) A r v( − 1; 0; 1) vu«ng gãc víi vectơ e Viết phơng trình đờng thẳng tiếp xúc với (S) A tạo với đờng thẳng () : x y−3 z = = mét gãc 450 −1 2 245 f Viết phơng trình đờng thẳng qua A vuông góc với đờng thẳng (a) : x y z2 = = cắt (S) điểm B cho AB = Giải a Mặt cầu (S) có tâm I(2; 1; 0) bán kính R = 3, ta có: IA2 = 22 + 12 + 22 = ⇔ IA = = R Vậy, điểm A nằm mặt cầu (S) b Điểm B thuộc (S) có độ dài lớn AB đờng kính (S), ®ã B ®èi xøng víi A qua t©m I, suy B(0; 0; 2) c Mặt phẳng (P) cần dựng ®ỵc cho bëi: Qua A(4; 2; 2) uur (P) : ⇔ (P): 2x + y + 2z − 14 = vtcp IA(2; 1; 2) r d Gi¶ sử đờng thẳng (d) cần dựng có vtcp u , ta cã: r uur r uur r u ⊥ IA r r ⇔ u = IA, v = (−1; 4; − 1) u ⊥ v Khi đó, phơng trình đờng thẳng (d) đợc cho bởi: x = − t Qua A(4; 2; 2) r (d) : ⇔ (d): y = + 4t , t ∈ ¡ vtcp u(−1; 4; − 1) z = − t uur e Giả sử đờng thẳng (d) cần dựng có vtcp u d (a; b; c) , ta lần lợt có: Vì (d) tiếp xúc với (S) A nên: uur uur uur uur ud ⊥ IA ⇔ ud.IA = ⇔ 2a + b + 2c = ⇔ b = 2a 2c Để góc (d) () 459 điều kiện là: uur uur u a + 2b + 2c d u∆ = cos450 = uur uur ⇔ a2 + b2 + c2 (−1)2 + 22 + 22 ud u∆ ⇔ 9[a2 + (−2a − 2c)2 + c2] = 2[−a + 2(−2a − 2c) + 2c]2 ⇔ 9[5a2 + 8ac + 5c2] = 2(−5a − 2c)2 37 ⇔ 5a2 + 32bc − 37c2 = ⇔ a = −c hc a = c Khi ®ã: uur uur Víi a = c b = nên u d (c; 0; c) chän u d (−1; 0; 1) , tõ ®ã: 246 x = − t Qua A(4;2;2) uur (d1): ⇔ (d1): y = , t ∈ ¡ vtcp ud(−1;0;1) z = + t u u r uur 84 37 84 37 Víi a = c th× b = − c nªn u d c; − c; c ÷ chän u d (37; − 84; 5) , tõ 5 ®ã: x = + 37t Qua A(4;2;2) uur (d2): ⇔ (d2 ): y = − 84t, t ∈ ¡ vtcp ud (37;− 84;5) z = + 5t Vậy, tồn hai đờng thẳng (d1) (d2) thoả mãn điều kiện đầu r f Giả sử đờng thẳng (d) cần dựng có vtcp u(a; b; c) , ta lần lợt có: uur Đờng thẳng (d) vuông góc với (a) với vtcp u a (−1; 2; 1) khi: r uur r uur u ⊥ u a ⇔ u.u a = ⇔ − a + 2b + c = ⇔ a = 2b + c Phơng trình đờng thẳng (d) đợc cho bëi: x = + at Qua A(4; 2; 2) r (d) : ⇔ (d): y = + bt , t ∈ ¡ vtcp u(a; b; c) z = + ct Toạ độ điểm B (B A) đợc xác định cách thay phơng trình tham số (d) (S), ta cã: (at + 2)2 + (bt + 1)2 + (ct + 2)2 = ⇔ (a2 + b2 + c2)t2 + 2(2a + b + 2c)t = t ≠0 2(2a + b + 2c) ⇔ t =− a + b2 + c2 Víi A(4; 2; 2) vµ B(at + 4; bt + 2; ct + 2) th×: AB = ⇔ 20 = AB2 = a2t2 + b2t2 + (c2t2 = (a2 + b2 + c2)t2 = (a + b2 + c2 ) 4(2a + b + 2c) (a +b +c ) 2 = 4(2a + b + 2c) a + b + c2 ⇔ 5[(2b + c) + b + c ] = [2(2b + c) + b + 2c]2 ⇔ 5(5b2 + 4cb + 2c2) = (5b + 4c)2 ⇔ 6c2 + 20bc = ⇔ c = 10 hc c = − b Khi ®ã: 2 247 r r Víi c = th× a = 2b nªn u(2b; b; 0) chän u(2; 1; 0) , ®ã ta ®ỵc: x = + 2t (d1): y = + t , t ∈ ¡ z = r r 10 10 Víi c = − b th× a = − b nªn u − b; b; − b ÷ chän u(4; − 3; 10) , 3 ta đợc: x y− z− (d2 ): = = 10 Vậy, tồn hai đờng thẳng (d1) (d2) thoả mãn điều kiện đầu C Các toán chọn lọc Ví dụ 1: (Đề thi đại học khối B 2003): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai điểm A(2; 0; 0), B(0; 0; 8) uuur điểm C cho AC (0; 6; 0) Tính khoảng cách từ trung điểm I BC đến đờng thẳng OA Giải Giả sử C(x; y;, z) suy ra: (0; 6; 0) = (x − 2; y; z) ⇒ C(2; 6; 0) ⇒ I(1; 3; 4) uur uuur [OI,OA] uuur d(I, OA) = = OA 248 ... điểm M1(x1; y1; z1) M2(x2; y2; z2), ta cã: Qua M1 (x1 ; y1 ; z1 ) ⇔ (d): Qua M (x ; y ; z ) (d): Qua M1 (x1 ; y1 ; z1 ) uuuuuur vtcp M1M (x − x1 ; y − y1 ; z − z1 ) x = x1 + (x − x1... theo thø tù lµ vtpt (P 1) (P2), đó: a Nếu A1 B1 C1 D1 = = = th× (P1) ≡ (P2) A2 B2 C2 D2 b NÕu A1 B1 C1 D1 = = ≠ th× (P1) // (P2) A2 B2 C2 D2 c NÕu A1: B1: C1 ≠ A2: B2: C2 (P1) (P2) = {(d)} khoảng... (d): y = y1 + (y − y1 )t , t ∈ ¡ z = z + (z − z )t hc (d): x − x1 y − y1 z − z1 = = x − x1 y − y1 z z1 Chú ý: Cho hai mặt phẳng (P1) (P2) có phơng trình: (P1): A1x + B1y + C1z + D1 = 0, cã